2020重庆中考复习数学最值专题训练二(含答案解析)备课讲稿
2020年重庆中考二次函数最值专题训练(含答案)
2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。
2021重庆中考复习数学几何最值问题专题训练二(含答案)
2021年重庆中考复习最值问题专题训练二类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值．2、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．练习如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和CG，则 CG 的最小值为．3、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝12，AB ＝10，点E 在AD 上，且AE ＝4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为 .A例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为．例5、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE的最大值为 ．练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．练习如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为 ．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A 'B 'D '，分别连接A 'C ，A 'D ，B 'C ，则A 'C +B 'C的最小值为．练习:如图，在矩形ABCD中，AB =1BC =，将ABD ∆沿射线DB 平移到A B D '''∆，连接B C D C ''、，则+B C D C ''的最小值为.类型七：利用基本不等式求最值2021年重庆中考复习最值问题专题训练二类型一：旋转三角形利用三点共线求最值例1、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，（即将△EAF绕点E逆时针旋转60°得△ENG）作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH ＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．练习1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM ＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC ＝＝22、（2019秋•海曙区校级月考）如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是 .A解：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB+GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC ＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.类型二：旋转三角形利用四点共线求最值例2、如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．解析：如图，将△ABP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE ，连接EP ，CD ，∴△ABP ≌△DBE ∴∠ABP ＝∠DBE ，BD ＝AB ＝4，∠PBE ＝60°，BE ＝PE ，AP ＝DE ，∴△BPE 是等边三角形 ∴EP ＝BP ∴AP +BP +PC ＝PC +EP +DE ,∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA +PB +PC 有最小值CD∵∠ABC ＝30°＝∠ABP ∠+PBC ,∴∠DBE ∠+PBC ＝30°,∴∠DBC ＝90°,∴CD＝＝. 练习如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC的最小值是 ．解：由旋转的性质可知：△PFC 是等边三角形，∴PC ＝PF ，∵PB ＝EF ， ∴PA +PB +PC ＝PA +PF +EF ，∴当A 、P 、F 、E 共线时，PA +PB +PC 的值最小， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴tan ∠ACB＝＝，∴∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝4，∵∠BCE ＝60°，∴∠ACE ＝90°，∴AE＝＝2．类型三：旋转三角形利用垂线段最短求最值例2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE ＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则CM ＝MP +CP ＝HE+EC ＝1+＝，CG 的最小值为． 练习1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE ＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则CM ＝MP +CP ＝HE +EC ＝＝，故答案为：．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．F解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG上，作CM ⊥HG ，则CM即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE EC ＝12+3、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝12，AB ＝10，点E 在AD 上，且AE＝4，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ∠+B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ＝4，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ） ∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线， ∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝4，HM ⊥AD ， ∴EM ＝2，MH ＝EM ＝2，∴线段GD 长度的最小值为2，类型四：利用二次函数求最值例3、如图，在ABC ∆中，090ACB ∠=，5,2AC BC ==，点D 是AC 边上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转090得线段ED ，连接AE ，则AE 的最小值为.A解：过E 作EF ⊥AC 于点F . 则∠EFD ＝90°，∵090ACB ∠=，∴∠EFD=∠C ，∵ED=DB ，∠FED =∠CDB ，∴△EFH ≌△EDC ， ∴DF ＝CB =2，EF CD =，设AD x =，则2AF x =+，5EF CD x ==-， ∴AE ===，∴当32x =时，AE 有最小值2. 例4、（2010秋•东城区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．若点D 在线段BC 上运动，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB ＝45°，，则线段CF 长的最大值为 ．解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，∴∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，∴NE＝AM，∵∠ACB＝45°，∴△AMC为等腰直角三角形，∴AM＝MC，∴MC＝NE，∵AM⊥BC，EN⊥AM，∴NE∥MC，∴四边形MCEN为平行四边形，∵∠AMC＝90°，∴四边形MCEN为矩形，∴∠DCF＝90°，∴Rt△AMD∽Rt△DCF，∴＝，设DC＝x，∵∠ACB＝45°，，∴AM＝CM＝3，MD＝3﹣x ，∴＝，∴CF＝﹣x2+x，∴当x＝1.5时有最大值，最大值为0.75．例5、如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM 中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM ＝AC ＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE ＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE 有最大值为.练习1、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED，∴AF ＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3 .2、（2019秋•黄陂区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝2，则△BDE面积的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM 中，∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM ＝AC ＝2＝1，∴BM＝AB+AM＝2+1＝3，设BD＝x，则EN＝DM＝3﹣x，∴S△BDE ＝＝（3﹣x）＝﹣（x﹣1.5）2+，∴当BD＝1.5时，S△BDE 有最大值为，类型五：构造等边三角形求最值例6、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．CAE解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F 上，连接DF ，∴DF ＝BC＝×4＝2，∴AC ＝DE≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为 ．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．类型六：利用对称求最值例7、（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为 ．解法一：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH ＝AD＝，∴DE＝1，∴DE ＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．解法二：练习:如图，在矩形ABCD中，AB=，1BC=，将ABD∆沿射线DB平移到A B D'''∆，连接B C D C''、，则+B C D C''的最小值为.解法一：解法一：解法三：解法四：类型七：利用基本不等式求最值解：原式=1111+12a a++⨯=11+12a a a ++=2222+32a a a a +++=2232+32a a a a a ++-+=21+32a a a -+=112+3a a -+ 12a a +≥ ，1+35a a ∴+≥，11253a a ∴≤++，11253a a∴-≥-++， 14125+3a a∴-≥+.当2a a =，即a =45，此时2b =.。
2020-2021学年重庆市中考仿真模拟数学二诊试卷及答案解析
重庆市中考数学二诊试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，只有一个答案是正确的．1．5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．2．下列运算正确的是（）A．a2+2a3=3a5 B．﹣3a+2a=﹣a C．（3a3）2=6a6D．a8÷a2=a43．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°4．x取下列各数中的哪个数时，二次根式没有意义（）A．B．2 C．1 D．05．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinB的值得是（）A．B．C．D．7．五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和228．已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（0，7）B．（﹣1，7）C．（﹣2，7）D．（﹣3，7）9．如图，已知A、B、C在⊙O上，∠A=∠B=19°，则∠AOB的度数是（）A．68°B．66°C．78°D．76°10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．11．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=12x B．C．D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：= ．14．方程的解是．15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°，则∠B的度数是．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．17．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率．18．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF 与EC交于G，则BG与GF的乘积为．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）19．计算：．20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．22．为了增强学生环保意识，我区举办了首届“环保知识大赛”，经选拔后有30名学生参加决赛，这30，名学生同事解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别成绩x分频数（人数）第1组50≤x＜60 3第2组60≤x＜70 8第3组70≤x＜80 13第4组80≤x＜90 a第5组90≤x＜100 2（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第4组的同学将抽出3名对第一组3名同学进行“一帮一”辅导，则第4组的小宇与小强能同时抽到的概率是多少？23．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．24．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；（2）求证：BD=2CE．五、解答题（本大题2个小题，各12分，共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．重庆市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，只有一个答案是正确的．1．5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C．±5 D．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出5的绝对值．【解答】解：|5|=5，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是解决本题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a2+2a3=3a5 B．﹣3a+2a=﹣a C．（3a3）2=6a6D．a8÷a2=a4【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，即可解答．【解答】解：A．a2与2a3不是同类项，不能合并，故错误；B．﹣3a+2a=﹣a，正确；C．（3a3）2=9a6，故错误；D．a8÷a2=a6，故错误；故选：B．【点评】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的定义．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠1+∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．【解答】解：A、由∠1=∠2，得到a∥b，所以A选项正确；B、由∠2=∠3，得到a∥b，所以B选项正确；C、由∠3=∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；D、由∠1=∠3，∠3+∠4=180°，得到a∥b，所以D选项正确．故选C．【点评】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行．也考查了对顶角相等的性质．4．x取下列各数中的哪个数时，二次根式没有意义（）A．B．2 C．1 D．0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式没有意义，∴x﹣1＜0，解得x＜1．故选D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】设AB=AC=x，则BC=16﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（16﹣2x）cm，∴，解得4cm＜x＜8cm．故选：C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinB的值得是（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据sin2B+cos2B=1和即可求出答案．【解答】解：∵sin2B+cos2B=1，，∴sin2B=1﹣（）2=，∵∠B为锐角，∴sinB=，故选A．【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道sin2B+cos2B=1是解此题的关键，难度适中．7．五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和22【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：19、19、20、21、22，数据19出现了2次最多，所以19为众数；20处在第3位是中位数．所以本题这组数据的众数是19，中位数是20．故选B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．8．已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（0，7）B．（﹣1，7）C．（﹣2，7）D．（﹣3，7）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出对称轴，再根据二次函数的对称性求解．【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣2，设点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（x，7），则=﹣2，解得x=﹣1，所以，对称点为（﹣1，7）．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称轴，先确定出对称轴解析式是解题的关键．9．如图，已知A、B、C在⊙O上，∠A=∠B=19°，则∠AOB的度数是（）A．68°B．66°C．78°D．76°【考点】圆周角定理．【分析】利用圆周角定理可知∠AOB=2∠C，根据三角形的内角和定理得出∠AOB=∠OAC+∠OBC=2×19=38°，从而求得∠AOB=76°．【解答】解：连接AB，如图，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OBC+∠C=180°∴∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠C，∴∠C=∠AOB，∴∠AOB=∠OAC+∠OBC=2×19=38°，∴∠AOB=76°．故选D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．【解答】解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．故选：C．【点评】本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．11．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形可知：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；进一步代入求得答案即可．【解答】解：观察发现：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；则第7个图案中▲的个数为3×7﹣2=19．故选D．【点评】此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=12x B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式．【专题】动点型．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后整理即可得到y 与x的关系式．【解答】解：矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE=∠APB，∵∠B=∠AED=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，∴=，∴y=．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：= ．【考点】二次根式的乘除法．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再化简即可．【解答】解：原式==，故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记．14．方程的解是x=1 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察方程可得最简公分母是：2（x+1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．【解答】解：方程两边同乘以2（x+1），得2x=x+1，解得x=1．经检验：x=1是原方程的解．故答案为：x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°，则∠B的度数是71°．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=26°+45°=71°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=71°．故答案为：71°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．【专题】压轴题．【分析】我们只要根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．【解答】解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°，∴∠ABD=∠ACD=30°，AD⊥BC，∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即+AD2=（2AD）2解得AD=1，△ABC的面积=2×1÷2=，扇形MAN得面积=π×12×=，所以阴影部分的面积=．【点评】解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可．17．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率．【考点】概率公式；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x的方程x2+4x+a=0有解，可求得a的取值范围，继而求得答案．【解答】解：∵一次函数y=2x+a与x轴、y轴的交点分别为：（﹣，0），（0，a），∴|﹣|×|a|×=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a≥0，即a≤4时，关于x的方程x2+4x+a=0有解，∴使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF 与EC交于G，则BG与GF的乘积为．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】连接DE，根据等腰三角形得出∠DEF=45°，再利用三角形全等得出EF=BE，进而得出△EGF～△BGC，利用相似三角形的性质得出BG•GF=EG•GC，进而得出GC=AE=，EG=1﹣GC=2﹣，即可得出两者乘积．【解答】解：连接DE，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC=1，∵EC=BC，∴∠CBE=∠BEC=67.5°，∵EF⊥BE，∴∠CEF=22.5°，∵EC=BC=DC，∴∠DEF=45°，∠EDC=67.5°，∴△EFD是等腰三角形，∴ED=EF，∵△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD，∴BE=ED，∴BE=EF，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠GBC=∠EBC﹣∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°=∠CEF，∵∠EGF=∠BGC，∴△EGF∽△BGC，∴BG•GF=EG•GC，∵CE=AB=CB=1，∴AE=，∴EG=EC﹣GC=2﹣，∴EG•GC=，∴BG•GF=．故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是利用全等三角形和相似三角形的判定和性质分析解答．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+2﹣（﹣2）+2×=1+2+2+=5+．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．【考点】解直角三角形；矩形的性质．【专题】应用题．【分析】连接EC，由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分，即O为AC中点，再由OE垂直AC，得到OE垂直平分AC，即AE=CE，在直角三角形EDC中，设EC=AE=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到EC的长，即为AE的长，利用勾股定理求出AC的长，进而求出OA的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠OEA的值．【解答】解：连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC==10，即OA=5，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△EDC中，设EC=AE=x，则有ED=AD﹣AE=8﹣x，DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，解得：x=，∴AE=，在Rt△AOE中，sin∠OEA==．【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=[+]÷=（+）•=•=，∵a是方程x2+3x+1=0的根，∴a2+3a=﹣1，则原式=﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．为了增强学生环保意识，我区举办了首届“环保知识大赛”，经选拔后有30名学生参加决赛，这30，名学生同事解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别成绩x分频数（人数）第1组50≤x＜60 3第2组60≤x＜70 8第3组70≤x＜80 13第4组80≤x＜90 a第5组90≤x＜100 2（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第4组的同学将抽出3名对第一组3名同学进行“一帮一”辅导，则第4组的小宇与小强能同时抽到的概率是多少？【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．【分析】（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；（2）根据（1）得出的a的值，补全统计图；（3）用成绩不低于80分的频数除以总数，即可得出本次测试的优秀率；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）表中a的值是：a=30﹣3﹣8﹣13﹣2=4；（2）根据题意画图如下：（3）本次测试的优秀率是=0.20=20%．答：本次测试的优秀率是20%；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：共有24种情况，小宇与小强能同时抽到的情况有12种，则小宇与小强能同时抽到的概率为=．【点评】本题考查了频数分布直方图，频数分布表和概率，利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图表，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．23．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设用x元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍列出不等式，解不等式即可；（2）根据实际筹资将比计划筹资多3000元建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设用x元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得x≥2（15000﹣x），解得x≥10000．答：最少用10000元购买文艺刊物；（2）由题意得150（1+a%）×100（1﹣a%）=15000+3000，解得a1=100，a2=50（不合题意舍去）．答：a的值为100．【点评】本题考查了一元二次方程与一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解．24．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；（2）求证：BD=2CE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1过点D作DH⊥BC于H，根据已知条件，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，得到DH=AD，在等腰直角三角形CDH中，求得CD；（2）延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BCA=45°，∴DH=CH，∵BD是∠ABC的平分线，∴DH=AD=1，∴CD=；（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．【点评】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．五、解答题（本大题2个小题，各12分，共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据题意可知只有PA=AD，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可证明△ADE≌△PAF，可求得OE，代入直线解析式可求得D点坐标；（2）可分为当∠ADP=90°，D在AB上方和下方，当∠APD=90°时三种情况，设PC=m，可分别表示出点D的坐标，再代入直线y=2x﹣6，可求得D点坐标．【解答】解；（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，根据题意可知当△APD为等腰直角三角形时，只有∠DAP=90°满足条件，∴AD=AP，∠DAP=90°，∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，∴∠EAD=∠BAP，∵AB∥PF，∴∠BAP=∠FPA，∴∠EAD=∠FPA，在△ADE和△PAF中，，∴△ADE≌△PAF（AAS），∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，∴点D的坐标是（4，14）；（2）由点D在直线y=2x﹣6上，可设PC=m，如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8=2（14﹣m）﹣6，得m=，∴D点坐标（，）；如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（，），D点坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．【点评】本题主要考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等知识点．在（1）中求得D点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出点D可能的位置是解题的关键．本题所考查内容较为基础，难度不大．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y 轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC 的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC +S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．。
