初三数学中考阅读理解题专题
中考数学总复习训练 阅读理解问题(含解析)
阅读理解问题1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a42．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= ．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= ，O2F= ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有种不同的排法．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．阅读理解问题参考答案与试题解析1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．2．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c）．【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= 8 ．【考点】代数式求值．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据已知可将12⊗（﹣1）转换成a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．【解答】解：12⊗（﹣1）=×12﹣4×（﹣1）=8故答案为：8．【点评】本题主要考查代数式求值的方法：直接将已知代入代数式求值．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= 2 ，O2F= 1 ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= 3 ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形对角线是正方形边长的倍可得正方形的对角线长，除以2即为所求的线段的长；（2）此时中心距为（1）中所求的两条线段的和，若只有一个公共点，则点D与点F重合，由此可得出答案．（3）动手操作可得两个正方形的边长可能没有公共点，有1个公共点，2个公共点，或有无数个公共点，据此找到相应取值范围即可．【解答】解：（1）O1D=2×÷2=2；O2F=×÷2=1．故答案为：2，1；（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2=2+1=3．故答案为：3；（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；无数个公共点时，O1O2=1；1个公共点时，O1O2=3；无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．【点评】考查正方形的动点问题；需掌握正方形的对角线与边长的数量关系；动手操作得到两正方形边长可能的情况是解决本题的主要方法．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是15 ．【考点】分式方程的应用．【专题】阅读型．【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．【解答】解：根据题意，得：．解得：x=15经检验：x=15为原方程的解．故答案为：15．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为24 ．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．【解答】解：个位需要满足：x+（x+1）+（x+2）＜10，即x＜，x可取0，1，2三个数．十位需要满足：y+y+y＜10，即y＜，y可取0，1，2，3四个数（假设0n就是n）因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则z可取1一个数．则小于200的三位“可连数”共有的个数=4×3×1=12；小于200的二位“可连数”共有的个数=3×3=9；小于200的一位“可连数”共有的个数=3．故小于200的“可连数”共有的个数=12+9+3=24．【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是±3 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】压轴题；新定义．【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy=2，∴x=±1时，y=±2；x=±2时，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有56 种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有840 种不同的排法．【考点】有理数的混合运算．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）利用组合公式来计算；（2）都要利用排列公式来计算．【解答】解：（1）C83==56（种）；（2）A74=7×6×5×4=840（种）．【点评】本题为信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为： ==tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．【解答】解（1）在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，在△MM′E与△NN′F中，，∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．∴MM′=N′N；（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，∴△NFN′∽△M′EM，∴=．∵M′E=N′F，∴==tanα（或）．①当α=45°时，tan α=1，则MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．法二在方形环中，∠D=90°．∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F=M′E．∴∠MM′E=∠N′NF=α．在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，sinα=，cosα=，即=tanα（或）．①当α=45°时，MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．【点评】此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．。
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)
以下是查字典数学网为您推荐的中考数学阅读理解型问题试题(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。
中考数学阅读理解型问题试题(附答案)21.(2016四川达州，21，8分)(8分)?问题背景若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为，面积为，则与的函数关系式为：﹥0)，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有，最大(小)值是多少?分析问题若设该矩形的一边长为，周长为，则与的函数关系式为：( ﹥0)，问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数( ﹥0)的最大(小)值.(1)实践操作：填写下表，并用描点法?画出函数 ( ﹥0)的图象：(2)观察猜想：观察该函数的图象，猜想当= 时，函数 ( ﹥0)有最值(填大或小)，是 .(3)推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数﹥0)的最大值，请你尝试通过配方求函数( ﹥0)的最大(小)值，以证明你的猜想. 〔提示：当 0时，〕解析：对于(1)按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可;对于(2)，由结合图表可知有最小值为4;对于(3)，可按照提示，用配方法来求出。
答案：(1)..(1分).(3分)(2)1、小、4..(5分)?(3)证明：(7分)28.(2016江苏省淮安市，28，12分)阅读理解如题28-1图，△ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分;将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分;将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC是△ABC的好角.小丽展示了确定BAC是△ABC的好角的两种情形.情形一：如题28-2图，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合;情形二：如题28-3图，沿△ABC的BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分;将余下的部分沿B1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点C重合.探究发现(1)△ABC中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是不是△ABC的好角? .(填：是或不是).(2)小丽经过三次折叠发现了BAC是△ABC的好角，请探究B与C(不妨设C)之间的等量关系.根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是△ABC 的好角，则B与C(不妨设C)之问的等量关系为 .应用提升(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15，60，l05，发现60和l05的两个角都是此三角形的好角.请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角.【解析】(1)利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决;(2)根据第(1)问的结论继续探索;(3)利用好角的定义和三角形内角和列出方程解之.具体过程见以下解答.【答案】解： (1) 由折叠的性质知，AA1B1.因为AA1B1=A1B1C+C，而B=2C，所以A1B1C=C，就是说第二次折叠后A1B1C与C重合，因此BAC是△ABC的好角.(2)因为经过三次折叠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的A2B2C=C.如图12-4所示.图12-4因为ABB1=AA1B1，AA1B1=A1B1C+C，又A1B1C=A1A2B2，A1A2B2=A2B2C+C，所以ABB1=A1B1C+A2B2C+C=3C.由上面的探索发现，若BAC 是△ABC的好角，折叠一次重合，有C;折叠二次重合，有B=2折叠三次重合，有B=3由此可猜想若经过n次折叠BAC是△ABC的好角，则B=nC.(3)因为最小角是4是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4m，4mn(其中m、n都是正整数).由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44.因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，因此有：m=1，n+1=44;m=2，n+1=22;m=4，n+1=11;m=11，n+1=4;m=22，n+1=2.所以m=1，n=43;m=2，n=21;m=4，n=10;m=11，n=3;m=22，n=1.所以4m=4，4mn=172;4m=8，4mn=168;4m=16，4mn=160;4m=44，4mn=132;4m=88，4mn=88.所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4，1728，16816，16044，13288，88.【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握，本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度.23.(2016湖北咸宁，23，10分)如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形.图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且， .理解与作图：(1)在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH.计算与猜想：(2)求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值?启发与证明：(3)如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明(2)中的猜想.【解析】(1)根据网格结构，作出相等的角得到反射四边形;(2)图2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的长度，然后可得周长;图3中利用勾股定理求出EF=GH，FG=HE的长度，然后求出周长，得知四边形EFGH的周长是定值;(3)证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用角边角证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，同理求出NH=EH，NB=EB，从而得到MN=2BC，再证明GM=GN，过点G作GKBC于K，根据等腰三角形三线合一的性质求出MK= MN=8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长;证法二：利用角边角证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF=MF，EC=MC，再根据角的关系推出HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GKBC于K，根据边的关系推出MK=BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长.【答案】(1)作图如下： 2分(2)解：在图2中，，四边形EFGH的周长为 . 3分在图3中，， .四边形EFGH的周长为 . 4分猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值. 5分(3)如图4，证法一：延长GH交CB的延长线于点N.∵，，.而，Rt△FCE≌Rt△FCM.， . 6分同理：， .. 7分∵，，. . 8分过点G作GKBC于K，则 . 9分.四边形EFGH的周长为 . 10分证法二：∵，， .而， Rt△FCE≌Rt△FCM.， . 6分∵，，而， .HE∥GF. 同理：GH∥EF.四边形EFGH是平行四边形.. 而，Rt△FDG≌Rt△HBE. .过点G作GKBC于K，则.四边形EFGH 的周长为 .【点评】本题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解反射四边形EFGH特征是解题的关键.25.(2016贵州黔西南州，25，14分)问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2.把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2-1=0.化简，得：y2+2y-4=0.故所求方程为y2+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为换根法.请用阅读材料提供的换根法求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：(1)已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数.(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.【解析】按照题目给出的范例，对于(1)的根相反，用y=-x作替换;对于(2)的根是倒数，用y=1x作替换，并且注意有不等于零的实数根的限制，要进行讨论.【答案】(1)设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y.(2分)把x=-y 代入已知方程x2+x-2=0，得(-y)2+(-y)-2=0.(4分)化简，得：y2-y-2=0.(6分)(2)设所求方程的根为y，则y=1x，所以x=1y.(8分)把x=1y 代如方程ax2+bx+c=0得.a(1y)2+b1y+c=0，(10分)去分母，得，a+by+cy2=0.(12分)若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意.c0，故所求方程为cy2+by+a=0(c0).(14分)【点评】本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法的基础;在实际解题时，还要灵活运用题目提供的方法进行解题，实际上是数学中转化思想的运用.八、(本大题16分)26.(2016贵州黔西南州，26，16分)如图11，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴.(2)设点P为抛物线(x5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数.请你直接写出点P的坐标.(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大?若存在，请你求出N的坐标;若不存在，请说明理由.【解析】(1)已知抛物线上三点，用待定系数法确定解析式;(2)四边形AOMP中，AO=4，OM=3，过A作x轴的平行线交抛物线于P点，这个P点符合要求四条边的长度为四个连续的正整数(3)使△NAC的面积最大，AC确定，需要N点离AC的距离最大，一种方法可以作平行于AC的直线，计算这条直线与抛物线只有一个交点时，这个交点即为N;另一种方法，过AC上任意一点作y轴的平行线交抛物线于N点，这样△NAC被分成两个三角形，建立函数解析式求最大值.【答案】(1)根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为y=a(x―1)(x―5)，(1分)把点A(0，4)代入上式，得a=45.(2分)y=45(x―1)(x―5)=45x2―245x+4=―45(x―3)2―165.(3分)抛物线的对称轴是x=3.(4分)(2)点P的坐标为(6，4).(8分)(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，由题意可设点N的坐标为(t，45t2―245t+4)(0如图，过点N作NG∥y 轴交AC于点G，连接AN、CN.由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为：y=―45x+4.(10分)把x=t代入y=―45x+4得y=―45t+4，则G(t，―45t+4).(11分)此时NG=―45t+4―(45t2―245t+4)=―45t2+205t.(12分)S△NAC=12NGOC=12(-45t2+205t)5=―2t2+10t=―2(t-52)2+252.(13分)又∵0当t=52时，△CAN的面积最大，最大值为252 .(14分)t=52时，45 t2-245t+4=-3.(15分)点N的坐标为(52，-3).(16分)【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题，其中第(3)问也是一道具有难度的存在性探究问题.本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用.专项十阅读理解题19. (2016山东省临沂市，19，3分)读一读：式子1+2+3+4++100表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里是求和符号，通过以上材料的阅读，计算 = .【解析】式子1+2+3+4++100的结果是，即 = ;又∵，，，= + ++ =1- ，= = + ++ =1- = .【答案】【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题.此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律.23. (2016浙江省嘉兴市，23，12分)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB C ,即如图①,BAB =, ,我们将这种变换记为.(1)如图①,对△ABC作变换得△AB C ,则 : =_______;直线BC与直线BC所夹的锐角为_______度;(2)如图② ,△ABC 中,BAC=30ACB=90 ,对△ABC作变换得△AB C ,使点B、C、在同一直线上,且四边形ABBC为矩形,求和n的值;(3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,BAC=36 ,BC=1,对△ABC作变换得△ABC ,使点B、C、B在同一直线上,且四边形ABBC为平行四边形,求和n的值.【解析】(1) 由题意知, 为旋转角, n为位似比.由变换和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得 : = 3, 直线BC与直线BC所夹的锐角为60(2)由已知条件得=CAC=BAC-BAC=60.由直角三角形中, 30锐角所对的直角边等于斜边的一半得n= =2.(3) 由已知条件得=CAC=ACB=72.再由两角对应相等,证得△ABC∽△BBA,由相似三角形的性质求得n= = .【答案】(1) 3;60.(2) ∵四边形ABBC是矩形,BAC=90.=CAC=BAC-BAC=90-30=60.在Rt△ABB中，ABB=90BAB=60,n= =2.(3) ∵四边形ABBC 是平行四边形,AC∥BB,又∵BAC=36=CAC=ACB=72CAB=ABB=BAC=36,而B,△ABC∽△BBA,AB2=CBBB=CB(BC+CB),而CB=AC=AB=BC, BC=1, AB2=1(1+AB)AB= ,∵AB0,n= = .【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.27.(2015江苏省无锡市，27，8)对于平面直角坐标系中的任意两点 ,我们把叫做两点间的直角距离，记作 .(1)已知O为坐标原点，动点满足 =1，请写出之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形;(2)设是一定点，是直线上的动点，我们把的最小值叫做到直线的直角距离，试求点M(2,1)到直线的直角距离。
