2019-2020年高考数学一轮复习 4-2 平面向量基本定理及坐标表示课时作业 文

2019-2020年高考数学一轮复习 4-2 平面向量基本定理及坐标表示课时
作业 文
一、选择题
1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )
A ．－12a ＋32
b B.12a －32b C.32a －12b D ．－32a ＋12
b 解析：设
c ＝xa ＋yb ，则(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x ＋y ，x －y)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x －y ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－32，则c ＝12a －32
b. 答案：B
2．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及所在平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P
与△ABC 的关系( )
A ．P 在△ABC 内部
B ．P 在△AB
C 外部
C ．P 在边AB 上
D ．P 在边AC 上
解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，得2PA →＋PC →＝0，∴CP →＝2PA →，即CP →∥PA →，∴C ，P ，
A 三点共线．
答案：D
3．(xx 年保定调研)已知向量a ＝(3,5)，b ＝(x －1,2x ＋1)，当a ∥b 时，x 的值为( )
A ．8
B ．－8
C ．－87
D .87
解析：由a ∥b 得3(2x ＋1)－5(x －1)＝0，解得x ＝－8.
答案：B
4．(xx 年洛阳统考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )
A ．－2
B ．－13
C ．－1
D ．－23
解析：由题知λa ＋b ＝(λ＋2,2λ)，又λa ＋b 与c 共线，
∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1.
答案：C
5.如图，在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰
为P ，则AP →＝( )
A.12a ＋12b B .13a ＋23
b C.27a ＋47b D.47a ＋27
b 解析：如图，连接BP ，则AP →＝AC →＋CP →＝b ＋PR →，
①
AP →＝AB →＋BP →＝a ＋RP →－RB →，
② ①＋②，得2AP →＝a ＋b －RB →，
③ 又RB →＝12QB →＝12
(AB →－AQ →) ＝12⎝⎛⎭⎫a －12AP →， ④ 将④代入③，得2AP →＝a ＋b －12⎝⎛⎭
⎫a －12AP →， 解得AP →＝27a ＋47
b.故选C. 答案：C
二、填空题
6．(xx 年德州模拟)若a ，b 为已知向量，且23
(4a －3c)＋3(5c －4b)＝0，则c ＝________. 解析：23(4a －3c)＋3(5c －4b)＝0，则83a －2c ＋15c －12b ＝0，∴13c ＝12b －83a ，∴c ＝1213b －839
a.
答案：1213b －839
a 7．(xx 年杭州模拟)设向量a ，
b 不共线，且OC1→＝k1a ＋k2b ，OC2→＝h1a ＋h2b ，若OC1→＋OC2
→＝ma ＋nb ，则实数m ＝________，n ＝________.
解析：OC1→＋OC2→＝(k1＋h1)a ＋(k2＋h2)b ＝ma ＋nb ，由平面向量基本定理知m ＝k1＋h1，n
＝k2＋h2.
答案：k1＋h1 k2＋h2
8．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成
三角形，则实数k 应满足的条件是________．
解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，
则向量AB →，AC →不共线．
∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k≠0，解得k≠1.
答案：k≠1
三、解答题
9．(xx 年福州质检)已知AD →＝3AB →，AE →＝3AC →，且B ，C ，D ，E 不共线．求证：BC ∥DE.
解析：∵AD →＝3AB →，AE →＝3AC →，
∴DE →＝AE →－AD →＝3AC →－3AB →
＝3(AC →－AB →)＝3BC →.
∴BC →与DE →共线．
又∵B ，C ，D ，E 不共线，
∴BC ∥DE.
10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：
(1)|a ＋3b|；
(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？
解析：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，
所以a ＋3b ＝(7,3)，
故|a ＋3b|＝72＋32＝58.
