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重庆中考数学材料阅读24题练习题

重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考材料阅读练习题1、2017届南开（融侨）中学九上入学24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。

数字111经过三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。

你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。

2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。

比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。

根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

3、2017届南开（融侨）中学九上期末25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。

重庆市中考数学阅读理解题（专题二）含答案

重庆市中考数学阅读理解题（专题二）含答案

学习必备欢迎下载重庆市2016中考数学阅读理解题（专题二）1、若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且的两个实数根，且|x |x 1|+|x 2|=2|k||=2|k|（（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2﹣6x 6x﹣﹣27=027=0，，x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，，，x 2+6x +6x﹣﹣27=027=0，，x 2+4x+4=0+4x+4=0，，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x +x﹣﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2、阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：解：y=2x+y=2x+≥=4=4．当且仅当．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，时，函数取得最小值，y y 最小=4=4．．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时7070～～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”“梦之点”，例如点（1,11,1）），（-2-2，，-2-2）），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

(完整版)重庆中考数学阅读专题[含详细答案解析]

(完整版)重庆中考数学阅读专题[含详细答案解析]

1.（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2.（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．3.（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．4．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．5.（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．6.（2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：（1）[π]= 3 ，[﹣π]= ﹣4 ．（其中π为圆周率）；（2）已知x、y满足方程组，求x、y的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．7.（2016•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142 ；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．重庆中考阅读答案：（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5．∴或或，∴或或，∴或或，∴k的最大值为．（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．解答：解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，∵=91a+10b∴四位数“和谐数”abba能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x•102+y•10+x=101x+10y，=9x+y+，∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，∴2x﹣y=0，∴y=2x（1≤x≤4）．4．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．【解答】解：设k为整数，则2k+1、2k﹣1为两个连续奇数，设M为“麻辣数”，则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；（2）令M≤2016，则24k2+2≤2016，解得k2≤＜84，故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．5.（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．【解答】解：（1）继续小明的方法，12=42﹣22，13=72﹣62，15=82﹣72，即第12个智慧数是15．故答案为：15；（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）令4k+2=26，解得：k=6，故26不是智慧数．6. （2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：（1）[π]= 3 ，[﹣π]= ﹣4 ．（其中π为圆周率）；（2）已知x、y满足方程组，求x、y的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．【解答】解：（1）由题意可得：[π]=3，[﹣π]=﹣4；故答案为：3，﹣4；（2）解方程组得：，则﹣1≤x＜0，2≤y＜3；（3）当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时y=（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3=6；当0≤x＜1时，[x]=0，此时y=3；当1≤x＜2时，[x]=1，此时y=12﹣2×1+3=2；当x=2时，[x]=2，此时y=22﹣2×2+3=3；综上所述：y最大=6，y最小=2．7.（2016年•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390 ；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142 ；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．【解答】解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02，∴左边数为3，右边数为0，∴该三位数为390．∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4，4=2×2×1，∴该三位数为241或142．故答案为390，241或142．（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足a2+b2=2ab，即（a﹣b）2=0，∴a=b．（3）由题意，易知（a﹣b）2=25，（a+b）2=1225，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=±5，a+b=35，∴a2﹣b2=±175．。

重庆中考数学新题型阅读理解型问题

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阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视..这类问题一般文字叙述较长，问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题. . 二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. . 三、中考考点类型精讲 代数类1．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换t 得到点(,)P x y ¢¢¢，该变换记作),(),(y x y x ¢¢=t ，其中îíì-=¢+=¢by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-t ．(1) (1) 当当1a =，且2b =-时，(0,1)t = = ；； (2) (2) 若若(1,2)(0,2)t =-，则a = = ，，b = = ；；(3) (3) 设点设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换t 得到点(,)P x y ¢¢¢．若点P 与点¢P 重合，求a 和b 的值．的值．2、一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为实数加法表示为 5+ 5+ 5+（（2-）=3=3．．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对个单位），则把有序数对{{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．（1）计算：）计算：{3{3{3，，1}+{11}+{1，，2}2}；；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，）出发，先按照“平移量”{2，1}1}1}平移到点平移到点B ，再按照“平移量”量”{－1，2}2}平移到点平移到点C ；最后按照“平移量”{－；最后按照“平移量”{－22，－，－1}1}1}平移到点平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；的坐标；（3）将（）将（22）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周．平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．yxO 112. 2. （（03青岛）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程05624=+-x x ”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x ＝y ，那么4x ＝2y ，于是原方程可变为0562=+-y y ……①，解这个方程得：得：y y 1＝1，y 2＝5．当y ＝1时，2x ＝1，∴，∴ x x x＝土＝土1；当；当 y y y＝＝5时，2x ＝5，∴，∴ x x x＝土＝土5。

2019年重庆中考数学材料阅读题专题

2019年重庆中考数学材料阅读题专题

2019年重庆中考数学材料阅读题专题一．方程类1．阅读下面的内容用换元法求解方程组的解题目：已知方程组①的解是，求方程组②的解．解：方程组②可以变形为：方程组③设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④比较方程组④与方程组①可得，即所以方程组②的解为参考上述方法，解决下列问题：（1）若方程组的解是，则方程组的解为；（2）若方程组①的解是，求方程组②的解．2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1．∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．3．阅读材料：材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1∴＝根据上述材料解决下面问题；（1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．4．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．（1）如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为；（2）由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化．如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为a3的4倍，且a5﹣a3＝3，求a7的值；（3）由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中n8为9个数中的最大数，且满足n1﹣2n6＝2，n82﹣n62＝2448，求p及n9的值．5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，（1）方程x2﹣x﹣2＝0（填“是”或“不是”）倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则求代数式4m2+5mn+n2值；（3）若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程吗？6．阅读理解：若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m＝0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m＝0，移项得：m＝﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m＝c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m ＝0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2＝0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2＝0进行验证得：x＝﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解．解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7＝0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x3﹣2x2﹣4x+3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．7．阅读材料材料1：“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联，数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22、131、1991、123321、…，像这样的数我们叫它“回文数”．材料2：如果一个三位数，满足a+b+c＝8，我们就称这个三位数为“吉利数”．（1）请直接写出既是“回文数”又是“吉利数”的所有三位数；（2）三位数①是大于500的“回文数”；②的各位数字之和等于k是一个完全平方数；求这个三位数（请写出必要的推理过程）．8．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数（234）5＝2×52+3×5+4＝69，记作（234）5＝69，七进制数（136）7＝1×72+3×7+6＝76，记作（136）7＝76（1）请将以下两个数转化为十进制：（331）5＝，（46）7＝（2）若一个正数可以用七进制表示为（），也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示．9．进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数123＝1×102+2×101+3×100，记作123（10）；七进制123＝1×72+2×71+3×70，记作123（7）．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：123（7）＝1×72+2×7+3×70＝66，即123（7）＝66（10），将十进制转化为七进制：（因为72＜66＜73，所以做除法从72开始）66÷72＝1…17，17÷71＝2…3，即66（10）＝123（7）（1）根据以上信息，若将八进制转化为十进制：15（8）＝1×81+5×80＝13，即15（8）＝；若将十进制转化为九进制：98÷92＝1…17，17÷91＝1…8，即98（10）＝（9）（10）（2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y．①若x＝7，则y＝．②请求出满足上述条件的所有十进制两位数．10．请阅读下列材料：问题：已知方程x2+15x﹣1＝0，求一个一元二次方程，是它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程根为y，则y＝2x，所以，把带人已知方程，得，化简得y2+30y﹣4＝0．故所求的方程为y2+30y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的换根法求新方程（要求把方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程．是它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：．（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．11．函数[x]称为高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[5.3]＝5，[﹣2.4]＝﹣3，[4]＝4．对任意的实数x，x﹣1＜[x]≤x．（1）证明：对于任意实数x，有[x]+[x+]＝[2x]；（2）解方程：[]＝．12．仔细阅读下列材料．“分数均可化为有限小数或无限循环小数”．反之，“有限小数或无限循环小数均可化为分数”例如：＝1÷4＝0.25，1＝1+＝1+0.6＝1.6或1＝＝8÷5＝1.6，＝1÷3＝0.，反之，0.25＝＝，1.6＝1+0.6＝1+＝1或1.6＝＝，那么0.怎么化为呢？解：∵0.×10＝3.＝3+0.∴不妨设0.＝x，则上式变为10x＝3+x，解得x＝即0.＝根据以上材料，回答下列问题．（1）将“分数化为小数”：＝；＝．（2）将“小数化为分数”：0.＝；1.5＝．（3）将小数1.化为分数，需写出推理过程．13．我们知道≈1.414，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为﹣1”．则：（1）﹣3的整数部分为，小数部分则可记为；（2）已知3+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，那么a+b的值是；（3）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．14．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2解：如右图，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图2，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2＝x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y＝﹣1，求x，y．二、不等式类15．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即：当n为非负整数时，如果n﹣，则＜x＞＝n．反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n﹣，例如：＜0＞＝＜0.48＞＝0，＜0.64＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.12＞＝4．试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞＝（π为圆周率）；②如果＜x﹣1＞＝3，则实数x的取值范围为．（2）①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是．②若关于x的方程+x﹣2＝﹣有正整数解，求m的取值范围．（3）求满足＜x+1＞＝x的所有非负整数x的值．17．对于实数x，y我们定义一种新运算L（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为L（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．（1）若L（x，y）＝x+3y，则L（2，1）＝，L（，）＝；（2）已知L（1，﹣2）＝﹣1，L（，）＝2．①a＝，b＝；②若正格线性数L（m，m﹣2），求满足50＜L（m，m﹣2）＜100的正格数对有多少个；③若正格线性数L（x，y）＝76，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由．小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a∵x＝y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：（1）x＝98760×98765﹣98761×98764，y＝98761×98764﹣98762×98763，试比较x、y 的大小；（2）计算：1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452．三、函数类20．平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．（其中的“+”是四则运算中的加法）例如：如果A（﹣1，3），那么「A」＝|﹣1|+|3|＝4．（1）点M在反比例函数y＝的图象上，且「M」＝4，求点M的坐标；（2）求满足条件「N」＝3的所有点N围成的图形的面积．21．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），（，），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（m，5）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）一次函数y＝2kx﹣1（k为常数，k≠0）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b为常数，a≠0）的图象上有且只有一个“梦之点”A（c，c），令t＝b2+4a，当﹣2＜b＜2时，求t的取值范围．22．新定义：若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“共性二次函数”．（1）请写出两个为“共性二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣4nx+2n2+1和y2＝ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“共性二次函数”，求函数y2的表达式．23．阅读材料，解答问题．知识迁移：当a＞0且x＞0时，因为（）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x＝时取等号），记函数y＝x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x＝时，该函数有最小值为2．直接应用：已知函数y1＝x（x＞0）与函数y2＝（x＞0），则当x＝时，y1+y2取得最小值为．变形应用：已知函数y1＝x+2（x＞﹣2）与函数y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，设池长为x米，水池总造价为y（元），求当x为多少时，水池总造价y最低？最低是多少？24．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝﹣2x2+5x﹣3函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由y＝﹣2x2+5x﹣3函数可知，a1＝﹣2，b1＝5，c1＝﹣3，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面的问题：（1）写出函数y＝﹣2x2+5x﹣3的“旋转函数”；（2）若函数y1＝x2+x﹣n与y2＝﹣x2﹣mx﹣2互为“旋转函数”，求（m+n）2019的值；（3）已知函数y＝（x﹣2）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y＝（x﹣2）（x+3）互为“旋转函数”．25．问题背景：若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值．我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：（x＞0），利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．提出新问题：若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？分析问题：若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．解决问题：借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数（x＞0）的最大（小）值．（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（x＞0）的图象：x…1/41/31/21234…y…545…（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x＝时，函数（x＞0）有最值（填“大”或“小”），是．（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，〕26．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）若函数y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？27．在平面直角坐标系xOy中，当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时，则称点P为图形W的“梦之点”．（1）已知⊙O的半径为1．①在点E（1，1），F（﹣，﹣），M（﹣2，﹣2）中，⊙O的“梦之点”为；②若点P位于⊙O内部，且为双曲线y＝（k≠0）的“梦之点”，求k的取值范围．（2）已知点C的坐标为（1，t），⊙C的半径为，若在⊙C上存在“梦之点”P，直接写出t的取值范围．（3）若二次函数y＝ax2﹣ax+1的图象上存在两个“梦之点”A（x1，y1），B（x2，y2），且|x1﹣x2|＝2，求二次函数图象的顶点坐标．28．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”阅读下列两则材料，回答问题材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，那么如何将双重二次根式（a＞0，b＞0，a±2＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（2+（）2＝a即m+n＝a，且使即m•n＝b，那么a±2＝（）2+（）2±2＝（2∴＝＝|，双重二次根式得以化简：例如化简：；∵3＝1+2且2＝1×2，∴3+2＝（）2+（）2+2∴＝＝1+材料二：在直角坐标系xoy中，对于点P（x，y）和点Q（x，y′）出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”例如，点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2）点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）问题：（1）请直接写出点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为；化简，＝；（2）点M为一次函数y＝﹣x+1图象上的点，M′为点M的横负纵变点，已知N（1，1），若M′N＝，求点M的坐标．（3）已知b为常数且1≤b≤2，点P在函数y＝﹣x2+16（+）（﹣7≤x≤a）的图象上，其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32＜y′≤32，若a 为偶数，求a的值．29．对于三个数a、b、c，M|a，b，c|表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M|﹣1，2，3|＝＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1；M|﹣1，2，a|＝＝，min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：（1）填空：M|，，|＝；min{﹣3，，﹣π}＝；（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；（3）若M|2，x+1，2x|＝min{2，x+1，2x}，求x的值；（4）如图，在同一平面直角坐标系中，画出了函数y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象，则min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为．30．定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y＝+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝的图象，则y＝+1是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y ＝的图象经过B、E两点．①求这个“反比例平移函数”的表达式；②这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请直接写出这个反比例函数的表达式．31．请阅读下述材料，并解答问题例：说明代数式+的几何意义，并求它的最小值．解：在平面直角坐标系中，已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）则这两点间的距离公式为：P1P2＝所以原式＝+如图建立直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则可以看成点P 与点A（0，1）的距离，可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段P A与PB的长度之和，它的最小值就是P A+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则P A＝P A′，因此，求P A+PB的最小值，只需求P A′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，P A′+PB的最小值为线段A′B的长度．为求A′B我们可以构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3，即原式的最小值为3解答问题：（1）代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B的距离之和（填写点B的坐标）；（2）代数式+的最小值为．32．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y＝的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB＝∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB＝∠AOB；（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．四、因式分解类33．阅读下列材料1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解，并最早给出因式分解定理．他认为，若一个高于二次的关于x的多项式能被（x﹣a）整除，则其一定可以分解为（x ﹣a）与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为0时，x＝a是关于x的这个方程的一个根．例如：多项式x2+9x﹣10可以分解为（x﹣1）与另外一个整式M的乘积，即x2+9x﹣10＝（x﹣1）M，令x2+9x﹣10＝0时，可知x＝1为该方程的一个根．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）．此时，不难发现x＝1是方程x3+2x2﹣3＝0的一个根．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a+b的值．（3）若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式．34．阅读理解：若一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如5是“平和数”，因为5＝22+1，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），我们称M也是“平和数”．（1）请你写一个小于5的“平和数”，并判断34是否为“平和数”．（2）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整数，k是常数，要使S为“平和数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．（3）如果数m，n都是“平和数”，试说明也是“平和数”．35．阅读下列材料解决问题两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，例如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7＝8+2＝10故37和82互为“调和数”．（1）下列说法错误的是A.123和51互为调和数”B.345和513互为“调和数C.2018和8120互为“调和数”D．两位数和互为“调和数”（2）若A、B是两个不等的两位数，A＝，B＝，A和B互为“调和数”，且A与B 之和是B与A之差的3倍，求满足条件的两位数A．36．请阅读以下材料，并解决相应的问题：材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子，在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与化归的目的，例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1＝0时，令x2＝t，则原方程可变为t2﹣2t+1＝0，解得t＝1，从而得到原方程的解为x＝±1．村料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列．如图为杨辉三角形：（1）利用换元法解方程：（x2+3x﹣1）2+2（x2+3x﹣1）＝3（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设a n是第n行的第2个数（其中n≥4），b n是第n行的第3个数，c n是第（n﹣1）行的第3个数．请利用换元法因式分解：4（b n﹣a n）•c n+137．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17“明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．38．阅读下列材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．39．任意三个正整数a、b、c，若满足a+b2﹣2c＝2，我们称这三个数组成的一组数为和谐数组，记为（a，b，c）．对每一和谐数组，我们用F（a，b，c）表示它的和谐度，规定：F（a，b，c）＝abc．例如：∵6+22﹣2×4＝2，∴（6，2，4）是和谐数组，F（6，2，4）＝6×2×4＝48．（1）（a，b，c）是和谐数组，求和谐度F（a，b，c）的最小值．（2）（a，b，c）是和谐数组，且a，b、c满足3a2﹣8b+c＝0．求和谐度F（a，b，c）的最小值．40．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为39．（1）26的“至善数”是，“明德数”是．（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被45整除；（2）若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半，求B的值．。