中考数学备考专题复习： 阅读理解问题(含解析)
中考数学备考专题复习：阅读理解问题（含解析）中考备考专题复习：阅读理解问题一、单选题1、对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b，如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（）A、0B、2C、3D、42、对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=．则方程x⊗（﹣2）= ﹣1的解是（）A、x=4B、x=5C、x=6D、x=73、设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c）=a@b+a@c③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．其中正确的是（）A、②③④B、①③④C、①②④D、①②③4、定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x=y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（）A、0≤m≤1B、﹣3≤m≤1C、﹣3≤m≤3D、﹣1≤m≤0二、填空题5、州）阅读材料并解决问题：求1+2+22+23+…+22014的值，令S=1+2+22+23+…+22014等式两边同时乘以2，则2S=2+22+23+…+22014+22015两式相减：得2S﹣S=22015﹣1所以，S=22015﹣1依据以上计算方法，计算1+3+32+33+…+32015=________．三、解答题6、自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：（1）若＞0，则或（2）＜0，则____________ ．根据上述规律，求不等式＞0的解集．7、阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[()n﹣()n]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．8、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1 从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32＝3×2＝6.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的排列数记作A n m，A n m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m≤n)．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A53＝5×4×3＝60.材料2 从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C32＝＝3.一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作C n m，C n m＝(m≤n)．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C63＝＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？9、定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．四、综合题10、阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明(2)求乙船每小时航行多少海里？11、阅读下列材料：2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次．其中，玉渊潭公园的樱花、北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高．2014年清明小长假，天气晴好，北京市属公园游客接待量约为200万人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013 年清明小长假增长了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，2013 年清明小长假增加了4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次．2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9 万人次．根据以上材料解答下列问题：(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为________ 万人次(2)选择统计表或统计图，将2013﹣2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来．12、阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．令++=t，则原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=问题：(1)计算（1﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（+++…+）；(2)解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．13、）阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．(1)等比数列3，6，12，…的公比q为________ ，第4项是________(2)如果一个数列a1， a2， a3， a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：=q，=q，=q，…=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2， a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：an =________（用a1和q的代数式表示）．(3)若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．14、阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组;(2)已知x，y满足方程组（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．15、）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC∵E、F是AB、CD的中点∴EF∥AD∥BCEF=（AD+BC）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC∴F是AC的中点如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．(1)求证：EF=AC；(2)若OD=，OC=5，求MN的长．16、我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）17、已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；(3)已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．18、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．(1)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．(3)三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．19、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．20、阅读下列材料：北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%．根据以上材料解答下列问题：(1)用折线图将2011﹣2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约________亿元，你的预估理由________．21、）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβtan（α±β）=利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：tan75°=tan（45°+30°）= = =2+根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题(1)计算：sin15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．22、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．(1)根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：(2)如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；(3)如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】分段函数【解析】【解答】解：当x+3≥﹣x+1，即：x≥﹣1时，y=x+3，∴当x=﹣1时，y min=2，当x+3＜﹣x+1，即：x＜﹣1时，y=﹣x+1，∵x＜﹣1，∴﹣x＞1，∴﹣x+1＞2，∴y＞2，∴y min=2，故选B【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．2、【答案】B【考点】分式方程的解，定义新运算【解析】【解答】解：根据题意，得= ﹣1，去分母得：1=2﹣（x﹣4），解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选B．【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、【答案】C【考点】整式的混合运算，因式分解的应用，二次函数的最值【解析】【解答】解：①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0，解得：a=0或b=0，正确；②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4aca@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac，∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；③a@b=a2+5b2， a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2，解得，a=0，b=0，故错误；④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，∴a2+b2+2ab≥4ab，∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab，解得，a=b，∴a@b最大时，a=b，故④正确，故选C．【分析】根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、二次函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4、【答案】 B【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【解答】解：∵x=y，∴x=2x+m，即x=﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故选B．【分析】根据x=y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．二、填空题5、【答案】【考点】探索数与式的规律【解析】【解答】解：令s=1+3+32+33+ (32015)等式两边同时乘以3得：3s=3+32+33+ (32016)两式相减得：2s=32016﹣1．所以S= ．【分析】令s=1+3+32+33+…+32015，然后再等式的两边同时乘以2，接下来，依据材料中的方程进行计算即可．本题主要考查的是数字的变化规律，依据材料找出解决问题的方法和步骤是解题的关键．三、解答题6、【答案】解：（2）若＜0，则或；故答案为：或；由上述规律可知，不等式转化为或，所以，x＞2或x＜﹣1．【考点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．7、【答案】【解答】解：第1个数，当n=1时，[()n﹣()n]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[()n﹣()n]=[（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【考点】二次根式的应用【解析】【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．8、【答案】解：(1)A74＝7×6×5×4＝840(种)．(2)C83＝＝56(种)【考点】探索数与式的规律【解析】【分析】探索数与式的规律。
中考数学专题复习(阅读理解)
中考数学专题复习：阅读理解题【知识梳理】阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．【课前预习】1、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)表示二进制数，转换为十进制形式是，那么将二进制(1111)转换为十进制形式是数（ ）A、8B、15C、20D、302、阅读下面材料并完成填空。
你能比较两个数和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较的大小（n≥1的整数）。
然后，从分析n=1,n=2,n=3,……，从这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
⑴通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=” ）1 ＿＿＿＿2 ②＿＿＿＿3 ③＿＿＿＿④＞ ⑤ ⑥ ⑦⑵从第⑴小题的结果经过归纳，可以猜想出的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到＿＿＿＿（填“＞”、“＝”或“＜”3、阅读下列材料：FEDCBA（图1） （图2） （图3） （图4）如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图2，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置。
2025年广西中考数学二轮复习课件：专题9阅读理解题
解得EG＝16. ∵AC∥EG，AB∥CD， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG＝16， ∴AD＝ 22AC＝ 22×16＝8 2，即正方形 ABCD 的边长为 8 2.
【针对训练】
1．(2021·北部湾)【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积 相等吗？为什么？
② 【 解 题 思 路 】 先 计 算 ∠EAF ＝ 90° ， 再 利 用 等 量 代 换 得 出 ∠ABO ＝ 2∠AEF，最后分四种情形分别求解即可．
【解答】∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG， ∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF， ∴∠EAF＝∠EAO＋∠OAF＝90°， ∴∠AEF＋∠AFE＝90°. 又 ∵OE平 分 ∠BOQ， ∴∠EOQ＝ ∠AEF＋ ∠EAO＝ 45°① ，∠BOQ＝ ∠ABO＋∠BAO＝90° ②， ①×2－②，得∠ABO＝2∠AEF. ∵△AEF为3倍角三角形，∴分四种情况：
③ 【解题思路】分别延长EF，DC相交于点G，证明△EDF∽△EGD，可求 出EG的长，再证明四边形AEGC为平行四边形，可得到AC＝EG，根据正 方形的性质即可求解．
【解答】如答图，分别延长EF，DC相交于点G. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，AC＝ 2 AD，AB∥CD. ∵EF∥AC，∴∠EGD＝∠ACD＝45°. ∵∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠EGD. ∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD， ∴EEDF＝EEDG，即192＝E1G2 ，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
③
∴∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中， AB＝AC，
∠BAD＝∠CAE， AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE.
