推荐-重庆市第八中学2018—2018学年度第一学期高三期中考试数学(理) 精品

重庆市第八中学2018—2018学年度第一学期高三期中考试
数学试题（理科）
（总分：150分 时间：120分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是
符合题目要求的） 1．已知集合{}{}4|),(,2|),(=-==+=y x y x N y x y x M ，则=N M （ ）
A ．{}1,3-==y x
B ．（3，－1）
C ．｛3，－1｝
D ．｛（3，－1）｝ 2．复数3
215
i
+的共轭复数为
（ ） A ．)21(5i +- B ．i 21+
C ．i 21-
D ．)21(5i --
3．已知R b a ∈,，则“0,>>ab b a ”是“b
a 1
1<”成立的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图，非零向量b OB a OA ==,，且C OA BC ,⊥为垂足，设向量a OC λ=，则λ的值
为
（ ）
A ．
2||a b
a ⋅ B ．
||||b a b
a ⋅⋅
C ．2
||b b
a ⋅ D ．
b
a b a ⋅⋅|
||| 5．在二项式n
x )1(+的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数*)(N n n ∈的最小值为
（ ）
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10 6．已知函数),2,(),0(,sin 2cos 1)(πππ ∈+=x x
x
x f 则
（ ）
A ．函数图像关于直线π=x 对称
B ．函数图象关于点)0,(π对称
C ．函数在区间),2
(
ππ
上递减 D ．函数在区间)2
3,
(π
π上递减 7．数列{}n a 中，n S a ,11=是前n 项和，当2≥n 时，n n S a 3=，则3
1
lim
1-++∞→n n n S S 的值是（ ）
A ．－2
B ．3
1
-
C ．5
4-
D ．1
8．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(122
22>>=-n m n
y m x 有相同的焦点
)0,(c -和)0,(c ，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率
e =
（ ）
A ．
33 B ．
2
2 C ．
4
1 D ．
2
1 9．如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，使
二面角D —AE —B 为60°则四棱锥D —ABCE 的体积为 （ ） A ．
13
39
27 B ．
13
39
9 C ．
13
13
27 D ．
13
13
9
10．函数))((R x x f y ∈=满足：对一切)(7)1(,0)(,2x f x f x f R x -=
+≥∈；当[)1,0∈x
时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤+=1
25,52
50,2)(x x x x f 则=-)32007(f
（ ）
A ．3322-
B ．32-
C ．2
D ． 32+
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知b b a ,1||,2||==与b 的夹角为
3
π
，若向量b m a +2与b a +垂直，则m= 。

12．函数x
x y sin 2
2sin +=
在区间（0，π）内的最小值是 。

13．函数)(x f y =是周期为5的奇函数，若2tan ,1)3(==-αf ，则=⋅)s i n c o s 20(ααf 。

14．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为
51，击伤的概率为52，击不中的概率为5
2
，并设击伤二次也会导致潜水艇下沉，则施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率为 。

15．已知x ，y ，z 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥++≤≥+-030
5k y x x y x ，且y x z 42+=的最小值为－6，则常数k= 。

16．对于实数0≥x ，定义符号[x ]表示不超过x 的最大正整数，则方程[][]x x =sin 2的解集（x 以弧度为单位）是 。

三、解答题（本大题共6小题，共76分）
17．（本小题满分13分）已知向量),3,2cos 2sin 1(),1,tan 1(-++=-=x x x ，记
b a x f ⋅=)(（1）
求)(x f 的定义域、值域；（2）若6)42()2(=+-πααf f ，其中)2
,0(π
α∈，求α。

18．（本小题满分13分）已知函数1)(+=x x f ，点*))(,
1(1
N n a a n n
n ∈++在)(1x f y -=上，且121==a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12
2!3!
(1)!
n
n a a a S n =+++
+，
若m S n >恒成立，求实数m 的取值范围。

19．（本题满分13分） 如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，O 1，
O 分别为上、下底面的中心，且A 1在底面ABCD 的射影是O 。