2021重庆中考数学阅读创新25题专题训练(含答案)

2021重庆中考数学阅读创新25题专题训练(含答案)

2021重庆中考数学阅读创新25题专题训练(含答案)2021重庆中考数学第25题专题训练二25.已知，我们把任意形如：t=abcba的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤8）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数中，3+2=5，所以就是一个喜马拉雅数。

并规定：能被自然数n整除的最大的喜马拉雅数记为F(n)，能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I(n)。

1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；2）求F(3)+I(8)的值。

解析：1）各数位数字之和a+b+c+b+a=2a+2b+c=2a+2b+(a+b)=3(a+b)因为a、b是整数，所以a+b是整数，所以任意一个喜马拉雅数都能被3整除。

2）F(3)=。

ab(a+b)baa+1110b3a+2b=8881263a+139b因为喜马拉雅数能被8整除，所以3a+2b能被8整除。

1≤a≤9.0≤b≤8.1≤a+b≤9，所以3≤3a+2b≤27，所以3a+2b=8,16或24.可得：I(8)=，所以F(3)+I(8)=+=.25.一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F(k)。

如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记F(722)=4.1) 计算：F(304)+F(2052)；2) 若m、n都是“魅力数”，其中m=3030+101a，n=400+10b+c(≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，a、b、c是整数)，规定：G(m,n)=(a-c)/b。

当F(m)+F(n)=24时，求G(m,n)的值。

解析：1) F(304)=16，F(2052)=9，所以F(304)+F(2052)=25.2) 设“平衡数”N=mnpq。

由题可得：m+n=p+q，p=2n-1.所以N=1000m+100n+10p+q=1001m+101n+9p=1001m+119n-9.因为N能被11整除，所以1001m+119n-9能被11整除，所以m+n-9能被11整除。

专练十 材料阅读(数论)(解析版)-2022年中考数学双减改革重点题型专练

专练十 材料阅读(数论)(解析版)-2022年中考数学双减改革重点题型专练

2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）专练十、材料阅读（数论）1．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：238＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以238是“方加数”．（1）判断212是否是“方加数”？并说明理由；（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．【解答】解：（1）212＝112+91，∴212是“方加数”；（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10﹣m，个位数是n，∴N的各位数字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，∵N能被3整除，∴n＝1或n＝4或n＝7，当n＝1时，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，∵N能被7整除，∴m＝3，∴M＝312+71＝1032；当n＝4时，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，∵N能被7整除，∴m＝7；∴M＝742+34＝5510；当n＝7时，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，∵N能被7整除，∴m＝4；∴M＝472+67＝2276；综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．2．一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“双十数”；又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“双十数”．（1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由；（2）自然数N＝A×B为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两数位记为q，例如：∵N＝23×37＝851，∴p＝8，q＝51；又如：∵N＝61×79＝4819，∴p＝48，q＝19．若A与B的十位数字之和能被5整除，且2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N．【解答】解：（1）∵297＝11×27，∵11和27的十位数字相差1，但个位数字1+7≠10，∴297不是“双十数”．∵875＝25×35，25和35十位数字相差1，且个位数字5+5＝10，∴875是“双十数”；（2）∵A与B的十位数字之和能被5整除，由“双十数”的定义可知：A的十位数字和B的十位数字分别为2，3或7，8，①A的十位数字和B的十位数字分别为2，3时，设B的个位数字为x，则A的个位数字为10﹣x，则A为20+10﹣x＝30﹣x，B为30+x，则N＝（30﹣x）（30+x）＝900﹣x2，∵0＜x＜10且x为整数，∴0＜x2＜100，∴800＜900﹣x2＜900，∴p＝8，q＝900﹣x2﹣800＝100﹣x2，∴2p+q＝2×8+100﹣x2＝116﹣x2，∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，∴为整数，∴＝＝10﹣x+，∵10﹣x为整数，∴只需为整数，∴x+10＝16，解得x＝6，∴A为30﹣6＝24，B为30+6＝36，∴N为24×36＝864；②A的十位数字和B的十位数字分别为7，8时，设B的个位数字为y，则A的个位数字为10﹣y，则A为70+10﹣y＝80﹣y，B为80+y，则N＝（80﹣y）（80+x）＝6400﹣y2，∵0＜y＜10且y为整数，∴0＜y2＜100，∴6300＜6400﹣y2＜6400，∴p＝63，q＝6400﹣y2﹣6300＝100﹣y2，∴2p+q＝2×63+100﹣y2＝226﹣y2，∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，∴为整数，∴＝＝10﹣y+，∵10﹣y为整数，∴只需为整数，∴y+10＝14或18，解得y＝4或8，∴A为80﹣4＝76，B为80+4＝84或A为80﹣8＝72，B为80+8＝88，∴N为76×84＝6384或72×88＝6336．综上所述，所有满足条件的自然数N为864或6384或6336．3．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）＝，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，∴6342是“整和差数”．又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）＝不为整数，∴4261不是“整和差数”．（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．【解答】解：（1）∵7736满足7+3＝10，7﹣6＝1，且P（7736）＝20，F（7736）＝10，即G（7736）＝2为整数，∴7736是“整和差数”；∵5352满足5+5＝10，3﹣2＝1，但P（5352）＝12，F（5352）＝8，即G（5352）＝1.5不为整数，∴5352不是“整和差数”；（2）∵M＝2000a+1000+100b+10c+d＝1000×（2a+1）+100×b+10c+d，∴M的千位数字为（2a+1），百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，∵M是“整和差数”，∴d＝b﹣1，c＝9﹣2a，∴，①当a＝1时，不为整数；②当a＝2时，不为整数；③当a＝3时，，∴b+3＝5或10，即b＝2或7，∴M的值为7231，7736；④当a＝4时，，∴b+1＝4或8，即b＝3或7，∴M的值为9312，9716．综上所述，M的值为7231，7736，9312，9716．4．对于任意实数a，b，定义一种新运算，记为a⊗b，当a≤b时，a⊗b＝a+b；当a＞b 时，a⊗b＝a2﹣b2+4．（等号右边皆为通常的加法、减法和乘法）例如：对于2⊗3，因为2＜3，所以2⊗3＝2+3＝5；对于5⊗2，因为5＞2，所以5⊗2＝52﹣22+4＝25．（1）求[（﹣1）⊗4]⊗（﹣）的值；（2）若x，y为非负整数，且x2﹣y2≤30，四位数M的百位数字为x，十位数字为y，千位数字比百位数字小1，个位数字是十位数字的2倍，且（3x﹣y）⊗（3y﹣x）能被7整除，求满足条件的所有M．【解答】解：（1）根据题意：[（﹣1）⊗4]⊗（﹣）＝（﹣1+4）⊗（﹣）＝3⊗（﹣）＝32﹣（﹣）2+4＝12；（2）由题意得：个位数字为2y，千位数字为（x﹣1），∵千位数字不能为0，∴x﹣1≥0，解得x≥2，∵个位数字2y＜10，∴y＜5，分两种情况讨论：①（3x﹣y）≤（3y﹣x），解得：x≤y，∴①（3x﹣y）⊗（3y﹣x）＝3x﹣y+3y﹣x＝2（x+y），当x+y＝7时，（不合题意，舍去），符合题意；∴M的值为：2348；当x+y＝14时，x≤y＜5不合题意；②（3x﹣y）＞（3y﹣x），解得：x＞y，∴（3x﹣y）⊗（3y﹣x）＝（3x﹣y）2﹣（3y﹣x）2＝8（x2﹣y2）+4＝7（x2﹣y2）+（x2﹣y2）+4，∴x2﹣y2+4能够被7整除，而x2﹣y2≤30，∴x2﹣y2＝3，即（x+y）（x﹣y）＝3，（其余情况不合题意），∴x＝2，y＝1，∴M的值为：1212；综上，M的值为：2348或1212．5．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A 与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“等十数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“巧拆分”．例如：∵616＝28×22，28和22的十位数字相同，个位数字之和为10，∴616是“等十数”．又如：∵272＝17×16，17和16的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴272不是“等十数”．（1）判断195，624是否是“等十数”？并说明理由；（2）把一个四位“等十数”M进行“巧拆分”，即M＝A×B，A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的和记为E（M），A的各个数位数字之和与B的各个数位之和的差的绝对值记为F（M）令G（M）＝，当G（M）能被5整除时，求出所有满足条件的M．【解答】解：（1）∵195＝13×15，∵13和15十位数字相同，但个位数字3+5≠10，∴195不是“等十数”．∵624＝24×26，24和26十位数字相同，且个位数字4+6＝10，∴624是“等十数”．（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“等十数”，∴3≤m≤9，1≤n≤9，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，∴E（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，F（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．∴（k是整数）．∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整数，∴m+5＝10，∴或∴当m＝5时，n＝6或4，当m＝5时，n＝7或3，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝56×54＝3024或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝57×53＝3021，综上，满足条件的M有：3024，3021．6．若一个四位数t的前两位数字相同且各位数字均不为0，则称这个数为“前介数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这个新的四位数为“中介数”；记一个“前介数”t与它的“中介数”的差为P（t）．例如，5536前两位数字相同，所以5536为“前介数”；则6553就为它的“中介数”，P（5536）＝5536﹣6553＝﹣1017．（1）P（2215）＝﹣3006，P（6655）＝990．（2）求证：任意一个“前介数”t，P（t）一定能被9整除．（3）若一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，请求出满足条件的P（t）的最大值．【解答】解：（1）P（2215）＝2215﹣5221＝﹣3006，P（6655）＝6655﹣5665＝990．故答案为：﹣3006，990；（2）证明：设任意一个“前介数”t为，则P（t）＝1100a+10b+c﹣（1000c+110a+b）＝990a+9b﹣999c＝9（110a+b﹣111c），则P（t）一定能被9整除；（3）∵一个千位数字为2的“前介数”t能被6整除，它的“中介数”能被2整除，∴这个“前介数”t为2226或2244或2262或2268或2286，∴P（2226）＝2226﹣6222＝﹣3996，P（2244）＝2244﹣4224＝﹣1980，P（2262）＝2262﹣2226＝36，P（2268）＝2268﹣8226＝﹣5958，P（2286）＝2286﹣6228＝﹣3942，∴满足条件的P（t）的最大值是36．7．材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字大，我们称它为“上升数”．如果一个三位“上升数”满足百位数字与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“完全上升数”．例如：A＝123，满足1＜2＜3，且1+2＝3，所以123是“完全上升数”；B＝346，满足3＜4＜6．且3+4≠6，所以346不是“完全上升数”．材料二：对于一个“完全上升数”m＝100a+10b+c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m′＝100c+10b+a，规定：F（m）＝．例如：m＝123为“完全上升数”m′＝321，F（m）＝＝6．（1）判断“上升数168，235是否为“完全上升数”，并说明理由．（2）若m是“完全上升数”，且m与m′的和能被7整除，求F（m）的值．【解答】解：（1）∵1+6＝7≠8，2＜3＜5，2+3＝5，∴168不是“完全上升数”，235是“完全上升数”．（2）∵m＝100a+10b+c，m′＝100c+10b+a，∴m+m′＝101a+20b+101c．∵m是”完全上升数“，∴a+b＝c．∴m+m′＝101a+20b+101a+101b＝202a+121b．m′﹣m＝99b．∵202÷7＝28•••6，121÷7＝17•••2．∴当6a+2b能被7整除时，m+m′能被7整除．∴当a＝1，b＝4时，6a+2b＝14符合题意，m′﹣m＝99×4＝396．∴F（m）＝＝12．当a＝3，b＝5时，6a+2b＝28符合题意，m′﹣m＝99×5＝495．∴F（m）＝＝15．∴F（m）＝12或15．8．对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“时空伴随数”，用“时空伴随数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为F（m）．例如：m＝143，满足1＜3，且1+3＝4，所以143是“时空伴随数”，则F（143）＝42﹣32﹣12＝6；例如：m＝395，满足3＜5，但是3+5≠9，所以395不是“时空伴随数”；再如：m＝352，满足3+2＝5，但是3＞2，所以352不是“时空伴随数”．（1）判断264和175是不是“时空伴随数”？并说明理由；（2）若t是“时空伴随数”，且t的3倍与t的十位数字之和能被7整除，求满足条件的“时空伴随数”t以及F（t）的最大值．【解答】解：（1）264是“时空伴随数”，175不是“时空伴随数”，理由如下：∵2＜4且2+4＝6，∴264是“时空伴随数”．∵1＜5但是1+5≠7，∴175不是“时空伴随数”．（2）∵t是“时空伴随数”，∴设t＝a×100+（a+b）×10+b，（1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，a，b均为整数）．∴3t+（a+b）＝331a+34b＝7（47a+5b）+2a﹣b能被7整除．∴2a﹣b是7的倍数，∵1≤a≤4，2≤b≤8，3≤a+b≤9，a＜b，∴﹣6≤2a﹣b≤6，∴2a﹣b＝0，∴或或，t＝132，264，396，F（132）＝32﹣22﹣12＝4，F（264）＝62﹣42﹣22＝16，F（396）＝92﹣62﹣32＝36，∵4＜16＜36，∴F（t）的最大值为36．9．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“君子数”，如34的“君子数”为364；若将一个两位正整数M 加6后得到一个新数，我们称这个新数为M的“淑女数”，如32的“淑女数”为38．（1）35的“君子数”是365，“淑女数”是41．（2）求证：对任意一个两位正整数A，其“君子数”与“淑女数”之差能被18整除；（3）若一个两位正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的，求B的值．【解答】解：（1）根据题意得，35的“君子数”是365，“淑女数”是41，故答案为：365，41；（2）设一个正整数A的个位数字为b，十位数字为a（0≤a≤9，0＜b≤9，且a，b为整数），则正整数A，其“君子数”为100a+60+b，它的“淑女数”为10a+b+6，∴正整数A的“君子数”与“淑女数”之差为（100a+60+b）﹣（10a+b+6）＝90a+54＝18（5a+3），∵a为整数，∴18（5a+3）能被18整除；即任意一个两位正整数A，其“君子数”与“淑女数”之差能被18整除；（3）设一个正整数B的个位数字为m，十位数字为n（0≤m≤9，0＜n≤9，且m，n为整数），∴正整数B的“君子数”为100n+60+m，其各位数字之和为m+n+6，①当0≤m＜4时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为m+n+6，此时，正整数B的“淑女数”和“君子数”的各位的数字之和相等，不符合题意，②当4≤m≤9时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为n+1+（m+6﹣10）＝m+n﹣3，∵正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的，∴m+n﹣3＝（m+n+6），∴m+n＝6，∵4≤m≤9，0＜n≤9，∴当m＝4时，n＝2，当m＝5时，n＝1，当m＝9，n＝9时，正整数B的“淑女数”的各位数字之和为6，正整数B的“君子数”为900+60+9，其各位数字之和为24，符合正整数B的“淑女数”的各位数字之和是B的“君子数”各位数字之和的，∴正整数B为24或15或99．10．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．【解答】解：（1）312是“好数”，因为3，1，2都不为0，且3+1＝4，4能被2整除，675不是“好数”，因为6+7＝13，13不能被5整除；（2）611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），∴a+a+5＝2a+5，当a＝1时，2a+5＝7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当a＝2时，2a+5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当a＝3时，2a+5＝11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当a＝4时，2a+5＝13，∴13能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．11．如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．思路分析：根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤，…请根据这个思路直接写出x、y的值为，或或；（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．【解答】解：（1）82121是“幸运数”，254154不是“幸运数”；理由：∵121﹣82＝39，能被13整除，∴82121是“幸运数”，∵254﹣154＝100，不能被13整除，∴254154不是“幸运数”；（2）∵1≤x≤9，0≤y≤5，∴2≤2x+y≤23，∵2x+y能被13整除，则2x+y＝13，∴y＝13﹣2x，∵0≤y≤5，∴0≤13﹣2x≤5，∴4≤x≤，∵1≤x≤9，x为整数，∴x＝4或5或6，即或或，故答案为：或或；（3）设这个四位数的千位数字为a，十位数字为b（1≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），由题意知，100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，∵99a+11b＝104a+13b﹣5a﹣2b＝13（8a+b）﹣（5a+2b），∴5a+2b能被13整除，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴5≤5a+2b≤63，∴5a+2b＝13或26或39或52，∴或或或或或，∴这个四位自然数为1144或2288或4433或5577或7722或8866，∴最大数为886，最小为1144，即满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为8866﹣1144＝7722．12．若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，得＝n，即a＝bn，例如：若整数a能99整除，则一定存在整数n，使得＝n，即a＝99n将一个数从最后两位开始，两位一截所得的所有数（如果有偶数个数位，则拆出的数都是两位数：如果有奇数个数位，则拆出的数中有若干个两位数和一个一位数）的和能被99整除，那么原数一定能被99整除．例如：自然数202106，先分成20，21，06，因为20+21+6＝47，47不能被99整除，故202106不能被99整除；自然数4173543，先分成4，17，35，43，因为4+17+35+43＝99，99能被99整除，故4173543能被99整除．一个能被99整除的自然数我们称为“完美数”．（1）自然数264033能被99整除，5201314不能被99整除；（请填入“能”或者“不能”）（2）证明：满足上述规律的四位数是“完美数”；（3）若五位整数能被99整除，请求出所有符合要求的五位整数．【解答】解：（1）自然数264033，先分成26，40，33，因为26+40+33＝99，99能被99整除，故264033能被99整除；自然数5201314，先分成5，20，13，14，因为5+20+13+14＝52，52不能被99整除，故5201314不能被99整除；故答案为能，不能；（2）设满足上述规律的四位数为（0＜c≤9，0≤d≤9，0≤e≤9，0≤f≤9，且为整数），先分成+＝10c+d+10e+f，∵10c+d+10e+f能被99整除，设10c+d+10e+f＝99n（n为正整数），∴10e+f＝99n﹣（10c+d），则＝1000c+100d+10e+f＝1000c+100d+99n﹣（10c+d）＝990c+99d+99n＝99（10c+d+n），∵c，d，n为整数，∴99（10c+d+n）能被99整除，∴四位数为能被99整除，即满足上述规律的四位数是“完美数”；（3）∵五位整数能被99整除，先分成4，，，∴4++＝4+10+b+70+a＝a+b+84能被99整除，∵0≤a≤9，0≤b≤9，∴84≤a+b+84≤102，∴a+b+84＝99，∴a+b＝15，∴a＝6，b＝9或a＝7，b＝8或a＝8，b＝7或a＝9，b＝6，∴符合要求的五位整数41976或41877或41778或41679．13．任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A＝2016，B＝6102，则A 和B就是一对四位回文数．现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾．在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261．它们的和为：610+102+26+261＝999，把999称为2016回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数；猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0＜y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出符合条件的所有四位正整数．【解答】解：（1）一个四位正整数的回文数作三位数的和能被111整除．例如A＝1234和B＝4321是一对四位回文数，设一个4位数为（a，b，c，d整数），则这个数的回文数为，则由题知这个回文数作三位数的和为+++＝（100d+10c+b）+（100c+10b+a）+（100b+10a+d）+（100a+10d+c）＝111（a+b+c+d），∵a，b，c，d为整数，∴a+b+c+d为整数，∴一个四位正整数的回文数作三位数的和能被111整除；（2）正整数的回文数是，则回文数作三位数的和为：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1＝100x+100y+222＝111（x+y+2）＝37×3（x+y+2），由题意得，x+y+2＝9或x+y+2＝18，则x+y＝7或x+y＝16，当x+y＝7时，∵0≤x≤9，0＜y≤9，且x，y均为整数，∴或或或或或或，∴四位正整数为1611或1512或1413或1314或1215或1116或1017，当x+y＝16时，∵0≤x≤9，0＜y≤9，且x，y均为整数，∴或或；∴四位正整数为1917或1818或1719，即满足条件的所有四位正整数为1611或1512或1413或1314或1215或1116或1017或1917或1818或1719．14．在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对折数”．例如在正整数3197中，因为3+7＝1+9＝10，所以3197是“对折数”，其中k＝10，再如在正整数13457中，因为1+7＝3+5＝4+4＝8，所以13457是“对折数”，其中k＝8．（1）已知P＝200+10x+6，Q＝3000+100y+47，其中x，y为正整数，1≤x≤9，1≤y≤9，当P，Q均为“对折数”时，求x，y的值；（2）设某四位“对折数”的千位上的数字为a（1≤a≤9，a为整数），百位上的数字为b（0≤b≤9，b为整数），已知k＝6，且该四位“对折数”能被11整除，求满足条件的四位“对折数”．【解答】解：（1）∵P＝200+10x+6，其中x为正整数，1≤x≤9，∴P是三位数，百位数字为2，十位数字为x，个位数字为6，∵P为“对折数”，∴x+x＝2+6，∴x＝4，∵Q＝3000+100y+47，其中y为正整数，1≤y≤9，∴Q是四位数，千位数字为3，百位数字为y，十位数字为4，个位数字为7，∵Q为“对折数”，∴y+4＝3+7，∴y＝6；（2）根据题意得，四位数的十位数字为6﹣b，个位数字为6﹣a，∵1≤a≤9，0≤b≤9，a，b为整数，∴0≤6﹣a＜6，0≤6﹣b≤6，∴0＜a≤6，0≤b≤6，a，b为整数，∴四位数为1000a+100b+10（6﹣b）+6﹣a＝999a+90b+66＝11（90a+8b+6）+（9a+2b），∵四位数能被11整数，∴9a+2b能被11整除，∵1≤a≤6，0≤b≤6，a，b为整数，∴9≤9a+2b≤66，∴9a+2b＝11或22或33或44或55或66，∴①当9a+2b＝11时，∴b＝，∴a＝1，b＝1，此时，四位数为1155，②当9a+2b＝22时，∴b＝11﹣a，∴a＝2，b＝2，此时，四位数为2244，③当9a+2b＝33时，∴b＝，∴a＝3，b＝3，此时，四位数为3333，④当9a+2b＝44时，∴b＝22﹣a，∴a＝4，b＝4，此时，四位数为4422，⑤当9a+2b＝55时，∴b＝，∴a＝5，b＝5，此时，四位数为5511，⑥当9a+2b＝66时，∴b＝33﹣a，∴a＝6，b＝6，此时，四位数为6600，即满足条件的四位“对折数”为1155或2244或3333或4422或5511或6600．15．阅读下列材料，解决问题：三位数的“衍生数”一个三位正整数x，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从x的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为x的“衍生数”．如654，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：65，64，56，54，46，45．它们都是654的“衍生数”．（1）整数789所有的“衍生数”为78，79，87，89，97，98；（2）若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为a，十位数字为1，个位数字为4．用含a的代数式表示这个三位数为100a+14；（3）请从A，B两题中任选一题作答．A．用含a的代数式表示（2）中那个三位数的所有衍生数”，并说明它的所有“衍生数”的和能被22整除．B．一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，请说明它的所有“衍生数”的和能被22整除．【解答】解：（1）整数789所有的“衍生数”为78，79，87，89，97，98．故答案为：78，79，87，89，97，98；（2）用含a的代数式表示这个三位数为100a+14．故答案为：100a+14；（3）A．（2）中三位数的所有“衍生数”为：10a+1，10a+4，10+a，14，40+a，41，它的所有“衍生数”的和为：10a+1+10a+4+10+a+14+40+a+41＝22a+110＝22（a+5），∵a为正整数，∴a+5也是正整数，∴它的所有“衍生数”的和能被22整除．B．设这个三位正整数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且a，b，c为小于10的均不为零且互不相等的整数，它的所有“衍生数”的和为：10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b＝22a+22b+22c＝22（a+b+c），∵a，b，c为正整数，∴a+b+c也是正整数，∴它的所有“衍生数”的和能被22整除．。