2019-2020年最新重庆市中考仿真模拟数学二诊试卷及答案解析
重庆市中考数学二诊试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，只有一个答案是正确的．1．5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C．±5D．2．下列运算正确的是（）A．a2+2a3=3a5B．﹣3a+2a=﹣a C．（3a3）2=6a6D．a8÷a2=a43．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠3=∠4D．∠1+∠4=180°4．x取下列各数中的哪个数时，二次根式没有意义（）A．B．2 C．1 D．05．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinB的值得是（）A．B．C．D．7．五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和228．已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（0，7）B．（﹣1，7）C．（﹣2，7）D．（﹣3，7）9．如图，已知A、B、C在⊙O上，∠A=∠B=19°，则∠AOB的度数是（）A．68°B．66°C．78°D．76°10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．11．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=12x B．C．D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：= ．14．方程的解是．15．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°，则∠B的度数是．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．17．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率．18．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于G，则BG与GF的乘积为．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）19．计算：．20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．22．为了增强学生环保意识，我区举办了首届“环保知识大赛”，经选拔后有30名学生参加决赛，这30，名学生同事解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第4组的同学将抽出3名对第一组3名同学进行“一帮一”辅导，则第4组的小宇与小强能同时抽到的概率是多少？23．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．24．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；（2）求证：BD=2CE．五、解答题（本大题2个小题，各12分，共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．重庆市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，只有一个答案是正确的．1．5的绝对值是（）A．5 B．﹣5 C．±5D．【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出5的绝对值．【解答】解：|5|=5，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是解决本题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a2+2a3=3a5B．﹣3a+2a=﹣a C．（3a3）2=6a6D．a8÷a2=a4【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，即可解答．【解答】解：A．a2与2a3不是同类项，不能合并，故错误；B．﹣3a+2a=﹣a，正确；C．（3a3）2=9a6，故错误；D．a8÷a2=a6，故错误；故选：B．【点评】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的定义．3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能保证a、b平行的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠3=∠4D．∠1+∠4=180°【考点】平行线的判定．【分析】分别根据同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行进行判断即可．【解答】解：A、由∠1=∠2，得到a∥b，所以A选项正确；B、由∠2=∠3，得到a∥b，所以B选项正确；C、由∠3=∠4，无法判断a与b的关系所以C选项错误；D、由∠1=∠3，∠3+∠4=180°，得到a∥b，所以D选项正确．故选C．【点评】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行．也考查了对顶角相等的性质．4．x取下列各数中的哪个数时，二次根式没有意义（）A．B．2 C．1 D．0【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式没有意义，∴x﹣1＜0，解得x＜1．故选D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．5．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】设AB=AC=x，则BC=16﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（16﹣2x）cm，∴，解得4cm＜x＜8cm．故选：C．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若，则sinB的值得是（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系．【分析】根据sin2B+cos2B=1和即可求出答案．【解答】解：∵sin2B+cos2B=1，，∴sin2B=1﹣（）2=，∵∠B为锐角，∴sinB=，故选A．【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道sin2B+cos2B=1是解此题的关键，难度适中．7．五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（）A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和22【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：从小到大排列此数据为：19、19、20、21、22，数据19出现了2次最多，所以19为众数；20处在第3位是中位数．所以本题这组数据的众数是19，中位数是20．故选B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．8．已知点A（﹣3，7）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（0，7）B．（﹣1，7）C．（﹣2，7）D．（﹣3，7）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出对称轴，再根据二次函数的对称性求解．【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣2，设点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（x，7），则=﹣2，解得x=﹣1，所以，对称点为（﹣1，7）．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称轴，先确定出对称轴解析式是解题的关键．9．如图，已知A、B、C在⊙O上，∠A=∠B=19°，则∠AOB的度数是（）A．68°B．66°C．78°D．76°【考点】圆周角定理．【分析】利用圆周角定理可知∠AOB=2∠C，根据三角形的内角和定理得出∠AOB=∠OAC+∠OBC=2×19=38°，从而求得∠AOB=76°．【解答】解：连接AB，如图，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OBC+∠C=180°∴∠AOB=∠OAC+∠OBC+∠C，∴∠C=∠AOB，∴∠AOB=∠OAC+∠OBC=2×19=38°，∴∠AOB=76°．故选D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．10．在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题．【分析】露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．【解答】解：因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．故选：C．【点评】本题考查函数值随时间的变化问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．11．如图是一组有规律的图案，第1个图案由1个▲组成，第2个图案由4个▲组成，第3个图案由7个▲组成，第4个图案由10个▲组成，…，则第7个图案▲的个数为（）A．16 B．17 C．18 D．19【考点】规律型：图形的变化类．【分析】仔细观察图形可知：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；进一步代入求得答案即可．【解答】解：观察发现：第一个图形有1个三角形；第二个图形有3×2﹣3+1=4个三角形；第三个图形有3×3﹣3+1=7个三角形；第四个图形有3×4﹣3+1=10个三角形；…第n个图形有3n﹣3+1=3n﹣2个三角形；则第7个图案中▲的个数为3×7﹣2=19．故选D．【点评】此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．12．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（）A ．y=12xB ．C ．D ．【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式．【专题】动点型．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP 和△DEA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后整理即可得到y 与x 的关系式．【解答】解：矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠DAE=∠APB，∵∠B=∠AED=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，∴=，∴y=．故选B ．【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算： = ． 【考点】二次根式的乘除法．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法，先把被开方数相乘，再化简即可．【解答】解：原式==，故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，是基础知识比较简单，要识记．14．方程的解是x=1 ．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】观察方程可得最简公分母是：2（x+1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．【解答】解：方程两边同乘以2（x+1），得2x=x+1，解得x=1．经检验：x=1是原方程的解．故答案为：x=1．【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．15．如图，将R t△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，∠1=26°，则∠B的度数是71°．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=26°+45°=71°，由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=71°．故答案为：71°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．16．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．【专题】压轴题．【分析】我们只要根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．【解答】解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°，∴∠ABD=∠ACD=30°，AD⊥BC，∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即+AD2=（2AD）2解得AD=1，△ABC的面积=2×1÷2=，扇形MAN得面积=π×12×=，所以阴影部分的面积=．【点评】解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可．17．从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率．【考点】概率公式；根的判别式；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】由关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a的值，由关于x的方程x2+4x+a=0有解，可求得a的取值范围，继而求得答案．【解答】解：∵一次函数y=2x+a与x轴、y轴的交点分别为：（﹣，0），（0，a），∴|﹣|×|a|×=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a≥0，即a≤4时，关于x的方程x2+4x+a=0有解，∴使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用以及根的判别式与一次函数的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，已知，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于G，则BG与GF的乘积为．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【分析】连接DE，根据等腰三角形得出∠DEF=45°，再利用三角形全等得出EF=BE，进而得出△EGF～△BGC，利用相似三角形的性质得出BG•GF=EG•GC，进而得出GC=AE=，EG=1﹣GC=2﹣，即可得出两者乘积．【解答】解：连接DE，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC=1，∵EC=BC，∴∠CBE=∠BEC=67.5°，∵EF⊥BE，∴∠CEF=22.5°，∵EC=BC=DC，∴∠DEF=45°，∠EDC=67.5°，∴△EFD是等腰三角形，∴ED=EF，∵△BEC和△DEC是等腰三角形，且BC=CE=CD，∴BE=ED，∴BE=EF，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠GBC=∠EBC﹣∠EBF=67.5°﹣45°=22.5°=∠CEF，∵∠EGF=∠BGC，∴△EGF∽△BGC，∴BG•GF=EG•GC，∵CE=AB=CB=1，∴AE=，∴EG=EC﹣GC=2﹣，∴EG•GC=，∴BG•GF=．故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是利用全等三角形和相似三角形的判定和性质分析解答．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+2﹣（﹣2）+2×=1+2+2+=5+．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．【考点】解直角三角形；矩形的性质．【专题】应用题．【分析】连接EC，由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分，即O为AC中点，再由OE 垂直AC，得到OE垂直平分AC，即AE=CE，在直角三角形EDC中，设EC=AE=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到EC的长，即为AE的长，利用勾股定理求出AC 的长，进而求出OA的长，在直角三角形AOE中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠OEA 的值．【解答】解：连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，∠ABC=90°，利用勾股定理得：AC==10，即OA=5，∵OE⊥AC，∴AE=CE，在Rt△EDC中，设EC=AE=x，则有ED=AD﹣AE=8﹣x，DC=AB=6，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，解得：x=，∴AE=，在Rt△AOE中，sin∠OEA==．【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）21．先化简，再求值：（﹣）÷，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=[+]÷=（+）•=•=，∵a是方程x2+3x+1=0的根，∴a2+3a=﹣1，则原式=﹣．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．为了增强学生环保意识，我区举办了首届“环保知识大赛”，经选拔后有30名学生参加决赛，这30，名学生同事解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第4组的同学将抽出3名对第一组3名同学进行“一帮一”辅导，则第4组的小宇与小强能同时抽到的概率是多少？【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．【分析】（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；（2）根据（1）得出的a的值，补全统计图；（3）用成绩不低于80分的频数除以总数，即可得出本次测试的优秀率；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）表中a的值是：a=30﹣3﹣8﹣13﹣2=4；（2）根据题意画图如下：（3）本次测试的优秀率是=0.20=20%．答：本次测试的优秀率是20%；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：共有24种情况，小宇与小强能同时抽到的情况有12种，则小宇与小强能同时抽到的概率为=．【点评】本题考查了频数分布直方图，频数分布表和概率，利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图表，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．23．在“红五月”读书活动中，社区计划筹资15000元购买科普书籍和文艺刊物．（1）计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍，那么最少用多少资金购买文艺刊物？（2）经初步了解，有150户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100元，经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在150户的基础上增加了a%（其中a＞50），如果每户平均集资在100元的基础上减少a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000元，求a的值．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设用x元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2倍列出不等式，解不等式即可；（2）根据实际筹资将比计划筹资多3000元建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设用x元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得x≥2（15000﹣x），解得x≥10000．答：最少用10000元购买文艺刊物；（2）由题意得150（1+a%）×100（1﹣a%）=15000+3000，解得a1=100，a2=50（不合题意舍去）．答：a的值为100．【点评】本题考查了一元二次方程与一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解．24．如图，已知，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E．（1）若AD=1，求DC；（2）求证：BD=2CE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1过点D作DH⊥BC于H，根据已知条件，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC 的平分线，得到DH=AD，在等腰直角三角形CDH中，求得CD；（2）延长CE、BA相交于点F．可以证明Rt△ABD≌Rt△ACF，再证明△BCE≌△BFE得到CE=EF，就可以得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BCA=45°，∴DH=CH，∵BD是∠ABC的平分线，∴DH=AD=1，∴CD=；（2）如图2，延长CE、BA相交于点F，∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠EBF=∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∴BD=2CE．【点评】本题主要考查了角平分线性质，全等三角形判定和性质，能够想到延长CE、BA相交于点F，构造全等三角形是解决本题的关键．五、解答题（本大题2个小题，各12分，共24分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．如图，矩形ABC0位于直角坐标平面，O为原点，A、C分别在坐标轴上，B的坐标为（8，6），线段BC上有一动点P，已知点D在第一象限．（1）D是直线y=2x+6上一点，若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）D是直线y=2x﹣6上一点，若△APD是等腰直角三角形．求点D的坐标．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）根据题意可知只有PA=AD，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可证明△ADE≌△PAF，可求得OE，代入直线解析式可求得D点坐标；（2）可分为当∠ADP=90°，D在AB上方和下方，当∠APD=90°时三种情况，设PC=m，可分别表示出点D的坐标，再代入直线y=2x﹣6，可求得D点坐标．（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，【解答】解；根据题意可知当△APD为等腰直角三角形时，只有∠DAP=90°满足条件，∴AD=AP，∠DAP=90°，∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，∴∠EAD=∠BAP，∵AB∥PF，∴∠BAP=∠FPA，∴∠EAD=∠FPA，在△ADE和△PAF中，，∴△ADE≌△PAF（AAS），∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，∴点D的坐标是（4，14）；（2）由点D在直线y=2x﹣6上，可设PC=m，如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14﹣m，m+8），由m+8=2（14﹣m）﹣6，得m=，∴D点坐标（，）；如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（，），D点坐标分别为（4，2）或（，）或（，）．【点评】本题主要考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及分类讨论思想等知识点．在（1）中求得D点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出点D可能的位置是解题的关键．本题所考查内容较为基础，难度不大．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BP Q+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．。
2020年重庆市中考数学二模试卷及解析
