一元函数的导数与微分

h→0
h2
解答：
(D) lim f (2h) − f (h) 存在
h→0
h
首先，若 f (x) 在 x = 0 可导，则 f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim f (x) 存在。从这一点
x→0
x
x→0 x
来看，只要 f (x) 在 x =0 处可导，则 A,B,C,D 四个极限都是存在的。事实上，
B 选项，若 lim f (x) + f (−x) 存在，同上面，可知 lim[ f (x) + f (−x)] = 0 。由 f (x) 在
x→0
x
x→0
认识自我，准确定位，重新设计你的人生
5
x = 0 的连续性， lim[ f (x) + f (−x)] = 2 f (0) = 0 ，即 f (0) = 0 。 x→0
C 选项，若 lim f (x) 存在，同前面，我们得到 f (0) = lim f (x) = 0 。于是，
x→0 x
x→0
f ′(0) = lim f (x) − f (0) = lim f (x) 存在。
x→0 x − 0
x→0 x
D 选项，若 lim f (x) − f (−x) 存在，却无法说明 f ′(0) 存在。如果 f ′(0) 存在，那么
(A) f (x) 在 (0, δ) 内单调增加
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(B) f (x) 在 (−δ ,0) 内单调减少
(C) 对任意的 x ∈ (0,δ ) 有 f (x) > f (0)
(D) 对任意的 x ∈ (−δ ,0) 有 f (x) > f (0)
解答：f ′(0) = lim f (x) − f (0) > 0 ，由极限的保号性，存在一个 δ > 0 ，当 0 < x < δ ，
t
2)
+
2t 1+ t2
⎤ ⎥⎦
因此，
d2y dx2
|t =0
=
0
。
点评：考查参数方程的求导。假设函数的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x(t) y(t)
，且
x(t)
，
y(t)
可
dy
导。且 x′(t)
≠
0 ，则
dy dx
=
dy dt
dt dx
=
dt dx
。必须说的是，如果有 x′(t0 )
=
0 ，则只能根
认识自我，准确定位，重新设计你的人生
1
【考试内容要点】 1.导数的定义：导数，左导数，右导数定义，导数存在定理 2.微分定义：可微定义，可导与可微的关系 3.导数与微分的几何意义与物理意义，曲线的切线和法线方程(从几何 图形上看) 4.连续，可导与可微之间的关系 5.常见函数求导公式 6.求导法则 (1) 四则混合运算法则；(2) 复合函数求导法则；(3) 隐函数求导法； (4) 反函数求导法； (5) 对数求导法 7.高阶导数 ① 高阶导数定义 ② 莱布尼兹公式 ③ 常见函数的高阶导数
x = 0 的任何一个左、右去心邻域内连续，因此， f (x) 的任何一个左、右去心邻
域内，既有单调递增的子区域，又有单调递减的子区域。因此， f (x) 在 x = 0 的
任何左、右邻域都不具有单调性。 点评：考查导数的定义，极限的保号性，函数单调性的判别等知识。
3.(07,4) 设函数 f (x) 在 x = 0 处连续，下列命题错误的是( D )
6
解答：
dy dx
=
y′(t) x′(t)
=
ln(1+ t2 ) −e−t
=
−et
ln(1+ t2 ) ，
这样，
d2y dx2
=
d ( dy ) dt dx =
x′(t)
d dt
⎡⎣−et
ln(1 +
t2
)⎤⎦
x′(t)
=
−
et
ln(1
+t2) −e−t
+
2tet 1+ t2
=
e2t
⎡⎢⎣ln(1 +
= lim h→0
f (h − sinh) h − sinh
h − sinh h2
= lim h→0
f (h − sinh) h − sinh
lim h − sinh h→0
h2
=
f ′(0) lim h→0
1 h3 6 h2
=0
对选项 D，
lim f (2h) − f (h) = lim f (2h) − f (0) + f (0) − f (h) = lim f (2h) − f (0) − lim f (h) − f (0)
容易求得，当 x = 0 时， y = 0 ，这样， y′(0) = 0 。 (*)两边继续关于 x 求导，得到