中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷(附带参考答案)
中考数学专题复习《圆的阅读理解题》测试卷（附带参考答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．请阅读下列材料 并完成相应的任务：斯库顿定理：如图1．在ABC 中 AD 为BAC ∠的平分线 则2··AD BD DC AB AC +=．下面是该定理的证明过程： 证明：如图2O 是ABC 的外接圆 延长AD 交O 于点E 连接BE ．∵AD 为BAC ∠的平分线 ∵BAE DAC ∠=∠．∵E C ∠=∠ （依据∵__________________________） ABE ADC ∴△∽△．（依据∵_________________________） AB ADAE AC∴= AD AE AB AC ∴⋅=⋅又AE AD DE =+()AD AD DE AB AC ∴⋅+=⋅．2AD AD DE AB AC ∴+⋅=⋅．……任务：（1）证明过程中的依据是：∵__________________________________． ∵__________________________________． （2）将证明过程补充完整：（3）如图3．在圆内接四边形ACEB 中 对角线AE BC 相交于点D ．若BE CE = 4AC =6AB=2BD=请利用斯库顿定理直接写出线段AE的长．CD=32．如图1 正五边形ABCDE内接于∵O阅读以下作图过程并回答下列问题作法：如图2 ∵作直径AF∵以F为圆心FO为半径作圆弧与∵O交于点M N∵连接AM MN NA．,,∠的度数．(1)求ABC(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始以DN长为半径在∵O上依次截取点再依次连接这些分点得到正n边形求n的值．3．阅读与应用请阅读下列材料完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者著名的天文学家地理学家占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1 四边形ABCD 内接于O ．求证：AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．证明：如图2 作BAE CAD ∠=∠交BD 于点E ．∵AD AD = ∵ABE ACD ∠=∠．（依据） ∵ABE ACD ∽△△．∵AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …∵ABC AED ∽△△． ∵AC BCAD ED=．∵AD BC AC ED ⋅=⋅． ∵AB DC AC BE ⋅=⋅∵()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ∵AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______ (2)补全证明过程(3)如图3 O的内接五边形ABCDE的边长都为2 求对角线BD的长．4．阅读与思考请阅读下列材料,并按要求完成相应的任务．阿基米德是伟大的古希腊数学家哲学家物理学家他与牛顿高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理其中第三个引⊥于点C点D在弦AB上且理是：如图1 AB是O的弦点P在O上PC AB=．小明思考后给出如=在PB上取一点Q使PQ PAAC CD=连接BQ则BQ BD下证明：任务：(1)写出小明证明过程中的依据： 依据1：________ 依据2：________(2)请你将小明的证明过程补充完整(3)小亮想到了不同的证明方法：如图3 连接AP PD PQ DQ ．请你按照小亮的证明思路 写出证明过程．5．阅读资料：我们把顶点在圆上 一边和圆相交 另一边和圆相切的角叫做弦切角 如图1中CBD ∠即为弦切角．同学们研究发现：A 为圆上任意一点 当弦AB 经过圆心O 且DB 切O 于点B 时 易证：弦切角CBD A ∠=∠．问题拓展：如图2 点A 是优弧BC 上任意一点 DB 切O 于点B 求证：CBD A ∠=∠． 证明：连接BO 并延长交O 于点A ' 连接A C ' 如图2所示． ∵DB 与O 相切于点B ∵A BD ∠'=________ ∵90A BC CBD ∠'+∠=︒． ∵A B '是直径∵90ACB ∠'=︒_____________（依据）． ∵90A A BC ∠'+∠'=︒．∵CBD A ∠=∠'________________（依据）．又∵A A ∠'=∠________________（依据） ∵CBD A ∠=∠．(1)将上述证明过程及依据补充完整．(2)如图3 ABC 的顶点C 在O 上 AC 和O 相交于点D 且AB 是O 的切线 切点为B 连接BD ．若2,6,3AD CD BD === 求BC 的长．6．阅读：如图1所示 四边形ABCD 是∵O 的内接四边形 连接AC BD ．BC 是∵O 的直径 AB ＝AC ．请说明线段AD BD CD 之间的数量关系．下面是王林解答该问题的部分解答过程 请补充完整：+CD ＝BD ．理由如下：∵BC 是∵O 的直径 ∵∵BAC ＝90°． ∵AB ＝AC ∵∵ABC ＝∵ACB ＝45°．如图2所示 过点A 作AM ∵AD 交BD 于点M …(1)补全王林的解答过程(2)如图3所示 四边形ABCD 中∵ABC ＝30° 连接AC BD ．若∵BAC ＝∵BDC ＝90° 直接写出线段AD BD CD 之间的关系式是 ． 7．阅读下列材料 并按要求完成相应的任务． 黄金三角形与五角星当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时 我们把这样的三角形叫做黄金三角形． 按下面的步骤画一个五角星（如图）：∵作一个以AB 为直径的圆 圆心为O ∵过圆心O 作半径OC ∵AB ∵取OC 的中点D 连接AD∵以D 为圆心OD 为半径画弧交AD 于点E ∵从点A 开始以AE 为半径顺时针依次画弧正好把∵O 十等分（其中点F G B H I 为五等分点） ∵以点F G B H I 为顶点画出五角星． 任务： (1)求出AEOA的值为 (2)如图 GH 与BF BI 分别交于点M N 求证：△BMN 是黄金三角形． 8．阅读下面材料 并按要求完成相应的任务．阿基米德是古希腊的数学家 物理学家．在《阿基米德全集》里 他关于圆的引理的论证如下：命题：设AB 是一个半圆的直径 并且过点B 的切线与过该半圆上的任意一点D 的切线交于点T 如果作DE 垂直AB 于点E 且与AT 交于点F 则DF EF =． 证明：如图1 延长AD 与BT 交于点H 连接OD OT ． ∵DT BT 与半圆O 相切 ∵……∵ ∵BT DT =． ∵AB 是半圆O 的直径 ∵90ADB ︒∠=．∵在BDH △中 由BT DT = 可得TDB TBD ∠=∠ ∵H TDH ∠=∠．∵BT DT HT ==． 又∵//DE BH ∵DF AFHT AT = EF AF BT AT=∵EF DFBT HT=． 又∵BT HT = ∵DF EF =任务：(1)请将∵处的证明过程补充完整． (2)证明过程中∵的证明依据是 ．(3)如图2 AB 为∵O 的直径 ∵BED 是等边三角形 BE 是∵O 的切线 切点是B 点D 在∵O 上 CD ∵AB 垂足为C 连接AE 交CD 于点F ．若∵O 的半径为2 求CF 的长． 9．阅读材料 某个学习小组成员发现：在等腰ABC 中 AD 平分BAC ∠ ∵AB AC =BD CD = ∵AB BDAC CD= 他们猜想：在任意ABC 中 一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例．【证明猜想】如图1所示 在ABC 中 AD 平分BAC ∠ 求证：AB BDAC CD=． 丹丹认为 可以通过构造相似三角形的方法来证明△和ACD面积的角度来证明．思思认为可以通过比较ABD(1)请你从上面的方法中选择一种进行证明．(2)【尝试应用】如图2O是Rt ABC的外接圆点E是O上一点（与B不重合且=连结AE并延长AE BC交于点D H为AE的中点连结BH交AC于点G求AB AEHG的值．GB(3)【拓展提高】如图3在（2）的条件下延长BH交O于点F若BE EF=求=GH xO的直径（用x的代数式表示）．10．请阅读下面材料并完成相应的任务阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes 公元前287—公元前212年古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一他与牛顿高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1 AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）>M是ABC的中点则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点即BC ABCD AB BD=+．=+的部分证明过程．这个定理有很多证明方法下面是运用“垂线法”证明CD AB BD证明：如图2 过点M作MH⊥射线AB垂足为点H连接MA MB MC．∵M 是ABC 的中点 ∵MA MC =． … 任务：（1）请按照上面的证明思路 写出该证明的剩余部分（2）如图3 已知等边三角形ABC 内接于O D 为AC 上一点 15ABD ∠=︒ CE BD ⊥于点E 2CE = 连接AD 则DAB 的周长是______．11．阅读与思考请阅读下列材料 并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2 正五边形ABCDE 内接于∵O AB ＝2 求对角线BD 的长．12．阅读下列材料 完成相应任务：如图∵ ABC 是∵O 的内接三角形 AB 是∵O 的直径AD 平分BAC ∠交∵O 于点D 连接BD 过点D 作∵O 的切线 交AB 的延长线于点E ．则CAD BDE ∠=∠．下面是证明CAD BDE ∠=∠的部分过程：证明：如图∵ 连接DO AB 是∵O 的直径 90ADB ∴∠=︒ODA ∴∠+∵________90=︒．（1） DE 为∵O 的切线 90ODE ∴∠=︒90ODB BDE ∴∠+∠=︒ （2）由（1）（2）得 ∵________________． AD 平分,BAC CAD OAD ∠∴∠=∠．,OA OD OAD ODA =∴∠=∠CAD ∴∠=∵________CAD BDE ∴∠=∠．任务：（1）请按照上面的证明思路 补全证明过程：∵________ ∵________ ∵________ （2）若5,2OA BE == 求DE 的长．13．阅读下列材料：平面上两点P 1（x 1 y 1） P 2（x 2 y 2）之间的距离表示为()()22121212PP x x y y =-+- 称为平面内两点间的距离公式 根据该公式 如图 设P （x y ）是圆心坐标为C （a b ）半径为r 的圆上任意一点 则点P ()()22x a y b r -+-= 变形可得：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2 我们称其为圆心为C （a b ） 半径为r 的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25可得它的圆心为（1 2） 半径为5．根据上述材料 结合你所学的知识 完成下列各题．（1）圆心为C （3 4） 半径为2的圆的标准方程为：（2）若已知∵C 的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2＝22 圆心为C 请判断点A （3 ﹣1）与∵C的位置关系．14．阅读以下材料 并按要求完成相应的任务：几何定论 是指变化的图形中某些几何元素的几何量保持不变（如定长 定角 定比 定积等） 或几何元素间的某些性质或位置关系不变（如定点 定线 定方向等）如图∵ 点A 为O 外一点 过点A 为O 作直线与O 相交于点B C 点B '为点B 关于OA 的对称点 连接B C '交OA 于点M 设O 的半径为R ．如图∵ 当过点A 的直线与O 相切时 点B C 重合 可得2R OA OM =⋅．如图∵ 当过点A 的直线与O 相交时 证明2R OA OM =⋅．证明：如图∵ 连接OC CD ．∵B ' B 关于OA 对称∵BD BD '=．∵∵1＝∵2 .（依据）…任务：（1）上述证明过程中的依据是____________________（2）根据以上的证明提示 完成上述证明过程（3）如图∵ 若5OA = 1OM = 求O 的半径．15．阅读下列相关材料 并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家 天文学家他编著了《婆罗摩修正体系》 他曾经提出了“婆罗摩笈多定理” 也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直 则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证 并完成这个定理的证明过程已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2） 在O 中 弦AB CD ⊥于M 连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点 EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H 当M 是AB 中点时 直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．参考答案：1．解：（1）∵同弧或等弧所对的圆周角相等∵E ∠和C ∠所对的弧是同一条弧∵∵应填：同弧或等弧所对的圆周角相等∵两角分别相等的两个三角形相似∵题目中的结论是两个三角形相似 用的方式是三角形的两个角分别相等∵∵应填两角分别相等的两个三角形相似（2）∵BDE ADC ∠=∠ E C ∠=∠.BDE ADC ∽△∴△.BD DE AD DC∴= AD DE BD DC ∴⋅=⋅2AD BD DC AB AC ∴+⋅=⋅（3）42AE =∵BE CE =.∵弧BE =弧CE∵BAE CAE ∠=∠∵AE 平分BAC ∠.由斯库顿定理 得2AD BD DC AB AC +⋅=⋅又∵4AC = 6AB = 2CD = 3BD =∵23264AD +⨯=⨯.解得=AD AD =-。
中考数学阅读理解判断说理型专题训练A试题(共11页)
2021年中考数学阅读理解判断说理(shuō lǐ)型专题训练A总分120分，时间是90分钟一、细心填一填〔每一小题3分，一共21分〕1．〔2021年〕在实数的原有运算法那么中我们补充定义新运算“⊕〞如下：当a≥b时，a ⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a．那么当x＝2时，(1⊕x)·x－(3⊕x)的值是(“·〞和“－〞仍为实数运算中的乘号和减号)．2．〔2021年〕日常生活中，“老人〞是一个模糊概念．有人想用“老人系数〞来表示一个人的老年化程度．他设想“老人系数〞的计算方法如下表：人的年龄x〔岁〕x≤60 60＜x＜80 x≥80该人的“老人系数〞0 1按照这样的规定，一个70岁的人的“老人系数〞为．3．〔2021年〕教师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数______________________4．〔2021年〕德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形〔单位分数是分子为1，分母为正整数的分数〕：第一行第二行1 2第三行1 3第四行11214第五行12015…………根据前五行(wǔxíng)的规律，可以知道第六行的数依次是：．5．〔2021年〕在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形。
