直线与圆的位置关系+高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修第一册
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当且仅当 = 2 或 =− 2 时， ∆=0 ，方程③有两个相等的实数解，此
时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当且仅当 <− 2 或 > 2 时， ∆<0 ，方程③没有实数解，此时直线与
圆没有公共点，直线与圆相离.
（方法二）因为圆的半径 = 2，圆心 (0,0) 到直线 = + 的距离 为d |b| .
解：（方法一）如果切线的斜率不存在，则切线方程为 = 1 ，但圆心 (0,0)
到 = 1 的距离为 1 ，不等于圆的半径 5，矛盾.
因此切线的斜率一定存在，设为 ，从而切线方程为 − 2 = ( − 1)，
即 − +2 − = 0， 从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知 | 2 k | 5 ，解得
所以
1+ 2+
1 +2 = 2 +2 =
0, 0,
第二式减去第一式可得
2 − 1 + 2 − 1 =0，
因此 2 − 1 =− 2 − 1 ，从而| |2 = 2 − 1 2 + − 2 − 1 2 = 2 2 − 1 2.
又因为从方程组
+ +2 = 0, 2 + 2 = 9 中消去
类似地，可以得到直线与圆相切和相离的充要条件.
例 1 已知直线 = + ，圆 2 + 2 = 2，分别求直线与圆相交、相切、相 离时 的取值范围.
= +, 解：（方法一）联立直线的方程与圆的方程，得方程组 2 + 2 = 2, 从方程组中消去 ，整理得 2 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ，③ 这个方程的判别式 Δ = (2 )2 − 4 × 2 2 − 2 =− 4( + 2)( − 2). 当且仅当 −2 < < 2 时，Δ > 0，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与 圆有两个公共点，直线与圆相交；
可得 2 + ( − + 5 )2 = 12，即
2 2 − 10 + 13 = 0 ①，又因为 ( − 10)2 − 4 × 2 × 13 = − 4 < 0 ，所以方程①
无实数解，这说明方程组也无实数解，因此直线 : =− + 5 与圆 : 2 +
2 = 12 没有公共点，从而直线与圆相离.
如图所示，如果 ⊙ 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则 直线 与 ⊙ 相交 ⇔ < ； 直线 与 ⊙ 相切 ⇔ = ； 直线 与 ⊙ 相离 ⇔ > .
又 是圆的半径，因此 | | = 9 = 3 ，
从而在 Rt △
中，有 | | = | |2 − | |2 = 32 − ( 2)2 = 7.
因此 | | = 2| | = 2 7.
（方法二）设 1, 1 ， 2, 2 ，则 | |2 = 2 − 1 2 + 2 − 1 2.
因为 1, 1 ， 2, 2 都是直线 + + 2 = 0 上的点，
4 1+ 2 2 − 2 =4 2 2 − 4 2 +4 2 − 4 2 2 +4 2 2 =4 1+ 2 2 − 2 ，
所以 Δ
0
4[(1 k2 )2
b2 ] 0
r2
b2 1 k2
r
|b| ， 1 k2
注意到 | b | 表示的正好是圆心 (0,0) 到直线 = + 的距离，而 1 k2
Δ > 0 说明方程②有两个不同的实数解，此时说明原方程组也有两组不同的实数 解，因此当且仅当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交．
因此所求方程为 x + 2y − 5 = 0 .
例 3 已知直线 ： + + 2 = 0 与圆 ： 2 + 2 = 9 相交于 ， 两点. （1）求线段 的长； （2）求线段 中点的坐标.
解：（1）（方法一）如图所示，设 的中点为 ，
根据垂径定理可知 ⊥ ，因此 △
是个直角三角形.
由点到直线的距离公式可知| OM | | 2 | 2 ， 12 12
2 当且仅当 < ，即 | b | 2 ，−2 < < 2 时，直线与圆相交；当且仅当
2 = ，即 | b | 2 ， = 2 或 =− 2 时，直线与圆相切；当且仅当 > ，
2 即 | b | 2 ， <− 2 或 > 2 时，直线与圆相离.
2
例 2 已知 (1,2) 是圆 2 + 2 = 5 上一点，求圆的过点 的切线方程.
