课件11：1.1.1 算法的概念

【素养提升】
1．算法与数学问题解法的联系与区别 (1)联系 算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系． (2)区别 算法是解决某一类问题所需要的程序和步骤的统称，也可理解 为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过 程和步骤，是具体的解题过程．
2．设计算法应注意的问题 (1)要保证算法正确，符合运算规则，且计算机能够执行，例如： 对于计算类问题的算法设计，需确保每个计算公式都是正确的． (2)每一个步骤都有一个明确的计算任务． (3)对重复操作步骤作返回处理． (4)要使算法尽量简单、步骤尽量少，每一步骤的语言描述要准 确、简明．
(5)算法并不一定是唯一的，例如：对于某些计算类问题的算法设 计，有时可能会有多种计算方法． (6)写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数 n(n>1) 是否为质数；求任意一个方程的近似解；…)，并且能够重复使用． (7)对于非计算类问题的算法设计，关键是要将其中的逻辑关系理 清楚，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．
S1 输入 a 的值．
S2
计算高
h＝
3 2 a.
S3 计算 S＝12ah＝12a× 23a＝ 43a2.
S4 输出 S.
【方法归纳】 设计一个具体算法的步骤 (1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法． (2)借助有关变量或参数对算法加以表述． (3)将解决问题的过程划分为若干步骤． (4)用简单的语言将步骤表示出来． [注意] 设计的算法要能重复使用.
【解析】 ①中给出了一元一次方程这一类问题的解决方式； ②中给出了求三角形面积的过程；④中给出了求 1＋2＋3＋4 的一个过程，并最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算， 故①②④是算法，③不是算法．
【答案】 C
【方法归纳】 理解算法的关键点 (1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个 或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想． (2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决这一问题的程序 或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限 步之内完成．
3．试设计一个解方程 x2－2x－8＝0 的算法． 解：算法如下： S1 移项，得 x2－2x＝8. ① S2 ①式两边加 1，并配方得(x－1)2＝9. ② S3 ②式两边开方，得 x－1＝±3. ③ S4 解③得 x＝－2 或 x＝4. S5 输出 x＝－2 或 4.
本课结束
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2．算法的要求及特性 (1)算法的要求：①写出的算法，必须能解决一类问题，并且能
够_重__复__使__用___； ②算法过程要能_一__步__一__步__执__行___，每一步执行的操作，必须 _确__切___，不能含混不清，而且经过__有__限__步__后能得出结果．
(2)算法的特性：有限性、确定性、可行性、不唯一性、普遍性．
1.1.1 算法的概念
【学习目标】
1.了解算法的含义． 2.理解算法与求解一个具体问题的方法的区别． 3.掌握算法的步骤．
【新知提炼】
1．算法的含义及描述方式 (1)算法：可以理解为由__基__本__运__算__及__规__定__的__运__算__顺__序__所构成
的_完__整__的__解__题__步__骤___，或者看成按照要求设计好的_有__限__的___确 切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决_一__类__问__题___． (2)算法的描述方式：可用_自__然__语__言__和__数__学__语__言___加以叙述，也 可以借助___形__式__语__言__(_算__法__语__言__)__给出精确的说明，也可以用 _框__图___直观地显示算法的全貌．
【自我尝试】
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”) (1)算法就是某个问题的解决过程．( × ) (2)算法执行后可以不产生确定的结果．( × ) (3)解决某类问题的算法是唯一的．( × ) 解析：算法是某一类问题的解决步骤，不是某个问题的解 决过程，它的每一步是确定的，产生的结果也是确定的．
