(完整版)中考数学动点问题专题讲解(可编辑修改word版)

36 - x 2 PH 2
+ MH 2
动点及动图形的专题复习教案
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观 念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况， 需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验 探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式
)如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥OA,垂足为 H,△OPH 的重心为 G.
(1) 当点 P 在弧 AB 上运动时,线段 GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.
(2) 设 PH = x ,GP = y ,求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围).
(3) 如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段 PH 的长.
解:(1)当点 P 在弧 AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段 GO 、GP 、GH 中,
2
有长度保持不变的线段，这条线段是 GH= NH= 3
2 ⋅ 1
3 2 B
OP=2.
(2) 在 Rt△ POH 中 ,
OH = = ,
∴
MH = 1 OH = 1
36 - x 2
.
2 2
O
M
H
A
在 Rt△MPH 中,
MP = =
图 1
= 1 36 + 3x 2 .
2
OP 2 - PH 2 x 2
+ 9 - 1 x 2 4 P
N
G y
x
6 A
2 1 ∴ y =GP= MP=
36 + 3x 2 (0< x <6).
3 3
(3) △PGH 是等腰三角形有三种可能情况:
1
①GP=PH 时, 3 36 + 3x 2 = x ,解得 x = . 经检验, x = 是原方程的根,且符合题意.
1
②GP=GH 时,
3
36 + 3x 2 = 2 ,解得 x = 0 . 经检验, x = 0 是原方程的根,但不符合题意.
③PH=GH 时, x = 2 .
综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段 PH 的长为 或 2.
二、应用比例式建立函数解析式
例 2 如图 2,在△ABC 中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动.设 BD= x , CE= y .
(1) 如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定 y 与 x 之间的函数解析式；
(2) 如果∠BAC 的度数为
,∠DAE 的度数为,当
, 满足怎样的关系式时,(1)中 y 与 x 之间的函
数解析式还成立?试说明理由.
A
解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC, ∴ AB = BD ,
图 2
∴ 1 = x CE AC
, ∴ y = 1 . y 1 x
(2)由于∠DAB+∠CAE= -,又∠DAB+∠ADB=∠ABC= 90︒ -
,且函数关系式成立,
2
∴ 90︒ -
= -
, 整理得
-
2
= 90︒ .
2
当- 如
= 90︒ 时,函数解析式 y = 2 1 成立. x
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例 4（）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2
不重合),设 BO= x ,△AOC 的面积为 y .
,⊙A 的半径为 1.若点 O 在 BC 边上运动(与点B 、C
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式,
(2) 以点 O 为圆心,BO 长为半径作圆 O,求当⊙O 与⊙A 相切时,
△AOC 的面积. 解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H.
B
O H C
6 6 2 D
E
B C
3 ∵∠BAC=90°,AB=AC= 2 1
1
, ∴BC=4,AH= BC=2. ∴OC=4-
x . 2
∵ S ∆AOC
= OC ⋅ AH , ∴ y = -x + 4 2
( 0 < x < 4 ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,
在 Rt△AOH 中,OA= x + 1,OH= 2 - x , ∴ (x + 1)2 = 22 + (2 - x )2 . 解得 x = 7
. 6
此时,△AOC 的面积 y = 4 - 7
6
②当⊙O 与⊙A 内切时,
= 17 .
6
在 Rt△AOH 中,OA= x - 1,OH= x - 2 , ∴ (x - 1)2 = 22 + (x - 2)2 . 解得 x = 7
. 2
此时,△AOC 的面积 y = 4 - 7 2 = 1
.
2
17 1
综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为
或 .
6
2
动态几何特点 --- 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系； 分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、以动态几何为主线的
（二）线动问题
在矩形 ABCD 中，AB ＝3，点 O 在对角线 AC 上，直线 l 过点 O ，且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若直线 l 过点 B ，把△ABE 沿直线 l 翻折，点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A ＇重合，求 BC 的长；
1
(2) 若直线 l 与 AB 相交于点 F ，且 AO ＝ AC ，设 AD 的长为 x ，五边
4
l
形 BCDEF 的面积为 S.①求 S 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范 A
E
D
围；
②探索：是否存在这样的 x ，以 A 为圆心，以 x - 长为半径的圆与直
O
A ′
4
线 l 相切，若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点] B
C
本题以矩形为背景,结合轴对称相、似三、角等相关知识编制得到第．一小题考 核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿 AB 边向上平
l
移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相 A E D
切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二．
[区分度性小题处理手法]
O 1.
找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则 图形用割补法．
F 2. 直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用 d=r 建立方程． B C
3. 解题的关键是用含 x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]
2
3 3 E
F
(1) ∵A ’是矩形 ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’
1
∵AB＝A ’B ，AB ＝3∴AC＝6
BC = 3 ＝ AC 2
(2) ① AC = ，
AO = 1 x 2 4
+ 9 ， AF =
1
(x 2 12
+ 9) ， AE =
x 2 + 9 4x
∴ S ∆AEF
= 1 AE ⋅ AF = 2 (x 2 + 9)2 96x ， S = 3x - (x 2
+ 9)2 96x
- x 4 + 270x 2 - 81
S = ( 96x
< x < 3 )
②若圆 A 与直线 l 相切，则 x - 3 = 1 x 2 + 9 ， x = 0 (舍去)， x = 8 ∵ x = 8
< ∴
4 4 1
2 5 2 5 不存在这样的 x ，使圆 A 与直线 l 相切．
[
.
（
例 3：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC=4，OA ⊥ BC 于 O,点 E 和点 F 分别在边 AB 、AC 上滑动并保持 AE=CF,但点 F 不与 A 、C 重合，点 E 不与 B 、A 重合。

