2018年高考押题卷理科数学(二)(泄露天机解析版)

2018年高考押题卷理科数学（二）（泄露天机解析版）
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{
}
2
340A x x x =∈--≤Z ，{}
0ln 2B x x =<<，则A B 的真子集的个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
【答案】C 【
解
析
】
{}{
}{}2
34
0141A x x x x x =
∈
--≤
=
∈-
≤
Z Z ，{}{}2
0ln 21e B x x x x =<<=<<，所以{}2,3,4A
B =，
所以A
B 的真子集有3217-=个．
2．设复数1z =（i 是虚数单位），则z z z
⋅+的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】A
【解析】()()
111=4z z z ⋅+=++++，z z z ⋅+= 3．“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】由“p q ∧为假”得出p ，q 中至少一个为假．当p ，q 为一假一真时，p q ∨为真，故不充分；当“p q ∨为假”时，p ，q 同时为假，所以p q ∧为假，所以是必要的，所以选B ．
4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多
n （n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．
A ．2
B ．3
C ．26
D ．27
【答案】C
【解析】设顶层有灯1a 盏，底层共有9a 盏，由已知得，则()91991
132691262
a a a a a =⎧⎪
⇒=⎨+=⎪
⎩， 所以选C ．
5．已知实数x ，y 满足约束条件2
22020
x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩
，则5x z y -=的取值范围为（ ）
A ．24,33⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．42,33⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦ C ．33,,24⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝⎦
⎣⎭
D ．33,,4
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦
⎣⎭
【答案】C
【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把5
x z y
-=
改写为105y z x -=-，所以1z 可看作点(),x y 和()
5,0之间的斜率，记为k ，则2433k -≤≤，所以33,,24z ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
．
6．如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是（ ） A ．910a ≤<
B ．910a <≤
C ．1011a <≤
D ．89a <≤
【答案】B
【解析】依次运行流程图，结果如下：13S =，12n
=；25S =，11n =；36S =，10n =；46S =，
9n =，此时退出循环，所以a 的取值范围是910a <≤．故选B ．
7．设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲
线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ） A ．2 B
C
．D ．4
【答案】B
【解析】因为双曲线22
22:1x y C a b
-=的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y x =±，所以a b =．因
为顶点到一条渐近线的距离为1
1=
，所以a b ==，双曲线C 的方程为22122x y -
=，所以
双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b =
8．过抛物线()2
0y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，
5
4
PQ m =，则m =（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
【解析】因为2
y mx =，所以焦点到准线的距离2
m
p =
，设P ，Q 的横坐标分别是1x ，2x ，则 1232x x +=，126x x +=，因为54PQ m =，所以12
5+4x x p m +=，即5624
m m +=，解得8m =． 9．一排12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，若每个小组的成员全坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．()
3
3
43
4
A
A B ．()
4
4
34
3
A
A C ．12
123
3A A D ．12124
4
A A 【答案】B
【解析】12个座位坐了4个小组的成员，每个小组都是3人，操作如下：先分别把第1，2，3，4小组的3个人安排坐在一起，各有33A 种不同的坐法，再把这4个小组进行全排列，有44A 不同的排法，根据分步计数原理得，每个小组的成员全坐在一起共有()
4
343
4A A 种不同的坐法，故选B ．
10
．设函数1()f x =对于任意[11] x ∈-，
，都有()0f x ≤成立，则a =（ ）
A ．4
B ．3
C
D ．1
【答案】D
【解析】一方面，由20a x -≥对任意[1
1] x ∈-，恒成立得1a ≥；另一方面，由1()2
f x =221022
x a x ≤≤+--得1a ≤，所以1a =．
11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()5
20,02
a b a b +=
>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A ．
174
π B ．
214
π C ．4π D ．5π
【答案】B
【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A BC D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A BC D -的长、宽、高分别为2，a ，b ， 所以此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A BC D -的外接球，
=
所以三棱锥外接球表面积为()()2
2
222144514a b a ππ=π++=π-+
⎝
⎭
， 当且仅当1a =，1
2
b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．
