高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用知识点梳理
单选题
1、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则1
2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
2
BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）
A ．A
B ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．CD ⃑⃑⃑⃑⃑
C ．CB ⃑⃑⃑⃑⃑
D ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：D
分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以1
2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12
(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AD ⃑⃑⃑⃑⃑ . 故选：D.
2、若|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13) 答案：C
分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC
⃑⃑⃑⃑⃑ |的取值范围. 因为|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≤13. 故选：C.
3、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinA
bcosA−acosB 的取值范围是（ ） A ．(0,
√22)B ．(0,√3
2)C ．(12,√22)D ．(12,√32
) 答案：C
分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinA
bcosA−acosB 的取值范围． 由b 2=a(a +c)
及余弦定理，可得c −a =2acosB
正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB
∵A +B +C =π
∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB
∴sin(B −A)=sinA
∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π
2，π
2<A +B <π， 那么：π
6
<A <π4
则asinA
bcosA−acosB =sin 2A
sin(B−A)=sinA ∈(12，√2
2) 故选：C
小提示：方法点睛：解三角形的基本策略
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
4、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |的最大值为（ ） A ．
2√73B ．83C ．2√193D ．2√13
3
答案：D
分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP
⃑⃑⃑⃑⃑ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，
设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵ AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2
3
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +λAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)， ∴ {x =2+λy =√3λ ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−
√32(x −3)，②，
联立①②，解得{x =
73
y =√3
3 ， 此时|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |最大， ∴|AP|=√
499
+1
3
=
2√13
3
， 故选：D ．
小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题
5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）
A ．√33
B ．2√33
C ．√3
D ．2√3
答案：C
解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积. 因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ， 而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ， 故ab =4，故三角形的面积为1
2×ab ×sin120°=√3
4
×4=√3，
故选：C.
6、在△ABC 中，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案：B
分析：先利用数量积运算化简得到accosB =c 2，再利用余弦定理化简得解. 因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=0，所以accos(π−B)+c 2=0， 所以accosB =c 2，所以ac ×
a 2+c 2−
b 2
2ac =c 2，
所以b 2+c 2=a 2，所以三角形是直角三角形. 故选：B
7、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B ′C ′=60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，BB ′与CC ′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，则A ，C 两点到水平面A ′B ′C ′的高度差AA ′−CC ′约为（√3≈1.732）（ ）
A．346B．373C．446D．473
答案：B
分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A′B′，进而得到答案．
过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，
故AA′−CC′=AA′−(BB′−BH)=AA′−BB′+100=AD+100，
由题，易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD=DB．
所以AA′−CC′=DB+100=A′B′+100．
因为∠BCH=15°，所以CH=C′B′=100
tan15°
在△A′B′C′中，由正弦定理得：
A′B′sin45°=C′B′
sin75°
=100
tan15°cos15°
=100
sin15°
，
而sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=√6−√2
4
，
所以A′B′=100×4×√2 2
√6−√2
=100(√3+1)≈273，
所以AA′−CC′=A′B′+100≈373． 故选：B ．
小提示：本题关键点在于如何正确将AA′−CC′的长度通过作辅助线的方式转化为A′B′+100．
8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为（ ）
A ．
16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．56
5
答案：D
分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2
−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，
BC:x
4+y
2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =
√5
∴圆A:x 2+y 2=
165
，设BC 中点为D (2,1)，
PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC
⃑⃑⃑⃑⃑ =PD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−14
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2
−14
×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑ |2
−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√
5
=√
5
，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )max =815
−5=
565
，
故选：D. 多选题
9、下列说法正确的有（ ）
A ．若a //b ⃑ ，b ⃑ //c ，则a //c
B ．若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =c
C ．若a //b ⃑ ，则a 与b ⃑ 的方向相同或相反
D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD
分析：取b ⃑ =0⃑ 可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.
对于A 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a 、c 均为非零向量，则a //b ⃑ ，b ⃑ //c 成立，但a //c 不一定成立，A 错； 对于B 选项，若a =b ⃑ ，b ⃑ =c ，则a =c ，B 对； 对于C 选项，若b ⃑ =0⃑ ，a ≠0
⃑ ，则b ⃑ 的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 、BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对. 故选：BD.