判断∆ OEF 的形状，并加以证明。

A
判断四边形 AEOF 的面积是否随点 E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.
∆ AEF 的面积是否随着点 E 、F 的变化而变化，若变化，求其变化范
B
O
C
围，若不变化，求它的值。

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：
比如，比较线段 EF 与 AO 长度大小等（可以通过 A 、E 、O 、F 四点在以 EF 为直径的圆上得出很 多结论）
例 8：如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。

如果Ｐ、Ｑ同时出发，用 t 秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：
（1） 当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？
（2） 求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论； （3） 当 t 为何值时，以点 Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相
似？
分析：（1）当三角形 QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是 AQ=AP ，建立等量关系，
3 x 2
+ 9 3
专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题
2t = 6 - t ，即t = 2 时，三角形
QAP 为等腰三角形；
（2） 四边形 QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形 QDC 的面积—三角形 PBC 的面积
12 ⨯ 6 - 1 ⨯12 ⨯ x - 1
(12 - 2x ) ⨯ 6
=
2 2 =36，即当 P 、Q 运动时，四边形 QAPC 的面积不变。

（3） 显然有两种情况：△PAQ ∽△ABC ，△QAP ∽△ABC ，
2x = 12 2x =
6
由相似关系得 6 - x 6 或 6 - x 12 ，解之得 x = 3 或 x = 1.2
建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范围等方面来解决问题；也可以是通过一些几何上的关系，描述图形的特征，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。

例题 如图 1，已知抛物线的顶点为 A （2，1），且经过原点 O ，与 x 轴的另一个交点为 B 。

y = - 1
x 2 + x
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ）
⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；
⑶连接 OA 、AB ，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在， 求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。

图 1
例 1 题图
图 2
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以 O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况
2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是
否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来
推导边的大小。

3 3 3 3 3t
A R D P E
=
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，
之后利用相似来列方程求解。