12．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标系原点）的斜率为k ，则（ ） A ．至少存在两个点P 使得1k =- B ．对于任意点P 都有0k < C ．对于任意点P 都有1k < D ．存在点P 使得1k ≥
【答案】C 【解析】任意取
x 为一正实数，一方面sin ln ln 1y x x x =+≤+，另一方面容易证ln 1x x +≤成立，所以
sin ln y x x x =+≤，因为sin ln ln 1y x x x =+≤+与ln 1x x +≤中两个等号成立条件不一样，
所以sin ln y x x x =+<恒成立，所以1k <，排除D ； 当
2
x π
≤<π时，sin ln 0y x x =+>，所以0k >，所以排除B ； 对于A 选项，至少存在两个点P 使得1k =-，也就是sin ln 1x x
x +=-至少存在两解， 即sin ln 0x x x ++=至少存在两解，()1
sin ln cos 10x x x x x
¢++=++>恒成立，
所以sin ln 0x x x ++=至多存在一解，故排除A ，故选C ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知()1,21m =-a ，()2,2m =--b ，若向量a ，b 不共线，则实数m 的取值范围为____． 【答案】0m ≠且52
m ≠
【解析】因为向量a ，b 不共线，所以
12212m m -≠--，所以0m ≠且5
2
m ≠．
14．从正五边形的边和对角线中任意取出两条，则取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为________． 【答案】
1
9
【解析】从5条边和5条对角线中任意取出2条，共有2
10C 45=个基本事件，其中取出的两条边或对角线
所在直线不相交有5个，所以取出的两条边或对角线所在直线不相交的概率为
545=1
9
．
15．若对任意的x ∈R ，都有()()()66f x f x f x ππ=-++，且(0)1f =-，16f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则
1003f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为________． 【答案】2
【解析】因为()()()66f x f x f x ππ=-++①，所以()()()63
f x f x f x ππ+=++②，
①+②得，()()36f x f x ππ+=--，所以
()()2
f x f x π+=-， 所以
()()f x f x +π=，所以T =π，所以10033
f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝⎭
，
在()()()66f x f x f x ππ=-++中，令6x π=得，()(0)()63
f f f ππ
=+，
因为(0)1f =-，16f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
，所以()23f π=． 16．设n a 表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么63S 的值为_________． 【答案】714
【解析】由已知得，当n 为偶数时，2
n n a a =，当n 为奇数时，12
n n
a +=
． 因为12342121n n S a a a a a --=+++++，
所以1112342121n n S a a a a a ++--=++++
+()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=+++
+++++
()
1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫
++++-=++
+++++
+ ⎪⎝⎭
()()12321
123
2n n
a a a a -=+++++++
+()211222
n n
n
S -+=
+()211242
n n
n S -=
++， 即()121211242n n n
n S S +--=
++， 所以()()()111221*********
122
4242422422
233
n n n n n n n S S --------=++++
+
++=+⋅-， n
所以66321S S -=5522
2433
=+
⋅-=714． 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，D BC ∈，sin sin ACD ABD S B
S C
λ∠==∠△△．
（1）求证：AD 平分BAC ∠； （2）当12λ=
时，若1AD =
，2
DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】（1）见解析；（2
）BD =1AC =．
【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理得，
sin sin B AC
C AB
∠=∠，
因为
sin sin ACD ABD S B
S C
∠=
∠△△，······2分 所以1
sin 21sin 2
AC AD CAD
AC AB AB AD BAD ⋅∠=⋅∠，······3分
所以sin sin CAD BAD ∠=∠，······4分
因为CAD BAD ∠+∠<π，所以CAD BAD ∠=∠， 即AD 平分BAC ∠．······6分 （2）因为
12ACD ABD S CD
S BD
==
△△
，2DC =
，所以BD =······7分 在ABD △和ADC △中，由余弦定理得，2
2
2
2cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，
2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠，
因为cos ADB ∠cos 0ADC +∠=，所以2
2
2
2
2
232AB AC AD BD DC +=++， 因为1AD =，所以2
2
26AB AC +=，······10分 因为
sin 1
sin 2
B C ∠=∠，所以2AB AC =，······11分
所以1AC =．······12分
18．（12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，点
P 是CD 中点，Q 是11A B 的中点．
（1）求证：AQ ∥平面11PB C ；
（2）若AB =
，1BC CC =，求二面角11B PB C --大小．
【答案】（1）见解析；（2）
6
π
．
【解析】（1）取AB 得中点为R ，连接PR ，1B R ． 由已知点P 是CD 中点，Q 是11A B 的中点可以证得， 四边形111AQB R PRBC ，都为平行四边形，
所以111AQ B R B R PC ∥，∥，所以1AQ PC ∥，······3分 因为AQ ⊄平面11PB C ，1PC ⊂平面11PB C ， 所以AQ ∥平面11PB C ．······5分