重庆2021年中考数学专题复习——阅读材料题(4)

重庆2021年中考数学专题复习——阅读材料题(4)
求： 的值.
解法一：由2m2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n，∴
得 ……………………………………………………（3分）
根据 的特征
∴ 是方程x2+5x-2=0的两个不相等的实数根……………（6分）
∴ ………………………………………………………（8分）
解法二：由 得2n2-5n-1=0……………………………………（3分）
重庆2021年中考数学专题复习——阅读材料题（3）
1、阅读材料，解答问题：
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(－3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线 上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5……(如图12所示)。过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则
⑴ 判断函数 （x﹥0）和 （-4﹤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求出其边界值。
⑵ 若函数 （a≤x≤b，b﹥a）边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围。
⑶ 将函数 （-1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界是t，当m在什么范围时满足 ≤t≤1
12阅读材料：
问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为__________________（用含绝对值的式子表示）．
问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是___________，②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是_____；当x的取值范围是___________时，|x|+|x﹣2|取得最小值，最小值是_____________

重庆中考数学题特殊数字类——阅读理解专题

重庆中考数学题特殊数字类——阅读理解专题

年重庆中考数学题特殊数字类——阅读理解专题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：重庆中考数学——阅读理解专题1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818⨯=，∴1|8；Θ155⨯-=-，∴5|5--；Θ5210⨯=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ；（2）若7|21k +，且k 为整数，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-53134k k ，求k 的值.2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n ba=，即bn a =。

例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a=3，即n a 3=。

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。

例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。

请你证明任意一个四位数都满足上述规律。

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ．5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.7、对于实数x ，y 我们定义一种新运算()L x y ax by =+，（其中a ，b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为()L x y ，，其中x ，y 叫做线性数的一个数对．若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对．(1) 若()3L x y x y =+，，则(21)L =，___________，31()22L =，___________； (2) 已知(2)1L -=-1，，1()232L =1，． ①____________a b ==，；②若正格线性数(2)L m m -，，求满足50(2)100L m m <-<，的正格数对有多少个；③若正格线性数()76L x y =，，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．8．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？9、．有一个n 位自然数abcd gh L 能被0x 整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd gha L 能被01x +整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd ghab L 能被02x +整除，按此规律轮换后，d ghabc L 能被03x +整除，…，habc g L 能被01x n +-整除，则称这个n 位数abcd gh L 是0x 的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”.（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.（2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中2a =，求这个三位自然数abc .10．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：220-00=，220-11=，221-23=， 220-24=，222-35=，223-47=， 221-38=，224-59=，225-611=，．．．．小王认为小明的方法太麻烦，他想到:设k 是自然数，由于12)1)(1)122+=-+++=-+k k k k k k k （（． 所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题： (1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数．(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．11．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制。

重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(二)几何相关

重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(二)几何相关

中考专题训练九阅读理解题型问题（二）二、综合型阅读理解例3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中(,0)A t 、(2,0)B t +两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离不大于1，则称P 为线段AB 的“环绕点”． （1）当3t =-时，①在点1(0,1)M ，2(0,0)M ，3(2,1)M --中，线段AB 的伴随点是 ；②在直线2y x b =+上存在线段AB “环绕点”M 、N ，且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点(2,0)的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30︒得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的“环绕点”，直接写出t 的取值范围．例4.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由ABC ADE ABE ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形得：22111()2222a b ab c +=⨯+，化简得：222a b c +=．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x 的方程22x ax b +=的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2a BC =，||ACb =，再在斜边AB 上截取2aBD =，则AD 的长就是该方程的一个正根（如实例二图）． 请根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）①如果,αβ都为锐角，且11tan ,tan 23αβ==，结合条件作出图1，则由图1可得αβ+= 。

（2）②如果,αβ都为锐角，且3tan 4,tan 5αβ==，则可在图2的正方形网络中，利用已作出的锐角α，画出=MON αβ∠-，由此可得αβ-= 。

中考数学-阅读材料题综合专题(重庆育才试题集)-含答案

中考数学-阅读材料题综合专题(重庆育才试题集)-含答案

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．2（育才2020级初三下中考模拟5月份）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．3（育才2020级初三下中考模拟二）先阅读，再解答问题．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当x＝时，求﹣x2﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2＝（3x﹣3x）+2＝2方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即，x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；（2）已知x＝2+，求的值．4（育才2020级初三下中考模拟三））阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）解：原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）……＝例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）根据材料解决下列问题：（1）计算：；（2）小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x4+4；②计算：．5（育才2019级初三下中考模拟一）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决间题：（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）计算：+；（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值6（育才2020级初三下中考模拟二练习）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+= ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a、b、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.8（育才2020级初三下入学测试）阅读材料：材料1：数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：11、171、1661、134431、…，像这样的数我们叫它“完美数”．材料2：如果一个三位数abc ，满足9=++c b a ，我们就称这个三位数为“长久数”．（1）请直接写出既是“完美数”又是“长久数”的所有三位数；（2）若三位数是大于500的“完美数”，它的各位数字之和等于k ，k 是一个完全平方数且k 为奇数，求这个三位数（请写出必要的推理过程）．9（育才2020级初三上第二次月考）阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m 都可以表示为：q p m +=2（p 、q 是正整数），在m 的所有这种表示中，如果q p -最小时，规定：()pq m F =．例如：21可以表示为：54123172201212222+=+=+=+=，因为54123172201->->->-，所以()4521=F ．（1）求()33F 的值；（2）如果一个正整数n 可以表示为t t -2（其中2≥t ，且是正整数），那么称n 是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n ，都有()1=n F ；（3）一个三位自然数k ，c b a k ++=10100（其中90,90,91≤≤≤≤≤≤c b a ，且c a ≤，c b a ,,为整数，）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k 与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k 中()k F 的最小值．10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）一个形如abcde 的五位自然数（其中a 表示该数的万位上的数字，b 表示该数的千位上的数字，c 表示该数的百位上的数字，d 表示该数的十位上的数字，e 表示该数的个位上的数字，且0,0a b ≠≠），若有,a e b d ==且c a b =+，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，224334693-=，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。

2020年重庆市中考数学汇编之阅读理解

2020年重庆市中考数学汇编之阅读理解
（2）如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数．若四位数 m 为“极数”，记 D(m)＝3m3,求满足 D(m)是完全平方数的所有 m．
5．【2020 巴蜀 9 上期末】平面直角坐标系中有两点， A(x1, y1), B(x2, y2 ), 我们定义 A、B 两 点间的"k 值"直角距离 dk (A, B), 且满足 dk (A, B) k | x1 x2 | | y1 y1 |, 其中 k＞ 0．小静和佳佳在解决问题： [求点 O(0，0)与点 M(2，5)的“1 值"直角距离 d1(O, M ) ]
x， y， z，我们对自然数 m 规定一个运算： F(m) x2 y2 z2. 例如：m＝752，其
各个数位上的数字分别 3 倍后再取个位数字分别是： 1、5、6，则
F(752) 12 52 62 62.
请解答： (1)根据材料内容，求出 F (234) －F (567)的值；
(2)已知两个三位数 p a3a, q 3b3 (a, b 为整数，且 2≤a≤7， 2≤b≤7)，若 p q 能
（1）判断 2019 和 2020 是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于 100 的“纯数”的个数．
4．(2018﹒重庆）对任意一个四位数 n，如果千位与十位上的数字之和为 9，百位与个位上 的数字之和也为 9，则称 n 为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 99 的倍数，请说明理 由；
例如： F(154) (1 4)2 52 0, F(3154)＝|(3＋5)2－(1＋4)2|＝39． (1)若 27mn 是一个进步数，求 F (27mn) 的值；
(2)求证：所有的进步数都能被 6 整除。