例 1(，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P 、Q 同时从 A 、B 两点出发，分别沿 AB 、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s ，点 Q 运动的速度是 2cm/s ，当点 Q 到达点 C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t （s ），解答下列问题： （1） 当 t ＝2 时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；
（2） 设△BPQ 的面积为 S （cm 2），求 S 与 t 的函数关系式； （3） 作 QR //BA 交 AC 于点 R ，连结 PR ，当 t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？
分析:由 t ＝2 求出 BP 与 BQ 的长度,从而可得△BPQ 的形状; 1
作 QE ⊥BP 于点 E,将 PB,QE 用 t 表示,由 S ∆BPQ = 2
×BP×QE 可得
S 与 t 的函数关系式;先证得四边形 EPRQ 为平行四边形,得 PR=QE, 再由△APR ∽△PRQ ,对应边成比例列方程,从而 t 值可求.
解:(1)△BPQ 是等边三角形, 当 t=2 时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以 BP=AB-AP=6-2=4, 即 BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.
(2)过 Q 作 QE ⊥AB,垂足为 E,由 QB=2t ,得 QE=2t·sin600= t,
由 AP=t,得 PB=6-t,所以 S
1 1 3 = ×BP×QE= (6-t)× t=－ t 2+3 t ； ∆BPQ
2 2 2
(3)因为 QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,这时 BQ=2t,所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ·cos600= 1
×2t=t,AP=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,
2
所以 EP=QR,又 EP ∥QR,所以四边形 EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ= t,
AP PR t
由△APR ∽△PRQ,得到 ,即 PR RQ 6
= 6 - 2t
6 ,解得 t= , 5 所以当 t= 时, △AP R∽△PRQ.
5
点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
)如图，在Rt △ABC 中， ∠A = 90 ， AB = 6 ， AC = 8 ， D ，E 分别是边 AB ，AC 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ ⊥ BC 于Q ，过点Q 作QR ∥ BA 交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点 P 停止运动．设 BQ = x ， QR = y ．（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；
（2） 求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3） 是否存在点 P ，使△PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有
3t
R
D P
1 M
2 E
D P
E R
1
= = 3
12 满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由．
分析:由△BHD ∽△BAC,可得 DH;由△RQC ∽△ABC,可得
y 关于 x 的函数关系式;由腰相等列方程可得 x 的值;注意需分类讨论. 解：（1） ∠A = Rt ∠， AB = 6 ， AC = 8 ，∴ BC = 10 ． 点 D 为 AB 中点，∴ BD = 2
AB = 3 ．
∠DHB = ∠A = 90 ， ∠B = ∠B ．∴△BHD ∽△BAC ，∴ DH
= BD ，
∴ DH =
BD
⋅ AC = BC
3 ⨯ 8 = 12 10 5 AC BC
（2） QR ∥ AB ，∴∠QRC = ∠A = 90 ． ∠C = ∠C ，∴△RQC ∽△ABC ，
∴
RQ = QC ，∴ y = 10 - x ，即 y 关于 x 的函数关系式为： y = - 3
x + 6 ． AB BC 6 10 5
（3）存在.按腰相等分三种情况：
①当 PQ = PR 时，过点 P 作 PM ⊥ QR 于 M ，则QM = RM ． A ∠1+ ∠2 = 90 ， ∠C + ∠2 = 90 ，∴∠1 = ∠C ．
∴cos ∠1 = cos C = 8 = 4
∴ QM = 4
1 ⎛ - 3 x + 6 ⎫
，
， 10 5 QP 5
B
H Q
C
2 5
⎪ 4 18 ∴ ⎝ ⎭ = 12 5 5
，∴ x = ． 5 A
②当 PQ = RQ 时， - x + 6 =
， 5 5
∴ x = 6 ．
③当 PR = QR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点，
于是点 R 为 EC 的中点， ∴CR = 1 CE = 1 AC = 2 ． 2 4 QR BA
tan C CR CA ， - 3
x + 6
∴ 5 = 6 ，∴ x = 15 ．
B
H
Q
C
2 8 2
18 15
综上所述，当 x 为 或 6 或 时， △PQR 为等腰三角形．
5 2
点评:建立函数关系式,实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示;要求使△PQR 为等腰三角形的
x 的值,可假设△PQR 为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形 注意
分情况。