如图，在4×4的方格纸上，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个平方单位，那么符合条件的C点一共有个。
AB6．〔2021年〕我们已经学习了相似三角形,也知道:假如两个几何图形形状一样而大小不一定一样,我们就把它们叫做相似图形.比方两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出以下4对几何图形:①两个圆;②两个菱形;③两个长方形;④两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形,哪几对不是相似图形_______________________. 7．〔2021年〕甲、乙两人进展羽毛球比赛，甲发出一颗非常关键的球，出手点为P，羽毛球飞出的程度间隔 s〔米〕与其距地面高度h〔米〕之间的关系式为。
初中数学中考专题-阅读理解、判断说理型专题训练及答案
阅读理解、判断说理型专题训练B总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共21分）1．（绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+ 1×20= 13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为__________． 2．（内江市）对于正数x ，规定f （x ）=x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12x ）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （）+ f （）+ f （）= .3．（扬州）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？” 小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？” 小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 千克．”图1 图24．（深圳）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21、……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有________________种不同方法．5．（嘉兴）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为时间（）18工作量（kg ）时间（）7040工作量（kg ）偶数时，结果为kn2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿＿＿．6．（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
中考数学专题：阅读理解(整除问题)
中考数学专题：阅读理解（整除问题）基本知识：用字母表示一个多位数，数的整除的特征，不定方程的整数解。
【基本题1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。
【基本题2】求方程117x的所有正整数解+y3=21【基本题3】求方程22x的所有正整数解。
+y2=3【基本题4】一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗？请证明你的判断。
【经典例题1】一个三位数是偶数且能能被7整除，求出所有这样的所有三位数【经典例题2】试说明把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，所得的新两位数与原两位数的和能被11整除，所得的新两位数与原两位数之差能被哪个质数整除？说明理由。
1.一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”，例如：132，选择百位数字1和十位数字3组成的两位数为13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为12和21，选择十位数字3和个位数字2组成的两位数为32和23。
因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”。
一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”。
（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由。
（2）证明:当一个“伯伯数”xyz是“公主数”时，则x。
z2（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”。
2.（巴蜀中学期末考试27题）一个三位正整数M，其各位数字互不相同且都不为0，若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“情谊数”，如：168的“情谊数”为618；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。
(完整版)中考数学阅读理解题试题练习题
中考数学阅读理解题试题练习题1. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．己知某种加密规则为：明文a 、b 对应的密文为a －2b 、2a ＋b ．例如，明文1、2对应的密文是－3、4．当接收方收到密文是1、7时，解密得到的明文是（ ）．A ．－1，1B ．1，3C ． 3，1D ．1，1 2. 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x =__________．3. 阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个⋅．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为()38log 8log 22=即．一般地，若()0,10>≠>=b a a b a n且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为()813.log log 4==如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33=即．问题：（1）计算以下各对数的值： ===64log 16log 4log 222 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（2分）()0,0,10log log >>≠>=+N M a a N M a a 且（4）根据幂的运算法则：m n mna a a +=⋅以及对数的含义证明上述结论．4. 先阅读下列材料，然后解答问题： 从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)C (1)321nm m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例：从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．5. 式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； ②计算：∑=-512)1(n n＝ （填写最后的计算结果）.6. 定义：如果一个数的平方等于-1，记为i 2=-1,这个数i 叫做虚数单位。
中考数学专题复习新定义阅读理解题(四)
中考数学专题复习新定义阅读理解题（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．对于自然数n ，在计算()()12n n n ++++时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：2020是纯数，因为计算202020212022++时，各数位都不产生进位．任意一个正整数m 都可以表示为：2m a b =（a 、b 均为正整数），在m 的所有表示结果中，当a b -最小时，规定：()2F m ab =，例如：221211223=⨯=⨯，∵11223->-，∵()1212F =．（1）计算()32F 的值，并判断()32F 是否为纯数，说明理由；（2）若()F x 比最大的三位数纯数小310，求x ．2．阅读理解：把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，比如：{}3,2，{}2,01--，，我们称之为集合，其中大括号内的数称为该集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a ，使得23a -+也是这个集合的元素，我们把这样的集合称为自闭集合．例如：集合{}2,9,7-，因为2(2)37-⨯-+=，7恰好是这个集合的元素，所以{}2,9,7-是自闭集合．再如：集合{}1,3-，因为2(1)35-⨯-+=，而5不是这个集合的元素，且2333-⨯+=-，而3-也不是这个集合的元素，所以{}1,3-不是自闭集合（1）判断：集合12,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， 自闭集合；（选填“是”或“不是”） （2）若集合{}3,x 和集合{}y -都是自闭集合，求x y +的值3．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．(1)另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．(2)然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝12(m2﹣n2)，b＝mn，c＝12(m2+n2)(m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．参考答案：1．（1）()3216F =；()32F 不是纯数，理由见解析；（2）11或121【解析】【分析】（1）仿照例子计算()32F ，再根据纯数的定义进行判断和说明即可；（2）由纯数的定义求出最大的三位数纯数，进而求得()F x ，再由()2F m ab =求出ab ，求得a b 、后根据2m a b =求出x 即可．【详解】（1）∵222321322842=⨯=⨯=⨯，1322842->->-，∵()3224216F =⨯⨯=，∵计算161718++时，要产生进位，∵()32F 不是纯数；（2）设最大三位数纯数为m ，∵最大的三位数为999，∵12999m m m ++++=，解得：332m =，即最大的三位数纯数为332，∵()F x 比最大的三位数纯数小310，∵()33231022F x =-=，即：222ab =，11ab =，∵a b 、均为正整数，∵111a b ==，或111a b ==，，∵2211111x a b ==⨯=或22111121x a b ==⨯=，∵x 的值为11或121．【点睛】本题考查实数运算的新定义问题，理解题意，将新定义的计算过程转换为常规运算过程是解题关键．2．（1）是；（2）当3x =-，1y =-时，4x y +=-；当0x =，1y =-时，1x y +=-；当1x =，1y =-时，0x y +=【解析】【分析】（1）直接利用自闭集合的定义分析得出答案；（2）直接利用自闭集合的定义分析得出答案．【详解】解（1）∵−2×(−12)+3＝4且4是这个集合的元素∵集合12,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，是自闭集合； 故答案为：是；（2）集合{}3,x 是自闭集合233x ∴-⨯+=，或233x -+=，或23x x -+=3x ∴=-，或0x =，或1x =集合{}y -是自闭集合2()3y y ∴--+=-解得：1y =-∴当3x =-，1y =-时，4x y +=-当0x =，1y =-时，1x y +=-当1x =，1y =-时，0x y +=【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解决问题的关键是依据条件集合的定义进行计算． 3．(1)证明见解析；(2)当n ＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【解析】【分析】（1）根据题意只需要证明a 2+b 2＝c 2，即可解答（2）根据题意将n ＝5代入得到a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12 (m 2+25)，再将直角三角形的一边长为37，分别分三种情况代入a ＝12 (m 2﹣52)，b ＝5m ，c ＝12 (m 2+25)，即可解答【详解】(1)∵a 2+b 2＝(2n +1)2+(2n 2+2n )2＝4n 2+4n +1+4n 4+8n 3+4n 2＝4n 4+8n 3+8n 2+4n +1，c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，∵a2+b2＝c2，∵n为正整数，∵a、b、c是一组勾股数；(2)解：∵n＝5∵a＝12(m2﹣52)，b＝5m，c＝12(m2+25)，∵直角三角形的一边长为37，∵分三种情况讨论，∵当a＝37时，12(m2﹣52)＝37，解得m＝(不合题意，舍去)∵当y＝37时，5m＝37，解得m＝375(不合题意舍去)；∵当z＝37时，37＝12(m2+n2)，解得m＝±7，∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，∵m＝7，把m＝7代入∵∵得，x＝12，y＝35．综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，35．【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键。
中考数学阅读理解题
×3×5×7)＝___2_0___；④f(25×3×5×7)＝_1_4____．
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解：(2)设交换 t 的个位上数与十位上的数得到的新数为 t′，则 t′＝10b ＋a，根据题意得 t′－t＝(10b＋a)－(10a＋b)＝9(b－a)＝54，∴b＝a＋ 6.∵1≤a≤b≤9，a，b 为正整数，∴满足条件的 t 为 17，28，39.∵f(17)＝117 ， f(28)＝47 ，f(39)＝133 ，∵47 ＞133 ＞117 ，∴f(t)的最大值为47 .