因为根据圆的方程与直线的方程能方便地算出圆心到直线的距离，所以也可利
用这个结论来快速地得到直线与圆的位置关系. 例如，前述尝试与发现中的圆心
(0,0) 到直线 =− + 5 的距离 2 3，因为 2 3 5 2 ，所以直线
2
= |5| 5 2 1212 2
，而圆的半径为
=− + 5 与圆 2 + 2 = 12 相离.
如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离．
判断直线 ： =− +5 与圆 ： 2 + 2 = 12 的位置关系，并说明理由.
法一：在平面直角坐标系中作出直线 l 与圆 C，如 图所示，可以看出它们没有公共点，因此直线 l 与圆 C 相离.
法二：方程组
=− + 5, 2 + 2 = 12 中消去
12 =
给定平面中的一条直线 与 ⊙ ，以 ⊙ 的圆心为原点，以不垂直于直 线 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设直线 的方程为
= + ， ⊙ 的方程为 2 + 2 = 2.
从方程组
= +, 2 + 2 = 2 中消去
可得 2 + ( + )2 = 2 ，即
1 + 2 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ②，因为方程②的判别式 Δ = (2 )2 −
k2 1
1 = −2 ，
所以切线的点斜式方程为 y 2 1 (x 1) ，因此所求方程为 x + 2y − 5 = 0 . 2
（方法二）圆的圆心为 O ，而且 OM 是与切线垂直的，如图所示.
因为 kOM
2 0 2 ，所以切线的斜率为 1 0
1 −2
，
从而可知切线的点斜式方程为 y 2 1 (x 1) ， 2
第二章 平面解析几何
课标要点
核心素养
1.能判断直线与圆的位置关系
直观想象
2.掌握已知直线与圆的位置关系求直线或圆的方程 数学运算
3.利用直线与圆的位置关系解决简单问题
数学抽象
如图（1）所示，直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交， 且称直线为圆的割线；
如图（2）所示，直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切， 且称直线为圆的切线，称公共点为切点；
时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当且仅当 <− 2 或 > 2 时， ∆<0 ，方程③没有实数解，此时直线与
圆没有公共点，直线与圆相离.
（方法二）因为圆的半径 = 2，圆心 (0,0) 到直线 = + 的距离 为d |b| .
解：（方法一）如果切线的斜率不存在，则切线方程为 = 1 ，但圆心 (0,0)
到 = 1 的距离为 1 ，不等于圆的半径 5，矛盾.
因此切线的斜率一定存在，设为 ，从而切线方程为 − 2 = ( − 1)，
即 − +2 − = 0， 从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知 | 2 k | 5 ，解得
所以
1+ 2+
1 +2 = 2 +2 =
0, 0,
第二式减去第一式可得
2 − 1 + 2 − 1 =0，
因此 2 − 1 =− 2 − 1 ，从而| |2 = 2 − 1 2 + − 2 − 1 2 = 2 2 − 1 2.
又因为从方程组
+ +2 = 0, 2 + 2 = 9 中消去
类似地，可以得到直线与圆相切和相离的充要条件.
例 1 已知直线 = + ，圆 2 + 2 = 2，分别求直线与圆相交、相切、相 离时 的取值范围.
= +, 解：（方法一）联立直线的方程与圆的方程，得方程组 2 + 2 = 2, 从方程组中消去 ，整理得 2 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ，③ 这个方程的判别式 Δ = (2 )2 − 4 × 2 2 − 2 =− 4( + 2)( − 2). 当且仅当 −2 < < 2 时，Δ > 0，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与 圆有两个公共点，直线与圆相交；
可得 2 + ( − + 5 )2 = 12，即
2 2 − 10 + 13 = 0 ①，又因为 ( − 10)2 − 4 × 2 × 13 = − 4 < 0 ，所以方程①
无实数解，这说明方程组也无实数解，因此直线 : =− + 5 与圆 : 2 +
2 = 12 没有公共点，从而直线与圆相离.
如图所示，如果 ⊙ 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则 直线 与 ⊙ 相交 ⇔ < ； 直线 与 ⊙ 相切 ⇔ = ； 直线 与 ⊙ 相离 ⇔ > .
