中考数学复习考点题型专题讲解13 数轴动点问题中的新定义问题

中考数学复习考点题型专题讲解 专题13 数轴动点问题中的新定义问题
例1．（2023·山东沂南期末）有如下定义 数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A 表示数﹣4，点B 表示数8，M 为数轴一个动点．若
点M 在线段AB 上，且点M 是点A 、点B 的“关键点”，则此时点M 表示的数是________． 【答案】5或﹣1.
【解析】解 设点M 表示的数是x ， ∴MA ＝x ﹣（﹣4）＝x +4；BM ＝8﹣x ，
∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”， ∴MA ＝3BM 或BM ＝3MA ，
∴x +4＝3（8﹣x ）或8﹣x ＝3（x +4）， 解得 x ＝5或x ＝﹣1． 故答案为 5或﹣1．
例2．（2023·北京期中）在同一直线上的三点A 、B 、C ，若满足点C 到另两个点A 、B 的距离之比是2，则称点C 是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C 在线段AB 上时，若2CA
CB
=，则称点C 是[A ，B ]的亮点；若点C 在线段AB 延长线上，
2CB
CA
=，则称点C 是[,]B A 的暗点，例如，如图1，在数轴上A B C D 、、、分别表示数，-1，2，1，0，则的点C 是[,]A B 的亮点，又是[,]A D 的暗点；点D 是[,]B A 的亮点，又是[,]B C 的暗点．
（1）如图2，M 、N 为数轴上的两点，点M 表示的数为－2，点N 表示的数为4，则[,]M N 的亮点表示的数是，[,]N M 的暗点表示的数是 ；
（2）如图3，数轴上的点A 所表示的数为点所表示的数为－20，点B 表示的数为40，一只电子蚂蚁P 从点B 出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t 秒．
①求当t 为何值时，P 是[,]B A 的暗点；
②求当t 为何值时，P 、A 和B 三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
【答案】（1）2，-8；（2）①t =60；②当点P 为[,]A B 亮点时，t =10；当点P 为[,]B A 亮点时，t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，t =90；当点A 为[,]B P 亮点时，t =45.
【解析】解 （1）根据题意，[,]M N 的亮点表示的数在线段MN 上， 设亮点表示的数为x ， 则x +2=2（4-x ）， 解得 x =2
∴[,]M N 的亮点表示的数是 2；
根据题意，[,]N M 的暗点表示的数在线段NM 延长线上， 设暗点为y ， 则4-y =2（-2-y ） 解得，y =-8
故答案为 2，-8；
（2）①根据题意，点P 是[,]B A 的暗点，即点P 在线段BA 的延长线上 ∴PB =2t ，P A =2t -60 ∵PB =2P A ∴2t =2(2t -60)
解得 t =60；
②当点P 为[,]A B 亮点时，即P 在线段AB 上 ∴PB =2t ，P A =60-2t ∴60-2t =2×2t ∴t =10
当点P 为[,]B A 亮点时，即P 在线段AB 上 ∴2（60-2t ）=2t ∴t =20；
当点A 为[,]P B 亮点时，即A 在线段PB 上 同理，2t -60=2×60 ∴t =90
当点A 为[,]B P 亮点时，即A 在线段BP 上 2（2t -60）=60 ∴t =45
B 点不可能在线段AP 上，故B 不可能是[A ,P ]、[P ,A ]的亮点
综上所述，当点P 为[,]A B 亮点时，t =10；当点P 为[,]B A 亮点时，t =20；当点A 为[,]P B 亮点时，t =90；当点A 为[,]B P 亮点时，t =45．
例3．（2023·北京市期中）对于数轴上的两点P ，Q 给出如下定义 P ，Q 两点到原点О的距离之差的绝对值称为P ，Q 两点的“绝对距离”，记为POQ ．
例如，P ，Q 两点表示的数如图（1）所示，则312POQ PO QO =−=−=．
（1）A ，B 两点表示的数如图（2）所示． ①求A ，B 两点的“绝对距离”；
②若点C 为数轴上一点（不与点О重合），且2AOB AOC =，求点C 表示的数．
（2）点M ，N 为数轴上的两点（点M 在点N 左侧）且2MN =，1MON =，请直接写出点M 表示的数为________．
【答案】（1）①2；②2或-2；（2）12−或32
−
【解析】解 （1）①求A ，B 两点的绝对距离=2, ②∵AOB AO BO =−=2,
又2AOB AOC =， ∴1AOC =，即1AO CO −= ∴OC =0或OC =2 ∵C 不与O 重合
∴点C 表示的数为2或-2.