2020年重庆市中考二模试卷数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1.下列四个数中是无理数的是()A. 3B. 3πC. 3.14159D. √92.图中立体图形的俯视图是()A. B. C. D.3.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. (2a3)2=2a6C. a3⋅a4=a12D. a5÷a3=a24.下列命题，是真命题的是()A. 菱形的对角线相等B. 若|a|=|b|，那么a=bC. 同位角一定相等D. 函数y=1的自变量的取值范围是x≠−1x+15.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由()个▲组成．A. 30B. 31C. 32D. 336.估计√9×√1+√12的运算结果应在哪两个连续自然数之间()3A. 5和6B. 6和7C. 7和8D. 8和97.已知二次函数y=x2−4x+m的图象与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为(1,0)，则线段AB的长为()A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，若AE：AD=1：3，则S△AEF：S△CDF=()A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：99.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()A. 60°B. 35°C. 30.5°D. 30°10.某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为()A. 3×5+3×0.8x ≤27B. 3×5+3×0.8x ≥27C. 3×5+3×0.8(x −5)≤27D. 3×5+3×0.8(x −5)≥2711. 钓鱼是一项特别锻炼心性的运动，如图，小南在江边垂钓，河堤AB 的坡度为1：2.4，AB 长为3.9米，钓竿AC 与水平线的夹角是60°，其长为4.5米，若钓竿AC 与钓鱼线CD 的夹角也是60°，则浮漂D 与河堤下端B 之间的距离约为( )米．(参考数据：√3≈1.732)A. 1.732B. 1.754C. 1.766D. 1.82312. 若数a 使关于x 的不等式组{x−52+1≤x+135x −2a >2x +a至少有3个整数解，且使关于y 的分式方程a−3y−1−21−y =2有非负整数解，则满足条件的所有整数a 的和是( )A. 14B. 15C. 23D. 24二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为______．14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S 1，S 2，S 3中的两个，能让灯泡L 1发光的概率是______． 15. 如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，以BD 长为半径画弧交AC 于点E ，若∠A =50°，∠B =110°，BC =3，则扇形BDE 的面积为______．第15题图 第16题图 第17题图 16. 如图，△ABC 为边长是5的等边三角形，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，将△AFE 沿EF 对折，使点A 正好落在BC 边的点D 处，且ED ⊥BC ，则CE 的长是______． 17. 小明和小亮分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C ，小明先到达奶茶店C ，并在C 地休息了一小时，然后按原速度前往B 地，小亮从B 地直达A 地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y(千米)与小亮出发时间x(时)的函数的图象，请问当小明到达B 地时，小亮距离A 地______千米．18. 某厂家以A 、B 两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A 原料、1.5千克B 原料；乙产品每袋含2千克A 原料、1千克B 原料．甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种原料的成本价之和．若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A 原料和B 原料的单价看反了，后面发现如果不看反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为______元．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19. 已知函数y =y 1+y 2，其中y 1与x 成反比例，y 2与x −2成正比例，函数的自变量x的取值范围是x ≥12，且当x =1或x =4时，y 的值均为32．请对该函数及其图象进行如下探究：(1)解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：______． (2)函数图象探究：(3)结合画出的函数图象，解决问题：①当x =34，214，8时，函数值分别为y 1，y 2，y 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系为：______；(用“<”或“=”表示)②若直线y =k 与该函数图象有两个交点，则k 的取值范围是______，此时，x 的取值范围是______．四、解答题（本大题共7小题，共68分）20. (1)(2a −b)2+(a +b)(a −b);(2)(4x+5x−1+x +1)÷x 2+2xx−1．21.如图所示，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点G是BA延长线上一点，点F是AC上一点，AG=AF，连接GF并延长交BC于E．(1)若AB=8，BC=6，求AD的长；(2)求证：GE⊥BC．22.4月23日世界读书日之际，习近平总书记提倡和鼓励大家多读书、读好书．在接受俄罗斯电视台专访时，总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应号召，建设书香校园，某初级中学对本校初一、初二两个年级的学生进行了课外阅读知识水平检测．为了解情况，现从两个年级抽样调查了部分学生的检测成绩，过程如下【收集数据】从初一、初二年级分别随机抽取了20名学生的水平检测分数，数据如下初一年88604491718897637291级81928585953191897786初二年77828588768769936684级90886788919668975988【整理数据】按如下分段整理样本数据：分段0≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100年级初一年级22376初二年级1a2b5统计量平均数中位数众数方差年级初一年级78.85c91291.53初二年级81.9586d115.25【得出结论】(1)根据统计，表格中a、b、c、d的值分别是______、______、______、______．(2)若该校初一、初二年级的学生人数分别为1000人和1200人，则估计这次考试成绩90分以上的人数为______．(3)可以推断出(填“初一”或“初二”)学生的课外阅读整体水平较高，理由为______．23.某公司销售两种椅子，普通椅子价格是每把180元，实木椅子的价格是每把400元．(1)该公司在2019年第一月销售了两种椅子共900把，销售总金额达到了272000元，求两种椅了各销售了多少把？(2)第二月正好赶上市里开展家具展销活动，公司决定将普通椅子每把降30元后销售，实木椅子每把降价2a%(a>0)后销售，在展销活动的第一周，该公司的普通a%：实木椅子的销售量比第一椅子销售量比上一月全月普通椅子的销售量多了103月全月实木椅子的销售量多了a%，这一周两种椅子的总销售金额达到了251000元，求a的值．24.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E．(1)若BC=BD，tan∠ABE=3，DE=16，求BC的长．(2)若∠DBC=45°，对角线AC、BD交于点O，F为AE上一点，且AF=2EO，求证：CF=√2CD．25.我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)(m、n为正整数，m>n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，求该直角三角形另两边的长．26.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−√32x2+2√3x−√3与x轴交于A、B 两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G．(1)如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；(2)如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+ MN+NO的最小值；(3)如图2，过点D作DI⊥DG交x轴于点I，将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α(0<α<180°)，当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，记旋转过程中的△G′D′I′为△G″D′I″，若在整个旋转过程中，直线G″I″分别交x轴和直线GD′于点K、L两点，是否存在这样的K、L，使△GKL为以∠LGK 为底角的等腰三角形？若存在，求此时GL的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、3是有理数；B、3π是无理数；C、3.14159是有限小数，属于有理数；D.√9=3是有理数；故选：B．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，3π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．2.【答案】B【解析】解：根据图形可得俯视图为：故选：B．根据几何体的三视图，即可解答．本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．3.【答案】D【解析】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、(2a3)2=4a6，故此选项错误；C、a3⋅a4=a7，故此选项错误；D、a5÷a3=a2，故此选项正确．故选：D．直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确化简各数是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A、菱形的对角线垂直，是假命题；B、若|a|=|b|，那么a=b或a=−b，是假命题；C、两直线平行，同位角相等，是假命题；D、函数y=1的自变量的取值范围是x≠−1，是真命题；x+1故选：D．根据菱形的性质、绝对值、同位角和函数进行判断即可．此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定义是解题关键．5.【答案】B【解析】解：观察发现：第一个图形有3×2−3+1=4个三角形；第二个图形有3×3−3+1=7个三角形；第一个图形有3×4−3+1=10个三角形；…第n个图形有3(n+1)−3+1=3n+1个三角形；当n=10时，3n+1=3×10+1=31，故选B．故选：B．仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．6.【答案】A【解析】解：√9×√13+√12=3×√33+2√3=3√3，∵5<3√3<6，∴√9×√13+√12的运算结果应在5和6两个连续自然数之间，故选：A．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．最后估计无理数的大小．7.【答案】B【解析】解：将点A(1,0)代入y=x2−4x+m，得到m=3，∵y=x2−4x+3与x轴交于A、B两点，∴x2−4x+3=0有两个不等的实数根，解得，x1=1，x2=3，∵A(1,0)，∴B(3,0)，∴AB=3−1=2故选：B．将点A(1,0)代入y=x2−4x+m，求出m的值，然后解方程方程得出点B的坐标，根据数轴上两点间的距离公式即可求出AB的长．本题考查一元二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，∵AE：AD=1：3，∴AE：CD=1：3，∵AE//CD，∴△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF =(AECD)2=19，故选：D．利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】D【解析】解：连接OB，∵点B是AC⏜的中点，∴∠AOB=12∠AOC=60°，由圆周角定理得，∠D=12∠AOB=30°，故选：D．根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=12∠AOC，再根据圆周角定理解答．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：设小聪可以购买该种商品x件，根据题意得：3×5+3×0.8(x−5)≤27．故选：C．设小聪可以购买该种商品x件，根据总价=3×5+3×0.8×超出5件的部分结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：如图，延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED=60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴AFBF =12.4=512，则设AF=5x，BF=12x，∵AB=3.9米，∴在直角△ABF中，由勾股定理知，3.92=25x2+ 144x2．解得x=310．∴AF=5x=32，BF=12x=185∴EF=AFtan60∘=32√3=√32，AE=AFsin60∘=32√32=√3∵∠C=∠CED=60°，∴△CDE是等边三角形，∵AC=4.5米，∴DE=CE=AC+AE=4.5+√3(米)，则BD=DE−EF−BF=4.5+√3−√32−185≈1.766(米)，答：浮漂D与河堤下端B之间的距离为1.766米．故选：C．延长CA交DB延长线与点E，过点A作AF⊥BE于点F，利用正切的概念求出AE、EF、BF，判断△CDE为等边三角形，求出DE，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12.【答案】A【解析】解：解不等式x−52+1≤x+13，得：x≤11，解不等式5x−2a>2x+a，得：x>a，∵不等式组至少有3个整数解，∴a<9；分式方程两边乘以y−1，得：a−3+2=2(y−1)，解得：y=a+12，∵分式方程有非负整数解，∴a取−1，1，3，5，7，9，11，……∵a<9，且y≠1，∴a只能取−1，3，5，7，则所有整数a的和为−1+3+5+7=14，故选：A．先解不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，得出a>−1，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，得到a≤4且a≠1，进而得到满足条件的整数a的和．此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．13.【答案】3.5×107【解析】解：将3500万用科学记数法表示为3.5×107．故答案为：3.5×107．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14.【答案】13【解析】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中能让灯泡L1发光的结果数为2，所以能让灯泡L1发光的概率=26=13．故答案为13．画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出让灯泡L1发光的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．15.【答案】π4【解析】解：∵∠A=50°，∠B=110°，∴∠C=20°，∵BD=DC=1.5，DE=DB，∴DE=DC=1.5，∴∠DEC=∠C=20°，∴∠BDE=40°，∴扇形BDE的面积=40π×1．52360=π4，故答案为：π4．根据三角形内角和定理求出∠C，根据三角形的外角的性质求出∠BDE，根据扇形面积公式计算．本题考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．16.【答案】20−10√3【解析】解：∵将△AFE沿EF对折，使点A正好落在BC边的点D处∴AE=ED在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC∴ED=√32EC∴CE+ED=(1+√32)EC=5∴CE=20−10√3故答案为：20−10√3根据轴对称的性质可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60度角求得ED=√32EC，列出方程EC+ED=(1+√32)EC=5，解方程即可求解．本题考查翻折变换，等边三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．17.【答案】90【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据可以分别求得小明和小亮的速度，从而可以计算出当小明到达B地时，小亮距离A地的距离．【解答】解：设小明的速度为akm/ℎ，小亮的速度为bkm/ℎ， {2ba =3.5−2.5(3.5−2)b +(3.5−2.5)a =210， 解得，{a =120b =60，当小明到达B 地时，小亮距离A 地的距离是：120×(3.5−1)−60×3.5=90(千米)， 故答案为：90．18.【答案】6250【解析】解：∵甲产品每袋售价72元，则利润率为20%． 设甲产品的成本价格为b 元， ∴72−b b=20%，∴b =60，∴甲产品的成本价格60元，∴1.5kgA 原料与1.5kgB 原料的成本和60元， ∴A 原料与B 原料的成本和40元，设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40−x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，根据题意得：{m +n ≤10060m +(2x +40−x)n +500=60m +n(80−2x +x)， ∴xn =20n −250，设生产甲乙产品的实际成本为W 元，则有 W =60m +40n +xn ，∴W =60m +40n +20n −250=60(m +n)−250， ∵m +n ≤100， ∴W ≤6250；∴生产甲乙产品的实际成本最多为5750元， 故答案为5750；先求出A 与B 原料的成本和，再设A 种原料成本价格x 元，B 种原料成本价格(40−x)元，生产甲产品m 袋，乙产品n 袋，根据题意列出方程{m +n ≤10060m +(2x +40−x)n +500=60m +n(80−2x +x)，得到W =60m +40n +20n +250=60(m +n)+250，即可求解；本题考查一元一次方程和不等式；能够通过题意列出方程是解题的关键．19.【答案】(1)y =2x +12x −1(2)① 1 134②(3)① y 2<y 1<y 3 ②1<k ≤13412≤x ≤8【解析】解：(1)设y 1=k 1x，y 2=k 2(x −2)，则y =k 1x+k 2(x −2)，由题意得：{k 1−k 2=32k 14+2k 2=32，解得：{k 1=2k 2=12， ∴该函数解析式为y =2x +12x −1， 故答案为：y =2x +12x −1，(3)①由(2)中图象可得：(2,1)是图象上最低点，在该点左侧，y 随x 增大而减小；在该点右侧y 随x 增大而增大， ∴y 2<y 1<y 3，故答案为：y 2<y 1<y 3，②观察图象得：x ≥12，图象最低点为(2,1)， ∴当直线y =k 与该图象有两个交点时，1<k ≤134，此时x 的范围是：12≤x ≤8． 故答案为：1<k ≤134，12≤x ≤8． 【分析】(1)用待定系数法设y 1=k 1x，y 2=k 2(x −2)，则y =k 1x+k 2(x −2)，将已知条件代入得关于k 1、k 2方程组，即可求得该函数解析式；(2)选取适当数值填表，在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象；(3)观察图象，得出结论．本题考查了待定系数法求函数解析式，列表，画函数图象，观察函数图象．20.【答案】解：(1)(2a −b)2+(a +b)(a −b)=4a 2+b 2−4ab +a 2−b 2=5a 2−4ab ；(2)(4x +5x −1+x +1)÷x 2+2xx −1 =4x +5+x 2−1x −1×x −1x(x +2) =(x +2)2x −1×x −1x(x +2)=x+2x．【解析】(1)直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案；(2)直接将括号里面通分，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的混合运算以及乘法公式，正确掌握运算法则是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵AB =AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，BD =CD =3，在Rt △ABD 中，AD =√AB 2−BD 2=√82−32=√55．(2)∵GA =GF ， ∴∠G =∠AFG ，∵∠BAC =∠G +∠AFG =2∠AFG ，∠BAC =2∠CAD ， ∴∠AFG =∠CAD ， ∴AD//EG ， ∵AD ⊥BC ， ∴GE ⊥BC ．【解析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质证明AD ⊥BC ，BD =CD ，利用勾股定理即可解决问题．(2)想办法证明EG//AD 即可．本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】(1)4，8，87，88； (2)800；(3)初二学生的平均分高．【解析】解：(1)由题意a =4，b =8，c =87，d =88， 故答案为：4，8，87，88； (2)1000×620=300(人)，1200×512=500(人)，300+500=800(人)， 故答案为：800人；(3)初二学生的课外阅读整体水平较高，理由是初二学生的平均分高， 故答案为：初二学生的平均分高．【分析】(1)利用收集的数据以及中位数，众数的定义即可解决问题； (2)利用样本估计总体的思想解决问题即可；(3)利用平均数的大小即可判断． 本题考查方差，平均数，中位数，众数，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)设普通椅子销售了x 把，实木椅子销售了y 把， 依题意，得：{x +y =900180x +400y =272000，解得：{x =400y =500．答：普通椅子销售了400把，实木椅子销售了500把； (2)依题意，得：(180−30)×400(1+103a%)+400(1−2a%)×500(1+a%)=251000，整理，得：a 2−225=0，解得：a 1=15，a 2=−15(不合题意，舍去)． 答：a 的值为15．【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．(1)设普通椅子销售了x 把，实木椅子销售了y 把，根据总价=单价×数量结合900把椅子的总销售金额为272000元，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)根据销售总价=销售单价×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．24.【答案】解：(1)设BC =x ，则AD =BD =x ， ∵DE =16， ∴BE =x −16，∵AE ⊥BD ，tan ∠ABE =3， ∴AE =3(x −16)=3x −48， 在Rt △ADE 中，由勾股定理得， x 2−(3x −48)2=162， 解得，x =20或16， ∴BC =20或16，(2)延长AE 与BC 交于点M ，过点O 作OG//AE ，分别交BC 、CF 于点G 、H ，连接EH ，BF ，并延长BF ，与AD 交于点N ，连接DF ，DG ．∵AE ⊥BD ， ∴OG ⊥BD ， ∵OB =OD ， ∴BG =DG ， ∵∠DBC =45°，∴∠BDG=45°，∴∠BGD=90°，∵OG//AM，OA=OC，∴OH=12AF=OE，HF=HC，∴∠OEH=∠OHE=45°=∠OBC，∴EH//BC，∴EF=MF，∵BE⊥MF，BF=BF，∴△BEM≌△BEF(SAS)，∴∠MBE=∠EBF=45°，BM=BF，∴∠DNB=∠NBG=90°，∴四边形BGDN是正方形，∴DG=DN=BN=BG，∴MG=FN，∵AM//OG，OA=OC，∴MG=CG，∴CG=FN，在△DNF和△DGC中，{DN=DG∠DNF=∠DGC=90°FN=CG，∴△DNF≌△DGC(SAS)，∴DF=DC，∠NDF=∠GDC，∴∠FDC=∠NDG=90°，∴CF=√2CD．【解析】(1)设BC=x，根据题意依次表示出AD、BE、AE，再由勾股定理列出x的方程便可求得x的值；(2)延长AE与BC交于点M，过点O作OG//AE，分别交BC、CF于点G、H，连接EH，BF，并延长BF，与AD交于点N，连接DF，DG，先证明四边形BGDN是正方形，再证明△DNF≌△DGC，得△CDF是等腰直角三角形便可．本题是平行四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，第(1)小题的关键是用勾股定理列方程；第(2)小题较难，关键是证明△CDE为等腰直角三角形，突破方法是正确作辅助线，构造全等三角形与正方形．25.【答案】解：(1)∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+ 4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1，c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1，∴a2+b2=c2，∵n为正整数，∴a、b、c是一组勾股数；(2)解：∵n=5∴a=12(m2−52)，b=5m，c=12(m2+25)，∵直角三角形的一边长为37，∴分三种情况讨论，①当a =37时，12(m 2−52)=37， 解得m =±3√11(不合题意，舍去) ②当y =37时，5m =37， 解得m =375(不合题意舍去)；③当z =37时，37=12(m 2+n 2)，解得m =±7，∵m >n >0，m 、n 是互质的奇数， ∴m =7，把m =7代入①②得，x =12，y =35．综上所述：当n =5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【解析】(1)分别计算出a 2+b 2=4n 4+8n 3+8n 2+4n +1，c 2=4n 4+8n 3+8n 2+4n +1，于是得到a 2+b 2=c 2，即可得到结论；(2)讨论：①当x =37时，利用12(m 2−52)=37计算出m ，然后分别计算出y 和z ；②当y =37时，利用5m =37，解得m =375，不合题意舍去；③当z =37时，利用37=12(m 2+n 2)求出m =±7，从而得到当n =5时，一边长为37的直角三角形另两边的长．此题主要考查了勾股定理与勾股数，关键是根据所给的数据证明a 2+b 2=c 2．26.【答案】解：(1)∵抛物线y =−√32x 2+2√3x −√3与y 轴交于点C ，∴C(0,−√3)， ∵y =−√32x 2+2√3x −√3=−√32(x −2)2+√3，∴顶点D(2,√3)，对称轴x =2，∴E(2,0)，设CE 解析式y =kx +b ， ∴{b =−√30=2k +b ， 解得：{k =√32b =−√3，∴直线CE 的解析式：y =√32x −√3；(2)∵直线CE 交抛物线于点F(异于点C)， ∴√32x −√3=−√32(x −2)2+√3，∴x 1=0，x 2=3， ∴F(3,√32)， 过P 作PH ⊥x 轴，交CE 于H ，如图1， 设P(a,−√32a 2+2√3a −√3) 则H(a,√32a −√3)， ∴PH =−√32a 2+2√3a −√3−(√32a −√3)，=−√32a 2+3√32，∵S △CFP =12PH ×3=−3√34a 2+9√34，∴当a =32时，S △CFP 面积最大， 如图2，作点M 关于对称轴的对称点，过F 点作，FG =1，即G(4,√32)，∵M 的横坐标为32，且M 与关于对称轴x =2对称，的横坐标为52，， ，且，是平行四边形， ，，根据两点之间线段最短可知：当O ，N ，，G 四点共线时，的值最短，即 FM +MN +ON 的值最小， ∴FM +MN +ON =OG =(√32)=√672； (3)如图3，设CD 解析式y =mx +n ，则{n =−√3√3=2m +n， 解得：{m =√3n =−√3，∴CD 解析式y =√3x −√3， ∴当y =0时，x =1.即G(1,0)， ∴DG =√1+3=2， ∵tan ∠DGI =√31=√3，∴∠DGI =60°， ∵DI ⊥DG ，∴∠GDI =90°，∠GID =30°，∴GI =2DG =4∴I(5,0)，∵将△GDI 沿射线GB 方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α(0<α<180°)，当旋转到一定度数时，点G′会与点I 重合，连接，，，是等边三角形， ，，如图4，当与I、K重合，△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形，∠LGK=∠GLK=30°，；如图5，L与重合，△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形，综上，GL的长为4√3或2√3+2．【解析】(1)根据抛物线解析式可得顶点D的坐标，C点坐标，E点解析式，可求CE解析式．(2)过P作PH⊥x轴，交CE于H，设P(a,−√3a2+2√3a−√3)，用a表示△PCF的面2积，根据二次函数性质可求a的值，从而可得M的横坐标，作M点关于对称轴对称点，)可得是平行四边形，则可得，作，FG=1，即G(4,√32，由两点之间线段最短可知，当O，N，，G四点共线时，的值最短，即FM+MN+ON的值最小，最小值为OG．(3)如图3，易得CD解析式：y=√3x−√3，则G(1,0)，计算DG和GI的长，则I(5,0)，将△GDI沿射线GB方向平移至△G′D′I′处，将△G′D′I′绕点D′逆时针旋转α(0<α< 180°)，当旋转到一定度数时，点G′会与点I重合，连接，是等边三角形，得，如图4，当与L重合，可得△LGK是等边三角形，当△GKL为以∠LGK为底角的等腰三角形时，存在两种情况，画图可得结论．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、轴对称图形的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义，将FM+MN+ON转化为OG的长是解答问题(2)的关键，根据题意画出图形是解答问题(3)的关键．。