又 是圆的半径，因此 | | = 9 = 3 ，
从而在 Rt △
中，有 | | = | |2 − | |2 = 32 − ( 2)2 = 7.
因此 | | = 2| | = 2 7.
（方法二）设 1, 1 ， 2, 2 ，则 | |2 = 2 − 1 2 + 2 − 1 2.
因为 1, 1 ， 2, 2 都是直线 + + 2 = 0 上的点，
4 1+ 2 2 − 2 =4 2 2 − 4 2 +4 2 − 4 2 2 +4 2 2 =4 1+ 2 2 − 2 ，
所以 Δ
0
4[(1 k2 )2
b2 ] 0
r2
b2 1 k2
r
|b| ， 1 k2
注意到 | b | 表示的正好是圆心 (0,0) 到直线 = + 的距离，而 1 k2
Δ > 0 说明方程②有两个不同的实数解，此时说明原方程组也有两组不同的实数 解，因此当且仅当圆的半径大于圆心到直线的距离时，直线与圆相交．
因此所求方程为 x + 2y − 5 = 0 .
例 3 已知直线 ： + + 2 = 0 与圆 ： 2 + 2 = 9 相交于 ， 两点. （1）求线段 的长； （2）求线段 中点的坐标.
解：（1）（方法一）如图所示，设 的中点为 ，
根据垂径定理可知 ⊥ ，因此 △
是个直角三角形.
由点到直线的距离公式可知| OM | | 2 | 2 ， 12 12
2 当且仅当 < ，即 | b | 2 ，−2 < < 2 时，直线与圆相交；当且仅当
2 = ，即 | b | 2 ， = 2 或 =− 2 时，直线与圆相切；当且仅当 > ，
2 即 | b | 2 ， <− 2 或 > 2 时，直线与圆相离.
2
例 2 已知 (1,2) 是圆 2 + 2 = 5 上一点，求圆的过点 的切线方程.
因为根据圆的方程与直线的方程能方便地算出圆心到直线的距离，所以也可利
用这个结论来快速地得到直线与圆的位置关系. 例如，前述尝试与发现中的圆心
(0,0) 到直线 =− + 5 的距离 2 3，因为 2 3 5 2 ，所以直线
2
= |5| 5 2 1212 2
，而圆的半径为
=− + 5 与圆 2 + 2 = 12 相离.
如图（3）所示，直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离．
判断直线 ： =− +5 与圆 ： 2 + 2 = 12 的位置关系，并说明理由.
法一：在平面直角坐标系中作出直线 l 与圆 C，如 图所示，可以看出它们没有公共点，因此直线 l 与圆 C 相离.
法二：方程组
=− + 5, 2 + 2 = 12 中消去
12 =
给定平面中的一条直线 与 ⊙ ，以 ⊙ 的圆心为原点，以不垂直于直 线 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设直线 的方程为
= + ， ⊙ 的方程为 2 + 2 = 2.
从方程组
= +, 2 + 2 = 2 中消去
可得 2 + ( + )2 = 2 ，即
1 + 2 2 + 2 + 2 − 2 = 0 ②，因为方程②的判别式 Δ = (2 )2 −
k2 1
1 = −2 ，
所以切线的点斜式方程为 y 2 1 (x 1) ，因此所求方程为 x + 2y − 5 = 0 . 2
（方法二）圆的圆心为 O ，而且 OM 是与切线垂直的，如图所示.
因为 kOM
2 0 2 ，所以切线的斜率为 1 0
1 −2
，
从而可知切线的点斜式方程为 y 2 1 (x 1) ， 2
第二章 平面解析几何
课标要点
核心素养
1.能判断直线与圆的位置关系
直观想象
2.掌握已知直线与圆的位置关系求直线或圆的方程 数学运算
3.利用直线与圆的位置关系解决简单问题
数学抽象
如图（1）所示，直线与圆有两个公共点时，称直线与圆相交， 且称直线为圆的割线；
如图（2）所示，直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切， 且称直线为圆的切线，称公共点为切点；