（2）由题可知MON =1MO NO −= 得 MO -NO =1或MO -NO =-1 ∵点M 在点N 左侧
∴①当M 、N 都在原点的左侧时，
∵MN =2， ∴MO -ON =1≠2，
该情况不存在，
②当M 、N 都在原点的右侧时， 同理知，此情况不存在，
③当M 点在原点的左侧，N 点在原点的右侧时， ∵MN =2，
即MO +NO =2
又MO -NO =1或MO -NO =-1 ∴点M 表示的数为12−或3
2
−．
例4．（2023·江苏省锡山期中）如图，数轴上点A 表示的数为-3，点B 表示的数为4，阅读并解决相应问题．
（1）问题发现 若在数轴上存在一点P ，使得点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和等于n ，则称点P 为点A 、B 的“n 节点”．如图1，若点P 表示的数为1，点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为4+3=7，
则称点P 为点A 、B 的“7节点”．
填空 ①若点P 表示的数为2−，则n 的值为；
②数轴上表示整数的点称为整点，若整点P 为A 、B 的“7节点”，则这样的整点P 共有个．
（2）类比探究 如图2，若点P 为数轴上一点，且点P 到点A 的距离为1，请你求出点P 表示的数及n 的值．
（3）拓展延伸 若点P 在数轴上运动(不与点A 、B 重合)，满足点P 到点B 的距离等于点P 到点A 的距离的
3
4
，且此时点P 为点A 、B 的“n 的节点”，请写出点P 表示的数及n 的值．
【答案】（1）7①；8②；（2）点P 表示的数为 -4，n =9，或点P 表示的数为 -2，n =7；（3）P 表示的数为25，n =49，或P 表示的数为1，n =7.
【解析】解 （1）①∵点P 表示的数为-2，
∴点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离之和为1+6=7 ∴点P 为点A 、B 的“7节点” ∴n =7
故答案为 7；
②设出点P 表示的数为x
∴点P 到点A 的距离为 ()33x x −−=+，点P 到点B 的距离为 4x −
当x >4时，3+47x x +−>，不符合题意；
当34x −≤≤时，34=347x x x x ++−++−=，符合题意 当3x <−时，3+47x x +−>，不符合题意； ∵P 为整点
∴P 表示的数为 -3或-2或-1或0或1或2或3或4 ∴整点P 共有8个
故答案为 8；
（2）∵点P 到点A 的距离为1，点A 表示的数为-3， ∴点P 表示的数为 -4或-2
当点P 表示的数为 -4时，n =9； 当点P 表示的数为 -2时，n =7； （3）设点P 表示的数为x
由题意，得3
344
x x ×+=−
解得 x =1或x =25 即P 表示的数为25或1 当P 表示的数为25时，n =49 当P 表示的数为1时，n =7．
例5．（2023·北京八中期中）数轴上点A 表示10−，点B 表示10，点C 表示18，如图，将数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M 、N 表示的数分别是m 、n ，我们把m 、n 之差的绝对值叫做点M ，N 之间友好距离，即||MN m n =−，那么我们称点A 和点C 在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P 从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半 点P 从点A 出发的同时，点Q 从点C 出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”
的负方向运动，当点P 到达B 点时，点P 、Q 均停止运动．设运动的时间为t 秒．
（1）当14t =秒时，P 、Q 两点在折线数轴上的友好距离为______个单位长度． （2）当P 、Q 两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t 的值．
（3）是否存在某一时刻使得P 、O 两点在折线数轴上的友好距离与Q 、B 两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5；（2）11.5；（3）存在，t =2或6.5
【解析】解 （1）当t =14秒时，点P 和点O 在数轴上相距9个长度单位， 点Q 和点O 在数轴上相距18-1×14=4个长度单位，P 、Q 友好距离9-4=5 故答案为 5；
（2）由题意可得 10+（t -5）+t =28， 解得 t =11.5．
故运动的时间t的值为11.5；
（3）①当点P在AO，点Q在BC上运动时，
由题意得10-2t=8-t，
解得t=2，
②当点P、Q两点都在OB上运动时，
t-5=t-8，无解，不存在
③当P在OB上，Q在BC上运动时，
8-t=t-5，
解得t=6.5；
即PO=QB时，运动的时间为2秒或6.5秒．
综上所述，存在，t的值为2或6.5．
例6．（2023·陕西富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
（1）当点A表示数2−，点B表示数2时，下列各数5
2
−，1，4是点A，B的“倍分点”的是____；
（2）当点A表示数10
−，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．
若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数.
【答案】（1）1，4；（2）①20，0，50，-30；②20，0，50，-30，10
3，-130，70
3
−，110，
50
3
，-90，150.