专题六 阅读理解题(含初高中衔接)
类型一 代数类 1．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫作虚数单 位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫作复数，其中a叫这个复数的实部，b 叫作这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算 类似．
例如：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i； (1＋i)×(2－i)＝1×2－i＋2×i－i2＝2＋(－1＋2)i＋1＝3＋i. 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i3＝__－__i__，i4＝__1__； (2)计算：(1＋i)×(3－4i). 解：(1)【解法提示】i3＝i2·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1； (2)(1＋i)×(3－4i)＝3－4i＋3i－4i2＝3－i＋4＝7－i.
7．对数的定义：一般地，若ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的 对数，记作x＝logaN.比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数 式2＝log525可以转化为指数式52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0). 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴M·N＝am·an＝am＋n， 由对数的定义得m＋n＝loga(M·N)， 又∵m＋n＝logaM＋logaN ∴loga(M·N)＝logaM＋logaN.
初三中考初中数学阅读理解专题训练含答案
初三中考初中数学阅读理解专题训练含答
案
阅读理解是中考数学考试中常见的题型之一。
在这种题型中，
学生需要通过阅读一篇数学相关的文章，并回答相关的问题。
以下
是一些初三中考初中数学阅读理解专题训练题目及其答案，供同学
们练。
题目一：
某公司为两位员工A和B购买了一套办公设备，设备总价为元。
公司决定按照员工A的工作量和贡献度，将设备总价分成两份。
员工A参与公司工作的时间为8个月，员工B参与公司工作的时间为4个月。
设员工A和B分别支付的费用为X元和Y元，则X+Y
的值为多少？
A. 4000元
B. 6000元
C. 8000元
D. 元
答案：C. 8000元
题目二：
某学校举行篮球比赛，共有12名学生参加。
其中有7名男生
和5名女生。
学校规定，要选出一支由至少3名男生和至少2名女
生组成的比赛队。
则符合要求的不同组队方式有多少种？
A. 50种
B. 60种
C. 70种
D. 80种
答案：C. 70种
题目三：
某商店打折出售一种商品，原价120元，现在打8折出售。
同时，商店还提供会员折扣，会员购买可再打7折。
某消费者是该商
店的会员，他购买了两件该商品。
则他需要支付的总费用是多少元？
A. 82.4元
B. 86.4元
C. 89.6元
D. 93.6元
答案：B. 86.4元
通过完成以上的阅读理解训练题目，同学们可以提高自己的阅读理解能力，并更好地应对中考数学考试。
中考数学专题(阅读理解)
中考专题（阅读理解题） 姓名 学号1.阅读以下材料：对于三个数a b c ，，，用{}M a b c ，，表示这三个数的平均数，用{}min a b c ，，表示这三个数中最小的数．例如：{}123412333M -++-==，，；{}min 1231-=-，，;{}(1)min 121(1).a a a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，，解决下列问题:（1)填空：{}min sin30cos 45tan30=，， ；如果{}min 222422x x +-=，，，则x 的取值范围为x ________≤≤_________． （2）①如果{}{}212min 212M x x x x +=+，，，，,求x ；②根据①,你发现了结论“如果{}{}min M a b c a b c =，，，，，那么 (填a b c ，，的大小关系）”．证明你发现的结论；③运用②的结论,填空:若{}{}2222min 2222M x y x y x y x y x y x y +++-=+++-，，，，, 则x y += ．(3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+，2(1)y x =-，2y x =-的图象（不需列表描点）．通过观察图象,填空：{}2min 1(1)2x x x +--，，的最大值为．2.(05陕西省) 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点．而在平面直角坐标系中,1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线,如图2-4-10可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标(1，3）就是方程组13x y =⎧⎨=⎩x在直角坐标系中,1x≤表示一个平面区域，即直线1x=以及它左侧的部分,如图2-4—11；21y x≤+也表示一个平面区域,即直线21y x=+以及它下方的部分,如图2—4—12．回答下列问题:在直角坐标系(图2-4—13）中，（1）用作图象的方法求出方程组222xy x=-⎧⎨=-+⎩的解．(2）用阴影表示222xy xy≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，所围成的区域．图2-4-12图2-4-11图2-4-10yxOy=2x+1yxO13y=2x+11P(1,3)O x y3。
2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题(倍长中线法)
2023年九年级数学中考专题：旋转综合压轴题（倍长中线法）1．（1）阅读理解：如图1，在ABC 中，若3AB =，5AC =．求BC 边上的中线AD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ．利用全等将边AC 转化到BE ，在BAE 中利用三角形三边关系即可求出中线AD 的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线AD 的取值范围是___________；（2）问题解决：如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DM DN ⊥．DM 交AB 于点M ，DN 交AC 于点N ．求证：BM CN MN +>；（3）问题拓展：如图3，在ABC 中，点D 是BC 的中点，分别以AB AC ，为直角边向ABC 外作Rt ABM 和Rt ACN △，其中90BAM NAC ∠=∠=︒，AB AM =，AC AN =，连接MN ，请你探索AD 与MN 的数量与位置关系，并直接写出AD 与MN 的关系．2．（1）如图1，在ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是 ；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A 为钝角，∠C 为锐角，∠B ＋∠ADC ＝180°，DA ＝DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且∠EDF ＝12∠ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．3．（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若85AB AC ＝，＝，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +＞；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠︒＝，CB CD ＝，100BCD ∠︒＝，以C 为顶点作一个50︒的角，角的两边分别交AB AD 、于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE DF EF ，，之间的数量关系，并说明理由．4．如图，在锐角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D ，E 分别是边,AB AC 上一动点，连接BE 交直线CD 于点F ．(1)如图1，若AB AC >，且,BD CE BCD CBE =∠=∠，求CFE ∠的度数；(2)如图2，若=AB AC ，且=BD AE ，在平面内将线段AC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到线段CM ，连接MF ，点N 是MF 的中点，连接CN ．在点D ，E 运动过程中，猜想线段,,BF CF CN 之间存在的数量关系，并证明你的猜想．5．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC 的边BC 到D ，使DC ＝BC ，过D 作DE ∥AB 交AC 延长线于点E ，求证：△ABC ≌△EDC ．【理解与应用】如图2，已知在△ABC 中，点E 在边BC 上且∠CAE ＝∠B ，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE ．（1）求证：AC ＝BD ；（2）若BD ＝3，AD ＝5，AE ＝x ，求x 的取值范围．6．如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ．①请证明△CED ≌△ABD ；②中线BD 的取值范围是 ．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．7．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．8．在△ABM 中，AM ⊥BM ，垂足为M ，AM ＝BM ，点D 是线段AM 上一动点．（1）如图1，点C 是BM 延长线上一点，MD ＝MC ，连接AC ，若BD ＝17，求AC 的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E 是△ABM 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF ．（3）如图3，当E 在BD 的延长上，且AE ⊥BE ，AE ＝EG 时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）9．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点； （3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．10．（1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．11．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．12．如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作P A∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD 交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．13．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE ＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；∠BAD，试问线段（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．14．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．15．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是AC ，AB 上的动点，且AE ＝CD ，BD 交CE 于点P ．（1）如图1，求证：∠BPC ＝120°；（2）点M 是边BC 的中点，连接P A ，PM ，延长BP 到点F ，使PF ＝PC ，连接CF ，①如图2，若点A ，P ，M 三点共线，则AP 与PM 的数量关系是 ．②如图3，若点A ，P ，M 三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．16．（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．17．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．18．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC △≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】⊥，求证：（3）如图2，在ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM DNBM CN MN+>．。
中考数学复习阅读理解专题试题