ey ( y′)2 + ey y′′ + 6 y′ + 6 y′ + 6xy′′ + 2 = 0
代入 x = 0 ， y′(0) = 0 ，可以得到 y′′(0) = −2 。
点评：反函数的求导是将 y 视为函数，两边关于 x 求导，运用复合函数求导法则，
x→0
x
lim
x→0
f (x) − f (−x) x
=
lim
x→0
⎡ ⎢⎣
f (x) − x
f (0) +
f (−x) − −x
f
(0)
⎤ ⎥⎦
=
2
f
′(0)
但反过来，如果极限 lim f (x) − f (−x) 存在，并不能说明 lim f (x) − f (0) 存在。事
x→0
x
x→0
x
实上，我们有经典的反例 f (x) = x ，则 lim f (x) − f (−x) = 0 ，但 f ′(0) 存在。
即得。一般结论是：若 y 为方程 F (x, y) = 0 所决定的函数，F (x, y) 具有对 x ，y 的
连续偏导，
Fy′
≠
0
，则
y′
=
−
Fx′ Fy′
。
二 参数函数求导
∫ 5.(10,4)
设 x = e−t ， y =
t 0
ln(1 +
u2
)du
，求
d2y dx2
|t =0
=
0
。
认识自我，准确定位，重新设计你的人生
f ′(0) > 0 并不能说明 f (x) 在其一个邻域哪怕在其一个左或右去心邻域内具
有单调性，其实，需要在 x = 0 的一个邻域内 f ′(x) > 0 ，才能在 x = 0 的一个邻域 内有单调性。我们举一个反例如下：
f
(x)
=
⎧⎪x2 sin 1 ⎨x ⎪⎩0, x = 0
+
1 2
x,
x
≠
f (1− cosh) 1− cosh 1− cosh h2
=
1 lim
2 h→0
f (1− cosh) 1− cosh
x=1−cosh
=
1 2
lim
x→0+
f
(x) − f (0) x−0
但这只能说明 f (x) 在 x = 0 处是右可导的。这种反例太多，例如 f (x) = x 。
再看 B 选项，若 lim f (1− eh ) 存在，
x→0
x
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有 f (x) − f (0) > 0 ，于是在 (0, δ) 上，f (x) − f (0) > 0 ，即 f (x) > f (0) ；在 (−δ, 0) 上， x
f (x) − f (0) < 0 ，即 f (x) < f (0) 。这样，C 选项是对的，D 选项是错的。
dt
据导数定义了。
我们进一步假设在 t0 的一个去心邻域内， x′(t) ≠ 0 ，根据柯西中值定理，
对选项 A，
lim
h→0
f (1− cosh) h2
= lim h→0
f (1− cosh) 1− cosh 1− cosh h2
= lim h→0
f (1− cosh) 1− cosh
lim 1− cosh h→0
h2
=
f ′(0) lim h→0
1 h2 2 h2
=
1 2
f ′(0)
对选项 B，
h→0
h
lim
f (1− eh )
= lim
f (1− eh ) 1− eh
= lim
f (1− eh ) 1− eh lim
= lim
f (1− eh ) −h lim
x =1− eh
= − lim
f
(x)
h→0
h
h→0 1− eh
h
h→0 1− eh h→0 h
h→0 1− eh h→0 h
x→0 x
号的，但由于
lim
h→0
h
− sinh h2
= 0 ，因此
f (h − sinh) h − sinh
未必有极限。例如，
f (x) =
x
。
虽然有 lim h→0
f
(h − sinh) h2
= 0 ，但
f
(x) 于 x
=
0 不可导。
再看 D 选项，这也不对。之前由 f ′(0) 存在，推出
lim
h→0
f (2h) − h
0 ，则
f
′( x)
=
⎪⎪⎧2x sin
⎨ ⎪
1
⎪⎩ 2
>
0,
1 x
x
− cos =0
1 x
+
1 2
,
x
≠
0
f
′(±
1 2nπ
)
=
−
1 2
<
0
，f
′ ⎡⎢± ⎣
(2n
1 −1)π
⎤ ⎥ ⎦
=
3 2
>
0
。由于
lim
n→∞
1 n
=
0
，因此， f
(x)
在
x
=
0
任何一个左、右去心邻域都既有导数大于零，又有导数小于零的点。由于 f ′(x) 在
认识自我，准确定位，重新设计你的人生