【解析】解（1）∵点A表示数-2，点B表示数2
∴AB=2-(-2)=4
当C表示的数是5
2
−时，此时点C不是点A，B的“倍分点”．
如图，当点C 表示的数是1时，此时点C 是点A ，B 的“倍分点”．
如图，当点C 表示的数是4时，此时点C 是点A ，B 的“倍分点”．
故答案为 1，4.
（2）设点D 对应的数为x ．
当点D 在AB 之间时，AB =40，所以BD =10， 即x =20； 当3
4
BD AB =
时，BD =30，即x =0． 当点D 在点B 右侧，AD =3BD ，即x +10=3(x -30)，解得x =50； 当点D 在点A 左侧，BD =3AD ，即30-x =3(-x -10)，解得x =-30． 综上所述，点D 表示的数可为20，0，50，-30．
例7．（2023·辽宁沈阳月考）在数轴上，若点C 到点A 的距离恰好是3，则称点C 为点A 的“幸福点”；若点C 到点A ，B 的距离之和为6，则称点C 为点A ，B 的“幸福中心”．
（1）如图1，点A 表示的数是﹣1，则点A 的“幸福点”C 表示的数是．
（2）如图2，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点C 为点M ，N 的“幸福中心”，则点C 表示的数可以是（填一个即可）；
（3）如图3，点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是4，点P 表示的数是8，点Q 从点P 出发，以2单位/s 的速度沿数轴向左运动，经过秒后点Q 是点A ，B 的“幸福中心”？
【答案】（1）-4或2；（2）-2（答案不唯一）；（3）1.75或4.75.
【解析】解（1）由题意得点A的“幸福点”C表示的数为-1-3=-4或-1+3=2，
故答案为-4或2；
（2）由题意得点M、N的距离为4-（-2）=6，
∵点C为点M，N的“幸福中心”，
∴点C在点M、N之间，
∴点C表示的数可以为-2、-1、0、1、2、3、4，
故答案为-2（答案不唯一）；
（3）由题意可得A、B之间的距离为5，故有两种可能
设经过x秒点Q是A、B的“幸福中心”，
①点Q在点B和点P之间，则有
8-2x-4+8-2x-（-1）=6，解得x=1.75；
②点Q在点A的左侧，
4-（8-2x）+（-1）-（8-2x）=6，解得x=4.75，
综上所述当经过1.75秒或4.75秒时，点Q是A、B的“幸福中心”.
例8．（2023·江苏高港月考）阅读理解
点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C 是{A，B}的奇点．
例如如图1，点A表示的数为﹣3，点B表
80÷（3＋1）＝20，30−20＝10，
−50＋20＝−30，
−50−80÷3＝−762
3
（舍去），
−50−80×3＝−290．
故P点运动到数轴上的−290，−30或10位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．
故答案为−290，−30或10．
例9．（2023·湖南师大附中月考）已知数轴上两点A，B对应的数分别为8−和4，点P为数轴上一动点，若规定点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A B
→的“好点”．
（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P关于A B
→的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A B
→的“好点”时，求点P的运动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
【答案】（1）-2；（2）①不是；1
②秒或10秒；（3）-4，-5，-12，-14，-32，-44.
【解析】解（1）∵数轴上两点A，B对应的数分别为-8和4，
∴AB=4-（-8）=12，
∵点P到点A、点B的距离相等，
∴P为AB的中点，
∴BP=P A=1
2
AB=6，
∴点P表示的数是-2；
（2）①当点P运动到原点O时，P A=8，PB=4，
∵P A≠3PB，
∴点P不是关于A→B的“好点”；
故答案为不是；
②根据题意可知设点P运动的时间为t秒，
P A=t+8，PB=|4-t|，
∴t+8=3|4-t|，
解得t=1或t=10，
所以点P的运动时间为1秒或10秒；
（3）根据题意可知设点P表示的数为n，
P A=n+8或-n-8，PB=4-n，AB=12，
①当点A是关于P→B的“好点”时，
|P A|=3|AB|，
即-n-8=36，解得n=-44；
②当点A是关于B→P的“好点”时，
|AB|=3|AP|，
即3（-n-8）=12，解得n=-12；
或3（n+8）=12，解得n=-4；
③当点P是关于A→B的“好点”时，
|P A|=3|PB|，
即-n-8=3（4-n）或n+8=3（4-n），解得n=10或1（不符合题意，舍去）；
④当点P是关于B→A的“好点”时，
|PB|=3|AP|，
即4-n=3（n+8），解得n=-5；
或4-n=3（-n-8），解得n=-14；
⑤当点B是关于P→A的“好点”时，
|PB|=3|AB|，
即4-n=36，解得n=-32．
综上所述所有符合条件的点P表示的数是-4，-5，-12，-14，-32，-44．。