2020重庆中考复习数学第12题二次函数专题训练二含答案
2020年重庆中考复习二次函数专题训练二1．（2020•南岸区校级模拟）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y 轴的一个交点坐标为（0，3），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②4a+c＞0；③方程ax2+bx+c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；④方程ax2+bx+c＝0有一个实根大于2；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是正确的；由对称轴为x ＝﹣＝1得2a+b＝0，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以a+2a+c＜0，即3a+c ＜0，又a＜0，4a+c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2+bx+c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且﹣1＜x1＜0，由对称轴x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有4个，故选：A．2．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P （﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c ＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，当x ＝时，y＜0，即a +b+c＜0，即a+2b+4c＜0，∴5a+4c＜0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）图象的一部分，它与x轴的一个交点A在点（2，0）和点（3，0）之间，图象的对称轴是x＝1，对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x ＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正确；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当x＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．4．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（3，0），且对称轴为直线x＝1．下列说法，其中正确的是（）①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④b﹣c ＞2a A．①②B．①③④C．②④ D．①②④解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），其对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0）和（﹣1，0），且b＝﹣2a，由图象知：a＜0，c＞0，b＞0，b2﹣4ac＞0，∴abc＜0故结论①②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，故结论③错误；∵a﹣b+c＝0，a＜0，∴2a﹣b+c＜0，∴b﹣c＞2a，故结论④正确；故结论正确的有①②④，故选：D．5．（2019秋•涪陵区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（）①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；⑤c+8a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，∴a＜0，c＞0，﹣＝1，即2a+b＝0，b＞0，∴abc＜0，故①②正确；∵抛物线的图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴另一个交点坐标是（3，0），即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误；∵2a+b＝0，即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0，∵a＜0，∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确；即正确的有3个，故选：C．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），其中0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a﹣2b+c＜﹣1；④a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1）；⑤a ＞；其中，正确的结论有（）A．5 B．4 C．3 D．2解：①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c＜0，故abc＜0，故错误；②对称轴为直线x＝﹣1，0＜x1＜1，则﹣3＜x2＜﹣2，正确；③对称轴为直线x＝﹣1，则b＝2a，4a﹣2b+c＝c＜﹣1，故正确；④x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，为最小值，故a﹣b+c＜am2+bm+c，故错误；⑤x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＞0，即3a＞﹣c，而c＜﹣1，故a ＞，正确；故选：C．7．（2019•重庆模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y 轴交于点C，则下列四个结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③﹣1＜x＜3时，y＜0；④4a+c＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，则ac＜0，即①正确，该二次函数的对称轴为：x ＝﹣＝1，整理得：2a+b＝0，即②正确，∵抛物线对称轴为x＝1，点B的坐标为：（﹣1，0），则点A的坐标为：（3，0），由图象可知：当1＜x＜3时，y＞0，即③错误，由图象可知，当x＝﹣1时，函数值为0，把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵a＜0，∴4a+c＜0 即④正确，正确结论的序号是①②④，故选：A．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列四个结论：①如果点（﹣，y1）和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②b2﹣4ac＞0；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④＝﹣3；其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∴y＝ax2+bx+c＝a（x2﹣2x﹣3），由图象可知，a ＜0；①将点（﹣，y1）和（2，y2）分别代入抛物线解析式可得y1＝﹣a，y2＝﹣3a，∴y1＜y2；②由图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0；③由图象可知，当x＝1时，函数有最大值1，∴对任意m，则有m（am+b）＜a+b；②＝＝﹣3；∴①②③④正确，故选：A．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m ＝0没有实数根，下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③m＞﹣2；④二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0），最小值为﹣2，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0正确，符合题意；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故原选项错误，不符合题意；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝m没有交点，故m ＜﹣2，原选项错误，不符合题意；④从图象看二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣2，故符合题意；故选：B．10．（2019秋•曾都区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（1，﹣4a），∴x ＝，且﹣4a＝a+b+c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵抛物线开口向上，则a＞0），于是①的结论正确；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，于是②错误；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝﹣1交点的坐标（x1，﹣1）和（x2，﹣1），∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0时，x＝﹣1或3，即抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）＝0与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正确．故选：B．11．（2020•下陆区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，图象过（1，0）点，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数是（）①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣2.5，y1），（﹣0.5，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①由图象开口向上，则a＞0，故b＞0，∵c＜0，∴abc＜0，故①错误．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．③∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③正确．④∵点（﹣0.5，y2）在抛物线上，对称轴为x＝﹣1，∴（﹣1.5，y2）也在抛物线上，∵﹣1.5＞﹣2.5，且（﹣1.5，y2），（﹣2.5，y1）都在对称轴的左侧，∴y1＞y2，故④正确．⑤∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴﹣＝﹣1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∴5a﹣2b+c＝5a﹣4a﹣3a＝﹣2a＜0，∴⑤正确．故正确的判断是②③④⑤共4个．故选：C．12．（2020•成华区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0）其部分图象如图所示，下列结论其中结论正确的是（）①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④抛物线线的顶点坐标为（2，b）⑤当x＜2时，y随x增大而增大A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，∴﹣＝2，c＝0，∴b＝﹣4a，c＝0，∴4a+b＝0，结论②正确；③∵当x＝﹣1时，y值为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝4a+2b+c＝（4a+b+c）+b＝b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C．13．（2020•枣阳市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤解：由图象可知，a＜0，c＝1，对称轴x ＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，①∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故正确；②∵当x＝﹣1时，y＞1，∴a﹣b+c＞1，故正确；③abc＝2a2＞0，故正确；④由图可知当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，故正确；⑤c﹣a＝1﹣a＞1，故正确；∴①②③④⑤正确，故选：D．14．（2020•凉山州一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示、则下列结论：①abc＞0；②a﹣5b+9c＞0；③3a+c＜0，正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．②③解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，由图象可知：c＞0，∴abc＞0，故①正确；③∵x ＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴a﹣5b+9c＝9c﹣9a＝9（c﹣a）＞0，故②正确，③∵x ＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，由图象可知：9a﹣3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；故选：C．15．（2020•龙岗区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点（﹣1，2），下列结论中正确的有（）①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac，A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即y＝4a﹣2b+c＜0，故①正确；②由函数的图象可知：抛物线开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴大于﹣1，即x ＝﹣＞﹣1，得出2a﹣b＜0，故②正确；③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2（1），由图象知：当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），联立（1）（2），得：a+c＜1，故③正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确，故选：D．16．（2019秋•铁锋区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大：④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2：⑤＜0，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b由图象知：a＜0，c＞0，b＜0，∴abc＞0，故结论①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0∵a＝b，∴c＝﹣6a，∴3a+c＝﹣3a＞0，故结论②正确；∵当x ＜﹣时，y随x 的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x的增大而减小，故结论③错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m＜﹣3且n＞2，故结论④成立；∵当x ＝﹣时，y ＝＞0，∴＜0，故结论⑤正确；故选：C．。
2020年中考复习实数中无理数的估值专题训练试题(二)(解析版)
2020中考复习实数中无理数的估值专题训练试题（二）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.下列整数中，与最接近的整数是A. 2B. 3C. 4D. 52.估计的值．A. 在1和2之间B. 在2和3之间C. 在3和4之间D. 在4和5之间3.整数n满足，则n的值为A. 4B. 5C. 6D. 74.如图，数轴上点P表示的数可能是A. B. C. D.5.若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是A. B. C. 4 D.6.如图，已知数轴上的点A、B、C、D分别表示数、、1、2，则表示的点P应落在线段A. AB上B. OB上C. OC上D. CD上7.若，则的值约为A. B. C. D.8.定义：对任意实数，表示不超过的最大整数，如，，对数字进行如下运算：；；，这样对数字运算次后的值就为，像这样对一个正整数总可以经过若干次运算后值为，则数字经过次运算后的结果为．A. B. C. D.二、填空题9.满足的整数x的值是_________．10.大于，小于的整数有__________个11.把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹如图所示覆盖住的无理数是______．12.规定：表示不超过x的最大整数，例如：计算：______ ．13.已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．则的值为_____14.若方程的正实数根为，设，其中m、n是两个连续的整数，则_________．三、解答题15.已知，平方根是，c是的整数部分，求的平方根．16.已知实数的整数部分为m，小数部分为n．求m，n的值；在平面直角坐标系中，试判断点位于第几象限；若m，为一个直角三角形的斜边与一条直角边的长，求这个直角三角形的面积．17.在学习实数内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出。
利用“逐步逼近”法，请回答下列问题：介于连续的两个整数a和b之间，且，那么，；若x是的小数部分，y是的整数部分，求的平方根。
重庆市重庆市渝中区2020年数学中考二模试卷及参考答案
三、计算题。 19. 计算： （1） 解方程： ； （2） 化简：
四、解答题。 20. 如图，已知 是⊙O的直径，弦 于点 ， ，
（1） 求 的度数 （2） 求弦CD的长 21. 为宣传防护知识，增强免疫能力，某校开展了“防疫知识测试”活动，并随机抽取了 ：分)： ， ，整理上边的数据得到如下频数分布直方表和频数分布直方图：
A . 点A B . 点B C . 点C D . 点D 5. 一次函数y=﹣x+2的图象不经过的象限是（ ）
A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 6. 一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（ ）
A . 三棱锥 B . 三棱柱 C . 四棱锥 D . 四棱柱 7. 已知某用电器的输出功率为P、电阻为R，通过的电流为I，当P为定值时，下面说法正确的是（ ） A . 是 的正比例函数 B . 是 的正比例函数 C . 是 的反比例函数 D . 是 的反比例函数 8. 下列命题中，假命题是（ ） A . 如果直角三角形中有一个角为 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B . 如果三角形中有两个角的和等于第三个角，那 么这个三角形是直角三角形 C . 如果三角形中有两条边的和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 D . 如果三角形中
（1） 判断：集合 自闭集合；（选填“是”或“不是”） （2） 若集合 和集合 都是自闭集合，求 的值 25. 如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，过点 作 ∥x轴交抛物线于点D，连接BC
（1） 求这个抛物线的解析式 （2） 设 为抛物线上的一点，且在直线 的下方，连接 ，当 的面积最大时，线段 在 轴上左右移动得到
2020年重庆中考复习数学课件 “线段最值问题”漫谈(56张PPT)
MN，NA．则四边形ABMN周长的最小值为.河边Fra bibliotekB1M1
河边
N1
A1
将军饮马类
【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB
内的定点且OP＝ 2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点
O的动点，则△PMN周长的最小值是
．
P1
河边
N1
M1
P2
河边
将军饮马类
【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，点B是⊙O1
PA最长 PB最短
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
【例3】如图,直角 ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,
在BD上方作等腰直角 BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，
AC=5，则AE的最小值是
.
E A
E1
5
D
法二： 构造法 定轨迹
解题顺口溜 “两动两定取新点” “相同操作连新从” “手拉手型得相似”
B
4
C
“相似定值得轨迹”
深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们 把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的 针对性、有效性。
备战2020中考重庆市中考第二次模拟考试数学试题含答案【含多套模拟】
中学数学二模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（）元．A．9×1011B．9×104C．9×1012D．9×10103．（3分）下列说法正确的是（）A．2的相反数是2B．2的绝对值是2C．2的倒数是2D．2的平方根是24．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（）A．75°B．85°C．60°D．65°7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（）A．﹣B．﹣2C．2D．310．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2＝x的解是．12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝．13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD ＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是．15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）证明：△ABC∽△BDC．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为，m的值为；（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图②，△P A1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM ＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．故选：C．【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（）元．A．9×1011B．9×104C．9×1012D．9×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：90000亿＝9×1012，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列说法正确的是（）A．2的相反数是2B．2的绝对值是2C．2的倒数是2D．2的平方根是2【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；B、2的绝对值是2，正确；C、2的倒数是，错误；D、2的平方根是±，错误；故选：B．【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5C．a3÷a2＝a D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a6，不符合题意；C、原式＝a，符合题意；D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（）A．B．C．D．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，故选：D．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（）A．75°B．85°C．60°D．65°【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3＝115°，又∵∠3是△ABC的外角，∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．【解答】解：∵OC∥AB，∴∠C＝∠A＝20°，又∵∠O＝2∠A＝40°，∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键．8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，所以点（a，b）在第二象限的概率为＝，故选：B．【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（）A．﹣B．﹣2C．2D．3【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan∠AOE＝＝，构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．由题意：tan∠AOE＝＝，∵A（t，2），∴AE＝2，OE＝﹣t，∴＝，∴t＝﹣，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知QE＝QP，从而可表示出QF、EF、EQ的长度，然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式．【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知：EQ＝QP＝y．∵∠EAP＝∠APF＝∠PFE＝90°，∴四边形EAPF是矩形．∴EF＝AP＝x，PF＝EA＝1．∴QF＝QP﹣PF＝y﹣1．在Rt△EFQ中，由勾股定理可知：EQ2＝QF2+EF2，即y2＝（y﹣1）2+x2．整理得：y＝．故选：D．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ的长度，在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．12．（4分）因式分解：3x2+6x+3＝3（x+1）2．【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2，故答案为：3（x+1）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（4分）把抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为y＝2x2．【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式y＝2x2．【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣1向上平移一个单位长度，∴新抛物线为y＝2x2．故答案为y＝2x2．【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD ＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是17cm．【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，∴CO＝AC＝7cm，BO＝BD＝4cm，BC＝AD＝6cm，∴△OBC的周长＝BC+BO+CO＝6+7+4＝17（cm）．故答案为：17cm．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练根据平行四边形的性质得出BO，BC，CO的长是解题关键．15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为2．【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，∴△＝16﹣4b＝0，∴AC＝b＝4，∵BC＝2，AB＝2，∴BC2+AB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长＝AC＝2；故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为．【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2＝＝＝＝3×；OA3＝＝＝3×（）2；OA4＝＝＝3×（）3，…，于是可得到OA2016＝3×（）2015，OA2018＝3×（）2017，代入，化简即可．【解答】解：∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3，∴OA2＝＝＝＝3×；OA3＝＝＝3×（）2；OA4＝＝＝3×（）3，…，∴OA2016＝3×（）2015，OA2018＝3×（）2017，∴＝＝（）2＝．故答案为．【点评】本题考查了规律型，点的坐标，坐标与图形性质，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系及三角函数．