(2)ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，
因为ka －b 与a ＋3b 平行，
所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13
. 此时ka －b ＝(k －2，－1)＝⎝⎛⎭
⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(ka －b)，
即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反．
B 组 高考题型专练
1．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S200＝100，A 、B 、C 为平面内三点，点O 为平
面外任意一点，若OB →＝a100OA →＋a101OC →，则A ，B ，C 三点( )
A ．共线
B ．不共线
C ．共线与否和点O 的位置有关
D ．位置关系不能确定
解析：由题意知，S200＝200a1＋a2002＝200a100＋a1012
＝100，所以a100＋a101＝1，根据共线定理知A ，B ，C 三点共线，故选A.
答案：A
2．(xx 年温州质检)已知O 是△ABC 所在平面内的一点，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，
b ，
c ，若aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，则O 是△ABC 的( )
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
解析：∵OB →＝AB →－AO →，OC →＝AC →－AO →，
∴aOA →＋bOB →＋cOC →
＝aOA →＋b(AB →－AO →)＋c(AC →－AO →)
＝bAB →＋cAC →－(a ＋b ＋c)AO →，
而aOA →＋bOB →＋cOC →＝0，
∴(a ＋b ＋c)AO →＝bAB →＋cAC →，
即AO →＝b a ＋b ＋c AB →＋c a ＋b ＋c
AC →， 记AB →＝cn1，AC →＝bn2，其中n1，n2分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，则AO →＝
bc a ＋b ＋c
(n1＋n2)，
由该式可以看出AO 平分∠BAC ，故O 为内心．故选A.
答案：A
3．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，
μ∈R ，则λ＋μ＝________.
解析：在平行四边形中，有AC →＝AB →＋AD →，因E ，F 分别为CD 、BC 的中点，
∴AE →＝12(AC →＋AD →)，AF →＝12(AB →＋AC →)，则AE →＋AF →＝12(AD →＋AB →＋2AC →)＝32AC →，∴AC →＝23
AE →＋23AF →， ∴λ＝μ＝23，则λ＋μ＝43
. 答案：43
4．(xx 年成都七中二诊)O 是面α上一定点，A ，B ，C 是面α上△ABC 的三个顶点，∠B ，∠C 分别是边AC ，AB 的对角．以下命题正确的是________．
①动点P 满足OP →＝OA →＋PB →＋PC →，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中；
②动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；
③动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C (λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；
④动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C (λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中．
解析：对于①，由OP →＝OA →＋PB →＋PC →知PA →＋PB →＋PC →＝0.故点P 是△ABC 的重心，故①错；
对于②，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|知AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，因为AB →|AB →|与AC →|AC
→|分别表示AB →与AC →方向上的单位向量，故AP 平分∠BAC ，因此△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中，
故②正确；对于③，由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C 可知AP →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|sin B ＋AC →|AC →|sin C .在△ABC 中，由于|AB →|sin B ＝|AC →|·sin C ，均表示BC
边上的高h ，故AP →＝λh (AB →＋AC →)＝2λh
AD →(其中D 为BC 的中点)，即AP 是BC 边上的中线，因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，故③正确；对于④，由已知可得，AP →＝
λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，则AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·BC →，得AP →·BC →＝0，即AP 为边BC 的高线，因此△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中．故④正确．
答案：②③④
5.如图所示 ，点L ，M ，N 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BL BC ＝l ，CM CA
＝m ，AN AB
＝n ，若AL →＋BM →＋CN →＝0.求证：l ＝m ＝n.
证明：设BC →＝a ，CA →＝b 为基底，
由已知BL →＝la ，CM →＝mb.
∵AB →＝AC →＋CB →＝－a －b ，
∴AN →＝nAB →＝－na －nb.
∴AL →＝AB →＋BL →＝(l －1)a －b ， ① BM →＝BC →＋CM →＝a ＋mb ， ② CN →＝CA →＋AN →＝－na ＋(1－n)b ， ③
将①②③代入AL →＋BM →＋CN →＝0.得 (l －n)a ＋(m －n)b ＝0.
∵a 与b 不共线，
∴l ＝m ＝n.
.。