2．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是( ) A．在家里一般是妈妈做饭 B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤 C．在野外做饭叫野炊 D．做饭必须要有米
答案：B
3．有关算法的描述有下列几种说法：
①对一类问题都有效；
②对个别问题有效；
③计算可以一步一步地进行，每一步都有唯一的结果；
④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解析：选 A.算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的 明确和有限的步骤．①②都各表达了一种算法；③只是一个 纯数学问题，不是一个明确步骤；④的步骤是无穷的，与算 法的有穷性矛盾．
2．计算下列各式中的 S 值，能设计算法求解的是( )
①S＝2＋4＋6＋…＋1 000；
解析：由算法的不唯一性，知①不正确； 由算法的有限性，知②正确； 由算法的确定性，知③和④正确． 答案：①
2．写出解方程 2x＋3＝0 的算法步骤： S1______________________________________； S2______________________________________； S3_______________________________________. 解析：由解一元一次方程的步骤可得． 答案：移项得 2x＝－3 未知数系数化为 1，得 x＝－32 输出 x＝－32
失误防范 在设计算法时，应当先建立过程模型，若有公式可用，应尽量 应用公式来设计算法，若有数学结论可用，应尽量应用数学结 论来设计算法，再把它细化为具体步骤即可．
【当堂检测】
1．下列关于算法的说法： ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的，不能存在歧义； ④算法执行后一定能产生确定的结果． 其中，不正确的有________．
【跟踪训练】给出求解方程组24xx＋ ＋y5＝y＝7， 11，
① ② 的一个算法．
解：法一：S1 ②－①×2，得 3y＝－3.③ S2 解③得 y＝－1；④ S3 将④代入①，得 x＝4； S4 输出 x＝4，y＝－1. 法二：S1 计算 D＝2×5－4×1＝6； S2 因为 D＝6，所以 x＝5×7－611×1＝4，y＝11×2－6 7×4＝－1； S3 输出 x＝4，y＝－1.
【跟踪训练】1.下列语句表达的是算法的有( )
①拨本地电话的过程为：〈1〉提起话筒；〈2〉拨号；〈3〉等复
话信号；〈4〉开始通话或挂机；〈5〉结束通话；
②利用公式 V＝Sh 计算底面积为 3，高为 4 的三棱柱的体积；
③x2－2x－3＝0；
④求所有能被 3 整除的正数，即 3，6，9，12，….
A．①②
②S＝2＋4＋6＋…＋1 000＋…；
③S＝2＋4＋6＋…＋2n(n≥1，n∈N)．A．②B．①③C．②③
D．①②③
解析：选 B.由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过
有限的步骤操作，输出确定结果.
探究点二 算法的设计
【例 2】试设计一个算法，求边长为 a 的等边三角形的面积．
【解】 算法如下：
【跟踪训练】有如下算法： S1 输入 x 的值． S2 若 x≥0 成立，则 y＝x，否则执行 S3. S3 y＝x2. S4 输出 y 的值． 若输出结果 y 的值为 4，求输入的 x 的值．
解：由所给的算法可知，该算法执行的功能是给定 x， 求分段函数 y＝xx， 2，xx≥＜00对应的函数值． 当 y＝4 时，若 x≥0，x＝4， 若 x＜0，x2＝4，得 x＝－2. 综上，满足条件的 x 值为－2 和 4.
探究点三 算法的应用 【例 3】已知函数 f(x)＝xx2＋－1x（＋x1＜（2x）≥，2），设计一个算法求 函数的任一函数值． 【解】 算法如下： S1 输入 x 的值． S2 当 x≥2 时，计算 y＝x2－x＋1，否则执行 S3. S3 计算 y＝x＋1. S4 输出 y 的值．
【方法归纳】 输入自变量的值，设计算法求对应的函数值时，如果是 分段函数，那么在设计算法时，要对输入的自变量的值 根据已知条件去判断，分类求值．
其中描述正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的
程序或步骤，所以①正确，②错误；由于程序必须是明确的、
有效的，而且在有限步内完成，所以③④正确．故选 C.
【探究互动】
探究点一 算法的概念 【例 1】下列语句表达中是算法的有( ) ①解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1； ②利用公式 S＝12ah 计算底为 1，高为 2 的三角形的面积； ③方程 x2－1＝0 有两个实根； ④求 1＋2＋3＋4 的值，先计算 1＋2＝3，再由 3＋3＝6，6＋4＝10 得最终结 果是 10. A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④