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【题型与方法论】
题型 2.1 导数与微分的概念
1.(01,3) 设 f (0) = 0 则 f (x) 在 x = 0 处可导 ⇔ ( B )
(A)
lim
h→0
f
(1 − cosh) h2
存在
(B) lim f (1 − eh ) 存在
h→0
h
(C) lim f (h − sinh) 存在
这是因为1− eh 在 h = 0 的左右邻域内发生变号。因此， f (x) 在 x = 0 是可导的。B
选项对。
再看 C 选项，
lim
h→0
f
(h − sinh) h2
= lim h→0
f (h − sinh) h − sinh
h − sinh h2
。虽然 h − sinh
在h
= 0 的一个邻域内是变
(A) 若 lim f (x) 存在，则 f (0) = 0 x→0 x
(B) 若 lim f (x) + f (−x) 存在，则 f (0) = 0
x→0
x
(C) 若 lim f (x) 存在，则 f ′(0) 存在 x→0 x
(D) 若 lim f (x) − f (−x) 存在，则 f ′(0) 存在
一元函数的导数与微分大纲要求理解导数和微分的概念理解导数与微分的关系理解导数的几何意义会求平面曲线的切线和法线方程了解导数的几何意义会用导数描述一些物理量理解函数的可导性与连续性之间的关系
一元函数的导数与微分
【大纲要求】 1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几 何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的几何意义，会 用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等 函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变 性，会求函数的微分。 3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及 反函数的导数。
lim f (1− eh ) = lim f (1− eh ) 1− eh = lim f (1− eh ) lim 1− eh = f ′(0) lim −h = − f ′(0)
h→0
h
h→0 1− eh
h
h→0 1− eh h→0 h
h→0 h
对选项 C，
lim
h→0
f (h − sinh) h2
f (h)
=
lim
h→0
⎛ ⎜⎝
f (2h) − h
f (0) −
f (h) − h
f
(0)
⎞ ⎟⎠
=
lim
h→0
f (2h) − h
f (0) − lim h→0
f (h) − h
f (0)
= 2 f ′(0) −
f ′(0) =
f ′(0)
但反之 lim f (2h) − f (h) 存在，却无法推出 lim f (h) − f (0) 存在。我们可以取反例：
h→0
h
h→0
h
f
(x)
=
⎧0, x = 0 ⎨⎩1, x ≠ 1
，则 lim h→0
f
(2h) − h
f
(h)
存在，但 lim h→0
f
(h) − h
f
(0)
不存在。
点评：紧紧抓住导数的定义，即可解答此问题。
2.(04,4) 设函数 f (x) 连续，且 f ′(0) > 0, 则存在δ > 0 ，使得( C )
x→0
x
点评：考查导数的定义，求极限的运算法则。
题型 2.2 微分法与导数的计算
一 隐函数求导
4.(02,3) 已知 e y + 6xy + x2 −1 = 0 ，则 y′′(0) =______-2_______。
解答：方程两边关于 x 求导，得到
ey y′ + 6 y + 6xy′ + 2x = 0 (*)
x→0
x
解答：
A 选项，若 lim f (x) 存在，则 lim f (x) = lim f (x) x = lim f (x) lim x = 0.lim f (x) = 0
x→0 x
x→0
x→0 x
x x→0
x→0
x→0 x
由 f (x) 在 x = 0 的连续性， f (0) = lim f (x) = 0 。 x→0
h→0
h
h→0
h
h→0
h
h→0
h
= 2 f ′(0) − f ′(0) = f ′(0)
因此， f ′(0) 若存在，各个极限都存在。
以下来看充分性。
再看
A
选项，若 lim h→0