阅读理解专题阅读理解型问题一般文字表达较长，信息量较大，各种关系错综复杂，往往是先给一个材料，或者介绍一个新的知识点，或者给出针对某一种题目的解法，然后再给合条件出题.解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含的数学知识、结论，或者提醒的数学规律，或者暗示的解题方法，然后展开联想，如何从题目给定的材料获得新信息、新知识、新方法进展迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.一、新定义型例1 对于实数a ，b ，定义运算“*〞：a*b ＝22()().a ab a b ab b a b ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥，＜例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．假设x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，那么x 1*x 2＝_________________．分析：用公式法或者因式分解法求出方程的两个根，然后利用新定义解之.解：可以用公式法求出方程x 2－5x ＋6＝0的两个根是2和3，可能是x 1=2，x 2=3，也可能是x 1=3，x 2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案3或者－3．.此题容易无视讨论思想，会少一种情况.评注：此题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题．考察了学生观察问题，分析问题，解决问题的才能． 跟踪训练：1.假设定义：f(a,b)=(-a,b)，g(m,n)=(m,-n)，例如(1,2)(1,2)f =-，(4,5)(4,5)g --=-，那么((2,3))g f -等于〔 〕A ．〔2，-3〕B ．〔-2，3〕C ．〔2，3〕D ．〔-2，-3〕2．对于实数x,我们规定【x 】表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，假设5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，那么x 的值可以是〔 〕 A ．40 B ．45 C ．51 D ．56二、类比型例2 阅读下面材料后，解答问题.分母中含有未知数的不等式叫分式不等式.如：01-x 3x 2 01x 2-x ＜，＞++等 .那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法那么可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：〔1〕假设a ＞0 ，b ＞0 ，那么b a ＞0，假设a ＜0 ，b ＜0，那么b a＞0； 〔2〕假设a ＞0 ，b ＜0 ，那么b a ＜0 ，假设a ＜0，b ＞0 ，那么ba＜0.反之，〔1〕假设b a＞0，那么⎩⎨⎧⎩⎨⎧；＜，＜或，＞，＞0b 0a 0b 0a 〔2〕假设ba＜0 ，那么__________或者_____________． 根据上述规律，求不等式 ﹙A ﹚ ，＞012x +-x ﹙B ﹚2x 2-3x+2021＜2021的解集. 分析：对于〔2〕，根据两数相除，异号得负解答；先根据同号得正把不等式转化成不等式组，然后解一元一次不等式组即可．对于〔A 〕，据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；对于〔B 〕，将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可. 解：〔2〕假设＜0，那么或者故答案为或者；由上述规律可知，不等式﹙A ﹚转化为或者所以x ＞2或者x ＜﹣1．不等式﹙B ﹚即为2x 2-3x+1＜0.∵2x 2-3x+1=﹙x －1﹚〔2x-1〕，∴2x 2-3x+1＜0可化为﹙x －1﹚〔2x-1〕＜0.由上述规律可知①10230x x ->⎧⎨-<⎩或者②10230x x -<⎧⎨->⎩解不等式组①，无解， 解不等式组②，得21<x<1. ∴不等式2x 2-3x+2021＜2021的解集为21<x<1． 评注：此题本质是一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题关键．例4 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ；tan 〔α±β〕=tan tan 1tan tan αβαβ± .利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值． 例：tan15°=tan〔45°-30°〕=tan 45-tan 301tan 45tan 30︒︒+︒︒=1==根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题 〔1〕计算：sin15°；〔2〕一铁塔是标志性建筑物之一〔图1〕，小草想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小草站在与塔底A 相距7米的C 处，测得塔顶的仰角为75°，小草的眼睛离地面的间隔DC ，〕．分析：〔1〕把15°化为〔45°-30°〕以后，再利用公式sin 〔α±β〕=sinαcosβ±cosαsinβ计算，即可求出sin15°的值；〔2〕先根据锐角三角函数的定义求出BE 的长，再根据AB=AE+BE 即可得出结论． 解：﹙1﹚sin15°=sin〔45°-30°〕=sin45°cos30°-232162622-==〔2〕在Rt △BDE 中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米， ∴BE=DEtan ∠BDE=DEtan75°． ∵tan75°=tan〔45°+30°〕=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒=31(33)(33)126333(33)(33)1+++==+--3∴BE=7〔333≈27.7〔米〕． 答：乌蒙铁塔的高度约为．评注：此题考察了特殊角的三角函数值和仰角的知识，此题难度中等，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用.例5阅读材料：小艳在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=〔1+〕2．擅长考虑的小艳进展了以下探究：设a+b=〔m+n〕2〔其中a，b，m，n均为正整数〕，那么有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小艳就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小艳的方法探究并解决以下问题：〔1〕当a，b，m，n均为正整数时，假设a+b=，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a= ，b= ；〔2〕利用所探究的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + =〔 + 〕2；〔3〕假设a+4=，且a，m，n均为正整数，求a的值.分析:〔1〕根据完全平方公式的运算法那么，即可得出a，b的表达式；〔2〕首先确定m，n的正整数值，然后根据〔1〕的结论即可求出a，b的值；〔3〕根据题意，4=2mn，首先确定m，n的值，通过分析m=2，n=1或者者m=1，n=2，然后即可确定a的值．解：〔1〕∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为m2+3n2，2mn．〔2〕设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4，2，1，1．〔3〕由题意，得a=m2+3n2，b=2mn.∵4=2mn，且m，n为正整数，∴m=2，n=1或者者m=1，n=2.∴a=22+3×12=7，或者a=12+3×22=13．评注：此题主要考察二次根式的混合运算，完全平方公式，关键在于纯熟运算完全平方公式和二次根式的运算法那么．例6 阅读：大家知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x-y+1=0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图3-①.观察图①可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P 的坐标(1,3)就是方程组⎩⎨⎧=+-=012,1y x x 的解，所以这个方程组的解为⎩⎨⎧==.3,1y x 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧局部，如图3-②. y≤2x+1也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的局部，如图3-③.(5) 图3答复以下问题：(1)在如图3-④所示直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解；(2)用阴影表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥0,22,2y x y x 所围成的区域.分析：通过阅读材料可知，要解决第(1)小题，只要画出函数x=-2和y=-2x+2的图象，找出它们的交点坐标即可；第(2)小题，该不等式组表示的区域就是直线x=-2及其右侧的局部，直线y=-2x+2及其下方的局部和y=0及其上方的局部所围成的公一共区域.解：〔1〕如图3-⑤所示，在坐标系中分别作出直线x=-2和直线y=-2x+2，观察图象可知，这两条直线的交点是P(-2,6). 所以⎩⎨⎧=-=6,2y x 是方程组⎩⎨⎧+-=-=22,2x y x 的解. 〔2〕如图3-⑤所示.评注：此题给出了一个全新的知识情景，通过阅读材料，可知材料中给出一种解决问题的方法，即方程组的解就是两个函数图象的交点坐标；不等式或者不等式组的解集可以用坐标系中图形区域直观地表示出来，不仅要掌握这种方法，还能在原解答的根底上，用这种方法解决类似的问题.解答这类问题的关键是弄清解题原理，详细分析解题思路，梳理前后的因果关系以及每一步变形的理论根据，然后给出问题的解答.通过该题的解答，我们理解了用函数的图象来解方程组或者不等式组，是解方程组或者不等式组的一种特殊方法. 跟踪训练：3.先阅读理解下面的例题，再按要求解答以下问题：解一元二次不等式x 2-4＞0. 解：不等式x 2-4＞0可化为 〔x+2〕〔x-2〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得 ①2020x x +>⎧⎨->⎩②2020x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x ＞2，解不等式组②，得x ＜-2.∴〔x+2〕〔x-2〕＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2，即一元二次不等式x 2-4＞0的解集为x ＞2或者x ＜-2．〔1〕一元二次不等式x 2-16＞0的解集为 ； 〔2〕分式不等式103x x ->-的解集为 ；材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A =⨯=.一般地，从n 个不同的元素中选取m 个元素的排列数记作mn A .(1)(2)(3)(1)m n A n n n n n m =---⋅⋅⋅-+ 〔m ≤n 〕.材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的组合，组合数为2332321C ⨯==⨯. 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为3665420321C ⨯⨯==⨯⨯.阅读后答复以下问题：〔1〕从5张不同的卡片中选出3张排成一列，有几种不同的排法？ 〔2〕从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ 答案：1. 解：由题意，得f(2，－3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，应选B ． 2 .C3.解：〔1〕不等式x 2-16＞0可化为 〔x+4〕〔x-4〕＞0，由有理数的乘法法那么“两数相乘，同号得正〞，得①4040x x +>⎧⎨->⎩或者②4040x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①，得x＞4，解不等式组②，得x＜-4.∴〔x+4〕〔x-4〕＞0的解集为x＞4或者x＜-4，即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或者x＜-4．〔2〕∵13xx->-，∴1030xx->⎧⎨->⎩或者1030xx-<⎧⎨-<⎩解得x＞3或者x＜1.4.解：〔1〕3554360A=⨯⨯=；〔2〕3887656 321C⨯⨯==⨯⨯.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
中考数学 阅读理解题及答案
阅读理解题1．(2019·重庆中考A卷22题)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；(2)求出不大于100的“纯数”的个数．解(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”．理由：当n＝2019时，n＋1＝2020，n＋2＝2021，∵个位是9＋0＋1＝10，需要进位，∴2019不是“纯数”；当n＝2020时，n＋1＝2021，n＋2＝2022，∵个位是0＋1＋2＝3，不需要进位，十位是2＋2＋2＝6，不需要进位，百位为0＋0＋0＝0，不需要进位，千位为2＋2＋2＝6，不需要进位，∴2020是“纯数”．(2)由题意可得，连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产生进位，当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2，共3个，当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共9个，当这个数是三位自然数时，只能是100，由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13，即不大于100的“纯数”有13个．2．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(5＋3)(5－3)＝－4，(3＋2)(3－2)＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如13＝1×33×3＝33，2＋32－3＝(2＋3)(2＋3)(2－3)(2＋3)＝7＋4 3.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：(1)比较大小：16－2________15－3(用“＞”“＜”或“＝”填空)； (2)计算：23＋3＋253＋35＋275＋57＋…＋29997＋9799； (3)设实数x ，y 满足(x ＋x 2＋2019)(y ＋y 2＋2019)＝2019，求x ＋y ＋2019的值．解 (1)16－2＝6＋2(6－2)(6＋2)＝6＋22， 15－3＝5＋3(5－3)(5＋3)＝5＋32， ∵6＋2＞5＋3，∴16－2＞15－3. (2)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－36＋53－3530＋75－5770＋…＋9997－979999×97×2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－36＋36－510＋510－714＋…＋97194－99198＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－99198＝1－9999＝1－1133. (3)∵(x ＋ x 2＋2019)(y ＋ y 2＋2019)＝2019，∴x ＋ x 2＋2019＝2019y ＋ y 2＋2019＝2019(y － y 2＋2019)－2019＝ y 2＋2019－y ，①同理可得y ＋ y 2＋2019＝2019x ＋ x 2＋2019 ＝2019(x － x 2＋2019)－2019＝ x 2＋2019－x ，②①＋②得x ＋y ＝0，∴x ＋y ＋2019＝2019.3．阅读材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算中往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数(分式)的加减法，将假分数(分式)拆分成一个整数(或整式)与一个真分数的和(或差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．