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3+2018﹣4×＝4﹣3+2018﹣2＝2015+2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可化简，最后代入求值即可．【解答】解：原式＝×＝×＝，当x＝2+时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键．19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）证明：△ABC∽△BDC．【分析】（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可；（2）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝72°，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，故可得出∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，据此可得出结论．【解答】解：（1）如图，线段BD为所求出；（2）∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝72°÷2＝36°．∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△ABD∽△BDC．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）本次接受问卷调查的学生总人数是120人；（2）补全折线统计图．（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为30°，m的值为25；（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．【分析】（1）根据了解很少的人数以及百分比，求出总人数即可．（2）求出不了解的人数，画出折线图即可．（3）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）总人数＝60÷50%＝120（人）．（2）不了解的人数＝120﹣60﹣30﹣10＝20（人），折线图如图所示：（3）了解的圆心角＝×360°＝30°，基本了解的百分比＝＝25%，∴m＝25．故答案为：30，25．（4）3000×＝500（人），答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人．【点评】本题考查折线统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【分析】（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，由题意得，x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），解得x1＝15，x2＝2（不合题意，舍去），则x﹣5＝10．答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，由题意得，100y+（100+50）≤1500，解不等式得y≤8.57，∵施工时间按月取整数，∴y≤8，答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．【分析】（1）过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB＝EG，BE＝FG，由此可得到∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF 的长．【解答】（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．∵∠AEF＝∠B＝∠90°，∴∠1＝∠2．在△ABE和△EGF中，∴△ABE≌△EGF（AAS）．∴AB＝EG，BE＝FG．又∵AB＝BC，∴BE＝CG，∴FG＝CG，∴∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，∴CF是正方形ABCD外角的平分线．（2）∵AB＝3，∠BAE＝30°，tan30°＝，BE＝AB•tan30°＝3×，即CG＝．在Rt△CFG中，cos45°＝，∴CF＝．【点评】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；（3）在（2）的条件下中，如图②，△P A1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．【分析】（1）如图①，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：OC＝AC＝OA，所以OC＝AC＝3，根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，代入解析式可得B的坐标，再利用待定系数法可得直线AB的解析式；（2）如图①，根据△AOB是等腰直角三角形，得BC＝OC＝OA，设点B（a，a）（a ＞0），列方程可得a的值，从而得A的坐标；（3）如图②，作辅助线，根据△P A1A是等腰直角三角形，得PD＝AD，设AD＝m（m ＞0），则点P的坐标为（4+m，m），列方程可得结论．【解答】解：（1）如图①，过B作BC⊥x轴于C，∵OB＝AB，BC⊥x轴，∴OC＝AC＝OA，∵点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，∴OC＝AC＝3，∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴y＝＝4，∴B（3，4），∵点A（6，0），点B（3，4）在y＝kx+b的图象上，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；（2）如图①，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴BC＝OC＝OA，设点B（a，a）（a＞0），∵顶点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a＝，解得：a＝（负值舍），∴OC＝2，∴OA＝2OC＝4，∴A（4，0）；（3）如图②，过P作PD⊥x轴于点D，∵△P A1A是等腰直角三角形，∴PD＝AD，设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为（4+m，m），∴m（4+m）＝12，解得：x1＝2﹣2，m2＝﹣2﹣2（负值舍去），∴A1A＝2m＝4﹣4，∴OA1＝OA+AA1＝4，∴点A1的坐标是（4，0）．【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题，难度适中，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）根据点B在反比例函数图象上列方程；（3）设AD＝m，表示P的坐标并列方程．解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数解析式列方程是关键．24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2，求图中阴影部分的面积；（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM ＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．【分析】（1）过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．证明DE＝DQ，即BC是⊙D的切线；（2）过F作FN⊥DH于N．先证明△ABD为等边三角形，所以∠DAB＝60°，AD＝BD ＝AB，再证明△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，sin∠BDC＝sin60°＝，FN＝，S阴影＝S扇形FDH﹣S△FDH；（3）假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，证明∠MDC＝60°，此时，动点M 经过的弧长为πr．【解答】解：（1）证明：过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．∵⊙D且AB于E，∴DE⊥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，∴DE＝DQ，∴BC是⊙D的切线；（2）过F作FN⊥DH于N．∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝2，DC∥AB，∵在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠A＝60°，∴sin A＝sin60°＝，∴DE＝3，DH＝DF＝DE＝3∵AD＝AB＝2，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝60°，AD＝BD＝AB，∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠DBA＝60°，∵DH＝DF＝3，∴△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，∴sin∠BDC＝sin60°＝，∴FN＝，∴S阴影＝S扇形FDH﹣S△FDH＝＝；（3）假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，由（2）在Rt△DFN中，sin∠BDC＝sin60°＝，∴FN＝，S△HDF＝＝，在Rt△ADE中，sin A＝sin60°＝，∴AD＝r，AB＝AD＝r，∴S菱形ABCD＝AB•DE＝＝，∵当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4，∴S四边形DFHM＝，∴S△DFM＝S四边形DFHM﹣S△HDF＝＝DF•MZ＝rMZ，∴MZ＝，在Rt△DMF中，MF⊥CD，sin∠MDC＝＝，∴∠MDC＝60°，此时，动点M经过的弧长为πr．【点评】本题考查了圆综合知识，熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键．25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．（1）求a，c的值；（2）求线段DE的长度；（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），求出a、c的值；（2）由（1）得抛物线解析式：y＝，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），所以D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，于是＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝，m＝时，△MPF面积有最大值．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），，∴a＝﹣，c＝（2）由（1）得抛物线解析式：y＝∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，）∴D（2，），∴DH＝，令y＝0，即﹣x2+x+＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，∴＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，∴直线GN的解析式：y＝x﹣，由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，联立解得∴F（0，﹣），∵DH⊥x轴，∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，∴P（2，）∴F（0，﹣）与P（2，）的水平距离为2过点M作y轴的平行线交FH于点Q，设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），S△MFP＝＝∵对称轴为：直线m＝，∵开口向下，＜m，∴m＝时，△MPF面积有最大值为..【点评】本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．中学数学二模模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.给出四个实数，2，0，-1，其中无理数是（）A. B. 2 C. 0 D.2.我国某国产手机使用了新一代移动SOC处理器麒麟980，麒麟980实现了基于Cortex-A76的开发商用，相较上一代处理器在表现上提升75%，在能效上提升58%，采用7nm制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进69亿个晶体管数据“69亿”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.如图是正方体的表面展开图，则与“2019”字相对的字是（）A. 考B. 必C. 胜D.4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.5.九年级（15）班小姜同学所在小组的7名成员的中招体育成绩（单位：分）依次为70，65，63，68，64，68，69，则这组数据的众数与中位数分别是（）A. 68分，68分B. 68分，65分C. 67分分D. 70分，65分6.某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？我们设乙图书每本价格为x元，则可得方程（）A. B.C. D.7.已知不等式≤＜，其解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.8.一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（）A. B. C. D.9.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（）A. B. C. D.10.如图①，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动．设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（）A. B. C. 5 D. 4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.如果分式有意义，那么实数x的取值范围是______．12.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+b上，且直线经过第一、二、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为______．13.关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．14.如图，四边形ABCD为矩形，以A为圆心，AD为半径的弧交AB的延长线于点E，连接BD，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为______．15.如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=，点M′与点M关于射线OP对称，且直线MM′与射线OA交于点N．当△ONM'为等腰三角形时，ON的长为______．。
2020年重庆中考复习数学函数图象专题训练二(含答案)
2020年重庆中考复习数学函数图象专题训练二（含答案）类型一：函数图象与直线y＝k有几个交点的问题1、（2019•南岸区模拟）某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程（1）列表：X…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…m0﹣3﹣4﹣30﹣3﹣4n0…直接写出m＝，n＝；（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质：性质1：性质2：（3）若方程x2﹣4|x|＝k有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．2、（2019•九龙坡区校级模拟）某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…﹣2m20n2…请直接写出m，n的值；（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；（3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为（用“＜”连接）；（4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根．请根据函数图象，直接写出k的取值范围．类型二：函数12y y 求x 的范围问题1、（2019春•沙坪坝区校级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a |＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y ＝|kx ﹣1|+b 中，当x ＝1时，y ＝3，当x ＝0时，y ＝4．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象；（3）已知函数y ＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx ﹣1|+b ≥的解集．2、（2019•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x ＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．4、（2019秋•万州区校级月考）已知函数y＝+b（a、b为常数且a≠0）中，当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围；（2）请在下列直角坐标系中画出该函数的图象；列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣10123456……y………描点连线：（3）请结合所画函数图象，写出函数图象的两条性质；（4）请你在上方直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，结合上述函数的图象，写出不等式+b≥2x 的解集．类型三：函数图象与直线y＝kx+b有几个根的问题3、（2019春•北碚区校级月考）某班“数学兴趣小组”对函数y＝，的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完成：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．请直接写出m，n的值：m＝；n＝．x…﹣2﹣10n234…y…m0﹣1﹣3532…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象形状相同，是中心对称图形，且点（﹣1，m）和（3，）是一组对称点，则其对称中心的坐标为．（5）当2≤x≤4时，关于x的方程kx+＝有实数解，求k的取值范围．2020年重庆中考复习数学函数图象专题训练二（含答案）类型一：函数图象与直线y＝k有几个交点的问题1、（2019•南岸区模拟）某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x2﹣4|x|的图象与性质进行了探究请补充完整以下探索过程（1）列表：X…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…m0﹣3﹣4﹣30﹣3﹣4n0…直接写出m＝5，n＝﹣3；（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象，并结合图象写出该函数的两条性质：性质1：函数图象关于y轴对称性质2：函数有最小值（3）若方程x2﹣4|x|＝k有四个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．解：（1）当x＝﹣5时，y＝x2﹣4|x|＝5；当x＝3时，y＝x2﹣4|x|＝﹣3．（3）观察函数图象，可知：性质1：函数图象关于y轴对称；性质2：函数有最小值﹣4．故答案为：函数图象关于y轴对称；函数有最小值．③∵方程x2﹣4|x|＝k有四个不同的实数根，∴﹣4＜k＜0．2、（2019•九龙坡区校级模拟）某课外学习小组根据学习函数的经验，对函数y＝x3﹣3x的图象与性质进行了探究．请补充完整以下探索过程：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…﹣2m20n2…请直接写出m，n的值；（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系内补全该函数的图象；（3）若函数y＝x3﹣3x的图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为y1＜y2＜y3（用“＜”连接）；（4）若方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根．请根据函数图象，直接写出k的取值范围．解：（1）从函数的对称性可得：m＝，n＝﹣2；（2）描点如下函数图象（3）从图象看，x1＜﹣2＜x2＜2＜x3，则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3，（4）从图象看，方程x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，在x轴下方的临界点是y＝﹣2，同理x轴上方的临界点是y＝2，故：﹣2＜k＜2．解：（1）直接写出a＝ 1 ，m＝ 1 ，n＝0 ；（2）如图，请再描出剩下的点，并画出该函数的图象；x<<时，y随x的增大而减小；（写一条即可）（4）01t<<类型二：函数12y y 求x 的范围问题1、（2019春•沙坪坝区校级期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a |＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y ＝|kx ﹣1|+b 中，当x ＝1时，y ＝3，当x ＝0时，y ＝4．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象；（3）已知函数y ＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx ﹣1|+b ≥的解集．解：（1）∵在函数y ＝|kx ﹣1|+b 中，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝0时，y ＝4， ∴，得，∴这个函数的表达式是y ＝|x ﹣1|+3；（2）∵y ＝|x ﹣1|+3，∴y ＝，∴函数y ＝x +2过点（1，3）和点（4，6）；函数y ＝﹣x +4过点（0，4）和点（﹣2，6）； 该函数的图象如图所示：（3）由函数图象可得，不等式|kx﹣1|+b≥的解集是x≥2或x＜0．2、（2019•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x ＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，∴，得，∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4；（2）∵y＝|x﹣3|﹣4，∴y＝，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）；该函数的图象如右图所示，性质是当x＞2时，y随x的增大而增大；（3）由函数图象可得，不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集是1≤x≤4．4、（2019秋•万州区校级月考）已知函数y＝+b（a、b为常数且a≠0）中，当x＝2时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量x的取值范围；（2）请在下列直角坐标系中画出该函数的图象；列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣10123456……y………描点连线：（3）请结合所画函数图象，写出函数图象的两条性质；（4）请你在上方直角坐标系中画出函数y＝2x的图象，结合上述函数的图象，写出不等式+b≥2x 的解集．解：（1）把x＝2时，y＝4；x＝﹣1时，y＝1代入y＝+b得，解得，∴该函数的解析式为y＝+2（x≠1）；（2）如图：x…﹣4﹣3﹣2﹣10123456……y…10﹣2643……描点连线：（3）观察图象可知：①当x＜0时，y随x的增大而减小．②当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）如图：y＝+2与y＝2x的交点为（0，0），（2，4），结合函数图象+2≥2x的解集为x≤0或1＜x≤2．类型三：函数图象与直线y＝kx+b有几个交点的问题3、（2019春•北碚区校级月考）某班“数学兴趣小组”对函数y＝，的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完成：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表是y与x的几组对应值．请直接写出m，n的值：m＝；n＝．x…﹣2﹣10n234…y…m0﹣1﹣3532…（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）通过观察函数的图象，小明发现该函数图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象形状相同，是中心对称图形，且点（﹣1，m）和（3，）是一组对称点，则其对称中心的坐标为（1，1）．（5）当2≤x≤4时，关于x的方程kx+＝有实数解，求k的取值范围．解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≠1．（2）当x＝﹣1时，y＝，∴m＝．当y＝3时，则3＝，解得x＝，∴n＝，（3）函数图象如图所示：（4）该函数的图象关于点（1，1）成中心对称，（5）当2≤x≤4时，函数y＝中，≤y≤2，把x＝4，y＝代入函数y＝kx+得，＝4k+，解得k＝，把x＝2，y＝2代入函数y＝kx+得2＝2k+，解得k＝，∴关于x的方程kx+＝有实数解，k的取值范围是≤k≤．4、（2019秋•确山县期中）小华是数学兴趣小组的一名成员，他在学过二次函数的图象与性质之后，对y＝﹣x2+3|x|+4的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请你补充完整．（1）小刚通过计算得到几组对应的数值如下．x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣﹣1012345…y…﹣6046646640a…填空：自变量的取值范围是全体实数，a＝﹣6．（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中各组对应数值的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．（3）请你根据画出的图象，写出此函数的两条性质．①函数图象关于y轴对称；②当x＞时，y随x的增大而减小．（4）直线y＝k+b经过（），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b 的取值范围为4＜a＜．解：（1）函数y＝﹣x2+3|x|+4的自变量x的取值范围是全体实数；当x＝5时，y＝﹣（5）2+3×|5|+4＝﹣6，∴a＝﹣6，（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞时，y随x的增大而减小．（4）观察图象可知：关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根时，b的取值范围是4＜a＜．。
2020重庆中考复习数学最值专题训练二(含答案解析)
