中考数学专题复习2：阅读理解题

中考数学专题复习2：阅读理解题

Ⅰ、综合问题精讲：

阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题

的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（，模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方

形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2 和

2 ，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是

正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中

心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFH

也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小

没有改变．

（1）计算：O1D=_______，O2 F=______；

（2）当中心O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.

（3）随着中心 O2在直线 l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？

并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）

解：（1）O1D=2，O2 F=1；（2）O1 O2 =3；

（2）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；

当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；

当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．

点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d与半径R和r的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个

数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．

【例2】（，内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问

题：

1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()12

1+=n n n ，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…()1+n n ＝？

观察下面三个特殊的等式：

()2103213

121⨯⨯-⨯⨯=⨯ ()3214323132⨯⨯-⨯⨯=⨯

()4325433

143⨯⨯-⨯⨯=⨯

将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝205433

1=⨯⨯⨯

读完这段材料，请你思考后回答：

⑴ =⨯++⨯+⨯1011003221 ；

⑵ ()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n ；

⑶ ()()=++++⨯⨯+⨯⨯21432321n n n ；

（只需写出结果，不必写中间的过程）

解：⑴343400(或10210110031⨯⨯⨯) ⑵()()2131++n n n ⑶()()()32141+++n n n n

每相邻两个自然数相乘再求和时可以发现结果总是

()()213

1++n n n ，但当每相邻三个自然数相乘再求和时就成为()()()32141+++n n n n 了。 【例3】（，安徽课改，8分）下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：

学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC 的角A 等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法…．

（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？

（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）

（1）答：上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：

（i ）当A ∠是顶角时，设底角是α．

30+α+α=180∴， α=75．

∴其余两角是75°和75°．

（ii ）当∠A 是底角时，设顶角是β，

3030180++β=∴， 120β=．

∴其余两角分别是0°和120°．

（2）（感受中答有：“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的给2分，回答出“积极发言”、“参与讨论”等与数学问题联系不紧密的语句给1分．）

点拨：此题应树立分类讨论思想，考虑问题要全面．

【例4】（，贵阳模拟），8分）阅读材料，解答问题：图2－7－2表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处西部的某贫困县，农村人口约50万，年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没有达到小康程度的人口约为（1－68 ％）×50万= 16万．

（1）假设该县计划在年的基础

上，到年底，使没有达到小康程度的

16万农村人口降至 10．24万，那

么平均每年降低的百分率是多少？

（2）如果该计划实现，年底该

县农村小康进程接近图2－7－2中哪

一年的水平？（假设该县人口2年内

不变）

解：（1）设平均每年降低的百分率为。

据题意，得 16（1－x ）2 =10.24，

（1－x ）2 =0．64,（1－x ）= ±0.8，x 1=1.8（不合题意，舍去），x 2=0.2．

即平均每年降低的百分率是20％.

（2）50-10.2450

×100%=7 9.52％. 所以根据图2－7－2所示，如果该计划实现，年底该县农村小康进程接近1996年全国农村小康进程的水平．

点拨：此题属于利用方程解决实际问题，但和原来的实际应用问题的情境不同，需在理解材料的基础上进行．

【例5】（，山西）已知p 2-p -1=0,1-q -q 2=0,且pq ≠1，求1pq q

+的值. 解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0,可知p ≠0,q ≠0

又∵pq ≠1,∴1p q ≠

∴1-q-q 2=0可变形为21110q q ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的特征 所以p 与1q 是方程x 2- x -1=0的两个不相等的实数根则111,1pq p q q

++=∴=

根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.

已知：2m 2-5m -1=0,215

20n n +-=,且m ≠n 求：11m n +的值.