解：x2－x＋3x＋1＝x(x＋1)－2(x＋1)＋5x＋1＝x(x＋1)x＋1－2(x＋1)x＋1＋5x＋1＝x－2＋5x＋1.这样，分式x2－x＋3x＋1就拆分成一个整式x－2与一个分式5x＋1的和的形式．解决问题：(1)将分式x2＋6x－3x－1拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________；(2)已知整数x使分式2x2＋5x－20x－3的值为整数，则满足条件的整数x＝________；(3)若关于x的方程2x2＋(1－2a)x＋(4－3a)＝0有整数解，求正整数a的值．解(1)x＋7＋4x－1[解法提示]x2＋6x－3x－1＝(x－1)2＋8(x－1)＋4x－1＝x－1＋8＋4x－1＝x＋7＋4x－1.故结果为x＋7＋4x－1.(2)2,4,16，－10 [解法提示]2x2＋5x－20x－3＝2x2－6x＋11x－33＋13x－3＝2x(x－3)＋11(x－3)＋13x－3＝2x＋11＋13x－3.要使原式的值为整数，则13x－3为整数，故x＝2,4,16，－10.(3)∵2x2＋(1－2a)x＋(4－3a)＝0，∴2x 2＋x －2ax ＋4－3a ＝0，即(2x ＋3)a ＝2x 2＋x ＋4，∴a ＝2x 2＋x ＋42x ＋3＝7＋(2x ＋3)(x －1)2x ＋3＝x －1＋72x ＋3. 又∵a ，x 均为整数，∴2x ＋3是7的约数，∴2x ＋3＝±1，±7，∴⎩⎨⎧ x ＝－1，a ＝5或⎩⎨⎧ x ＝－2，a ＝－10或⎩⎨⎧ x ＝2，a ＝2或⎩⎨⎧ x ＝－5，a ＝－7.又∵a 为正整数，∴a ＝5或2.4．阅读下列材料：已知实数m ，n 满足(2m 2＋n 2＋1)(2m 2＋n 2－1)＝80，试求2m 2＋n 2的值． 解：设2m 2＋n 2＝t ，则原方程变为(t ＋1)(t －1)＝80，整理得t 2－1＝80，t 2＝81，∴t ＝±9，因为2m 2＋n 2＞0，所以2m 2＋n 2＝9.上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．解决问题：(1)已知实数x ，y 满足(2x 2＋2y 2＋3)(2x 2＋2y 2－3)＝27，求x 2＋y 2的值；(2)若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．解 (1)令2x 2＋2y 2＝t ，则原方程变为(t ＋3)(t －3)＝27，整理得，t 2－9＝27，t 2＝36.t ＝±6.∵2x 2＋2y 2≥0，∴2x 2＋2y 2＝6，∴x 2＋y 2＝3.(2)设四个连续正整数为k －1，k ，k ＋1，k ＋2(k ≥2且k 为整数)．由题得(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)＝11880，∴(k －1)(k ＋2)k (k ＋1)＝11880，∴(k 2＋k －2)(k 2＋k )＝11880.令t ＝k 2＋k ，则(t －2)·t ＝11880，t 2－2t －11880＝0，∴t 1＝110，t 2＝－108(舍去)，则k2＋k＝110，得k1＝10，k2＝－11(舍去)．综上，四个连续正整数为9,10,11,12.5．阅读材料：材料一：对实数a，b，定义T(a，b)的含义为：当a＜b时，T(a，b)＝a＋b；当a≥b时，T(a，b)＝a－b.例如：T(1,3)＝1＋3＝4；T(2，－1)＝2－(－1)＝3.材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.也可以这样理解：令S＝1＋2＋3＋…＋100①，则S＝100＋99＋…＋3＋2＋1②，①＋②得2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋(3＋98)＋…＋(100＋1)100个＝100×(1＋100)＝10100，即S＝100×(1＋100)2＝5050.解决问题：(1)已知x＋y＝10，且x＞y，求T(5，x)－T(5，y)的值；(2)对于正数m，有T(m2＋1，－1)＝3，求T(1，m＋99)＋T(2，m＋99)＋T(3，m＋99)＋…＋T(199，m＋99)的值．解(1)∵x＋y＝10，且x＞y，∴x＞5，y＜5.∴T(5，x)－T(5，y)＝(5＋x)－(5－y)＝x＋y＝10.(2)∵m2＋1＞－1，∴m2＋1－(－1)＝3，∵m＞0，∴m＝1，∴T(1，m＋99)＋T(2，m＋99)＋T(3，m＋99)＋…＋T(199，m＋99)＝T(1,100)＋T(2,100)＋T(3,100)＋…＋T(199，100)＝(1＋100)＋(2＋100)＋…＋(99＋100)＋(100－100)＋(101－100)＋…＋(199－100)＝(1＋2＋3＋…＋199)－100＝199×(1＋199)2－100＝19900－100＝19800.6．(热点信息)在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3＋x2－4x－4因式分解的结果为(x ＋1)(x ＋2)(x －2)，当x ＝15时，x ＋1＝16，x ＋2＝17，x －2＝13，此时可以得到数字密码161713.(1)根据上述方法，当x ＝20，y ＝17时，对于多项式x 2y ＋x 2＋xy ＋x 分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个)(2)若多项式x 3＋(m －3n )x 2－nx －21因式分解后，利用本题的方法，当x ＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m ，n 的值．解 (1)x 2y ＋x 2＋xy ＋x ＝x (xy ＋x ＋y ＋1)＝x (x ＋1)(y ＋1)．∴当x ＝20，y ＝17时，x ＝20，x ＋1＝21，y ＋1＝18.∴形成的数字密码可以是202118,211820,182021(其他结果合理即可)．(2)由题意得，x 3＋(m －3n )x 2－nx －21＝(x －3)(x ＋1)(x ＋7)，∵(x －3)(x ＋1)(x ＋7)＝x 3＋5x 2－17x －21，∴x 3＋(m －3n )x 2－nx －21＝x 3＋5x 2－17x －21.∴⎩⎨⎧ m －3n ＝5，n ＝17，解得⎩⎨⎧ m ＝56，n ＝17.∴m ，n 的值分别是56,17.7．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3＝2＋1，∴321是“和数”，∵3＝22－12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．(1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；(2)已知a ＝10m ＋4n ＋716(0≤m ≤7,1≤n ≤3，且m ，n 均为正整数)是一个“和数”，请求出所有a 的值．解 (1)证明：设“谐数”的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z (1≤x ≤9,0≤y ≤9,0≤z ≤9且y ＞z ，x ，y ，z 均为整数)，由题意知x ＝y 2－z 2＝(y ＋z )(y －z )，∴x ＋y ＋z ＝(y ＋z )(y －z )＋y ＋z ＝(y ＋z )(y －z ＋1)．∵y ＋z ，y －z 的奇偶性相同，∴y ＋z ，y －z ＋1必然一奇一偶．∴(y ＋z )(y －z ＋1)必是偶数．∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．(2)∵0≤m ≤7，∴2≤m ＋2≤9.∵1≤n ≤3，∴4≤4n ≤12.∴10≤4n ＋6≤18，∴a ＝10m ＋4n ＋716＝7×100＋(m ＋1)×10＋(4n ＋6)＝7×100＋(m ＋2)×10＋(4n ＋6－10)＝7×100＋(m ＋2)×10＋(4n －4)，∵a 为“和数”，∴7＝m ＋2＋4n －4，即m ＋4n ＝9.∵0≤m ≤7,1≤n ≤3，且m ，n 均为正整数，∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝2或⎩⎨⎧ m ＝5，n ＝1，∴a 的值为734或770.8．如果一个正整数m 能写成m ＝a 2－b 2(a ，b 均为正整数，且a ≠b )，我们称这个数为“平方差数”，则a ，b 为m 的一个平方差分解，规定：F (m )＝b a. 例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝8，a －b ＝1或⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，a －b ＝2.因为a ，b 为正整数，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，所以F (8)＝13. 又例如：48＝132－112＝82－42＝72－12，所以F (48)＝1113或12或17. (1)判断：6________平方差数(填“是”或“不是”)，并求F (45)的值；(2)若s 是一个三位数，t 是一个两位数，s ＝100x ＋5，t ＝10y ＋x (1≤x ≤4,1≤y ≤9，x ，y 是整数)，且满足s ＋t 是11的倍数，求F (t )的最大值．解 (1)不是[解法提示] 根据题意，6＝2×3＝1×6，由6＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )可得，⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，a －b ＝2或⎩⎨⎧ a ＋b ＝6，a －b ＝1，因为a ，b 为正整数，则可判断出6不是平方差数．根据题意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝15，a －b ＝3或⎩⎨⎧ a ＋b ＝9，a －b ＝5或⎩⎨⎧ a ＋b ＝45，a －b ＝1.∵a 和b 都为正整数，解得⎩⎨⎧ a ＝9，b ＝6或⎩⎨⎧ a ＝7，b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝23，b ＝22，∴F (45)＝23或27或2223.(2)根据题意，s ＝100x ＋5，t ＝10y ＋x ，∴s ＋t ＝100x ＋10y ＋x ＋5.∵1≤x ≤4,1≤y ≤9，x ，y 是整数，∴100≤100x ≤400,10≤10y ≤90,6≤x ＋5≤9，∴116≤s ＋t ≤499.∵s ＋t 为11的倍数，∴s ＋t 最小为11的11倍，最大为11的45倍．∵100x 末位为0,10y 末位为0，x ＋5末位为6到9之间的任意一个整数， ∴s ＋t 的末位是6到9之间的任意一个整数．①当x ＝1时，x ＋5＝6，∴11×16＝176，此时x ＝1，y ＝7，∴t ＝71.根据题意，71＝71×1，由71＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝71，a －b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝36，b ＝35，∴F (t )＝3536. ②当x ＝2时，x ＋5＝7，∴11×27＝297，此时x ＝2，y ＝9.∴t ＝92.根据题意，92＝92×1＝46×2＝23×4，由92＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝92，a －b ＝1或⎩⎨⎧ a ＋b ＝46，a －b ＝2或⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，a －b ＝4. 解得⎩⎨⎧ a ＝24，b ＝22.∴F (t )＝1112. ③当x ＝3时，x ＋5＝8，∴11×38＝418，此时x ＝3，y 没有符合题意的值，∴11×28＝308，此时x ＝3，y 没有符合题意的值．④当x ＝4时，x ＋5＝9，∴11×39＝429，此时x ＝4，y ＝2.∴t ＝24.根据题意，24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )，可得⎩⎨⎧ a ＋b ＝24，a －b ＝1或⎩⎨⎧ a ＋b ＝12，a －b ＝2或⎩⎨⎧ a ＋b ＝8，a －b ＝3或⎩⎨⎧ a ＋b ＝6，a －b ＝4.解得⎩⎨⎧ a ＝7，b ＝5或⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝1，∴F (t )＝57或15. 11×49＝539不符合题意．综上，F (t )＝3536或1112或57或15. ∴F (t )的最大值为3536. 9．(1)问题发现：如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，D 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接EC ，则①∠ACE 的度数是________；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是________；(2)拓展探究：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接EC ，请写出∠ACE 的度数及线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在四边形ADBC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BDC ＝90°.若BD ＝3，CD ＝5，请直接写出AD 的长．解 (1)①60° ②AC ＝CD ＋CE[解法提示] 由题意，得△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠B ＝60°.∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE .∴△BAD ≌△CAE (SAS)．∴∠ACE ＝∠B ＝60°，BD ＝CE .∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋CE .(2)∠ACE ＝45°，2AC ＝CD ＋CE .理由：由题意，得∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE .∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC .即∠BAD ＝∠CAE .∴△BAD≌△CAE.∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°.∴BC＝CD＋BD＝CD＋CE.∵BC＝2AC，∴2AC＝CD＋CE.(3)AD的长为 2.[解法提示] 过点A作AE⊥AD交DC于点E，则∠DAB＝∠EAC.∵∠BDC＝90°，∴∠DBA＋∠ABC＋∠DCB＝90°.∴∠DBA＋45°＋(45°－∠ECA)＝90°.∴∠DBA＝∠ECA.又AB＝AC.∴△BAD≌△CAE(ASA)．∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD－BD＝CD－CE＝DE，而DE＝2AD，∴CD－BD＝2AD，∴AD＝ 2.。