2020年重庆中考数学最值专题训练二（含答案）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A．B．1 C．D．2、如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE．连接A1B，当点E在边AB上移动时，A1B的最小值为．3、如图所示，在菱形ABCD中，BC＝2，∠B＝60°，E为BC的中点，点F在AB边上，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值是（）A．2﹣B．+1C．2+D．﹣14、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（）A．﹣1B．C．D．2﹣15、如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为．6、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．E是BC边上一动点，F是CD边的中点．将△ABE沿AE折叠到△AB'E，则B'F的最小值为（）A．1B．1.5C．2D．2.55、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．8、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF的长为（）A．B．2C．2D．9、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，BE的长为．10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．在点E的运动过程中，则△AC′D′面积的最小值为．11、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．如图，设点P 为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积的最大值为 .12、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．13、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形A1B1CD1，点E是A1B1的中点，过B作BF⊥B1C于点F，连接DE，DF，则线段DE长度的最大值是，线段DF长度的最小值是．14、在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为．15、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+216、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．17、如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．19、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为2020年重庆中考数学最值专题训练二参考答案1、（2019•覃塘区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A．B．1 C．D．解：如图，延长FP交AB于D，当FP⊥AB时，由垂线段最短可知此时点P到AB的距离FD有最小值．由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即＝，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：D．2、（2016•路北区二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE．连接A1B，当点E在边AB上移动时，A1B的最小值为．解：连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝，由折叠知△A1DE≌△ADE，∴A1D＝AD＝1，由A1B+A1D≥BD，得：A1B≥BD﹣A1D＝﹣1，∴A1B的最小值是﹣1．3、如图所示，在菱形ABCD中，BC＝2，∠B＝60°，E为BC的中点，点F在AB边上，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值是（D）A．2﹣B．+1C．2+D．﹣1解：如图所示，连接AC，AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BE＝EC，∴AE⊥BC，∵BC＝2，∠BAE＝30°，∴AE＝，BE＝1，∵当A、B′、E共线时，AB′最小（垂线段最短），∴AB′最小值＝AE﹣BE′＝AE﹣BE＝﹣1．4、（2018秋•邗江区校级月考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（）A．﹣1B．C．D．2﹣1解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝＝，∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．故选：A．5、（2019秋•江宁区期中）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为．解：如图，连接DE，∵DB′≥DE﹣EB′，DE＝＝＝，EB′＝1，∴DB′≥﹣1，∴当D，B′，E共线时，DB′的值最小，不妨设此时点B′落在DE上的点B″处，设BF′＝F′B″＝x，∵F′D2＝CD2+F′C2＝B″D2+B″F′2，∴22+（4﹣x）2＝（﹣1）2+x2，解得x＝，故答案为6、（2019•南充模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．E是BC边上一动点，F是CD边的中点．将△ABE沿AE折叠到△AB'E，则B'F的最小值为（）A．1B．1.5C．2D．2.5解：如图，连接AF，当A，B′F三点共线时，B'F的值最小，∵在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，F是CD边的中点，∴DF＝AB＝，∵将△ABE沿AE折叠到△AB'E，∴AB′＝AB＝AD＝5，∴AF＝＝6.5，∴B'F的最小值＝AF﹣AB′＝1.5，故选：B．7、（2019•济南模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是2﹣2．解：如图所示：∵在N的运动过程中A′在以M为圆心，MA的长为半径的圆上，∴MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴MD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝MD＝1，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝2，∴A′C＝MC﹣MA′＝2﹣2．故答案为：2﹣2．8、（2018•新华区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF的长为（）A．B．2C．2D．解：当△A′BC面积最小时，A′到BC的距离最小，即A′到AD的距离最大，∴当A′到AD的距离＝EA′时，此时A′到AD的距离最大，即EA′⊥AD，∵将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，∴AE＝A′E，∠A＝∠EA′F＝∠A′EA＝90°，∴四边形EAF A′是正方形，∴EF＝AE，∵点E为AD的中点，∴AE＝1.5，∴EF＝，∴当△A′BC面积最小时折痕EF的长为，故选：D．9、（2016春•汉阳区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，BE的长为．解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，而当CF⊥EF时，CF最小，即：∠CFE＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF＝AB＝3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4，∴AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝2，在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2，∴BE2+22＝（4﹣BE）2，∴BE＝．10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．在点E的运动过程中，则△AC′D′面积的最小值为．解：如图1，S△C'D'A＝AH•C'D'＝＝2C'D'，当C'D'最小时，△AC′D′面积最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，∵AB＝4，∴AC'＝6﹣4＝2，△AC′D′面积的最小值＝＝＝4．11、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．如图，设点P 为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积的最大值为.解：如图③中，连接P A，作AM⊥PE于M．当AM与AB共线时，△BPE面积最大，由题意：PF＝PG＝，∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，∴P A＝PE＝，∵S△APE＝S矩形AGFE＝PE•AM，∴AM＝＝＝，则S△BPE＝PE•BM＝××（3+）＝，∴△PBE的面积的最大值为．12、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝+6＝．13、（2019•武侯区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形A1B1CD1，点E是A1B1的中点，过B作BF⊥B1C于点F，连接DE，DF，则线段DE长度的最大值是2+，线段DF长度的最小值是﹣．解：如图，取BC的中点O，连接OF，OD，EC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB＝CD＝2，∵OB＝OC＝，∴OD＝＝，∵BF⊥CF，∴∠BFC＝90°，∴OF＝BC＝，∴DF≥OD﹣OF＝﹣，∴DF的最小值为﹣．同法EC＝＝，DE≤CD+CE＝2+，∴DE的最大值为2+，14、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为．解法一：当B在原点时，OA＝2，BC＝10，点M2（5，0）；当C在原点时，B（0，5），M1（0，），∵当PM⊥M1M2时，PM最小，如图∴△PMM2∽△M1OM2，∴＝，∵M1M2＝，∴PM＝；故答案为；解法二：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴x＝时，PM有最小值，最小值为．故答案为．15、（2019春•新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．16、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．17、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝＝故答案为：．19、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为解：如图，连接，AC，EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠P AE＝45°，∴∠DAP＝∠CAE，∵＝＝，∴△ADP∽△ACE，∴∠ADP＝∠ACE＝90°，∴∠BAE＝∠BCA＝45°，∴当BE⊥EC时，BE的值最小，最小值为4．。
2020重庆中考数学复习一次函数专题训练二(含答案解析)
2020重庆中考复习数学一次函数专题训练二1．某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（）A．汽车在途中加油用了10分钟，B．若OA∥BC，则加满油以后的速度为80千米/小时C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a＝25，D．该同学8：55到达宁波大学2．如图所示的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、（2019•常州模拟）我市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4小时B．4.3小时C．4.4小时D．5小时4、在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙的速度是60千米/小时B．甲车整个过程用时为1.25小时C．甲出发1小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地晚小时5、（2019秋•庐阳区校级月考）甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发先到达，甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．甲车的速度是80km/h B．乙车的速度是60km/hC．甲车出发1h与乙车相遇D．乙车到达目的地时甲车离B地10km6、如图所示，在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲乙同时出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间（h）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．出发2h后，两车相遇B．乙的速度是48km/hC．出发3h后，甲车距离B地96km D．甲车到B地比乙车到A地早h7、甲骑摩托车从A地去B地．乙开汽车从B地去A地．同时出发，匀速行驶．各自到达终点后停止．设甲、乙两人间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，下列结论中，错误的是（）A．出发1小时时，甲、乙在途中相遇B．出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米C．出发3小时时，甲、乙同时到达终点D．甲的速度是乙速度的一半8、甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶．已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需（）分钟到达终点B．A．78B．76C．16D．129．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示，则下列说法个①比赛全程1500米②2分时甲、乙相距300米③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点④3分35秒时乙追上甲．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．410、在A、B两地之间有汽车站C（C在直线AB上），甲车由A地驶往C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论中：①A、B两地相距440千米；②甲车的平均速度是60千米/小时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11、甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y （km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m ＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.5．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个12、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到B地，停车1小时按原速度匀速返回，直到两车相遇．乙车速度是60千米/时，如图是两车之间的距离y（干米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象，则下列说法正确的是（）A．A、B两地相距150千米B．甲车速度是100千米/时C．乙车从出发到与甲车相遇共用小时D．点M的纵坐标为9013、甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，则下列说法中正确的个数为（）①乙车的速度是60千米/时；②t的值为3③当乙车出发160分钟时，两车第一次相距120千米；④当乙车出发360分钟时，两车相距120千米．A．1个B．2个C．3个D．4个14、甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车匀速驶向B地，甲车出发30分钟后，乙车才出发，乙先匀速行驶一段时间后，到达货站装货后继续行驶，速度减少了56千米/时，结果与甲车同时到达B 地，甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，下列说法中正确的是（）A．甲车从A地到B地行驶了6小时B．甲的速度是120千米/时C．乙出发90分钟追上甲D．当两车在行驶过程中，相距40千米时，x＝2或3.515．甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校．已知步行速度甲比乙每分钟快5米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离y（米）与甲步行时间x（分钟）的函数关系图象，则（）A．乙骑自行车的速度是180米/分B．乙到还车点时，甲、乙两人相聚850米C．自行车还车点距离学校300米D．乙到学校时，甲距离学校200米16．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法不正确的是（）A．甲的速度保持不变B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人不相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面17．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程y（米）与时间/（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的有（）①甲队率先到达终点；②甲队比乙队多走了200米路程；③乙队比甲队少用0.2分钟；④比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快．A．1个B．2个C．3个D．4个18．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．A，B两城相距300千米B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时C．乙车出发后1.5小时追上甲车D．在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝19．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上．在这些说法中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．在一条笔直的公路上有AB两地，甲，乙两辆货车都要从A地送货到B地，甲车先从A地出发匀速行驶，3小时后乙车从A地出发，并沿同一路线匀速行驶，当乙车到达B地后立刻按原速返回，在返回途中第二次与甲车相遇，甲车出发的时间记为t（小时），两车之间的距离记为y（千米），y与t的函数关系如图所示，则乙车第二次与甲车相遇是甲车距离A地（）千米．A．495B．505C．515D．52521．已知A，B两地相距120千米，甲乙两人沿同一条公路匀速行驶，甲骑自行车以20千米/时从A地前往B地，同时乙骑摩托车从B地前往A地，设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），若s与t的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．经过2小时两人相遇B．若乙行驶的路程是甲的2倍，则t＝3C．当乙到达终点时，甲离终点还有60千米D．若两人相距90千米，则t＝0.5或t＝4.522．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是（）A．②③B．①②③C．①②D．①③2020重庆中考复习数学一次函数专题训练二参考答案1．某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是（）A．汽车在途中加油用了10分钟，B．若OA∥BC，则加满油以后的速度为80千米/小时C．若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a＝25，D．该同学8：55到达宁波大学解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确；B、因为OA∥BC，所以＝，解得a＝，所以加满油以后的速度＝＝80千米/小时，故本选项正确．C、由题意：＝90，解得a＝30，本选项错误．D、该同学8：55到达宁波大学，正确．故选：C．2．如图所示的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：汽车从出发地到目的地走了140千米，又回到出发地因而共行驶了280千米，故①错误；汽车在行驶途中停留了4﹣3＝1小时，故②正确；汽车在整个行驶过程中的平均速度为：280÷（9﹣1）＝35（千米/时），故③错误；汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度不变，故④错误．综上所述，正确的只有②．故选：A．3、（2019•常州模拟）我市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（吨）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A．4小时B．4.3小时C．4.4小时D．5小时解：物资一共有6吨，调出速度为：（6﹣1）÷2＝2.5吨/小时，需要时间为：6÷2.5＝2.4（时）∴这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是：2+2.4＝4.4小时．故选：C．4、在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．乙的速度是60千米/小时B．甲车整个过程用时为1.25小时C．甲出发1小时后两车相遇D．甲到B地比乙到A地晚小时解：由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，由于乙先出发，0.5小时，乙车走了（100﹣70）km，则乙车的速度为：60km/h，故A正确，不符合题意；乙行驶全程所用时间为：＝1（小时），由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5＝1.25（小时），故B正确，不符合题意；甲车的速度为：＝80（km/h），由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60＝100，故两车相遇，故C选项不正确，不合题意；由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣1＝（小时），故此选项正确，不符合题意．故选：C．5、（2019秋•庐阳区校级月考）甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发先到达，甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶的时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．甲车的速度是80km/h B．乙车的速度是60km/hC．甲车出发1h与乙车相遇D．乙车到达目的地时甲车离B地10km解：根据图象可知甲用了（3.5﹣1）小时走了200千米，所以甲的速度为：200÷2.5＝80km/h，故选项A说法正确；由图象横坐标可得，乙先出发的时间为1小时，两车相距（200﹣140）＝60km，故乙车的速度是60km/h，故选项B说法正确；140÷（80+60）＝1（小时），即甲车出发1h与乙车相遇，故选项C说法正确；200﹣（200÷60﹣1）×80＝km，即乙车到达目的地时甲车离B地km，故选项D说法中不正确．故选：D．6、如图所示，在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，甲乙同时出发，甲车先到达目的地，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（km）与行驶时间（h）的函数关系的图象，下列说法错误的是（）A．出发2h后，两车相遇B．乙的速度是48km/hC．出发3h后，甲车距离B地96km D．甲车到B地比乙车到A地早h解：A、出发2h后，其距离为零，即两车相遇，正确；B、乙的速度是＝48km/h，正确；C、甲的速度为：km/h，240﹣72×3＝24km，错误；D、h，即甲车到B地比乙车到A地早h，正确；故选：C．7、甲骑摩托车从A地去B地．乙开汽车从B地去A地．同时出发，匀速行驶．各自到达终点后停止．设甲、乙两人间的距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，下列结论中，错误的是（）A．出发1小时时，甲、乙在途中相遇B．出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米C．出发3小时时，甲、乙同时到达终点D．甲的速度是乙速度的一半解：由图象可得，出发1小时时，甲乙在途中相遇，故选项A正确，甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，∴出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×（80﹣40）＝60千米，故选项B正确，在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故选项C错误，∵甲的速度是：120÷3＝40千米/时，乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，∴甲的速度是乙速度的一半，故选项D正确，故选：C．8、甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶．已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需（）分钟到达终点B．A．78B．76C．16D．12解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是1÷6＝千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16×＝16，解得x＝千米/分钟，相遇后乙到达A站还需（16×）÷＝2分钟，相遇后甲到达B站还需（10×）÷80分钟，当乙到达终点A时，甲还需80﹣2＝78分钟到达终点B，故选：A．9．甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程y（米）与所用的时间x（分）的函数关系如图所示，则下列说法个①比赛全程1500米②2分时甲、乙相距300米③比赛结果是乙比甲领先50秒到达终点④3分35秒时乙追上甲．其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4解：由函数图象可得比赛全程1500米，故①正确；∵甲的速度＝＝300米/分，∴2分时甲、乙相距为300×2﹣300＝300米，故②正确；由函数图象可以得；乙比甲领先30秒到达终点，故③错误；设两分钟后，y乙＝kx+b，由题意可得：解得：k＝480，b＝﹣660，∴y乙＝480x﹣660，∵乙追上甲∴480x﹣660＝300x，∴x＝∴分钟＝3分钟40秒，故④错误．故选：B．10、在A、B两地之间有汽车站C（C在直线AB上），甲车由A地驶往C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，则下列结论中：①A、B两地相距440千米；②甲车的平均速度是60千米/小时；③乙车行驶11小时后到达A地；④两车行驶4.4小时后相遇，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：A、B两地相距＝360+80＝440（千米），故①正确，甲车的平均速度＝＝60（千米/小时），故②正确，乙车的平均速度＝＝40千米/小时，440÷40＝11（小时），∴乙车行驶11小时后到达A地，故③正确，设t小时相遇，则有：（60+40）t＝440，t＝4.4（小时），∴两车行驶4.4小时后相遇，故④正确，故选：D．11、甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y （km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m ＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.5．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40＝160km，则m＝160，②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）＝0.4小时，则n＝6+1+0.4＝7.4，④错误．故选：B．12、甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶，甲车先到B地，停车1小时按原速度匀速返回，直到两车相遇．乙车速度是60千米/时，如图是两车之间的距离y（干米）与乙车行驶时间x （小时）之间的函数图象，则下列说法正确的是（）A．A、B两地相距150千米B．甲车速度是100千米/时C．乙车从出发到与甲车相遇共用小时D．点M的纵坐标为90解：根据题意仔细观察图象可知5小时后两车相距150千米，故选项A不合题意；设甲的速度变为xkm/h，根据5（x﹣60）＝150，解得：x＝90，故甲车A到B的行驶速度为90千米/时，故选项B不合题意；乙车从出发到与甲车相遇共用的时间为：6+（90×5﹣60×6）÷（90+60）＝（小时），故选项C不合题意；点M的纵坐标为：90×5﹣60×6＝90，故选项D符合题意．故选：D．13、甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原速返回A地，乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，则下列说法中正确的个数为（）①乙车的速度是60千米/时；②t的值为3③当乙车出发160分钟时，两车第一次相距120千米；④当乙车出发360分钟时，两车相距120千米．A．1个B．2个C．3个D．4个解：由图可知，乙车的速度为：60÷1＝60千米/时，故①正确；由题意可得，t＝，故②正确；由题意可得，乙车出发160分钟时，甲车出发160﹣60＝100分钟，故此时两车相距的距离为：480﹣﹣＝120千米，故③正确；当乙车出发360分钟时，甲车出发360﹣60＝300分钟，故此时两车的距离为：（7﹣）×﹣（480﹣）＝120千米，故④正确；故选：D．14、甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车匀速驶向B地，甲车出发30分钟后，乙车才出发，乙先匀速行驶一段时间后，到达货站装货后继续行驶，速度减少了56千米/时，结果与甲车同时到达B 地，甲乙两车距A地的路程y（千米）与乙车行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示，下列说法中正确的是（）A．甲车从A地到B地行驶了6小时B．甲的速度是120千米/时C．乙出发90分钟追上甲D．当两车在行驶过程中，相距40千米时，x＝2或3.5解：A、错误．甲车从A地到B地行驶了6.5小时．B、错误．甲的速度为＝80千米/时．C、错误．设乙开始的速度为x千米/时，由题意3x+2.5（x﹣56）＝520，解得x＝120，设乙出发t小时追上甲，则（120﹣80）t＝0.5×80，t＝1，所以乙出发t小时追上甲．D、正确．由题意甲的函数解析式为y＝80x+40，乙开始的函数解析式为y＝120x，装货后的解析式为y＝64x+136，由题意120x﹣（80x+40）＝40或64x+136﹣（80x+40）＝40，解得x＝2或3.5．故选：D．15．甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校．已知步行速度甲比乙每分钟快5米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离y（米）与甲步行时间x（分钟）的函数关系图象，则（）A．乙骑自行车的速度是180米/分B．乙到还车点时，甲、乙两人相聚850米C．自行车还车点距离学校300米D．乙到学校时，甲距离学校200米解：甲步行的速度为：960÷12＝80（米/分），乙骑自行车的速度为：80+960÷（20﹣12）＝200（米/分），故选项A错误；乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙全程：200（c﹣12）﹣75（31﹣c）＝2700，解得c＝27，所以乙骑自行车的路程为：200×27＝3000（米），所以自行车还车点距离学校为：3000﹣2700＝300（米），故选项C正确；乙到还车点时，乙的路程为3000米，甲步行的路程为：80×27＝2160（米），此时两人相距：3000﹣2160＝840（米），故选项B错误；乙到学校时，甲的路程为：80×31＝2480（米），此时甲离学校：2700﹣2480＝220（米）．故选项D错误．故选：C．16．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法不正确的是（）A．甲的速度保持不变B．乙的平均速度比甲的平均速度大C．在起跑后第180秒时，两人不相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面解：由图象可知，甲的速度保持不变，故选项A正确；甲的速度为：800÷180＝4米/秒，乙的平均速度为：800÷220＝3米/秒，∵4＞3，∴乙的平均速度比甲的平均速度小，故选项B错误；在起跑后第180秒时，甲到达终点，乙离终点还有一段距离，他们不相遇，故选项C正确；在起跑后第50秒时，乙在甲的前面，故选项D正确；故选：B．17．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程y（米）与时间/（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的有（）①甲队率先到达终点；②甲队比乙队多走了200米路程；③乙队比甲队少用0.2分钟；④比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快．A．1个B．2个C．3个D．4个解：①从图象看，乙先到达终点，故错误，不符合题意；②从图象看，甲乙走的距离都是1000米，错误，不合题意；③从图象看，乙队比甲队少用0.2分钟，故正确，符合题意；④从图象看，比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，甲队的速度比乙队的速度快，故错误，不符合题意；故选：A．18．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．A，B两城相距300千米B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时C．乙车出发后1.5小时追上甲车D．在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，t＝解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故A正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把（5，300）代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，∴y乙＝100t﹣100，令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，乙的速度：150÷（2.5﹣1）＝100，乙的时间：300÷100＝3，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故B正确；甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故C 正确；乙在甲后面40km时，y甲﹣y乙＝40，可得60t﹣100t+100＝40，解得t＝，乙车在甲车前面40km时，100t﹣100﹣60t＝40或60t＝300﹣40，解得t＝或t＝．即在一车追上另一车之前，当两车相距40千米时，或t＝或t＝，故D错误,故选：D．19．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上．在这些说法中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：由图象可得，甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故①正确；乙用了3个小时到达目的地，故②错误；乙比甲晚出发1小时，故③错误；甲在出发4小时后被乙超过，故④错误；由上可得，正确是①，故选：A．20．在一条笔直的公路上有AB两地，甲，乙两辆货车都要从A地送货到B地，甲车先从A地出发匀速行驶，3小时后乙车从A地出发，并沿同一路线匀速行驶，当乙车到达B地后立刻按原速返回，在返回途中第二次与甲车相遇，甲车出发的时间记为t（小时），两车之间的距离记为y（千米），y与t的函数关系如图所示，则乙车第二次与甲车相遇是甲车距离A地（）千米．A．495B．505C．515D．525解：设甲车的速度为akm/h，乙车的速度为bkm/h，，解得，，设甲乙第二次相遇的时间为t小时，300＝（60+180）×（t﹣7），解得，t＝，则乙车第二次与甲车相遇时，甲车距离A地：60×＝495（千米），故选：A．21．已知A，B两地相距120千米，甲乙两人沿同一条公路匀速行驶，甲骑自行车以20千米/时从A地前往B地，同时乙骑摩托车从B地前往A地，设两人之间的距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），若s与t的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（）。
2020重庆中考复习数学利用二次函数求几何最值问题二(含答案解析)
2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是．练习：如图：△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值为．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为 ．例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝2，点D 为线段BC 上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是3．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，当x＝3时，AD有最小值为3，练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．解：过D作DE⊥AC于E，∵∠C＝∠DPB＝90°，∴∠DEP＝∠C＝90°，∠EDP+∠DPE＝90°，∠DPE+∠BPC＝90°，∴∠EDP＝∠BPC，在△DEP和△PCB中，，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴PE＝BC＝3，DE＝CP，设PC＝x，则AD2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴AD2的最小值是2，∴AD的最小值是，例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是 +1 ．解：作DM ⊥AC 于M ，FN ⊥AC 于N ，如图，设DM ＝x ，在Rt △CDM 中，CM ＝DM ＝x ，而EM +x ＝2，∴EM ＝﹣x +2，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，∴ED ＝EF ，∠DEF ＝90°，易得△EDM ≌△FEN ，当D 在BC 上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝﹣x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（﹣x +2）2+（2+x ）2＝（x +）2+4+2，此时AF 2没有最小值，当D 在BC 的延长线上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（x +2）2+（2﹣x ）2＝（x ﹣）2+4+2， 当x ＝时，AF 2有最小值4+2，∴AF 的最小值为＝+1．练习：如图：△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 3+3．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点面积的最大值为.(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D为线段BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥BC于G，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AG＝BG＝BC＝×2＝1，设BD＝x，则DG＝|x﹣1|，在Rt△ADG中，AD＝＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，在正方形ADEF中，∠DAF＝90°，AD＝AF，∵∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝90°，∠CAF+∠CAD＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴S△APC＝S△ACF﹣S△APF＝S△ABD﹣S△APF，＝x•1﹣AF•AD，＝x﹣AD2，＝x﹣（x2﹣2x+2），＝﹣（x2﹣3x+2），＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S有最大值，即BD＝时，△ACP的面积有最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．。
2020重庆中考复习数学第18题专题训练二(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为例2、如图,正方形ABCD的边长为2,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为练习：如图,正方形ABCD的边长为4,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为例3、（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝ ．练习：1、（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于 ．2、（2016•新县校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长．为例4、（2014•锦江区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝2+2，D 是BC边上异于B、C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．练习：（2018秋•锦江区校级期末）如图，在△ABC，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝4+4，D是BC边上异于点B，C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．例5、（2019秋•宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6．点P是AD的中点，点E在BC 上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．练习：1、（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．2、在矩形ABCD中，AD＝3CD＝6，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则PN＝ ．例6、如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，E为对角线BD上一点，且DE＝2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是 ．练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合），过点E作直线MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，将矩形ADNM沿MN折叠，使得点A、D的对应点P、Q分别落在AB、CD所在的直线上，若△ACP为等腰三角形，则BM的长为 ．2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，∴∠DCB＝∠A＝60°，AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠A＝120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F＝∠D＝120°，∴∠FD′M＝180°﹣∠A′D′F＝60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM＝90°，∠M＝90°﹣∠FD′M＝30°，∵∠BCM＝180°﹣∠BCD＝120°，∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠M＝30°，∴∠CBM＝∠M，∴BC＝CM，设CF＝x，D′F＝DF＝y，则BC＝CM＝CD＝CF+DF＝x+y，∴FM＝CM+CF＝2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M＝tan30°＝＝＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（ ）A．4﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．解：延长FC 、A ′D ′交于M ，设CF ＝x ，FD ＝2﹣x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60°，∴AB ∥CD ，∠DCB ＝∠A ＝60°，∴∠A +∠D ＝180°， ∴∠D ＝120°，由折叠得：∠BD ′F ＝∠D ＝120°，∴∠FD ′M ＝180°﹣120°＝60°， ∵D ′F ⊥CD ，∴∠D ′FC ＝90°，∴∠M ＝90°﹣60°＝30°，在Rt △FOC 中，∠DCB ＝60°，∵∠DCB ＝∠CBM +∠M ，∴∠CBM ＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BCD ＝∠CBM +∠M ＝60°，∴∠CBM ＝∠M ＝30°，∴CB ＝CM ＝2，由折叠得：D ′F ＝DF ＝2﹣x ，tan M ＝tan30°＝＝＝，∴x ＝4﹣2，∴CF ＝4﹣2，故选：A ．例2、如图,正方形ABCD 的边长为2,点M 、P 、N 分别在CD 为直径的半圆上、边BC 、边AB 上运动,并且保持PM ⊥PN ，PM ：PN=2：3则线段PM 长的最小值为K解：取CD 中点O ，NP 中点K ，连接BK 、BO 、MO 、KM 。
2020年重庆市中考数学全真模拟试卷2解析版
2020年重庆市中考数学全真模拟试卷2解析版一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．﹣3是3的（）A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根2．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是（）A．企业男员工B．企业年满50岁以上的员工C．企业新进员工D．从企业员工名册中随机抽取三分之一的员工4．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．20B．36C．44D．455．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为（）A．B．C．D．6．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个7．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜68．按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为7的是（）A．x＝﹣2，y＝3B．x＝﹣2，y＝﹣3C．x＝8，y＝﹣3D．x＝﹣8，y＝39．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C 的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°10．位千重庆市汇北区的照母山森林公园乘承“近自然”生态理念营造森林风景，“虽由人作，宛自天开“，凸显自然风骨与原生野趣．山中最为瞩目的经典当属揽星塔．登临塔顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰新区，领略附近楼宇的壮美；亦可远眺两江胜景．登临此塔，让你有飘然若仙的联想又有登高远眺，“一览众山小“的震撼，我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，己知揽星塔AB位于坡度l＝：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C 处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得揽星塔AB顶端A的仰角为37°，揽星塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（）米，（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）A．31B．40C．60D．13611．如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（）A．1B．3C．6D．1212．在﹣2，﹣1，0，1，2，3这六个数中任取一个数记为m，使得关于x的不等式组有解，同时关于x的方程：﹣＝2有正数解，则所有满足条件的m的值的和是（）A．5B．2C．0D．﹣1二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．计算：|1﹣|+（π﹣3.14）0+＝．14．如图所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是平方厘米（π取3）．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD＝．16．从下列4个函数：①y＝3x﹣2；②y＝﹣（x＜0）；③y＝（x＞0）；④y＝﹣x2（x＜0）中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的概率是．17．甲骑自行车、乙骑摩托沿相同路线由A地到B地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图所示．根据图象可知：①先出发的是（填“甲”或“乙”）②甲的行驶速度是（公里/分）③乙的行驶速度是（公里/分）18．一渔船在河中逆流而上，于某桥下遗失救生圈，被水冲走．渔船继续向前行驶了15min发现救生圈遗失，立即返回，在距该桥2km处追到救生圈．由此可知水流速度为km/h．三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．20．（10分）期末考试后，某市第一中学为了解本校九年级学生期末考试数学学科成绩情况，决定对该年级学生数学学科期末考试成绩进行抽样分析，已知九年级共有12个班，每班48名学生，请按要求回答下列问题：收集数据（1）若要从全年级学生中抽取一个48人的样本，你认为以下抽样方法中比较合理的有．（只要填写序号即可）①随机抽取一个班级的48名学生；②在全年级学生中随机抽取48名学生；③在全年级12个班中分别各抽取4名学生；④从全年级学生中随机抽取48名男生．整理数据（2）将抽取的48名学生的成绩进行分组，绘制频数分布表和成绩分布扇形统计图（不完整）如下．请根据图表中数据填空：①C类和D类部分的圆心角度数分别为、；②估计全年级A、B类学生大约一共有名．成绩（单位：分）频数频率A类（80～100）B类（60～79）C类（40～59）8D类（0～39）4（3）学校为了解其他学校教学情况，将同层次的第一、第二两所中学的抽样数据进行对比，得下表：学校平均数（分）极差（分）方差A、B类的频率和第一中学71524320.75第二中学71804970.82你认为哪所学校的教学效果较好？结合数据，请提出一个解释来支持你的观点．21．（10分）化简：（1）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2）（2）÷（x﹣2﹣）﹣．22．（10分）已知函数y1＝的部分图象如图所示，（1）请在图中补全y的函数图象；（2）已知函数y2的图象与函数y1的图象关于y轴对称，请在图中画出函数y2的图象；（3）若直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象有且只有一个交点，则a的取值范围是．23．（10分）重百商场于本周末进行年底大促销活动，某品牌专卖店抓住机遇，利用该活动对其畅销的A款取暖器进行促销．每台A款取暖器的成本价是800元，标价是1200元．（1）A款取暖器每台最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？（2）该店上周共售出A款取暖器100台．本周末A款取暖器每台在标价的基础上降价m%，结果这个周末卖出的A款取暖器的数量比上周卖出的A款取暖器的数量增加了m%，这周周末的利润达到了40000元，求m的值．24．（10分）在平行四边形ABCD中，∠ABE＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M．（1）若BE＝3，AE＝，求△ABE的面积；（2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG．25．（10分）乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？股票名称每股净赚股数（元）天河﹣22500北斗+1.51000白马﹣41000海湖﹣（﹣2）500四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）26．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2a与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴将于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D（2，n）是抛物线上的一点，在y轴左侧的抛物线上存在点T，使△TAD的面积等于△TBD的面积，求出所有满足条件的点T的坐标；（3）直线y＝kx﹣k+2，与抛物线交于两点P、Q，其中在点P在第一象限，点Q在第二象限，PA交y轴于点M，QA交y轴于点N，连接BM、BN，试判断△BMN的形状并证明你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．【分析】根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：﹣3是3的相反数，故选：B．【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】直接利用抽样调查的可靠性，应随机抽取．【解答】解：为调查某大型企业员工对企业的满意程度，样本最具代表性的是：用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工．故选：D．【点评】此题主要考查了抽样调查的可靠性，注意抽样必须具有代表性以及随机性．4．【分析】第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3＝5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4＝9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1＝，进一步求得第（8）个图形中面积为1的正方形的个数即可．【解答】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3＝5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4＝9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝个，则第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为＝44个，故选：C．【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．5．【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，∴，∴，故选：B．【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．6．【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据三角形外角性质对③进行判断；根据非负数的性质对④进行判断．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．7．【分析】由于36＜37＜49，则有6＜＜7，即可得到x的取值范围．【解答】解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范围是2＜x＜3．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．8．【分析】把x与y的值代入程序中计算，判断即可．【解答】解：A、当x＝﹣2，y＝3时，原式＝﹣4+9＝5，不符合题意；B、当x＝﹣2，y＝﹣3时，原式＝﹣4+9＝5，不符合题意；C、当x＝8，y＝﹣3时，原式＝16﹣9＝7，符合题意；D、当x＝﹣8，y＝3时，原式＝﹣16+9＝﹣7，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．【分析】由OA＝OD可得∠A＝∠ODA＝25°，根据三角形外角性质可得∠COD＝50°，由切线的性质可得∠COD＝90°，即可求∠C的度数．【解答】解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．10．【分析】如图，设AB⊥DC于E，设BE＝x，CE＝x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，设AB⊥DC于E，设BE＝x，CE＝x，在Rt △BDE 中，∵∠BDE ＝30°，∴DE ＝＝＝3x ，∴DC ＝DE ﹣CE ＝3x ﹣x ＝120，∴x ＝60，∴BE ＝60，DE ＝180，在Rt △ADE 中，AE ＝DE •tan37°＝180×0.75＝135，∴AB ＝AE ﹣BE ＝135﹣60≈31米，答：该塔AB 的高度为31米，故选：A ．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．【分析】作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则S 平行四边形ABCD ＝S 矩形AHOD ，再根据反比例函数y ＝（k ≠0）系数k 的几何意义得到S 矩形AHOD ＝6，所以有S 平行四边形ABCD ＝6．【解答】解：作AH ⊥OB 于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形ABCD ，∴AD ∥OB ，∴S 平行四边形ABCD ＝S 矩形AHOD ，∵点A 是反比例函数（x ＜0）的图象上的一点，∴S 矩形AHOD ＝|﹣6|＝6，∴S 平行四边形ABCD ＝6．故选：C ．【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．12．【分析】表示出不等式组的解集，确定出m的值，代入分式方程表示出分式方程的解，根据解为正数求出满足题意m的值即可．【解答】解：解不等式，得：x，解不等式2x﹣1＜2m，得：x＜，∵不等式组有解，∴＞﹣，解得：m＞﹣2；解方程﹣＝2，得：x＝，∵方程有正数解，∴＞0，且≠2解得：m＜2且m≠1；所以﹣2＜m＜2且m≠1，所以所有满足条件的m的值的和﹣1+0＝﹣1，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+1+2＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14．【分析】如图，根据图形有S阴影部分＝S 扇形CEG +S 梯形ABCE ﹣S △ABG ，然后根据扇形、梯形和三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，正方形EFGC 的边长为5cm ，根据题意有，S 阴影部分＝S 扇形CEG +S 梯形ABCE ﹣S △ABG ，∵S 扇形CEG ＝＝； S 梯形ABCE ＝（3+5）×3＝12；S △ABG ＝×3×8＝12．∴S 阴影部分＝+12﹣12＝＝18.75（cm 2）．故答案为18.75．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S ＝，其中n 为扇形的圆心角的度数，R 为圆的半径），或S ＝lR ，l 为扇形的弧长，R 为半径．也考查了梯形和三角形的面积公式以及不规则几何图形面积的求法．15．【分析】由勾股定理可知BC ＝4．由折叠的性质得：AE ＝AC ＝3，DE ＝DC ，∠AED ＝∠C ＝90˚，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝4﹣x ，在Rt △BED 中依据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：在Rt △ACB 中，由勾股定理可知AC 2+BC 2＝AB 2，∴BC ＝＝4．