重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题

重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题

数字为载体的阅读理解题一．解答题（共40小题）1．（2018•南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2．（2018春•沙坪坝区校级期中）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F（n）．例如：n=1526，因为1+6=2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615=1554，1154÷222=7，所以F（1526）=7．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应的F（n）的值；（2）若s，t都是“平衡数”，其中s=10x+y+3201，t=1000m+10n+126（0≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，x，y，m，n都是整数），规定：k=，当F（s）+F（t）是一个完全平方数时，求k的最大值．3．（2018•南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）=，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．4．（2018•重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．5．（2017•沙坪坝区校级一模）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．6．（2017秋•渝中区月考）将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（a＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c ﹣2b|最小时，我们称是n的“天时数”，并规定F（n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称是n的“地利数”，并规定G（n）=ac﹣b2．并规定M（n）=是n的“人和数”，例如：215可以重新排列为125，152，215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且2＜5＜7，所以125是215的“天时数”F（215）=22﹣1×5=﹣1，152是215的“地利数”，G（215）=1×2﹣52=﹣23，M（215）=．（1）计算：F（168），G（168）；（2）设三位自然数s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若s﹣t=693，那么我们称s为“厚积薄发数”；请求出所有“厚积薄发数”中M（s）的最大值．7．（2018•长寿区模拟）对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N 整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．8．（2018•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x 和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．9．（2018春•沙坪坝区期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）=．例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）求F（18）﹣F（16）；（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值．10．（2017春•巫溪县校级月考）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．11．（2018春•九龙坡区校级期中）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“能”或“不能”）被17整除，36125（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y ≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．12．（2016秋•沙坪坝区校级期末）阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t两加数之差的绝对值最小，称s+r为m 的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）=，F（9）=：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q 为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．13．（2017春•涪陵区期末）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．14．（2018春•北碚区校级月考）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z=2x．（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．15．（2017•江北区校级模拟）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q （p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=．（1）求F（18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．16．（2017春•渝中区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．17．对于一个三位正整数m各数位上的数字重新排序后得到新数（a≥b且a，b，c均不为零且可以与m相同），当所有重新排列中最小时，则称为m的“倍约数”，并规定F（m）=c2﹣（a+b）2，其中[a，b]表示a，b 的最小公倍数，（a，c）表示a，c的最大公约数，如：m=324时，重新排列432、423重，因为==6，==4，且4＜6，所以423是m=324的“倍约数”，此时F（m）=32﹣（4+2）2=﹣27，若m=522，重新排列522，225，因为==10，==2，且2＜10，所以225是m=522的“倍约数”，此时F（m）=52﹣（2+2）2=9．根据以上阅读材料，解决下列问题．（1）若三位正整数m能被19整除，且m百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证：F（m）是一个完全平方数．（2）已知三位正整数m，n均小于300的完全平方数，且m﹣n=p（p为质数），当m最大时，求F（m）的值．18．（2018春•汉阳区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．19．（2017•沙坪坝区校级三模）若一个三位数t=（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）．例如，357的差数T（357）=753﹣357=396．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞1）的差数T（）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；（2）若一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值．20．（2017秋•埇桥区月考）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（143），F（624）；（2）若m是“相异数”，m的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多3，且F（m）=22，“相异数”m是多少？（3）若s，t都是“相异数”，其中s=100a+35，t=160+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数），当F（s）+F（t）=22时，求a+b的值．21．（2018春•沙坪坝区校级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．22．（2018•重庆模拟）根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．23．（2016秋•渝中区校级期末）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．24．（2018秋•沙坪坝区校级月考）若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“天平数”．将“天平数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“天平数”n′，记F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9（1）计算F（5335）=；若“天平数”n满足F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；（2）s、t“天平数“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b，xy为整数），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，规定：K （s，t）=，求K（s，t）的所有结果的值．25．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．26．（2017•沙坪坝区校级模拟）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．27．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设s′=，在s′所有的可能情况中，当|x+3y﹣z|最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P（s）=x2+3y2﹣z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为|2+3﹣7|=2，|1+21﹣2|=20，|7+6﹣1|=12，2＜12＜20，所以172是172的“梦想数”，此时，P（127）=12+3×72﹣22=144．（1）求512的“梦想数”及P（512）的值；（2）设三位自然数S=交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若29s+7s′=4887，且P（s）能被7整除，求s的值．28．（2018•重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．29．（2018春•沙坪坝区校级期末）若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y 均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．30．（2017春•开州区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题．如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”．如2112，5225，7667，…等都是“四位友谊数”．如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”，如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110．（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由．（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b ＜a）．若这个“四位友谊数”与它的姊妹数的差能被486整除，求这个四位友谊数．31．（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．32．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．33．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．34．（2018•沙坪坝区校级一模）对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m 十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m中3和6之间，将n个位上的0放置于m 中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．35．（2018春•渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p=23，q=15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F （23，15）=308．（1）计算：F （13，26）；（2）若a=10+m，b=10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F （a，18）+F（b，26）=32761时，求m+n的值．36．阅读材料：若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”．如1005、2211等都是欢喜数．若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数．一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题．（1）证明所有的三位“半和数”均能被11整除；（2）若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m 的值．37．（2017秋•南岸区校级期中）对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）=；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．38．（2018春•顺义区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字。

2019年重庆中考数学题型专练-新定义阅读理解题(10道)

2019年重庆中考数学题型专练-新定义阅读理解题(10道)

新定义阅读理解题1.阅读下列材料，解答下列问题：材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”.如：65362，362-65=297=11×27，称65362是“网红数”.材料二：对任意的自然数p 均可分解为p =100x +10y +z （x ≥0，0≤y ≤9,0≤z ≤9且想，x ，y ，z 均为整数），如：5278=52×100+10×7+8，规定：G （p ）= zx x z x x -++-+112）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：s =300+10b +a ，t =1000b +100a +1142（1≤a ≤7,0≤b ≤5，且a 、b 均为整数），当s +t 为“网红数”时，求G （t ）的最大值.（1）证明：设两个“网红数”为mn ，ab （n ，b 分别为mn ，ab 末三位表示的数，m ，a 分别为mn ，ab 末三位之前的数字表示的数），则n -m =11k 1，b -a =11k 2， ∴mn +ab =1001m +1001a +11（k 1+k 2）=11（91m +91a +k 1+k 2）.又∵k 1，k 2，m ，n 均为整数，∴91m +91a +k 1+k 2为整数，∴任意两个“网红数”之和一定能被11整除.（2）解：s =3×100+10b +a ，t =1000（b +1）+100（a +1）+4×10+2，S +t =1000（b +1）+100（a +4）+10（b +4）+a +2，①当1≤a ≤5时，s +t =））（）（）（（2a 4b 4a 1b ++++， 则））（）（（2a 4b 4a +++-（b +1）能被11整除，∴101a +9b +441=11×9a +2a +11b -2b +40×11+1能被11整除，∴2a -2b +1能被11整除.∵1≤a ≤5，0≤b ≤5，∴-7≤2a -2b +1≤11，∴2a -2b +1=0或11，∴a =5，b =0，∴t =1642，G （1642）=17141， ②当6≤a ≤7时，s +t =））（）（）（（2a 4b 6a 2b ++-+， 则））（）（（2a 4b 6a ++--（b +2）能被11整除， ∴101a +9b -560=11×9a +2a +11b -2b -51×11+1能被11整除，∴2a -2b +1能被11整除.∵6≤a ≤7，0≤b ≤5，∴3≤2a -2b +1≤15，∴2a -2b +1=11，∴⎩⎨⎧==1b 6a ，⎩⎨⎧==2b 7a ， ∴t =2742或3842，G （2742）=28251，G （3842）=39361， 综上，G （t ）的最大值为39361. 2.若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b .定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P 所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．(1)请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；(2)已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．解：(1)6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴m 1＋m 2＝7，m 1－m 2＝3，∴⎩⎨⎧==2m 5m 21，∴⎩⎨⎧==39k 228k 21. 3.若在一个两位正整数 N 的个位数字与十位数字之间添上数字 2 ，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为 N 的“诚勤数”，如 34 的“诚勤数”为 324 ；若将一个两位正整数 M 加 2 后得到一个新数，我们称这个新数为 M 的“立达数”，如 34 的“立达数”为 36.(1)求证：对任意一个两位正整数 A ，其“诚勤数”与“立达数”之差能被 6 整除；(2)若一个两位正整数 B 的“立达数”的各位数字之和是 B 的各位数字之和的一半，求 B 的值.解：（1）设A 的十位数字为a ，个位数字为b ，则A ＝10a +b ，它的“诚勤数”为100a +20+b ，它的“立达数”为10a +b +2， ∴100a +20+b -（10a +b +2）＝90a +18＝6（15a +3），∵a 为整数，∴15a +3是整数，则“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；（2）设B ＝10m +n ，1≤m ≤9，0≤n ≤9（B 加上2后各数字之和变小，说明个位发生了进位），∴B +2＝10m +n +2，则B 的“立达数”为10（m +1）+（n +2-10），∴m +1+n +2﹣10=21（m +n ），整理，得m +n ＝14，∵1≤m ≤9，0≤n ≤9，∴⎩⎨⎧==6n 8m 、⎩⎨⎧==8n 6m 、⎩⎨⎧==5n 9m 、⎩⎨⎧==9n 5m 、⎩⎨⎧==7n 7m ， 经检验：77、86和95不符合题意，舍去，∴所求两位数为68或59．4．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为F （k ）．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(72)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(0≤a ≤9，0≤b ≤9，0≤c ≤9，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n的值．解：（1）∵30+2×4=38，38÷19=2，∴F(304)=2. ∵205+2×2=209,209÷19=11，∴F（2025）=11. ∴F（304）+F（2052）=13；（2）∵m=3030+101a=3000+100a+30+a，∴F（m）=19a2 3a10300+++=19a12303+=15+19a1218+. ∵m是“魅力数”，∴19a1218+是整数.∵0≤a≤9，且a是偶数，∴a=0,2,4,6,8.当a=0时，19a1218+=1918不符合题意.当a=2时，19a1218+=1942不符合题意.当a=4时，19a1218+=1966不符合题意.当a=6时，19a1218+=1990不符合题意.当a=8时，19a1218+=19114=6符合题意.∴a=8，此时m=3838，F（m）=F（3838）=6+15=21. 又∵F（m）+F（n）=24，∴F（n）=3.∵n=400+10b+c，∴F（n）=19c2b40++=3，∴b+2c=17，∵n是“魅力数”，∴c是偶数，又∵0≤c≤9，∴c=0，2,4,6,8. 当c=0时，b=17不符合题意.当c =2时，b =13不符合题意.当c =4时，b =9符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=948-=94. 当c =6时，b =5符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=568-=52. 当c =8时，b =1符合题意.此时，G （m ，n ）=b c a -=188-=0. ∵ 94＞52＞0， ∴G （m ，n ）的最大值是94. 5.已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”．如果数字和太大不能直接观察出来，就重复上述过程．如：1131：113+4×1＝117，117÷13＝9，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+4×2＝337，33+4×7＝61，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”．（1）请判断42356是否为“超越数” （填“是”或“否”），若ab +4c ＝13k （k 为整数），化简abc 除以13的商（用含字母k 的代数式表示）．（2）一个四位正整数N ＝abcd ，规定F （N ）＝|a +d 2﹣bc |，例如：F （4953）＝|4+32﹣5×9|＝32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且a ＝c ，其中1≤a ≤4．求出所有满足条件的四位正整数N 中F （N ）的最小值． 解：（1）否，4235+4×6＝4259，425+4×9＝461，46+4×1＝50，因为50不能被13整除，所以42356不是超越数. ∵ab +4c ＝13k ，∴10a +b +4c ＝13k ，∴10a +b ＝13k ﹣4c ， ∵abc ＝100a +10b +c ＝10（10a +b ）+c ＝130k ﹣40c +c ＝130k ﹣39c ＝13（10k ﹣3c ），∴13abc ＝10k ﹣3c ； （2）由题意得d ＝5，a ＝c ，∴N ＝1000a +100b +10c +5，∵N 能被13整除，∴设100a +10b +c +4×5＝13k ，∴101a +10b +20＝13k ，且a 为正整数，b ，k 为非负整数，1≤a ≤4，∴a ＝2，b ＝9，k ＝24 或a ＝3，b ＝8，k ＝31，或a ＝4，b ＝7，k ＝38， ∴F （N ）＝|2+25﹣18|＝9，或F （N ）＝|3+25﹣24|＝4，或F （N ）＝|4+25﹣28|＝1，∴F （N ）最小值为1．6.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n .把'n 放在n 的后面组成第一个四位数，把n 放在'n 的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为()F n ，例如：23n =时，32n '=，23323223(23)8111F -==-. （1）计算(42)_____;F = 若m 为“启航数”，()F m 是一个完全平方数，求()F m 的值；（2）s t 、为“启航数”，其中10,10s a b t x y =+=+（1≤b ≤a ≤9，1≤x 、y ≤5，且y x b a ,,,为整数） 规定：(,)s t K s t t-=，若()F s 能被7整除，且()()81162F s F t y +-=，求(,)K s t 的最大值.解：（1）F （42）=162，设m =pq （1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数）， 则()=81()11pqqp qppq F m p q -=-， ∵()F m 完全平方数，∴p q -为完全平方数，∵1≤p ≤q ≤9，且p 、q 为整数，∴0＜p -q ≤8，∴14p q -=或，∴F （m ）=81或324；（2）由题意知：s =ab ，t =xy （1≤b ≤a ≤9,1≤x 、y ≤5，且a b x y 、、、为整数）， ∴()81()F s a b =-，()81()F t x y =-，∵()F s 能被7整除，∴81()7a b -为整数， 又∵1≤b ≤a ≤9，∴0＜a -b ≤8，∴7a b -=，∴9,28,1a b a b ====或，∴s =92或81.又∵()()81162F s F t y +-=，∴81（a -b ）+81（x -y ）-81y =162，∴2y =x +5，∵1≤x ，y ≤5且x y ≠，∴1,33,4x y x y ====或，∴t =13 或34， ∴79(92,13)13K =，K （92，34）=3458，68(81,13)13K =，47(81,34)34K = K max =1379. 7.若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t ＝100（x +y ）+10y +x（x+y≤9），则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，q，例如：十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q＝t﹣h，f（m）＝9 321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，108＝12．得到的数h＝213，∴q＝321﹣213＝108，f（m）＝9（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．q，解：（1）∵f（m）＝9∴当f（m）最小时，q最小，∵t＝100（x+y）+10y+x=101x+110y，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x，∴q＝t﹣h＝101x+110y﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y 为正整数，当x＝0，y＝1时，q＝9，此时对应的“加成数”是110；（2）∵f（m）是24的倍数，设f（m）＝24n（n为正整数），q，q＝216n，则24n＝9由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x），∴216n＝9（y+10x），24n＝y+10x，（x+y＜10）①当n＝1时，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，则这样的“节气数”是24；②当n＝2时，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合题意；③当n＝3时，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，则这样的“节气数”是72；④当n＝4时，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合题意；⑤当n＝5时，即y+10x＝120，没有符合条件的整数解，综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72．8.在任意n（n＞1且为整数）位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做K的“顺数”，在K的末位前添加6得到的新数叫做K的“逆数”．若K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”．比如1324的“顺数”为16324，1324的“逆数”为13264，1324的“顺数”与“逆数”之差为16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍档数”．（1）请根据以上方法判断31568（填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个首位是5的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值．（2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．（1）解：是；【解法提示】∵361568﹣315668＝45900，且45900÷17＝2700，∴根据最佳拍档数的定义可知，31568是“最佳拍档数”；故答案为：是设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数字为8﹣x，y≥x，N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，∵N是四位“最佳拍档数”，∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，＝5940﹣90x﹣900y，＝90（66﹣x﹣10y），∴66﹣x ﹣10y 能被17整除，①x ＝2，y ＝3时，66﹣x ﹣10y ＝34，能被17整除，此时N 为5326； ②x ＝3，y ＝8时，66﹣x ﹣10y ＝﹣17，能被17整除，此时N 为5835； ③x ＝5，y ＝1时，66﹣x ﹣10y ＝51，能被17整除，但x ＞y ，不符合题意； ④x ＝6，y ＝6时，66﹣x ﹣10y ＝0，能被17整除，此时N 为5662；⑤x ＝8，y ＝3时，66﹣x ﹣10y ＝28，不能被17整除，但x ＞y ，不符合题意； ⑥当x ＝9，y ＝4时，66﹣x ﹣10y ＝17，能被17整除，但x ＞y ，不符合题意； 综上，所有符合条件的N 的值为5326，5835，5662；（2）证明：设三位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ， 它的“顺数”：1000z +600+10y +x ，它的“逆数”：1000z +100y +60+x ，∴（1000z +600+10y +x ）﹣（1000z +100y +60+x ）＝540﹣90y ＝90（6﹣y ）， ∴任意三位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，设四位正整数K 的个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z ，千位数字为a ， ∴（10000a +6000+100z +10y +x ）﹣（10000a +1000z +100y +60+x ）＝5940﹣900z ﹣90y ＝90（66﹣10z ﹣y ），∴任意四位正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除，同理得：任意三位或三位以上的正整数K 的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除．9.若实数a 可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a ＝n 1-1n ＋1，那么我们称a 为第n 个“1阶倒差数”，例如21＝1-21，∴21是第1个“1阶倒差数”，61＝21-31，∴16是第2个“1阶倒差数”．同理，若b ＝n 1-2n 1 ，那么，我们称b 为第n 个“2阶倒差数”．(1)判断132是否为“1阶倒差数”；直接写出第5个“2阶倒差数”；(2)若c ，d 均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且d 1-c 1＝22，求c ，d 的值．解：(1)132不是“1阶倒差数”，235；【解法提示】∵32＝1×32＝2×16＝4×8，不是两个连续自然数的积， ∴321不是“1阶倒差数”． 第5个“2阶倒差数”为51-71＝352. (2)设m 是由两个连续奇数2x -1，2x +1组成的“2阶倒差数”，则m =1x 21--1x 21+=））（（）（1x 21x 21x 21x 2-+--+=1x 422-. ∵c ，d 是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，∴可设c ＝1y 422-，d ＝1z 422-， ∵d 1－c 1＝22，∴4z 2－12－4y 2－12＝22，即z 2－y 2＝11，∴(z ＋y )(z －y )＝11>0，∴z ＞y .∵11＝1×11，∴⎩⎨⎧=-=+1y z 11y z ，解得⎩⎨⎧==6z 5y ， ∴c =15422-⨯=299，d =16422-⨯=2143. 10.任意一个正整数n ，都可以表示为：n ＝a ×b ×c （a ≤b ≤c ，a ，b ，c 均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）＝b ca+，例如：6＝1×1×6＝1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|＝5，|2×2﹣（1+3）|＝0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）＝231+＝2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）＝2；（2）t是一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x 和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．解：（1）∵m为立方数，∴设m＝q×q×q，∴|2q﹣（q+q）|＝0，∴q×q×q是m的阶梯三分法，∴F（m）=q qq+=2；（2）由已知，[23（10x+y）+x+y]能被13整除，整理得：231x+24y能被13整除，∵231x+24y＝13（18x+2y）﹣（3x+2y），∴3x+2y能被13整除，∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴3≤3x+2y≤45，∵x，y均为整数，∴3x+2y的值可能为13、26或39，①当3x +2y ＝13时，∵x ≥y ，x +y ≤10，∴x ＝3，y ＝2，t ＝32，∴32的阶梯三分法为2×4×4， ∴F （32）＝23242=+； ②同理，当3x +2y ＝26时，可得x ＝8，y ＝1或x ＝6，y ＝4， ∴t ＝81或64，∴F （81）＝4，F （64）＝2； ③同理，当3x +2y ＝39时，可得x ＝9，y ＝6（不合题意舍去）， ∴综合①②③，F （t ）最小值为23.。