10、（多选）已知向量a ⃗，b ⃑⃗，在下列命题中正确的是（ ） A ．若|a ⃗|>|b ⃑⃗|，则a ⃗>b ⃑⃗B ．若|a ⃗|=|b ⃑⃗|，则a ⃗=b ⃑⃗ C ．若a ⃗=b ⃑⃗，则a ⃗//b ⃑⃗D ．若|a ⃗|=0，则a ⃗=0 答案：CD
分析：根据向量相等和模值相等的区别分析四个选项便可得出答案. 解：向量的模值可以比较大小，但是向量不能比较大小，故A 错； 向量的模值相等，只能证明大小相等并不能说明方向也相同，故B 错； 两个向量相等，这两个向量平行，所以C 正确；
模值为零的向量为零向量，故D 正确 故选：CD
11、如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ∥CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
2
AB
⃑⃑⃑⃑⃑ B ．MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −1
2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：ABD
解析：根据向量运算法则依次计算每个选项得到答案.
AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ，A 正确； MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +12
BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，B 正确； MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−12
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +14
AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −1
4
AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ，C 错误； BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −1
2AB
⃑⃑⃑⃑⃑ ，D 正确. 故选：ABD .
小提示：本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力. 填空题
12、已知|OA
⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=1，若存在m,n ∈R ，使得mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗与nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗夹角为60∘，且|(mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)−(nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)|=12，则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值为___________. 答案：
√13
2
分析：设a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗可得A,A ′,B,B ′共线，又|a ⃗−b
⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12，当|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12
为最小时|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，而此时A ′、B ′关于y 轴对称，结合已知即可求|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|的最小值. 由题意，AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，
∴令a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1−m)OA
⃑⃑⃑⃑⃑⃗+mOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1+n)OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−nOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，故有A,A ′,B,B ′共线，
∵|a →
−b →
|=|B ′A ′→
|=12
，故当且仅当|B
′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12
为最小时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小， ∴有A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，此时O 到AB 的距离为√3⋅|B ′A ′
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2=√34， ∴
|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|2
=√1−
316
=
√134
，即|AB
⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=
√13
2
.
所以答案是：
√13
2
. 小提示：关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a ⃗=OA ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=mAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，b ⃑⃗=OB ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=nAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗、OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗的终点共线，且|a ⃗−b
⃑⃗|=|B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗|=12
可分析得A ′、B ′关于y 轴对称时，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗|最小，进而求最小值即可. 13、设向量m ⃑⃑ =2a −3b ⃑ ,n ⃑ =4a −2b ⃑ ,p =3a +2b ⃑ ，若用m ⃑⃑ ,n ⃑ 表示p ，则p =________. 答案：−7
4m ⃑⃑ +
138
n ⃑
分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.
设p⃗=xm⃑⃑⃗+yn⃑⃗，则有p⃗=3a⃗+2b⃑⃗=x(2a⃗−3b⃑⃗)+y(4a⃗−2b⃑⃗)=(2x+4y)a⃗+(−3x−2y)b⃑⃗，
得{2x+4y=3
−3x−2y=2⇒{
x=−7
4
,
y=13
8
.
，所以p⃗=−7
4
m⃑⃑⃗+13
8
n⃑⃗，
所以答案是：−7
4m⃑⃑⃗+13
8
n⃑⃗
14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则AB两点的距离为______m．
答案：45√5
分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

解：易知在△ACD中，∠DAC=180°−∠ADB−∠BDC−∠ACD=15°，
∴△ACD为等腰三角形，则AD=CD=45，
在△BCD中，∠CBD=180°−∠BDC−∠ACD−∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°=135°，
所以由正弦定理得CD
sin∠CBD =BD
sin∠BCD
，即45
sin30°
=BD
sin135°
，得BD=45√2，
在△ABD 中，由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2−2AD ×BD ×cos135° =452+(45√2)2−2×45×45√2×(−√22)=452×5，
所以AB =45√5，即A ，B 两点的距离为45√5，
所以答案是：45√5．
解答题
15、已知正方形ABCD 的边长为1．E 是AB 上的一个动点，求DE
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值及DE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值． 答案：1，最大值为1．
分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x 0,0)，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解.
如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，
则CB
⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−1)， 设E (x 0,0)，其中0≤x 0≤1，则DE
⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 0,−1)，所以DE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =1， 又由DC
⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0)，所以DE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 0，而0≤x 0≤1， 所以DE
⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为1． 所以答案是：1； 1.。