（Ⅰ）求证：平面O 1DC ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若∠A 1AB=60°，求二面角
C —AA 1—B 的大小（用反三 角函数表示）。

20．（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F 、T 、M 、P 满足
(1,0),OF =(1,),OT t =-,,//FM MT PM PT PT OF =⊥。

（1）当t 变化时，求
点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两点，求证：直线TA 、TF 、
TB 的斜率依次成等差数列。

21．（本小题满分12分） 曲线cx bx ax x f y ++==23)(，当31-=x 时，)(x f 有极小值，当21+
=x 时有极大值，且在x=1处切线的斜率为2
3。

（1）求)(x f ；
（2）曲线上是否存在一点P ，使得y =)(x f 的图象关于点P 成中心对称？若存在，请求出点P 坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分12分） 已知函数),0(,1
1)(+∞∈++
=x ax x
nx x f （a 为实常数）（1）若)(x f 在[)+∞,2上是单调函数，求a 的取值范围； （2）当a = 0时，求)(x f 的最小值；（3）设各项为正的无穷数列{}n x 满足*)(1111
N n x nx n n ∈<++，证明：*)(1N n x n ∈≤。

重庆市第八中学2018—2018学年度第一学期高三期中考试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1—10：DCAAC BBDBC
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.－5 12.
2
5 13.－1 14. 125109 15.0 16.)2,2()2,1[ππ
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
17．（1）3)2cos 2sin 1)(tan 1()(-++-=x x x x f
222cos sin (2cos 2sin cos )3
cos 2(cos sin )32cos 23(2)x x
x x x x
x x x -=
+-=--=-分 ∴定义域为：},2
|{Z k k x x ∈+
≠π
π…（4分） 值域为：]1,5(-…（6分）
（2）)4
2
(
)2
(π
α
α+
-f f
2cos 2cos()2(cos sin ))(9)24
π
π
ααααα=-+
=+=+=分
)
13(12
51232434)
43,4(4)2,0(2
3
)4sin(分或或 παπαππαππαπππαπαπ
α==∴=+=+∴∈+∴∈=
+
∴ 18．解（I ）1)(1)(1
-=+=-x x f
x x f 的反函数为.………（1分）
∵点*)(,
11N n a a n n n ∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++在反函数图像上，.1
n an a n =∴+……（3分） 321141
1,123(1)(1)!(6)n
n n a a a a n a n a a a -=∴
⋅=⋅⋅-∴=-而分
（II ）
,1
1
1)1(1)!1()!1()!1(+⋅=+=+-=+n n n n n n n a n ………（8分）
11
1)111()3121()211(+-=+-++-+-=∴n n n S n ………（10分）
又S n 关于n 是单调函数，
)2
1
,(,2
1
1-∞∈>=≥∴m m S S S n n 则恒成立故（13分）
19．（I ）连AC ，BD ，A 1C 1，则O 为AC ，BD 的交点，O 1为A 1C 1，B 1D 1的交点.
由平行六面体性质知：A 1O 1//OC 且A 1O 1=OC ∴四边形A 1OCO 1为平行四边形，A 1O//O 1C ……………………（2分） 又∵A 1O ⊥平面ABCD ∴O 1C ⊥平面ABCD ……………………（4分） 又∵O 1C ⊂平面O 1DC ∴平面O 1DC ⊥平面ABCD ……………………（6分） （II ）过点O 作OM ⊥AA 1，垂足为M ，连接BM 。

∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥OB
又∵OB ⊥OA ∴OB ⊥平面A 1AO.由三垂线定理得AA 1⊥MB
∴∠OMB 为二面角C —AA 1—B 的平面角. 在Rt △AMB 中，∠MAB=60°，∴MB=
2
3AB 又∵BO=
22AB ，∴sin ∠OMB=36 ∴∠OMB=arcsin 3
6 二面角C —AA 1—B 的大小为arcsin
3
6
.………………………………（13分） 20．（本小题满分14分）（1）解：设点P 的坐标为（x , y ），
由=，得点M 是线段FT 的中点，则)2
,(),2
,0(y t
x PM t M --=， 又),,1(),,2(y t x t ---=-=-=………（2分） 由,0)2
(2,=-+⊥y t
t x FT PM 得 ①……（4分）
由y t y t x OF PT =∴=⨯-+⨯--,01)(0)1(,//得…（5分）
由①②消去t ，得y 2=4x 即为所求点P 的轨迹C 的方程. ……………………（6分） （2）证明：设直线TA ，TF ，TB 的斜率依次为k 1，k ，k 2，并记A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)， 则2
t
k -
=……（7分） 设直线AB 方程为x =my+1 ,0441422=--⎩⎨
⎧+==my y my x x
y 得 …………（8分）12124(9)4,
y y m
y y +=⎧∴⎨
⋅=-⎩分
22
221212122
2
2112121222
211222
121212122222
1212()2168,
(10)
()(1)()(1)
44(11)1
(1)(1)44
4()4()16()3224()16
y y y y y y m y y y t y t y t y t k k y y x t x y y y y t y y y y t t k y y y y ∴+=+-=+-++-+--∴+=+=++++++-+++-==-=+++分分 ∴k 1，k ，k 2，成等差数列………………（13分）
21．解：（1）c bx ax x f ++='23)(2
∵当)(,31x f x 时±=有极小值及极大值，
∴02331.0)31(2=++±=±'c bx ax f 为即的两根. 由韦达定理可得：b=－3a ,c=－6a . ………（2分）
又∵f (x )在x =1处切线的斜率为
2
3，33(1),32.22f a b c '∴=∴++=
321111
,, 1.().
(5)6262
a b c f x x x x ∴=-==∴=-++分
（2）假设存在P （x 0，y 0 ），使得f (x )的图象关于点P 成中心对称，则 f (x 0+x )+f (x 0－x )=2y 0，（7分）即,2)(2
1
)(61)(21)(6100203002030y x x x x x x x x x x x x =-+-+--+++++-
化简得.23
12)1(02
002
02
0y x x x x x =-
++-∵对于任意x ∈R 等式都成立， 0002
20000104
(10)1,.13
223x x y y x x x -=⎧⎪∴∴==⎨=+-⎪⎩
分
∴曲线上存在)3
4
,1(P ，使得f (x )的图象成中心对称.…（12分）
22．（1）2
221
11)(x x ax a x x x f -+=+-=' （i ）0)(2,0>'≥≥x f x a 则时符合要求；
（ii ）a <0时，令g(x )=ax 2+x －1, x →+∞，g(x )→－∞，故f (x )在),2[+∞只能是单调递减的.
011
140()0(),()(,][0,).
(5)441
22a g x a i ii a a
⎧
⎪∆>⎪∆=+≤≤≤-∈-∞-⋃+∞⎨⎪⎪-≤⎩故或解得由可知分
（2）,0)(,1;0)(,10,1
)(,02>'><'<<-=
'=x f x x f x x
x x f a 时时时 故.1)1()(min ==f x f ……（8分） （3）反证法：不妨设1
11
ln 1ln
)2(,1++
>≥+>=n n n n x x x b b x b x 由
①
b
b b
b b b b b b b x b b b b b x b b
b b b x b b b x b x b N n x b x b n n n n n n n n 111
ln )1111(ln lim 1)
1111(ln 11)1111(ln )1
(ln 1ln ln )1(ln 1ln 1ln 1*)(1ln 2222423211
-⋅
=++++
≥∴++++>⋅+++++>>+++>++>+>=
∈+>∞
→++ 故故
又由（2）当b>1时， b
b b
b b b 111ln ,11ln ,11ln -⋅->>+
故故>1与①矛盾.
故*).(1,1,1,1321N n x x x x n ∈≤≤≤≤ 同理……………………（12分）。