由折叠的性质得：AE ＝AC ＝3，DE ＝DC ，∠AED ＝∠C ＝90˚．设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝4﹣x ，BE ＝AB ﹣AE ＝2．在Rt △BED 中，BE 2+DE 2＝BD 2．∴22+x 2＝（4﹣x ）2．∴x ＝1.5，即BD ＝4﹣x ＝4﹣1.5＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．16．【分析】利用一次、二次函数，以及反比例函数的性质判断即可．【解答】解：①y＝3x﹣2，y随着x的增大而增大；②y＝﹣（x＜0），y随着x的增大而增大；③y＝（x＞0），y随着x的增大而减小；④y＝﹣x2（x＜0），y随着x的增大而增大，则函数值y随自变量x的增大而增大的概率是，故答案为：【点评】此题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解本题的关键．17．【分析】（1）观察函数图象得到甲比乙早出发10分钟；（2）观察函数图象得到甲前20分钟行驶了4公里，然后根据速度公式可计算出甲的速度；（3）观察函数图象得到乙10分钟行驶了4公里，然后根据速度公式可计算出乙的速度．【解答】解：（1）甲先出发，10分钟后乙出发；（2）甲20分钟行驶了4公里，则甲的速度＝＝0.2（公里/分）；（3）乙10分钟行驶了4公里，则甲的速度＝＝0.4（公里/分）．故答案为甲；0.2；0.4．【点评】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取有关信息．18．【分析】如果设该河水流的速度是每小时x千米，游泳者在静水中每小时游a千米．那么游泳者自桥下逆流游了（a﹣x）千米，他再返回追到救生圈用了小时，这个时间比救生圈在遗失后漂流时间小时少小时．由此列出方程，求得问题的解．【解答】解：设该河水流的速度是每小时x千米，游泳者在静水中每小时游a千米．由题意，得＝﹣．解得：x＝4．经检验，x＝4是原方程的解．答：这条河的水流速度为4千米/小时．【点评】本题考查分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的表示方法．另外，本题求解时设的未知数a，在解方程的过程中抵消．这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）19．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C＝50°，进而得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，进而求出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠BAD＝55°，∴∠DAE＝25°，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．20．【分析】（1）根据抽取得学生必须有代表性，能反映全年级学生的情况，可以采取随机抽样或随机分层抽样，据此即可得出正确答案；（2）①利用抽取的学生数及C、D类的频数即可得出C、D类部分的频率，乘以360度可得答案；②用全年级总人数乘以样本中A、B类频率和即可得；（3）此题答案不唯一，理由正确即可．【解答】解：（1）根据题意得：抽取得学生②和③更具有代表性，更能反映全年级学生的情况；故答案为：②、③；（2）①、C类部分的频率为＝，圆心角度数为×360°＝60°，D类部分的频率为＝，圆心角度数为×360°＝30°，②、估计全年级A、B类学生大约一共有12×48×（+）＝432（名），故答案为：60°、30°、432，、；（3）本题答案不唯一，以下两个答案仅供参考：答案一：东海中学成绩较好，极差、方差小于南山中学，说明东海中学学生两极分化较小，学生之间的差距较南山中学小．答案二：南山中学成绩较好，A、B类的频率和大于东海中学，说明南山中学学生及格率较东海中学学生好．【点评】此题考查了频数（率）分布表和扇形统计图的综合应用，解题的关键是根据统计图表所给的数据和频率＝频数÷总数进行解答．21．【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝4x2﹣1﹣3x2+2x﹣3x+2＝x2﹣x+1；（2）原式＝÷﹣＝•﹣＝﹣＝﹣．【点评】此题考查了分式的混合运算，多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．22．【分析】（1）依据函数解析式即可得到y1的图象；（2）依据轴对称的性质，即可得到函数y2的图象；（3）当a＝1或当a＝﹣1时，直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象有无数个交点；当a＜﹣1时，直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象无交点，据此可得出a的取值范围．【解答】解：（1）函数y1的图象如图所示，（2）函数y2的图象如图所示；（3）∵直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象有且只有一个交点，∴a的取值范围为：a＞1或﹣1＜a＜1．故答案为：a＞1或﹣1＜a＜1．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．23．【分析】（1）设A款取暖器每台降价x元，根据利润＝销售收入﹣成本结合利润率不低于20%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每台利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设A款取暖器每台降价x元，依题意，得：1200﹣x﹣800≥800×20%，解得：x≤240．答：A款取暖器每台最多降价240元，才能使利润率不低于20%．（2）依题意，得：[1200（1﹣m%）﹣800]×100（1+m%）＝40000，整理，得：m2﹣60m＝0，解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝60．答：m的值为60．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24．【分析】（1）过E作EN⊥AB于N，推出△BEN是等腰直角三角形，解直角三角形得到AN＝＝1，求得AB＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ABC＝67.5°，求得∠CEM＝112.5°，根据平行四边形的性质得到CD ∥AB，推出CM＝BM，得到BE＝CD，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过E作EN⊥AB于N，∵∠ABE＝45°，∴△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝EN＝BE＝3，∵AE＝，∴AN＝＝1，∴AB＝4，∴△ABE的面积＝×4×3＝6；（2）∵∠ABE＝45°，∠ABC＝3∠EBC，∴∠ABC＝67.5°，∵CA＝CB，CH⊥AB，∴∠CAB＝∠CBA＝67.5°，∠BCH＝∠ACH＝22.5°，∴∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝45°，∴∠CEM＝112.5°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°，∴∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC，∵∠BCM＝∠CBM＝22.5°，∴CM＝BM，∵∠BEA＝∠EAB＝67.5°，∴BE＝AB，∴BE＝CD，在等腰直角三角形CMF中，∵∠CMF＝∠AFM＝45°，∴CM＝CF，∴BM＝CF，∴EM＝DF，在△MEC与△FDG中，，∴△MEC≌△FDG（ASA），∴CM＝FG．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．25．【分析】根据题意列出算式﹣22×500+1.5×1000﹣4×1000﹣（﹣2）×500，计算可得．【解答】解：﹣22×500+1.5×1000﹣4×1000﹣（﹣2）×500＝﹣2000+1500﹣4000+1000＝﹣3500，答：乐乐的爸爸赔了，赔了3500元．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式并熟练掌握有理数混合运算顺序及其法则．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）26．【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线的解析式．（2）△TAD与△TBD有公共底边TD，面积相等即点A、点B到直线TD距离相等．根据T的位置关系分类讨论：在点A左侧时，根据“平行线间距离处处相等”可得AB∥TD，易得点T的纵坐标，代入解析式即求出横坐标；在点A右侧时，分别过A、B作TD的垂线段，构造全等三角形，证得TD 与x 轴交点为AB 中点，求出TD 解析式，再与抛物线解析式联立方程组求出T ． （3）联立直线y ＝kx ﹣k +2与抛物线解析式，整理得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理得到P 、Q 横坐标和和与积的式子（用k 表示）．设M （0，m ）、N （0，n ），求出直线AP 、AQ 的解析式（分别用m 、n 表示）．分别联立直线AP 、AQ 与抛物线方程，求得P 、Q 的横坐标（分别用m 、n 表示），即得到关于m 、n 、k 关系的式子，整理得mn ＝﹣1，即OM •ON ＝1，易证△BOM ∽△NOB ，进而求出∠MBN ＝90°【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2a 经过点B （1，0）、C （0，）∴ 解得：∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+x ﹣（2）当x ＝2时，n ＝×22+×2﹣＝∴D （2，）①当点T 在点A 左侧时，如图1，∵S △TAD ＝S △TBD ，且△TAD 与△TBD 有公共底边为TD∴AB ∥TD ，即TD ∥x 轴∴y T ＝y D ＝x 2+x ﹣＝ 解得：x 1＝﹣3，x 2＝2（即点D 横坐标，舍去）∴T （﹣3，）②当点T 在点A 右侧时，如图2，设DT 与x 轴交点为P ，过A 作AE ⊥DT 于E ，过B 作BF ⊥DT 于F∵S △TAD ＝S △TBD ，且△TAD 与△TBD 有公共底边为TD∴AE ＝BF在△AEP 与△BFP 中，∴△AEP ≌△BFP （AAS ）∴AP＝BP即P为AB中点由x2+x﹣＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1∴A（﹣2，0）∴P（，0）设直线DP：y＝kx+c解得：∴直线DT：y＝解得：（即点D，舍去）∴T（，）综上所述，满足条件的点T的坐标为（﹣3，）与（，）（3）△BMN是直角三角形，证明如下：设x1为点P横坐标，x2为点Q的横坐标整理得：x2+（1﹣8k）x+8k﹣18＝0∴x1+x2＝8k﹣1，x1x2＝8k﹣18设M（0，m），N（0，n）则OM＝m，ON＝﹣n∴直线AM解析式：y＝，直线AN解析式：y＝解得：∴P（1+4m，3m+）同理可得：Q（1+4n，3n+）∴整理得：mn＝﹣1∴m•|n|＝1 即OM•ON＝1又OB＝1，即OM•ON＝OB2∴∴△BOM∽△NOB∴∠OBM＝∠ONB∴∠MBN＝∠OBM+∠OBN＝∠ONB+∠OBN＝90°∴△BMN是直角三角形【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质．考查了分类讨论、数形结合思想，综合计算能力．第（2）题要结合图形找出T的特殊位置；第（3）题先判断∠MBN＝90°，大胆设用多个未知量，利用联立直线和抛物线方程求交点坐标，再通过计算整理发型其中的规律．。
2020届重庆市中考数学二诊试卷(有答案)(加精)
D、为了了解《人民的名义》的收视率，选择抽样调查，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）当a=﹣2，b=3，则a2﹣2b+3的值（ ）
A．﹣7B．1C．4D．6
【解答】解：当a=﹣2，b=3时，
∴原式=4﹣6+3
=﹣2+3
=1
故选（B）
6．（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：3，则△ABC和△DEF的面积比为（ ）
解得：x≥﹣1且x≠2．
故选：D．
8．（3分）如图，点B、C把弧线AD分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段，已知∠E=45°，半径OD=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．π
【解答 】解：∵点B、C把弧线AD分成三等分，ED是⊙O的切线，∠E=45°，
∴∠ODE=90°，∠DOC=45°，
故选：B．
3．（3分）下列图案属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；
B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；
C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；
D 、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．
故选A．
4．（3分）下列调查中，调查方式选择正确的是（ ）
∴∠BOA=∠BOC=∠COD=45°，
∵OD=2，
∴阴影部分的面积是： ﹣ × × ×2+ ×2×2﹣ = ，
故选C．
9．（3分）估计 ﹣ 的运算结果在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【解答】解： ，
∵1＜ ＜2， ≈1.732
2020年重庆市北岸区中考数学二诊试卷含答案
【解析】解：∵图案①需火柴棒：8 根； 图案②需火柴棒：8+7=15 根； 图案③需火柴棒：8+7+7=22 根； … ∴图案 n 需火柴棒：8+7（n-1）=7n+1 根； 故选 D． 根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第 1 个图形中火柴棒有 8 根，每多一个多边 形就多 7 根火柴棒，由此可知第 n 个图案需火柴棒 8+7（n-1）=7n+1 根． 此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不 变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化．
第 2 页，共 16 页
，与 AB 交与点 D，则△COD 的面积的值等于______；
17. 周末，小李从家出发骑车到少年宫学习绘画，他离家的距离 y（km）与时间 x（h） 之间的函数关系的大致图象如图所示，则下列结论中：①他家离少年宫 30km；② 他在少年宫一共停留了 3 个小时；③他返回家时，y（km）与时间 x（h）之间的函 数表达式是 y=-20x+110；④当他离家的距离 y=10km 时，时间 x= （h），正确的结 论有______（把所有正确结论的序号都填在横线上）
第 4 页，共 16 页
23. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=60°，BC=4 ，若对角线 BD⊥CD 于点 D，求对角线 AC 的最大
值．
24. 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述 方法就无法分解，如 x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合 完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程 如下：x2-2xy+y2-16=（x-y）2-16=（x-y+4）（x-y-4） 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn； （2）已知 a、b、c 分别是△ABC 三边的长且 2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020重庆中考复习数学最值专题训练二(含答案解析)2020年重庆中考数学最值专题训练二（含答案）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A． B．1 C． D．2、如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE．连接A1B，当点E在边AB上移动时，A1B的最小值为．3、如图所示，在菱形ABCD中，BC＝2，∠B＝60°，E为BC的中点，点F在AB边上，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值是（）A．2﹣B．+1 C．2+D．﹣14、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（）A．﹣1 B．C．D．2﹣15、如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为．6、如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．E是BC边上一动点，F是CD边的中点．将△ABE沿AE折叠到△AB'E，则B'F的最小值为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.55、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．8、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF 的长为（）A．B．2 C．2 D．9、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，BE的长为．10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．在点E的运动过程中，则△AC′D′面积的最小值为．11、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．如图，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积的最大值为 .12、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为．13、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形A1B1CD1，点E是A1B1的中点，过B作BF⊥B1C于点F，连接DE，DF，则线段DE 长度的最大值是，线段DF长度的最小值是．14、在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为．15、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+216、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．17、如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．19、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt △APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为2020年重庆中考数学最值专题训练二参考答案1、（2019•覃塘区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC 上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（）A．B．1 C．D．解：如图，延长FP交AB于D，当FP⊥AB时，由垂线段最短可知此时点P到AB的距离FD有最小值．由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即＝，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：D．2、（2016•路北区二模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△ADE沿DE所在的直线折叠得到△A1DE．连接A1B，当点E在边AB上移动时，A1B的最小值为．解：连接BD，在Rt△BCD中，BD＝＝，由折叠知△A1DE≌△ADE，∴A1D＝AD＝1，由A1B+A1D≥BD，得：A1B≥BD﹣A1D＝﹣1，∴A1B的最小值是﹣1．3、如图所示，在菱形ABCD中，BC＝2，∠B＝60°，E为BC的中点，点F在AB边上，连接EF，将△BEF沿EF翻折，使点B落在点B′处，连接AB′，则AB′的最小值是（D）A．2﹣B．+1 C．2+D．﹣1解：如图所示，连接AC，AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BE＝EC，∴AE⊥BC，∵BC＝2，∠BAE＝30°，∴AE＝，BE＝1，∵当A、B′、E共线时，AB′最小（垂线段最短），∴AB′最小值＝AE﹣BE′＝AE﹣BE＝﹣1．4、（2018秋•邗江区校级月考）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（）A．﹣1 B．C．D．2﹣1解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝＝，∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．故选：A．5、（2019秋•江宁区期中）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2．点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B、C重合），△EBF沿EF翻折，点B落在B'处，当DB'的长度最小时，BF的长度为．解：如图，连接DE，∵DB′≥DE﹣EB′，DE＝＝＝，EB′＝1，∴DB′≥﹣1，∴当D，B′，E共线时，DB′的值最小，不妨设此时点B′落在DE上的点B″处，设BF′＝F′B″＝x，∵F′D2＝CD2+F′C2＝B″D2+B″F′2，∴22+（4﹣x）2＝（﹣1）2+x2，解得x＝，故答案为6、（2019•南充模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6．E是BC边上一动点，F是CD边的中点．将△ABE沿AE折叠到△AB'E，则B'F的最小值为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5解：如图，连接AF，当A，B′F三点共线时，B'F的值最小，∵在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，F是CD边的中点，∴DF＝AB＝，∵将△ABE沿AE折叠到△AB'E，∴AB′＝AB＝AD＝5，∴AF＝＝6.5，∴B'F的最小值＝AF﹣AB′＝1.5，故选：B．7、（2019•济南模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是2﹣2．解：如图所示：∵在N的运动过程中A′在以M为圆心，MA的长为半径的圆上，∴MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴MD＝2，∠FDM＝60°，∴∠FMD＝30°，∴FD＝MD＝1，∴FM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝2，∴A′C＝MC﹣MA′＝2﹣2．故答案为：2﹣2．8、（2018•新华区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AD的中点，点F是AB边上任意一点，现将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，则当△A′BC面积最小时，折痕EF的长为（）A． B．2 C．2 D．解：当△A′BC面积最小时，A′到BC的距离最小，即A′到AD的距离最大，∴当A′到AD的距离＝EA′时，此时A′到AD的距离最大，即EA′⊥AD，∵将△AEF沿EF翻折，点A的对应点为A′，∴AE＝A′E，∠A＝∠EA′F＝∠A′EA＝90°，∴四边形EAFA′是正方形，∴EF＝AE，∵点E为AD的中点，∴AE＝1.5，∴EF＝，∴当△A′BC面积最小时折痕EF的长为，故选：D．9、（2016春•汉阳区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，BE的长为．解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，而当CF⊥EF时，CF最小，即：∠CFE＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF＝AB＝3，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4，∴AC＝5，∴CF＝AC﹣AF＝2，在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2，∴BE2+22＝（4﹣BE）2，∴BE＝．10、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AD边上的一个动点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，得到四边形BC′D′E，连接AC′，AD′．在点E的运动过程中，则△AC′D′面积的最小值为．解：如图1，S＝AH•C'D'＝＝2C'D'，当C'D'最小时，△AC′D′面积△C'D'A最小，如图2，当C'、A、B三点共线时，△AC′D′面积最小，由折叠得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，∵AB＝4，∴AC'＝6﹣4＝2，△AC′D′面积的最小值＝＝＝4．11、在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．如图，设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积的最大值为 .解：如图③中，连接PA，作AM⊥PE于M．当AM与AB共线时，△BPE面积最大，由题意：PF＝PG＝，∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝，∵S △APE ＝S 矩形AGFE ＝PE •AM ，∴AM ＝＝＝，则S △BPE ＝PE •BM ＝××（3+）＝，∴△PBE 的面积的最大值为．12、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是AB 边上一点，且AE ＝2，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∠ABC ＝∠D ＝90°，根据勾股定理得，AC ＝5，∵AB ＝3，AE ＝2，∴点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，∵S 四边形AGCD ＝S △ACD +S △ACG ＝AD ×CD +AC ×h ＝×4×3+×5×h ＝h +6，∴要四边形AGCD 的面积最小，即h 最小， ∵点G 是以点E 为圆心，BE ＝1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， ∴EG ⊥AC 时，h 最小，即点E ，点G ，点H 共线．由折叠知∠EGF ＝∠ABC ＝90°， 延长EG 交AC 于H ，则EH ⊥AC ，在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝，在Rt △AEH 中，AE ＝2，sin ∠BAC ＝，∴EH ＝AE ＝，∴h ＝EH ﹣EG ＝﹣1＝，∴S 四边形AGCD 最小＝h +6＝+6＝．13、（2019•武侯区模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转，得到矩形A 1B 1CD 1，点E 是A 1B 1的中点，过B 作BF ⊥B 1C 于点F ，连接DE ，DF ，则线段DE 长度的最大值是 2+ ，线段DF 长度的最小值是﹣．解：如图，取BC的中点O，连接OF，OD，EC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，AB＝CD＝2，∵OB＝OC＝，∴OD＝＝，∵BF⊥CF，∴∠BFC＝90°，∴OF＝BC＝，∴DF≥OD﹣OF＝﹣，∴DF的最小值为﹣．同法EC＝＝，DE≤CD+CE＝2+，∴DE的最大值为2+，14、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为．解法一：当B在原点时，OA＝2，BC＝10，点M2（5，0）；当C在原点时，B（0，5），M1（0，），∵当PM⊥M1M2时，PM最小，如图∴△PMM2∽△M1OM2，∴＝，∵M1M2＝，∴PM＝；故答案为；解法二：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴x＝时，PM有最小值，最小值为．故答案为．15、（2019春•新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（）A．3B．2C．4D．2+2解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．16、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．17、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝＝故答案为：．19、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为解：如图，连接，AC，EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠PAE＝45°，∴∠DAP＝∠CAE，∵＝＝，∴△ADP∽△ACE，∴∠ADP＝∠ACE＝90°，∴∠BAE＝∠BCA＝45°，∴当BE⊥EC时，BE的值最小，最小值为4．。