2021年九年级数学重庆中考23题阅读理解材料题专题(2)(无答案)

2021年九年级数学重庆中考23题阅读理解材料题专题(2)(无答案)

2021重庆年中考23阅读理解题材料题专题（2）1（巴蜀2021级初三上第一次月考）对于各位数字都不为0 的两位数m 和三位数n ，将m 中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将n 的任意一个数字作为新的两位数的个位数字，按照这个方式产生的所有新的两位数的和几位F （m,n ），例如：F （12,345）=13+14+15+23+24+25=114.（1）填空：F （13,579）=（2）求证：当n 能被3整除，F （m ，n ）一定能被6整除;2（重庆两江育才2021级九上第一次月考）对任意一个四位数n ，将这个四位数n 千位数字与十位数字对调，百位上数字与个位上数字对调后可以得到新的四位数m ，记F （n ）=99n m -，例如n=1423，对调千位数字与十位数字及百位上数字与个位数字得到2314，所以F （n ）=14232314=-999-，如果四位数n 满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“平衡数”，例如：1423，因为1+4=2+3，多以1423是一个平衡数.（1）请计算F （8062），并证明：对于任意一个四位数n ，都有F （n ）为整数；（2）若一个“平衡数”N 的十位数比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能被同时被3和11整除，求F （N ）的最小值。

3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数，小学我们就接触了自然数，在数得学习过程中，我们会对其中一些具有某些特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另外一种特殊的自然数——“欢喜数”定义：对于一个各位不为0的自然数，如果它正好等于各个数为数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”，例如：24是一个欢喜数，因为24=4×（2+4）；125不是一个“欢喜数”因为1+2+5=8,125不是8的整数倍.（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各位数数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”。

2023年重庆中考数学材料阅读题专题

2023年重庆中考数学材料阅读题专题

2023年重庆中考数学材料阅读题专题简介这份文档旨在提供2023年重庆中考数学材料阅读题的专题知识。

考虑到LCC的专长和简洁性要求，本文将以独立决策和简单策略为基础，避免涉及复杂的法律问题。

同时，为确保准确性，将不引用无法验证的内容。

目标本文档的目标是提供800字以上的内容，重点解答以下问题：1. 什么是重庆中考数学材料阅读题？2. 如何准备2023年中考数学材料阅读题？3. 提供一些解题技巧和策略。

内容1. 重庆中考数学材料阅读题是指在数学考试中，学生需要通过阅读相关材料来解答问题的题目。

这些材料可能来自各种实际情境，如图表、表格、文章等。

它们旨在考察学生的数学思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力。

2. 为了准备2023年中考数学材料阅读题，学生可以采取以下策略：- 阅读理解材料时，注意关键信息和问题要求。

- 熟悉常见的数学术语和概念，以便更好地理解材料。

- 学会从材料中提取有用的信息，并将其应用到解题过程中。

3. 解题技巧和策略是成功应对数学材料阅读题的关键。

以下是一些常用的技巧和策略：- 先通读所有材料，有选择地读取与问题相关的部分。

- 注意关键词和数字，它们可能包含重要信息。

- 运用逻辑推理和数学常识，进行推导和计算。

- 注意问题的要求，选择合适的解题方法和策略。

结论本文提供了2023年重庆中考数学材料阅读题专题的基本信息和解题策略。

通过理解题目的要求、熟悉常见数学术语和概念，并运用逻辑推理和数学常识，学生可以提高应对数学材料阅读题的能力。

希望本文能对学生们的备考有所帮助。

备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点精练13 数论(阅读理解)(解析版)

备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点精练13 数论(阅读理解)(解析版)