中考数学专题复习新定义阅读理解题(三)
中考数学专题复习新定义阅读理解题（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．对于任意一个三位正整数，十位上的数字减去个位上的数字之差恰好等于百位上的数字，则称这个三位数为“极差数”．例如：对于三位数451，5－1＝4，则451是“极差数”；对于三位数110，1－0＝1，则110是“极差数”．（1）求证：任意一个“极差数”一定能被11整除；（2）在一个“极差数”首位之前添加其十位的数字得到一个新的四位数M，在一个“极差能被12整除，求满足条件的数”末位之后添加数字1得到一个新的四位数N，若M N“极差数”．2．一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“称心数”，如5，44，666，2222，…对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为S（n），如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和S（123）＝213+321+132＝666，是一个“称心数”．（1）计算：S（432），S（617），并判断是否为“称心数”；（2）若“相异数”n＝100+10p+q（其中正整数p，q满足1≤p≤9，1≤q≤9），且S（n）为最大的三位“称心数”，求n的值．3．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为712517-⨯＝101；712也是“12阶10级数”，因为71212110-⨯＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．参考答案：1．（1）证明见解析；（2）满足条件的“极差数”有671或143或275．【解析】【分析】（1）设任意一个“极差数”的百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c ，根据条件式子100a ＋10b +c ＝11（10b ＋9c ），即可求证；（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c ，由题意可得M ＝1000b ＋100a ＋10b ＋c ，N ＝1000a ＋100b ＋10c ＋1，再根据M −N 能被12整除，可求满足条件的“极差数”．【详解】解：（1）证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c ， ∵a ＝b −c ，∵100a ＋10b ＋c ＝100b −100c ＋10b ＋c ＝110b −99c ＝11（10b −9c ），∵100a ＋10b ＋c 能被11整除，∵任意一个“极差数”一定能被11整除；（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a ，十位数字是b ，个位数字是c ，则M ＝1000b ＋100a ＋10b ＋c ，N ＝1000a ＋100b ＋10c ＋1，则M −N ＝−900a ＋910b −9c −1＝−900（b −c ）＋910b −9c −1＝10b ＋891c −1，M−N 能被12整除，当c ＝1时，b ＝1，a ＝0（舍去）；当c ＝1时，b ＝7，a ＝6；当c ＝3时，b ＝4，a ＝1；当c ＝5时，b ＝1，a ＝−4（舍去）；当c ＝5时，b ＝7，a ＝2；当c ＝7时，b ＝4，a ＝−3（舍去）．故满足条件的“极差数”有671或143或275．【点睛】本题考查了分解因式的实际运用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关键是理解“极差数”的定义．2．(432)999S =，是“称心数”；(617)1554S =，不是“称心数”；（2）n 的值为162或153或135或126．【解析】【分析】（1）根据“称心数”和“相异数”的定义即可判断；（2）根据“称心数”和“相异数”的定义可得()999S n =且19p q ++=，由此即可得出答案．【详解】（1）由题意得：(432)342234423999S =++=，(617)1677166711554S =++=，则(432)S 是“称心数”，(617)S 不是“称心数”；（2）∵“相异数”10010n p q =++（其中正整数p ，q 满足19,19p q ≤≤≤≤），n ∴是一个三位数，且百位数字为1，十位数字为p ，个位数字为q ，1p q ∴≠≠，又()S n 为最大的三位“称心数”，()999S n ∴=，19p q ∴++=，∵p 、q 的所有可能取值为62p q =⎧⎨=⎩或53p q =⎧⎨=⎩或35p q =⎧⎨=⎩或26p q =⎧⎨=⎩， n ∴的值为162或153或135或126．【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程的应用，理解“称心数”和“相异数”的定义是解题关键．3．（1）k 的最大值为205；（2）满足要求的M 为8311或6816．【解析】【分析】（1）根据材料中给出的“p 阶q 级数”的含义及k 的取值范围即可得出答案．（2）先设未知数表示出M ，然后根据M 既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．【详解】（1）∵415是“5阶k 级数”，所以41551410k k -⨯=为整数， ∵k ＜300，∵k 的最大值为205．（2）设M 为千位数字为x ，个位数字为y ，则百位数字为y+2，∵M ＝1000x+100（y+2）+10+y ，（0≤y≤7）∵M 既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”， ∵4113M -⨯与615M -⨯均为整数， ∵M ﹣4是13的整数倍，M ﹣6是5的整数倍，∵y ＝6或1，当y ＝1时，M ﹣4＝1000x+307，413M -＝100030713x +＝77x+24﹣513x +， ∵x ＝8，∵M ＝8311．当y ＝6时，M ﹣4＝1000x+812413M -＝100081213x +＝77x+63﹣713x +， ∵x ＝6，∵M ＝6816．综上所述，满足要求的M 为8311或6816．【点睛】本题以新定义的形式考查了二元一次不定方程的应用、数的整除规律．读懂材料、正确理解“p 阶q 级数”的含义是解答本题的关键．。
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1、（10一模崇文）正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE b =（a b 2<），且边AD 和AE 在同一直线上 ．小明发现：当b a =时，如图①，在BA 上选取中点G ，连结FG 和CG ,裁掉FAG ∆和CHD ∆的位置构成正方形FGCH ． （1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足=AEBG． 2．（10一模朝阳）请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C =150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3图1图23、(10一模房山)阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15； 然后取n=3，如图3，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△A DM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25；…… 请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．M’N’EBAQ PN G H FED CBA M M’N’A BEH CPG DQ H M N FBEA 图图1图3图4图54、(10一模海淀)阅读：如图1，在ABC ∆和DEF ∆中，90ABC DEF ∠=∠=︒,,AB DE a ==BC EF b ==()b a <,B 、C 、D 、 E 四点都在直线m 上，点B 与点D 重合.连接AE 、FC ，我们可以借助于ACE S ∆和FCE S ∆的大小关系证明不等式：222a b ab+>（0b a >>）.证明过程如下:∵,,.BC b BE a EC b a ===- ∴11(),22ACE S EC AB b a a ∆=⋅=- 11().22FCES EC FE b a b ∆=⋅=- ∵0b a >>, ∴FCE S ACE S ∆∆>. 即a ab b a b )(21)(21->-. ∴22b ab ab a ->-.∴222a b ab +>. 解决下列问题：（1）现将△DEF 沿直线m 向右平移，设()BD k b a =-,且01k ≤≤.如图2,当BD EC =时, k = .利用此图,仿照上述方法,证明不等式：222a b ab +>（0b a >>）. （2）用四个与ABC ∆全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式.请你画出一个．．示意图，并简要说明理由.E图1图2ACDB图①ACD B图②FE5、(10一模密云)（1）观察与发现：在一次数学课堂上，老师把三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过A 点的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．有同学说此时的AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．试问：图⑤中α∠的大小是多少？（直接回答，不用说明理由）．ED C F BA图③ED C AB F G ' D 'ADECB F Gα图④图⑤6、(10一模西城)在△ABC 中， BC ＝a ，BC 边上的高h ＝a 2，沿图中线段DE 、CF 将△ABC 剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图1所示．请你解决如下问题：已知：如图2，在△A ′B ′C ′中， B ′C ′＝a ，B ′C ′边上的高h ＝a 21．请你设计两种不同的分割方法，将△A ′B ′C ′沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．A ′B ′C ′图3A ′B ′C ′图4AB CDEOA BCD A B CD7．(10二模东城)请阅读下面材料，完成下列问题：（1）如图1，在⊙O 中，AB 是直径，CD AB ⊥于点E ，AE a =，EB b =．计算CE 的长度（用a 、b 的代数式表示）；（2）如图2，请你在边长分别为a 、b （a b >）的矩形ABCD 的边AD 上找一点M ，使得线段CM =，保留作图痕迹；（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.（第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）8.(10二模海淀)阅读： D 为ΔABC 中BC 边上一点，连接AD ，E 为AD 上一点.如图1，当D 为BC 边的中点时，有EBD ECD S S ∆∆=，ABE ACE S S ∆∆=；当m DCBD=时，有EBD ABEECD ACES S m S S ∆∆∆∆==.BB图1 图2 图3解决问题：在ΔABC 中，D 为BC 边的中点，P 为AB 边上的任意一点，CP 交AD 于点E ．设EDC ∆的面积为1S ，APE ∆的面积为2S .（1）如图2，当1=APBP时，121S S =的值为__________; （2）如图3，当n AP BP=时，121S S =的值为__________; （3）若24=∆ABC S ，22=S ，则APBP的值为__________. 9．(10密云二模)阅读下列材料：在学习小组，小明接到这样一个任务：把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形．为完成任务，小明先学习了两种简单的“基本分割法”．基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形．基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．学习了上述两种“基本分割法”后，小明很从容的就完成了分割的任务：（1）把一个正方形分割成9个小正方形．方法一：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．方法二：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639+=（个）小正方形．（2）把一个正方形分割成10个小正方形．如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32⨯个小正方形，从而分割成43210+⨯=（个）小正方形．图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥请你参照上述分割方法解决下列问题（只要求画图，不用说明分割方法）： （1）请你替小明同学把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形； （2）仿照基本分割法1：请把图a 中的正三角形分割成4个小正三角形； （3）仿照基本分割法2：请把图b 中的正三角形分割成6个小正三角形； （4）分别把图c 和图d 中的正三角形分割成9个和10个小正三角形．10．(10二模宣武)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，AB=c ． 操作示例如图1，当∠B =∠A =90°，我们可以取直角梯形ABCD 的非直角腰CD 的中点P ，过点P 作PE ∥AB ，裁掉△PEC ，并将△PEC 拼接到△PFD 的位置，构成新的图形（如图2）． 思考发现 小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC 绕点P 逆时针旋转180°到△PFD 的位置，易知PE 与PF 在同一条直线上．又因为在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C +∠ADP =180°，则∠FDP +∠ADP =180°，所以AD 和DF 在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF 是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形． 实践探究（1）矩形ABEF 的面积是 ；（用含a ，b ，c 的式子表示） （2）类比图2的剪拼方法，请在如图3的梯形ABCD 中画出剪拼成一个平行四边形的示意图；（3）在如图4的多边形ABCDG 中，AG=C D ，AG ∥C D ，按上面的剪切方法沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形，请画出拼成的平行四边形的示意图；图a图b图c图d图1A BC PDE DC图3 图4图2AEGDCBA。