第五章 微扰理论

第五章 微扰理论
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知
)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r
ze r U 024πε-
=）（
)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，
r
Ze r U 02
4)(πε-=
在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞
-=r E d r e r U )(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441
02
003003303
420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε
⎰⎰∞
--=0
)(r r r
E d r
e E d r e r U ⎰⎰
∞
-
-
=00
20
2
3
002144r r r
dr r Ze rdr r Ze πεπε
)3(84)(82
203
0020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2ˆˆ02
2)
0(r U H H
+∇-=<<'μ
，可视为一种微扰，由它引起的
一级修正为（基态r a Z
e a Z 02/130
3)
0(1)(-=πψ） ⎰∞
'=τψψd H E )0(1
*
)0(1)1(1ˆ ⎰
-+--=0
00
2
2022203
023
3
4]4)3(8[r r a Z
dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故10
2≈-
r a Z e 。

∴ ⎰
⎰
+--=0
3
02
40
4
2
20
3
3002
4)
1(1
)3(2r r r d r
a e Z dr r r r r a e Z E
πεπε 20
30024505
030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2
3002410r a e Z πε= 2
03
02452r a e Z s = #
5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε
中，如果电场较
小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

解：取ε
的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为
θεεc o s ˆ212ˆˆ22D L I D I L H
-=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I
H
-='=，则 H H H
'+=ˆˆˆ)0( 由于电场较小，又把H
'ˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。

)0(ˆH 的本征值为2(()))1(21
+=I
E 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =
)0(ˆH 的基态能量为000
=）（E ，为非简并情况。

根据定态非简并微扰论可知 ∑-''=
)0()
0(0
20)
2(0
H E
E
E
⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d H H m s i n )c o s
(ˆ00*)
0(0)0*(0 ⎰-=ϕθθθ
εd d Y Y D m s i n ) (c o s 00* ⎰-=ϕθθπ
πεd d Y Y D m s i n 413
4 10*
⎰-
=ϕθθεd d Y Y D s i n 3
10*
13
δεD -
=
I D I
D E E E 222
2
12
22'
)
0()0(02
')2(0
31
)1(32 H
εδε
-
=+⋅-=-'=∑
∑ #
5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112
，；b a 、都是实数。

用微扰公式求能量至二级修正值。

解：由微扰公式得
nn
n H E '=)
1( ∑-'=m
m
n mn
n
E E H E )
0()0(2
')
2(
得 b H E b H E ='=='=22
)
1(0211)1(01 02
012
0012
1'
)
2(01
E E a E E H E
m
m
m
-=-'=∑
01
022
0022
1'
)2(02
E E a E E H E
m
m
m
-=-'=∑
∴ 能量的二级修正值为
02012
011E E a b E E -++=
01
022
022E E a b E E -++=
#
5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

解： 23
3
234mk mk s mk
r c
e A ω= 由选择定则1±=∆ ，知s s 12→是禁戒的 故只需计算s p 12→的几率
1
221E E -=
ω 34
34
83)411(2 s s e e μμ=-=
而 2
21221221221z y x r ++=
2p 有三个状态，即 121211210 , ,-ψψψ
(1)先计算z 的矩阵元 θc o s
r z = ⎰⎰⋅=∞
Ωθψd Y dr r r R r R z m m 00*10310*21100,21 cos )()()(
⎰=Ωd Y Y f m 00*1 3
1
03
1m f
δ=
f z 31)(100,210=
⇒
0)(100,211=z 0)(100,121=-z
(2)计算x 的矩阵元 )(s i n 2
c o s s i n ϕϕθϕθi i e e r
r x -+== ⎰⎰Ω+⋅=
-∞d Y e e Y dr r r R r R x i i m m 00*10310*21100,21)( sin )()(2
1)(ϕ
ϕθ ⎰-+-⋅=
Ωd Y Y f m ) Y (3
2211111*1 )(6
111-+-=
m m f δδ
ϕθπ
i e Y s i n 83
11-
=
ϕ
θπ
i e Y --=
s i n
8311 π
4100=
Y
0)(100,210=⇒x f x 61)(100,211-
=
f x 61)(100,121=
-
(3)计算y 的矩阵元 )(s i n 21
s i n s i n ϕϕθϕθi i e e r i
r y --== ⎰⎰Ω-⋅=-∞d Y e e Y dr r r R r R i y i i m m 00*10
310*21100,21 )(sin )()(21)(ϕϕ
θ )(3
22111---⋅=
m m f i δδ )(6
111---=
m m f i δδ
0)(100,210=⇒y f i y 6)(100,211=
f i y 6)(100,121=
-
22
222
12)3
16262(f f f f r s
p =+⨯+⨯=⇒→
(4)计算f
00310*
216
81256)()(a dr r r R r R f =
=⎰∞
⎰∞-⋅=023
42/30
02
/30
0)1(32
)21(dr e r a a a r a
3
2326
812563241614
7
00505540a a a a ==⨯⋅=！ 2
09152
3
2a f =
2213
3
2121234r c e A s s
p ω=→ 2
0915334323
2)83(34a e c e s s ⋅⋅= μ 22
231014378) (32s
s
e c e μμ ⋅⋅= 193610
781091.132-⨯=⋅=s c
e s μ
s s A 91021
1052.01023.51
--⨯=⨯==
τ # 5.7 计算氢原子由2p 态跃迁到1s 态时所发出的光谱线强度。

解：2112212ω ⋅=→→s p p s p A N J
246310782 83 32
s s
p e c e N μμ⋅⋅⋅=
3814
265232c
e N s p
μ⋅⋅= eV 2.1021=ω 20431065
232a c e N s p ⋅⋅=
W N p 92101.3-⨯⨯=
若 9210-=p N ，则 W J 1.321=。