精练13--数论（阅读理解）1．阅读理解：如果一个自然数A能分解成：A＝M×N，其中M和N都是两位数，且M与N的个位数字之和为7，十位数字之和为8，则称A为“虎数”（字谜：七上八下（打一生肖）），把A分解成A＝M×N的过程叫做“虎式分解”．例如：∵1472＝23×64，2+6＝8，3+4＝7，∴1472是“虎数”；∵391＝23×17，2+1≠8，∴391不是“虎数”．若自然数A是“虎数”，“虎式分解”为A＝M×N，将M的十位数字与个位数的差，与N的十位数字与个位数字的和求和记为P（A）；将M的十位数字与个位数字的和，与N的十位数字与个位数的差求差记为Q（A）．记：F（A）＝．又如：∵A＝1472＝23×64是“虎数”，∴P（A）＝（2﹣3）+（6+4）＝9，Q（A）＝（2+3）﹣（6﹣4）＝3，∴F（A）＝＝＝3．（1）判断195和1736是否是“虎数”？并说明理由；（2）若自然数A是“虎数”，且F（A）能被5整除，求出所有满足条件的自然数A．【解答】解：（1）1736是“虎数”，195不是“虎数”，理由如下：∵1736＝31×56，3+5＝8，1+6＝7，∴1736是“虎数”，∵195＝13×15，1+1≠8，∴195不是“虎数”，（2）设M的十位数字为a，个位数字为b，∵自然数A是“虎数”，∴N的十位数字为8﹣a，个位数字为7﹣b∵M的十位数字与个位数的差，与N的十位数字与个位数字的和求和记为P（A），M 的十位数字与个位数字的和，与N的十位数字与个位数的差求差记为Q（A），∴P（A）＝a﹣b+15﹣a﹣b＝15﹣2b，Q（A）＝a+b﹣（8﹣a﹣7+b）＝2a﹣1，∵F（A）＝且F（A）能被5整除，∴令F（A）＝＝＝5k，∵1≤a＜8，0≤b≤7，∴1≤2a﹣1＜15，1≤15﹣2b≤15，①当k＝1时，＝5，即：或，解得：或，当时，M＝15，N＝72，∴A＝M×N＝1080，当时，M＝20，N＝67，∴A＝M×N＝1340，②当k＝2时，无满足条件的a，b，③当k＝3时，＝15，即：，解得：，此时M＝10，N＝77，∴A＝M×N＝770，综上，A的取值为1080或1340或770．2．一个十位数字比百位数字大5的四位正整数M，各数位上的数字均不相等且都不为零．将前两位䍩字组成的新数记为m1，后两位数字组成的新数记为m2，记F（M）＝，若F（M）为整数，称M为“奥运五环数”．例如：M＝1276，7﹣2＝5，m1＝12，m2＝76，F（M）＝＝20为整数，∴1276是奥运五环数；M＝2493，9﹣4＝5，m1＝24，m2＝93，F（M）＝不为整数，∴2493不是奥运五环数．（1）判断3168，4387是否为奥运五环数，并说明理由．（2）S是一个“奥运五环数”也是一个奇数，且各数位数字之和能被5整除，求满足条件的所有S的值．【解答】解：（1）M＝3168，6﹣1＝5，m1＝31，m2＝68，F（M）＝＝26为整数，∴3168是“奥运五环数”；M＝4387，8﹣3＝5，m1＝43，m2＝87，F（M）＝＝＝34.6不是整数，∴4387不是“奥运五环数”；（2）设四位数S为（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9，且均不相等），∵S是一个“奥运五环数”，∴c﹣b＝5，∴c＝b+5，∴a+b+c+d＝a+b+b+5+d＝a+2b+d+5，∵1≤c≤9，∴1≤b+5≤9，∴﹣4≤b≤4，∵1≤b≤9，∴1≤b≤4，∵1≤a≤9，1≤d≤9，∴9≤a+2b+d+5≤31，而a，b，d各不相等，∴12≤a+2b+d+5≤29，∵S的各数位数字之和能被5整除，∴a+2b+d+5＝15或20或25，∴a+2b+d＝10或15或20，∵S是一个“奥运五环数”，∴F（M）＝＝＝＝4a+2b+是整数，∴2b+d是5的倍数，∴2b+d＝5或10，∵S是奇数，∴d是奇数，∴2b+d＝5，∴a＝5，∵1≤b≤4，∴b＝1，d＝3或b＝2，d＝1，∴a＝5，b＝1，c＝6，d＝3或a＝5，b＝2，c＝7，d＝1，即满足条件的所有S的值为5163或5271．3．阅读理解：对于任意一个三位数正整数n，如果n的各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到5个不同的新“陌生数”，把这6个陌生数的和与111的商记为M（n）．例如n＝123，可以得到132、213、231、312、321这5个新的“陌生数”，这6个“陌生数”的和为123+132+213+231+312+321＝1332，因为1332÷111＝12，所以M（123）＝12．（1）计算：M（125）和M（361）的值；（2）设s和t都是“陌生数”，其中4和2分别是s的十位和个位上的数字，2和5分别是t的百位和个位上的数字，且t的十位上的数字比s的百位上的数字小2；规定：．若13M（s）+14M（t）＝458，则k的值是多少？【解答】解：（1）M（125）＝（521+512+215+251+125+152）÷111＝16，M（361）＝（316+361+136+163+613+631）÷111＝20；（2）∵s和t都是“陌生数”，a＝100x+42，b＝205+10y，∴M（s）＝（200x+42+24+20x+402+204+2x+420+240）÷111＝2x+12，M（t）＝（205+10y+502+10y+250+x+520+y+100y+25+100y+52）÷111＝2y+14．∵13M（s）+14M（t）＝458，∴13（2x+12）+14（2y+14）＝26x+28y+352＝458，∴13x+14y＝53，又∵x＝y+2，∴解得，∴＝＝．4．对于一个五位数的自然数，如果各个数位上的数字关于百位上的数字对称，我们则称这个数为“镜像数”．如：12321，24542等；对于一个“镜像数”，若从左到右相邻两个数位上的数字之差的绝对值相同，则称这个“镜像数”为“完美镜像数”，如：12321，25852，35753等，若一个“完美镜像数”x从左到右，奇数位上的数字之和记为M，偶数位上的数字之和记为N，记F（x）＝2M+N．如：x＝12321，则M＝1+3+1＝5，N＝2+2＝4，所以F（x）＝10+4＝14．（1）请直接判断15951是否为“完美镜像数”，若是，请求出F（15951），若不是，请说明理由；（2）已知x是一个“完美镜像数”且x能被7整除，而F（x）除以5余1，求出所有满足条件的五位“完美镜像数”x的值．【解答】解：（1）15951是为“完美镜像数”，∴M＝1+9+1＝11，N＝5+5＝10，∴F（15951）＝2M+N＝32．（2）由x是“完美镜像数”，设x的个位上的数为a，十位上的数为b，百位上的数为c，则千位上的数是b，万位上的数是a，∴M＝2a+c，N＝2b，且|a﹣b|＝|b﹣c|，∴F（x）＝4a+2c+2b，且a＝c或a+c＝2b，∵x能被7整除，∴＝1429a+144b+14c+，∴﹣a+b+c能被7整除，①当a＝c时，﹣a+b+c＝b，∵0≤b≤9且b为整数，∴b＝0或7，∵F（x）除以5余1，∴＝＝a+，∴a+2b﹣1能被5整除，∵1≤a≤9且a为整数，∴b＝0，a＝6或1；或b＝7，a＝2或7；∴x＝60606或27272或77777或10101；②当a+c＝2b时，﹣a+b+c＝2c﹣b，∵0≤c≤9且c为整数，∴﹣9≤2c﹣b≤18，∴2c﹣b＝﹣7或0或7或14，∵F（x）除以5余1，∴＝＝2b﹣，∴2c+1能被5整除，∵1≤2c+1≤19，∴2c+1＝5或10或15，∴c＝2或6，∴c＝2，b＝4或c＝7，b＝7或0（舍去），∴x＝64246或77777，综上可知，x的值为60606或27272或77777或10101或64246．5．对任意一个四位数n，将这个四位数n千位上数字与十位上数字对调、百位上数字与个位上数字对调后可以得到一个新的四位数m，记F（n）＝．例如n＝1423，对调千位上数字与十位上数字及百位上数字与个位上数字得到2314，所以F（n）＝＝﹣9．如果四位数n满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数位“平衡数”，例如：1423，因为1+4＝2+3，所以1423是一个平衡数．（1）请计算F（8062），并证明：对于任意一个四位数n，都有F（n）为整数；（2）若一个“平衡数”N的十位数字比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能同时被3和11整除，求F（N）的最小值．【解答】解：（1）F（8062）＝＝18．证明过程如下：设一个四位数n＝1000a+100b+10c+d，其中a，b，c，d为0﹣9的整数．∴F（n）＝＝＝10a+b﹣10c﹣d，∵a，b，c，d为整数，所以对于任意四位数，F（n）都是整数．（2）设平衡数N＝，由平衡数定义，可得m+n＝p+q，由N的十位数字比百位数字的2倍少1，得p＝2n﹣1，∴N＝1000m+100n+10p+q＝1001m+101n+9p＝1001m+119n﹣9．∵N可被11整除，∴＝91m+10n+，∴为整数．又∵0≤n≤9且n为整数，∴n＝1，∴p＝2n﹣1＝1，∴N＝1001m+110．∵N能被3整除，∴＝333m+36+，∴为整数．又∵1≤m≤9，∴m＝2或5或8，∴N＝2112或5115或8118．∵F（2112）＝9，F（5115）＝36，F（8118）＝63，∴F（N）的最小值是9．6．如果一个自然数M能分解成p2+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p2+q的过程，称为“方加分解”，例如：236＝122+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以236是“方加数”．（1）判断212是否是“方加数”？．并说明理由；（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p2+q，并将p放在q的左边组成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所有满足条件的M．【解答】解：（1）212＝11²+91，∴212是“方加数”；（2）设p的十位数是m，个位数是n，则q的十位数是10﹣m，个位数是n，∴N的各位数字之和是m+n+10﹣m+n＝10+2n，∵N能被3整除，∴n＝1或n＝4或n＝7，当n＝1时，N＝1000m+100+100﹣10m+1＝990m+201，∵N能被7整除，∴m＝3，∴M＝31²+71＝1032；当n＝4时，N＝1000m+400+100﹣10m+4＝990m+504，∵N能被7整除，∴m＝7，∴M＝74²+34＝5510；当n＝7时，N＝1000m+700+100﹣10m+7＝990m+807，∵N能被7整除，∴m＝4，∴M＝47²+67＝2276；综上所述：满足条件的M有1032和5510和2276．7．对于任意一个四位自然数A，如果A满足各个数位上的数字互不相同且A的十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位自然数A为“差一数”．对于一个“差一数”A＝（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，0≤b、c、d≤9），它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：F（A）＝．例如：A＝1324，因为2﹣1＝1，4﹣3＝1，故数A是一个“差一数”，t＝13+24＝37，S ＝12+34＝46，则F（A）＝＝﹣1．（1）已知四位数2637，4758均为“差一数”，请求出F（2637），F（4758）的值．（2）若四位数P、Q均为“差一数”，P的百位数字为4，F（P）≠0，Q的千位数字为2m，其中1≤m≤4且m为正整数，个位数字为n﹣1，其中2≤n≤10且n为正整数，当能被3整除时，求出所有满足条件的四位数Q．【解答】解：（1）由题意可得，F（2637）＝＝﹣3；F（4758）＝＝﹣2．（2）∵四位数P，Q均为“差一数“，P的百位数字为4，Q的千位数字为2m，个位数字为n﹣1，∴P的个位数字为5，Q的十位数字为2m+1，Q的百位数字为n﹣2，设P＝1000x+400+10（x+1）+5，Q＝2000m+100（n﹣2）+10（2m+1）+n﹣1，∴F（P）＝＝＝x﹣3，F（Q）＝＝2m﹣n+3，∴＝，∵能被3整除且F（P）≠0，1≤x≤9，∴x﹣3＝3或x﹣3＝6，解得x＝6或x＝9（舍去此时P的十位数字是10），∴＝是整数，∴2m﹣n+3＝﹣1或2m﹣n+3＝1，①当2m﹣n+3＝﹣1时，n＝2m+4，∵，∴1≤m≤3，当m＝1时，n＝6，则Q＝2435；当m＝2时，n＝8，则Q＝4758；当m＝3时，n＝10，则Q＝6879；②当2m﹣n+3＝1时，n＝2m+2，∵，∴1≤m≤4，当m＝1时，n＝4，则Q＝2233（舍去）；当m＝2时，n＝6，则Q＝4455（舍去）；当m＝3时，n＝8，则Q＝6677（舍去）；当m＝4时，n＝10，则Q＝8899（舍去）；综上，Q＝2435或4758或6879．8．材料1：对于一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“万象数”．对于一个“万象数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“博雅数”，规定：F（M）＝．例如：M＝2378，因为3﹣2＝1，8﹣7＝1．所以2378是“万象数”；将M的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到“博雅数”N＝2783，．材料2：对于任意四位自然数＝1000a+100b+10c+d（a、b、c、d是整数且1≤a≤9，0≤b，c，d≤9），规定：G（）＝cxd﹣axb．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2367、7934是不是“万象数”，请说明理由；如果是，请求出对应的F（M）的值；（2）证明：对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数；（3）已知P、Q是“万象数”，其中P的千位数字为m（m是整数且1≤m≤7），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且3≤s≤8），且s＞m．若G（P）+G（Q）能被13整除，求F（Q）的值．【解答】（1）解：∵3﹣2＝1，7﹣6＝1，∴2367是“万象数”．M＝2367，N＝2673．∴F（M）＝＝﹣34．∵9﹣7＝2，4﹣3＝1．∴7934不是“万象数”．（2）证明：设一个“万象数“M＝＝1000x+100（x+1）+10y+y+1＝1100x+11y+101．N＝1000x+100y+10（y+1）+x+1＝1001x+110y+11．∴M﹣N＝99x﹣99y+99．∴F（M）＝＝11x﹣11y+9．∵x，y都是整数，∴对于任意一个“万象数”M，F（M）都为整数．（3）解：由题意得：P＝1000m+100（m+1）+80+9＝1100m+189．Q＝4500+10s+s+1＝4501+11s．∴G（P）＝8×9﹣m（m+1）＝﹣m2﹣m+72．G（Q）＝s（s+1）﹣4×5＝s2+s﹣20．∴G（P）+G（Q）＝s2﹣m2+s﹣m+52＝（s﹣m）（s+m+1）+52．∵1≤m≤7，3≤s≤8，s＞m，G（P）+G（Q）能倍13整除，∴s+m+1是13的倍数，∴s＝7，m＝5或s＝8，m＝4．∴Q＝4501+11×7＝4578或Q＝4500+11×8＝4589．当Q＝4578时，F（Q）＝＝﹣23．当Q＝4589时，F（Q）＝＝﹣34．9．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）＝13+14+15+23+24+25＝114；F（11，369）＝13+16+19+13+16+19＝96．（1）填空：F（16，123）＝222，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s＝21x+y，一个三位数t＝121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．【解答】解：（1）F（16，123）＝11+12+13+61+62+63＝222，故答案为：222，证明：m＝，n＝，由题意得：a+b+c和都能被3整除，∴F（m，n）＝10x+a+10x+b+10x+c+10y+a+10y+b+10y+c，＝30x+30y+2a+2b+2c，＝5×6（x+y）+2（a+b+c），由题意得：a+b+c和都能被3整除，∴当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）∵s＝21x+y，t＝121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），∴t'+3（x+y）＝100（x+y﹣1）+10（2x）+x+2+3（x+y）＝124x+103y﹣98∵t'+3（x+y）能被11整除∴+＝11x+9y﹣9+∴∵1≤x≤4，1≤y≤5，∴8≤3x+4y+1≤33当3x+4y+1＝11∴x＝2，y＝1∴s＝43，t＝442当3x+4y+1＝22∴x＝3，y＝3∴s＝66，t＝565当3x+4y+1＝33∴x＝4，y＝5∴s＝89，t＝688∴F（s，t）最大值＝F（89，688）＝86+88+88+96+98+98＝55410．对于一个三位数m，若其各个数位上的数字都不为0且互不相等．则称这样的数为“行知数”．将“行知数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数．将这6个两位数的和记为D（m）．例如，D（235）＝23+25+35+32+52+53＝220．（1）计算：D（123）132；（2）求证：D（m）能被22整除；（3）记F（m）＝，例如F（235）＝＝＝10．若“行知数”n满足个位上的数字是百位上数字的3倍，且F（n）除以7余1，请求出所有满足条件的“行知数”n的值．【解答】解：（1）根据题意知：D（123）＝12+21+13+31+23+32＝132，故答案为：132．（2）设行知数m＝100a+10b+c，∴．D（m）＝10a+b+10a+c+10b+c+10b+a+10c+a+10c+b＝22a+22b+22c＝22（a+b+c），故D（m）能被22整除；（3）设行知数n＝100x+10y+3x，∴D（m）＝22（a+b+c），F（m）＝＝a+b+c，D（n）＝22（x+y+3x）＝22（4x+y）∴F（n）＝4x+y，∵1≤x≤9，1≤3x≤9，∴1≤x≤3，1≤y≤9，∴5≤4x+y≤21，∵F（n）除以7余1，∴4x+y＝8或者15，∵1≤x≤3，∴x＝1、2或3，4x+y＝8或者15，y为正整数，且x，y，3x均不相等，当x＝1，y＝4时，这个行知数为143，当x＝2，y＝7时，这个行知数为276，∴所有满足条件的行知数为143和276．11．已知一个三位自然数N，若满足十位数字与个位数字之和减去百位数字之差为0，则称这个数为“雪花数”，并把其十位数字与个位数字的乘积记为G（N）．定义P（s，t）＝G（s）•m+G（t）•n（s，t为雪花数，m，n为非零常数）且P（523，413）＝9，P（312，633）＝﹣5．例如：945，∵4+5﹣9＝0，∴945是“雪花数”，G（945）＝4×5＝20．634，∵3+4﹣6＝1≠0，∴634不是“雪花数”．（1）请填空：817 是“雪花数”，527 不是“雪花数”（填“是”或“不是”）；（2）求出常数m，n的值；（3）已知s是个位数字不为1的“雪花数”，其十位数字为a，个位数字为b，将s的个位数字移作十位，十位数字移作百位，百位数字移作个位，得到一个新数s'，若s与s'的差能被17整除，求出所有满足条件的s及由这些s两两组合形成的P的值．【解答】解：（1）在数817中，∵1+7﹣8＝0，∴817是雪花数；在数527中，∵2+7﹣5≠0，∴27不是雪花数．故答案为：是，不是；（2）∵P（523，413）＝9，根据十位数字与个位数字的乘积记为G（N），则G（523）＝2×3＝6，G（413）1×3＝3，即可得6m+3n＝9①．∵P（312，633）＝﹣5，根据十位数字与个位数字的乘积记为G（N），G（312）＝1×2＝2，G（633）＝3×3＝9，即可得2m+9n＝﹣5②，联立①②解得m＝2，n＝﹣1．（3）由雪花数的定义可知s＝100（a+b）+10a+b，由雪花数定义以及已知条件可知s′＝100a+10b+（a+b），∵s与s′的差能被17整除，∴100（a+b）+10a+b﹣[100a+10b+（a+b）]能被17整除，即100a+100b+10a+b﹣100a﹣10b﹣a﹣b，化简得s﹣s′＝9（10b+a），∴10b+a为17的倍数，∵s为雪花数，且a+b≤9，b≠1，∴a＜9，1＜b＜9，∴10b+a小于100，列举100以内17的倍数如下：17，34，51，68，85……若10b+a＝17，则a＝7，b＝1，不符合题意，若10b+a＝34，则a＝4，b＝3，符合题意，若10b+a＝51，则a＝1，b＝5，符合题意，若10b+a＝68，则a＝8，b＝6，a+b＞9，不符合题意，若10b+a＝85，则a＝5，b＝8，a+b＞9，不符合题意，综上可得s＝743或s＝615，则P（743，615）＝G（743）m+G（615）n＝4×3×2+1×5×（﹣1）＝15．12．材料：对于一个四位自然数，满足十位数字与百位数字之和等于个位数字与千位数字之和的2倍，则称这个数为“和倍数”．若规定P（N）为千位数字的3倍与个位数字的差，Q（N）为千位数字与个位数字之和，令F（N）＝．例如：3621，∵6+2＝2×（1+3），∴3621是“和倍数”，F（3621）＝＝2．再比如4271，∵2+7≠2×（1+4），∴4271不是“和倍数”．（1）判断3531，4682是否是“和倍数”，并说明理由；如果是，请计算F（N）的值；（2）若四位自然数是“和倍数”，其十位数字能被5整除，且个位数字与百位数字的和能被3整除，F（n）为整数，求出符合条件的n．【解答】解：（1）∵（5+3）是（1+3）的2倍，∴3531是和倍数，∵（6+8）不是（4+2）的2倍，∴4682不是和倍数，F（3531）＝＝2．（2）设自然数n的千位、百位、十位、个位分别是a、b、c、d，∵n是和倍数，十位能被5整除，个位与百位的和能被3整除，F（n）为整数，∴b+c＝2（a+d），c＝0或5，b+d＝0或3或6或9，为整数，∵a，d均不小于0，∴＝1或2或3，∴a＝d或a＝3d或d＝0，∵当a＝d，c＝0时，b＝4d与b+d能被3整除相矛盾，∴此类情况不成立，当a＝d，c＝5时，b+5＝4d仍与上述条件相矛盾，∴此类情况不成立，当a＝3d，c＝0时，得b＝8d，∴b+d＝9d，∴d＝1，∴b＝8，a＝3，c＝0，当a＝3d，c＝5时，b+5＝8d与上述条件相矛盾，∴此类情况不成立，当d＝0，c＝0时，b＝2a，∴a＝3，b＝6，c＝d＝0，当d＝0，c＝5时，b+＝2a，∴b＝3，a＝4或b＝9，a＝7，综上所述，符合条件的n为3801，3600，4350，7950．13．一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“双十数”；又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“双十数”．（1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由；（2）自然数N＝A×B为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的十位数字和个位数字组成的两数位记为q，例如：∵N＝23×37＝851，∴p＝8，q＝51；又如：∵N＝61×79＝4819，∴p＝48，q＝19．若A与B的十位数字之和能被5整除，且2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N．【解答】解：（1）∵297＝11×27，∵11和27的十位数字相差1，但个位数字1+7≠10，∴297不是“双十数”．∵875＝25×35，25和35十位数字相差1，且个位数字5+5＝10，∴875是“双十数”；（2）∵A与B的十位数字之和能被5整除，由“双十数”的定义可知：A的十位数字和B的十位数字分别为2，3或7，8，①A的十位数字和B的十位数字分别为2，3时，设B的个位数字为x，则A的个位数字为10﹣x，则A为20+10﹣x＝30﹣x，B为30+x，则N＝（30﹣x）（30+x）＝900﹣x2，∵0＜x＜10且x为整数，∴0＜x2＜100，∴800＜900﹣x2＜900，∴p＝8，q＝900﹣x2﹣800＝100﹣x2，∴2p+q＝2×8+100﹣x2＝116﹣x2，∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，∴为整数，∴＝＝10﹣x+，∵10﹣x为整数，∴只需为整数，∴x+10＝16，解得x＝6，∴A为30﹣6＝24，B为30+6＝36，∴N为24×36＝864；②A的十位数字和B的十位数字分别为7，8时，设B的个位数字为y，则A的个位数字为10﹣y，则A为70+10﹣y＝80﹣y，B为80+y，则N＝（80﹣y）（80+x）＝6400﹣y2，∵0＜y＜10且y为整数，∴0＜y2＜100，∴6300＜6400﹣y2＜6400，∴p＝63，q＝6400﹣y2﹣6300＝100﹣y2，∴2p+q＝2×63+100﹣y2＝226﹣y2，∵2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，∴为整数，∴＝＝10﹣y+，∵10﹣y为整数，∴只需为整数，∴y+10＝14或18，解得y＝4或8，∴A为80﹣4＝76，B为80+4＝84或A为80﹣8＝72，B为80+8＝88，∴N为76×84＝6384或72×88＝6336．综上所述，所有满足条件的自然数N为864或6384或6336．14．定义：对于一个各数位上的数字都不为0且互不相等的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之差等于十位上的数字与百位上的数字之和，则称这样的四位数为“匹配数”．将“匹配数”m的千位、百位所组成的两位数与十位、个位所组成的两位数对调，得到一个新的四位数n，记F（m）＝．例如，对于6231，各数位上的数字都不为0且互不相等，又因为6﹣1＝2+3，所以6231是“匹配数”，F（6231）＝＝93．再如，对于9125，各数位上的数字都不为0且互不相等，但因为9﹣5≠1+2，所以9125不是“匹配数”．（1）判断9432和5213是否为“匹配数”．如果是“匹配数”，请求出F（m）的值；如果不是“匹配数”，请说明理由；（2）若“匹配数”m＝9000+100a+10b+c（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为整数），且F（m）是一个正整数的平方，请求出所有满足条件的m．【解答】解：（1）对于9432，各数位上的数字都不为0且互不相等，又∵9﹣4＝3+2，∴F（9432）＝＝126，对于5213，各数位上的数字都不为0且互不相等，∵5﹣2≠1+3，∴5213不是“匹配数”，综上，9432是“匹配数”，F（9432）＝126；5213不是“匹配数”；（2）∵m＝9000+100a+10b+c是匹配数，∴9﹣a＝b+c，即a+c＝9﹣b，∴F（m）＝＝＝10b+c+a+90，∵a+c＝9﹣b，∴F（m）＝10b+9﹣b+90＝9（b+11），又∵F（m）是一个正整数的平方，且1≤b≤9，且b为整数，∴b＝5，此时F（m）＝144，∴a+c＝4，又∵1≤a≤9，1≤c≤9，且a，c均为整数，∴a＝1，c＝3或a＝2，c＝2或a＝3，c＝1，①当a＝1，b＝5，c＝3时，m＝9153，②当a＝2，b＝5，c＝2时，m＝9252（不合题意，舍去），③当a＝3，b＝5，c＝1时，m＝9351，综上，满足条件的m的值为9153或9351．15．若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3．百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”m各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数m′，记F（m）＝．例如：m＝4512，∴m′＝2154，则F（4512）＝＝2．（1）判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；（2）若A为一个能被13整除的“多多数”，且F（A）≥0，求满足条件的“多多数”A．【解答】解：（1）在7643中，7﹣4＝3，6﹣3＝3，在4631中，4﹣3＝1，6﹣1＝5，∴4631不是“多多数”；（2）设A的个位数字为x，则百位数字为x+3，设B的十位数字为y，则千位数字为y+3，则A＝1000（y+3）+100（x+3）+10y+x＝1010y+101x+3300，A′＝1000x+100y+10（x+3）+y+3＝1010x+101y+33，∴A﹣A′＝1010y+101x+3300﹣（1010x+101y+33）＝909y﹣909x+3267，∴F（A）＝＝y﹣x+3≥0，∴y≥x﹣3，∴，解得，∵x，y为整数，A为一个能被13整除的“多多数”，∴A＝1010y+101x+3300＝13（77y+7x+253）+9y+10x+11，当x＝1时，9y+10x+11＝9y+21，满足条件的只有y＝2；同理，当x＝2时，9y+10x+11＝9y+31，没有满足条件的y；当x＝3时，9y+10x+11＝9y+41，没有满足条件的y；当x＝4时，9y+10x+11＝9y+51，满足条件的只有y＝3；当x＝5时，9y+10x+11＝9y+61，没有满足条件的y；当x＝6时，9y+10x+11＝9y+71，没有满足条件的y．综上所述，满足条件的“多多数”A为5421或6734．。

中考数学 阅读理解题及答案

中考数学 阅读理解题及答案

阅读理解题1．(2019·重庆中考A卷22题)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．解(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”．理由：当n＝2019时，n＋1＝2020，n＋2＝2021，∵个位是9＋0＋1＝10，需要进位，∴2019不是“纯数”；当n＝2020时，n＋1＝2021，n＋2＝2022，∵个位是0＋1＋2＝3，不需要进位，十位是2＋2＋2＝6，不需要进位，百位为0＋0＋0＝0，不需要进位，千位为2＋2＋2＝6，不需要进位，∴2020是“纯数”．(2)由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产生进位，当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2，共3个，当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共9个，当这个数是三位自然数时，只能是100，由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13，即不大于100的“纯数”有13个．2．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(5＋3)(5－3)＝－4，(3＋2)(3－2)＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如13＝1×33×3＝33，2＋32－3＝(2＋3)(2＋3)(2－3)(2＋3)＝7＋4 3.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：(1)比较大小：16－2________15－3(用“＞”“＜”或“＝”填空)； (2)计算：23＋3＋253＋35＋275＋57＋…＋29997＋9799； (3)设实数x ，y 满足(x ＋x 2＋2019)(y ＋y 2＋2019)＝2019，求x ＋y ＋2019的值．解 (1)16－2＝6＋2(6－2)(6＋2)＝6＋22， 15－3＝5＋3(5－3)(5＋3)＝5＋32， ∵6＋2＞5＋3，∴16－2＞15－3. (2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－36＋53－3530＋75－5770＋…＋9997－979999×97×2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－36＋36－510＋510－714＋…＋97194－99198＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－99198＝1－9999＝1－1133. (3)∵(x ＋ x 2＋2019)(y ＋ y 2＋2019)＝2019，∴x ＋ x 2＋2019＝2019y ＋ y 2＋2019＝2019(y － y 2＋2019)－2019＝ y 2＋2019－y ，①同理可得y ＋ y 2＋2019＝2019x ＋ x 2＋2019 ＝2019(x － x 2＋2019)－2019＝ x 2＋2019－x ，②①＋②得x ＋y ＝0，∴x ＋y ＋2019＝2019.3．阅读材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算中往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数(分式)的加减法，将假分数(分式)拆分成一个整数(或整式)与一个真分数的和(或差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．解：x2－x＋3x＋1＝x(x＋1)－2(x＋1)＋5x＋1＝x(x＋1)x＋1－2(x＋1)x＋1＋5x＋1＝x－2＋5x＋1.这样，分式x2－x＋3x＋1就拆分成一个整式x－2与一个分式5x＋1的和的形式．解决问题：(1)将分式x2＋6x－3x－1拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________；(2)已知整数x使分式2x2＋5x－20x－3的值为整数，则满足条件的整数x＝________；(3)若关于x的方程2x2＋(1－2a)x＋(4－3a)＝0有整数解，求正整数a的值．解(1)x＋7＋4x－1[解法提示]x2＋6x－3x－1＝(x－1)2＋8(x－1)＋4x－1＝x－1＋8＋4x－1＝x＋7＋4x－1.故结果为x＋7＋4x－1.(2)2,4,16，－10 [解法提示]2x2＋5x－20x－3＝2x2－6x＋11x－33＋13x－3＝2x(x－3)＋11(x－3)＋13x－3＝2x＋11＋13x－3.要使原式的值为整数，则13x－3为整数，故x＝2,4,16，－10.(3)∵2x2＋(1－2a)x＋(4－3a)＝0，∴2x 2＋x －2ax ＋4－3a ＝0，即(2x ＋3)a ＝2x 2＋x ＋4，∴a ＝2x 2＋x ＋42x ＋3＝7＋(2x ＋3)(x －1)2x ＋3＝x －1＋72x ＋3. 又∵a ，x 均为整数，∴2x ＋3是7的约数，∴2x ＋3＝±1，±7，∴⎩⎨⎧ x ＝－1，a ＝5或⎩⎨⎧ x ＝－2，a ＝－10或⎩⎨⎧ x ＝2，a ＝2或⎩⎨⎧ x ＝－5，a ＝－7.又∵a 为正整数，∴a ＝5或2.4．阅读下列材料：已知实数m ，n 满足(2m 2＋n 2＋1)(2m 2＋n 2－1)＝80，试求2m 2＋n 2的值． 解：设2m 2＋n 2＝t ，则原方程变为(t ＋1)(t －1)＝80，整理得t 2－1＝80，t 2＝81，∴t ＝±9，因为2m 2＋n 2＞0，所以2m 2＋n 2＝9.上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．解决问题：(1)已知实数x ，y 满足(2x 2＋2y 2＋3)(2x 2＋2y 2－3)＝27，求x 2＋y 2的值；(2)若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．解 (1)令2x 2＋2y 2＝t ，则原方程变为(t ＋3)(t －3)＝27，整理得，t 2－9＝27，t 2＝36.t ＝±6.∵2x 2＋2y 2≥0，∴2x 2＋2y 2＝6，∴x 2＋y 2＝3.(2)设四个连续正整数为k －1，k ，k ＋1，k ＋2(k ≥2且k 为整数)．由题得(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)＝11880，∴(k －1)(k ＋2)k (k ＋1)＝11880，∴(k 2＋k －2)(k 2＋k )＝11880.令t ＝k 2＋k ，则(t －2)·t ＝11880，t 2－2t －11880＝0，∴t 1＝110，t 2＝－108(舍去)，则k2＋k＝110，得k1＝10，k2＝－11(舍去)．综上，四个连续正整数为9,10,11,12.5．阅读材料：材料一：对实数a，b，定义T(a，b)的含义为：当a＜b时，T(a，b)＝a＋b；当a≥b时，T(a，b)＝a－b.例如：T(1,3)＝1＋3＝4；T(2，－1)＝2－(－1)＝3.材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.也可以这样理解：令S＝1＋2＋3＋…＋100①，则S＝100＋99＋…＋3＋2＋1②，①＋②得2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(100＋1)100个＝100×(1＋100)＝10100，即S＝100×(1＋100)2＝5050.解决问题：(1)已知x＋y＝10，且x＞y，求T(5，x)－T(5，y)的值；(2)对于正数m，有T(m2＋1，－1)＝3，求T(1，m＋99)＋T(2，m＋99)＋T(3，m＋99)＋…＋T(199，m＋99)的值．解(1)∵x＋y＝10，且x＞y，∴x＞5，y＜5.∴T(5，x)－T(5，y)＝(5＋x)－(5－y)＝x＋y＝10.(2)∵m2＋1＞－1，∴m2＋1－(－1)＝3，∵m＞0，∴m＝1，∴T(1，m＋99)＋T(2，m＋99)＋T(3，m＋99)＋…＋T(199，m＋99)＝T(1,100)＋T(2,100)＋T(3,100)＋…＋T(199，100)＝(1＋100)＋(2＋100)＋…＋(99＋100)＋(100－100)＋(101－100)＋…＋(199－100)＝(1＋2＋3＋…＋199)－100＝199×(1＋199)2－100＝19900－100＝19800.6．(热点信息)在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3＋x2－4x－4因式分解的结果为(x ＋1)(x ＋2)(x －2)，当x ＝15时，x ＋1＝16，x ＋2＝17，x －2＝13，此时可以得到数字密码161713.(1)根据上述方法，当x ＝20，y ＝17时，对于多项式x 2y ＋x 2＋xy ＋x 分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个)(2)若多项式x 3＋(m －3n )x 2－nx －21因式分解后，利用本题的方法，当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m ，n 的值．解 (1)x 2y ＋x 2＋xy ＋x ＝x (xy ＋x ＋y ＋1)＝x (x ＋1)(y ＋1)．∴当x ＝20，y ＝17时，x ＝20，x ＋1＝21，y ＋1＝18.∴形成的数字密码可以是202118,211820,182021(其他结果合理即可)．(2)由题意得，x 3＋(m －3n )x 2－nx －21＝(x －3)(x ＋1)(x ＋7)，∵(x －3)(x ＋1)(x ＋7)＝x 3＋5x 2－17x －21，∴x 3＋(m －3n )x 2－nx －21＝x 3＋5x 2－17x －21.∴⎩⎨⎧ m －3n ＝5，n ＝17，解得⎩⎨⎧ m ＝56，n ＝17.∴m ，n 的值分别是56,17.7．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3＝2＋1，∴321是“和数”，∵3＝22－12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．(1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；(2)已知a ＝10m ＋4n ＋716(0≤m ≤7,1≤n ≤3，且m ，n 均为正整数)是一个“和数”，请求出所有a 的值．解 (1)证明：设“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z (1≤x ≤9,0≤y ≤9,0≤z ≤9且y ＞z ，x ，y ，z 均为整数)，由题意知x ＝y 2－z 2＝(y ＋z )(y －z )，∴x ＋y ＋z ＝(y ＋z )(y －z )＋y ＋z ＝(y ＋z )(y －z ＋1)．∵y ＋z ，y －z 的奇偶性相同，∴y ＋z ，y －z ＋1必然一奇一偶．∴(y ＋z )(y －z ＋1)必是偶数．∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．(2)∵0≤m ≤7，∴2≤m ＋2≤9.∵1≤n ≤3，∴4≤4n ≤12.∴10≤4n ＋6≤18，∴a ＝10m ＋4n ＋716＝7×100＋(m ＋1)×10＋(4n ＋6)＝7×100＋(m ＋2)×10＋(4n ＋6－10)＝7×100＋(m ＋2)×10＋(4n －4)，∵a 为“和数”，∴7＝m ＋2＋4n －4，即m ＋4n ＝9.∵0≤m ≤7,1≤n ≤3，且m ，n 均为正整数，∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝2或⎩⎨⎧ m ＝5，n ＝1，∴a 的值为734或770.8．如果一个正整数m 能写成m ＝a 2－b 2(a ，b 均为正整数，且a ≠b )，我们称这个数为“平方差数”，则a ，b 为m 的一个平方差分解，规定：F (m )＝b a. 例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝8，a －b ＝1或⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，a －b ＝2.因为a ，b 为正整数，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，所以F (8)＝13. 又例如：48＝132－112＝82－42＝72－12，所以F (48)＝1113或12或17. (1)判断：6________平方差数(填“是”或“不是”)，并求F (45)的值；(2)若s 是一个三位数，t 是一个两位数，s ＝100x ＋5，t ＝10y ＋x (1≤x ≤4,1≤y ≤9，x ，y 是整数)，且满足s ＋t 是11的倍数，求F (t )的最大值．解 (1)不是[解法提示] 根据题意，6＝2×3＝1×6，由6＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )可得，⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，a －b ＝2或⎩⎨⎧ a ＋b ＝6，a －b ＝1，因为a ，b 为正整数，则可判断出6不是平方差数．根据题意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝15，a －b ＝3或⎩⎨⎧ a ＋b ＝9，a －b ＝5或⎩⎨⎧ a ＋b ＝45，a －b ＝1.∵a 和b 都为正整数，解得⎩⎨⎧ a ＝9，b ＝6或⎩⎨⎧ a ＝7，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝22，∴F (45)＝23或27或2223.(2)根据题意，s ＝100x ＋5，t ＝10y ＋x ，∴s ＋t ＝100x ＋10y ＋x ＋5.∵1≤x ≤4,1≤y ≤9，x ，y 是整数，∴100≤100x ≤400,10≤10y ≤90,6≤x ＋5≤9，∴116≤s ＋t ≤499.∵s ＋t 为11的倍数，∴s ＋t 最小为11的11倍，最大为11的45倍．∵100x 末位为0,10y 末位为0，x ＋5末位为6到9之间的任意一个整数， ∴s ＋t 的末位是6到9之间的任意一个整数．①当x ＝1时，x ＋5＝6，∴11×16＝176，此时x ＝1，y ＝7，∴t ＝71.根据题意，71＝71×1，由71＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝71，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝36，b ＝35，∴F (t )＝3536. ②当x ＝2时，x ＋5＝7，∴11×27＝297，此时x ＝2，y ＝9.∴t ＝92.根据题意，92＝92×1＝46×2＝23×4，由92＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝92，a －b ＝1或⎩⎨⎧ a ＋b ＝46，a －b ＝2或⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，a －b ＝4. 解得⎩⎨⎧ a ＝24，b ＝22.∴F (t )＝1112. ③当x ＝3时，x ＋5＝8，∴11×38＝418，此时x ＝3，y 没有符合题意的值，∴11×28＝308，此时x ＝3，y 没有符合题意的值．④当x ＝4时，x ＋5＝9，∴11×39＝429，此时x ＝4，y ＝2.∴t ＝24.根据题意，24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝24，a －b ＝1或⎩⎨⎧ a ＋b ＝12，a －b ＝2或⎩⎨⎧ a ＋b ＝8，a －b ＝3或⎩⎨⎧ a ＋b ＝6，a －b ＝4.解得⎩⎨⎧ a ＝7，b ＝5或⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝1，∴F (t )＝57或15. 11×49＝539不符合题意．综上，F (t )＝3536或1112或57或15. ∴F (t )的最大值为3536. 9．(1)问题发现：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，D 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接EC ，则①∠ACE 的度数是________；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是________；(2)拓展探究：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接EC ，请写出∠ACE 的度数及线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在四边形ADBC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BDC ＝90°.若BD ＝3，CD ＝5，请直接写出AD 的长．解 (1)①60° ②AC ＝CD ＋CE[解法提示] 由题意，得△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠B ＝60°.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .∴△BAD ≌△CAE (SAS)．∴∠ACE ＝∠B ＝60°，BD ＝CE .∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋CE .(2)∠ACE ＝45°，2AC ＝CD ＋CE .理由：由题意，得∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE .∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC .即∠BAD ＝∠CAE .∴△BAD≌△CAE.∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°.∴BC＝CD＋BD＝CD＋CE.∵BC＝2AC，∴2AC＝CD＋CE.(3)AD的长为 2.[解法提示] 过点A作AE⊥AD交DC于点E，则∠DAB＝∠EAC.∵∠BDC＝90°，∴∠DBA＋∠ABC＋∠DCB＝90°.∴∠DBA＋45°＋(45°－∠ECA)＝90°.∴∠DBA＝∠ECA.又AB＝AC.∴△BAD≌△CAE(ASA)．∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD－BD＝CD－CE＝DE，而DE＝2AD，∴CD－BD＝2AD，∴AD＝ 2.。

2021重庆中考数学专题复习阅读材料题

2021重庆中考数学专题复习阅读材料题

2021重庆中考数学专题复习阅读材料题1.阅读理解：把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，比如：{3,2}，{−2,0，1，−1}，我们称之为集合，其中大括号内的数称为该集合的元素.如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得−2a+3也是这个集合的元素，我们把这样的集合称为自闭集合.例如：集合{−2,9，7}，因为−2×(−2)+3=7，7恰好是这个集合的元素，所以{−2,9，7}是自闭集合.再如：集合{−1,3}，因为−2×(−1)+3=5，而5不是这个集合的元素，且−2×3+ 3=−3，而−3也不是这个集合的元素，所以{−1,3}不是自闭集合．}______ 自闭集合；(选填“是”或“不是”)(1)判断：集合{2,4，−12(2)若集合{3,x}和集合{−y}都是自闭集合，求x+y的值．2.对于一列互不相同的整数：1，2，3，4，5，6，7，8，9.我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出取走的这两个数的和或者差，把求得的和或者差连同余下的整数形成新的一列数.重复这样的操作，直到这一列数只剩下一个数为止，我们把最后剩下的数叫做“终止数”．(1)判断：6______ 这一列数的“终止数”；23______ 这一列数的“终止数”.(括号里填“是”或“不是”)(2)对这一列数进行多次重复操作，会得到不同的“终止数”，其中最大的“终止数”是______ ，这一列数一共能产生______ 个不同的“终止数”．(3)相同规则下，有这么一列互不相同的整数：2，11，3，7，a，b，c，13(a>b>c>0)，如果这一列数的“终止数”中最大的一个为54，试求出abc的最大3.一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“称心数”，如5，44，666，2222，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为S(n)，如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和S(123)=213+321+132=666，是一个“称心数”．(1)计算：S(432)，S(617)，并判断是否为“称心数”；(2)若“相异数”n=100+10p+q(其中正整数p，q满足1≤p≤9，1≤q≤9)，且S(n)为最大的三位“称心数”，求n的值．4.若在一个三位自然数中，十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和，则称这个三位数为“奇异数”.例如，在自然数132中，3=1+2，则132是“奇异数”；在自然数462中，6=4+2，则462是“奇异数”．(1)请你写出最大的“奇异数”，并证明：任意一个“奇异数”一定能被11整除．(2)若有“奇异数”能同时被3和7整除，求出这样的“奇异数”．5. 材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除．材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数m =abcd −=1000a +100b +10c +d ，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”，将这个“双倍数”m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”m′=dcba −，记F(m)=m+m′111，例如m =2461，4+6≠2×(1+2)，所以2461不是“双倍数”，m =2685，6+8=2×(2+5)，所以2685是“双倍数”，m′=5862，F(2685)=2685+5862111=77．(1)判断2997，6483是否为“双倍数”并说明理由；(2)若s ，t 均为“双倍数”，s 的千位数字是5，个位数字大于2，t 的百位数字是7，且s 能被9整除，4F(s)+F(t)是完全平方数，求t 的最大值．6. 对于一个非零整数a ，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，得到一个新数b ，称b 是a 的“荣耀数”例如：a =125，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、125，则其个位数字分别为1、8、5，则a 的“荣耀数”b 为185． (1)18的“荣耀数”为______ ，2046的“荣耀数”为______ ．(2)对于一个两位数m 和一个三位数n ，在m 的中间位插入一个一位数k ，得到一个新的三位数m′，若m′是m 的9倍，且n 是m′的“荣耀数”，求所有满足条件的n 的值．7. 一个三位正整数amb −各个数位上的数字均不为零.若amb −满足个位与百位上的数字互换位置后得到的三位数bma −能够被十位上的数字m 整除，商记为k ，我们就称此数amb −为“m 有缘牵手k 年好合数”．(1)若三位数6ma −是“m 有缘牵手213年好合数”，求m 的值；(2)若三位数5m4−是“m 有缘牵手k 年好合数”，求m 的值及对应k 的值．8. 对于正整数a ，如果存在正整数b ，c 使得a =bc ，则称b ，c 为a 的约数.比如36=4×9，所以4和9是36的约数.为了找出36的所有约数，我们可以把36继续分解，即36=2×2×3×3，进一步写成36=22×32，所以36的约数就可以表示成2α⋅3β的形式，其中α可取0、1、2，β可取0、1、2；这样我们就很快地得出36共有9(9=3×3)个约数，分别为1、3、9、2、6、18、4、12、36.以上方法我们称之为是对36进行“分解质因数”.其实不难发现，对于任意正整数m 都可以对其进行分解质因数，即m =P 1α1P 2α2…Pn αn，其中P 1，P 2，…，P n 是互不相等的质数，那么m 的所有约数n 就可表示为n =p 1β1p 2β2…p n βn (0≤β1≤α1,0≤β2≤α2,…0≤βn ≤αn 且β1，β2…，βn 都是整数)，进而不难得出m 共有(a 1+1)(a 2+1)…(a n +1)个约数.特别的，如果m =n 2k (n 是正整数，k 为自然数)，则称m 为完全平方数．(1)根据以上阅读材料，求出3000共有多少个约数？ (2)请说明对任意的一个完全平方数的约数个数一定是奇数．9.阅读下列材料，回答问题：材料一：一个三位正整数M，若M的十位数字大于个位数字且M是一个正整数的完全平方数，则称M为“中核完全平方数”.例如：三位数961，因为961=312，且6>1.所以961是“中核完全平方数”.三位数621，因为242<621<252，所以621不是“中核完全平方数”．材料二：一个三位正整数N=abc−(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9，且a、b、c为整数)，把这个三位数作变换得到6个两位数分别为：8a−，8b−，8c−，a8−，b8−，c8−，将这6个两位数加起来的和再除以11的商记作F(N).例如：三位数276，按照这种变换可以得到6=39．个两位数分别为：82，87，86，28，78，68，所以F(276)=82+87+86+28+78+6811(1)请分别判断121和921是否是“中核完全平方数”，并说明理由；(2)一个三位正整数N是一个小于500的“中核完全平方数”，求所有符合条件的F(N)的最大值．10.对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”.例如：对于三位数451，5−1=4，则451是“极差数”；对于三位数110，1−0=1，则110是“极差数”(1)求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；(2)在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数M，在一个“极差数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数N，若M−N能被12整除，求满足条件的“极差数”．11.阅读材料：对于一个三位自然数m，将各个数位上的数字分别3倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z，我们对自然数m规定一个运算：F(m)=x2+y2+z2.例如：m=752，其各个数位上的数字分别3倍后再取个位数字分别是：1、5、6，则F(752)=12+52+62= 62．(1)根据材料内容，求F(234)−F(567)的值；(2)已知两个三位数p=a3a−，q=3b3−(a,b为整数，且2≤a≤7，2≤b≤7)，若p+q能被17整除，求F(p+q)的值．12.对于自然数n，在计算n+(n+1)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”.例如：2020是纯数，因为计算2020+2021+2022时，各数位都不产生进位.任意一个正整数m都可以表示为：m=a2b(a、b均为正整数)，在m的所有表示结果中，当|a−b|最小时，规定：F(m)=2ab．例如：12=12×12=22×3，∵|1−12|>|2−3|，∴F(12)=12．(1)计算F(32)的值，并判断F(32)是否为纯数，说明理由；(2)若F(x)比最大的三位数纯数小310，求x．13. 若一个四位数的后两位数字组成的两位数是前两位数字组成的两位数的2倍，则称该数为“进步数”.如1326、2550都是进步数，对于任意自然数t ，各数位上的数字从左往右数，把所有奇数位上的数字之和与所有偶数位上的数字之和的平方差的绝对值记为F(t)．例如：F(154)=|(1+4)2−52|=0，F(3154)=|(3+5)2−(1+4)2|=39． (1)若27mn −是一个进步数，求F(27mn −)的值； (2)求证：所有的进步数都能被6整除．14. 若一个三位数m =xyz −(其中x ，y ，z 不全相等且都不为0)，现将各数位上的数字进行重排，将重排后得到的最大数与最小数之差称为原数的差数，记作M(m).例如435，重排后得到345，354，453，534，543，所以435的差数M(435)=543−345=198． (1)若一个三位数t =x2y −(其中x >y >2)的差数M(t)=594，且各数位上的数字之和能被5整除，求t 的值；(2)若一个三位数m ，十位数字为2，个位数字比百位数字大2，且m 被4除余1，求所有符合条件的M(m)的最小值．15.阅读材料：材料一：对实数a，b，定义T(a,b)的含义为，当a<b时T(a,b)=a+b；当a≥b时，T(a,b)=a−b例如：T(1,3)=1+3=4：T(2,−1)=2−(−1)=3材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1+ 2+3+4+⋯+100=？据说，当其他同学忙于把100个数还项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)=101×50=5050也可以这样理解：令S=1+2+3+⋯+100，则S=100+99+⋯+ 3+2+1②①+②：2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(100+1)100个=100×101=10100，=5050．即S=100×(1+100)2根据以上材料，回答下列问题：(1)已知x+y=10，且x>y，求T(5,x)−T(5,y)的值；(2)对于正数m，有T(m2+1,−1)=3，求T(1,m+99)+T(2,m+99)+T(3,m+99)+⋯+T(199,m+99)的值．16.求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求一组正整数最小公倍数的一种方法--少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左．命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法．置所求步数，以全步积分乘之为实．实如法而一，得从步．”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最末项分数的分母分别乘各项，再约分，…；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之最小公倍数．例如：求6与9的最小公倍数．解：第一步：1，16,1 9；第二步：9，32，1：第三步：18，3，2所以，6与9的最小公倍数是18．请用以上方法解决下列问题：(1)求54与45的最小公倍数；(2)求三个数6，51，119的最小公倍数．17.阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550年−1617年)，纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler,1707年−1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0,a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x= log a N.比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log(M⋅N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0).理由如下：设log a M=m，log a N=n，所以M=a m，N=a n，所以MN=a m a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M+N)，又因为m+n= log a M+log a N，所以log a(MN)=log a M+log a N.解决以下问题：(1)将指数53=125转化为对数式：______．=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)．(2)仿照上面的材料，试证明：log a MN(3)拓展运用：计算log32+log318−log34=______．18.定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算．例如55263→5526+12=5538，5538→553+32=585，585→58+20=78，78÷13=6，所以55263是“一刀两断”数.3247→324+28=352，35+8=43，43÷13=3…4，所以3247不是“一刀两断”数．(1)判断5928是否为“一刀两断”数：______(填是或否)，并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；(2)对于一个“一刀两断”数m=1000a+100b+10c+d(1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9,0≤d≤9,a，b，c，d均为正整数)，规定G(m)=|b2−c|，若m的千位数满足1≤a−da≤4，千位数字与十位数字相同，且能被65整除，求出所有满足条件的四位数m中，G(m)的最大值．19.材料：对任意一个n位正整数M(n≥3)，若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q=101；整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为712−5×17=70．712也是“12阶10级数”，因为712−12×110(1)若415是“5阶k级数”，且k<300，求k的最大值；(2)若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．20.阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362−65=297=11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P=100x+10y+z(x≥0,0≤y≤9,0≤z≤9且x、y，z均为整数)如：5278=52×100+10×7+8，规定：G(P)=x2+x−z(1+x)+1．x−z(1)求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；(2)已知：S=300+10b+a，t=1000b+100a+1142(1≤a≤7,0≤b≤5，其a、b均为整数)，当s+t为“网红数”时，求G(t)的最大值．21.我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a=12(m2−n2)，b=mn，c=12(m2+n2)(m、n为正整数，m>n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n=5，求该直角三角形另两边的长．。

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重庆中考数学阅读专题1.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2.（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．3.（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．4.（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．（重庆南开2016）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．7.（2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：（1）[π]=3，[﹣π]=﹣4．（其中π为圆周率）；（2）已知x、y满足方程组，求x、y的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．8.（2016•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．、重庆中考数学阅读答案：1.对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x 是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m=99（100﹣10y﹣x），∴D（m）==3（100﹣10y﹣x），而m是四位数，∴99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．2.（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6．∵F（t）+F（s）=18，∴x+5+y+6=x+y+11=18，∴x+y=7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，∴或或或或或．∵s是“相异数”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相异数”，∴y≠1，y≠5．∴或或，∴或或，∴或或，∴k的最大值为．3.（2016•重庆）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．4..（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x为自然数），解答：解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666；任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba（a、b为自然数），则a×103+b×102+b×10+a=1001a+110b，∵=91a+10b∴四位数“和谐数”abba能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx，则x•102+y•10+x=101x+10y，=9x+y+，∵1≤x≤4，101x+10y能被11整除，∴2x﹣y=0，∴y=2x（1≤x≤4）．．（重庆南开）如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均为“麻辣数”．【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k+1表示…，再结合立方差公式…”，请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程．【解答】解：设k为整数，则2k+1、2k﹣1为两个连续奇数，设M为“麻辣数”，则M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2；（1）98=53﹣33，故98是麻辣数；M=24k2+2是偶数，故169不是麻辣数；（2）令M≤2016，则24k2+2≤2016，解得k2≤＜84，故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．6.（2016春•重庆八中月考）如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2=（k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．【解答】解：（1）继续小明的方法，12=42﹣22，13=72﹣62，15=82﹣72，即第12个智慧数是15．故答案为：15；（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2=（k+2+k）（k+2﹣k）=4k+4=4（k+1）．所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）令4k+2=26，解得：k=6，故26不是智慧数．7. （2015春•重庆一中月考）我们用[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.5]=1，[﹣2.5]=﹣3．请解决下列问题：（1）[π]=3，[﹣π]=﹣4．（其中π为圆周率）；（2）已知x、y满足方程组，求x、y的取值范围；（3）当﹣1≤x≤2时，求函数y=[x]2﹣2[x]+3的最大值与最小值．【解答】解：（1）由题意可得：[π]=3，[﹣π]=﹣4；故答案为：3，﹣4；（2）解方程组得：，则﹣1≤x＜0，2≤y＜3；（3）当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时y=（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3=6；当0≤x＜1时，[x]=0，此时y=3；当1≤x＜2时，[x]=1，此时y=12﹣2×1+3=2；当x=2时，[x]=2，此时y=22﹣2×2+3=3；综上所述：y最大=6，y最小=2．8.（2016年•重庆巴蜀中学期末）我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142；（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；（3）为一个平方和数，为一个双倍积数，求a2﹣b2．【解答】解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02，∴左边数为3，右边数为0，∴该三位数为390．∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4，4=2×2×1，∴该三位数为241或142．故答案为390，241或142．（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足a2+b2=2ab，即（a﹣b）2=0，∴a=b．（3）由题意，易知（a﹣b）2=25，（a+b）2=1225，∵a＞0，b＞0，∴a﹣b=±5，a+b=35，∴a2﹣b2=±175．邓老师。

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