（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -．
设11BC CC ==，则AB =，()1,0,0A ，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
()
B ，()1
C ，()
C ，······6分
所以PB ⎛
⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，1PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()
AC =-，······7分
()
1102
PB AC ⋅=⨯-+
，所以PB AC ⊥， 又1BB AC ⊥，可得AC ⊥平面1PBB ，即AC 是平面1PBB 的法向量，······8分 设平面1PBC 的法向量为(),,x y z =n ，
则10000
x y PB PC y z ⎧=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⋅=⎪⎩+=n n ，令1x =
，得1y z ==
，所以()
1,=n ，······10分 所以二面角11B PB C --
大小的余弦值cos AC AC
θ⋅-=
=
=
n n ······11分 所以二面角11B PB C --为
6
π．······12分 19．（12分）国家放开计划生育政策，鼓励一对夫妇生育2个孩子．在某地区的100000对已经生育了一胎夫妇中，进行大数据统计得，有100对第一胎生育的是双胞胎或多胞胎，其余的均为单胞胎．在这99900对恰好生育一孩的夫妇中，男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有1x 对，男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有2x 对，其余情形有3x 对，且
123::300:100:99x x x =．现用样本的频率来估计总体的概率．
（1）说明“其余情形”指何种具体情形，并求出1x ，2x ，3x 的值；
（2）该地区为进一步鼓励生育二孩，实行贴补政策：凡第一胎生育了一孩的夫妇一次性贴补5000元，第一胎生育了双胞胎或多胞胎的夫妇只有一次性贴补15000元．第一胎已经生育了一孩再生育了二孩的夫妇一次性再贴补20000元．这种补贴政策直接提高了夫妇生育二孩的积极性：原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫妇现在都愿意生育二孩，但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫妇仍然不愿意生育二孩．设ξ为该地区的一对夫妇享受的生育贴补，求()E ξ．
【答案】（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩；130000x =，210000x =，
39900x =；（2）23010元．
【解析】（1）“其余情形”指一对夫妇中的男方、女方都不愿意生育二孩． 由123::300:100:99x x x =，可设1300x n =，2100x n =，()399x n n =∈N ，
由已知得，12349900x x x ++=，所以3001009949900n n n ++=，解得100n =，······2分 所以130000x =，210000x =，39900x =．······4分 （2）一对夫妇中，原先的生育情况有以下5种：
第一胎生育的是双胞胎或多胞胎有100对，频率为11001
1000001000f =
=，······5分
男方、女方都愿意生育二孩的有50000对，频率为2500001
1000002
f =
=，······6分
男方愿意生育二胎女方不愿意生育二胎的有30000对，频率为3300003
10000010
f =
=，······7分
男方不愿意生育二胎女方愿意生育二胎的也有10000对，频率为4100001
10000010
f =
=，······8分
其余情形即男方、女方都不愿意生育二孩的有9900对，频率为5990099
1000001000
f ==，······9分
由题意可知随机变量ξ的可能取值为15000，25000，5000，
()11150001000P f ξ===，()23492500010
P f f f ξ==++=， ()599
50001000
P f ξ===
，······11分 所以随机变量ξ的概率分布表如下：
所以()199915000250005000230101000101000
E ξ=⨯
+⨯+⨯=（元）．····12分
20．（12分）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1,2P ⎛ ⎝⎭
在椭圆上，椭圆的左顶点为A ，左、
右焦点分别为12F F 、，1PAF △的面积是2POF △1倍．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于M ，N ，连接1MF ，1NF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，指出DE k 与k 之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）2
22
1x y +=；（2）3DE k k =． 【解析】（1
）由1,2P ⎛ ⎝⎭
在椭圆上，可得221112a b +=，······1分 由1PAF △的面积是2POF △
1
倍，可得
1a c
c
-=-
，即a =，······2分 又2
22a
b c =+
，可得a =1b =，1c =，
所以椭圆C 的方程为2
22
1x y +=．······4分 （2）设()00,M x y ，则()00,N x y --，直线00
1
:1x MD x y y +=
-，
代入22:12x C y +=，得()()2222
0000012210x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦，·
·····6分 因为220012
x y +=，代入化简得()()22
000021320x y x y y y -+-=+， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023
y y y x -+=，所以01023y y x -=+，01101
1x x y y +=-，·
·····8分 直线001:1x NE x y y -=
-，同理可得02023
y y x =-+，022011x x y y -=-，·
·····9分 所以()1212120000121212
121200000012
1
DE y y y y y y k x x y y y y y y y y y y y y ---=
===
---++⋅- 0000
001
33416y k x x x y y =
=⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭
，
所以3DE k k =．······12分
21．（12分）设函数()()()2
ln 10f x x a x a =-+>．
（1）证明：当2
e
a ≤
时，()0f x ≥；
（2）判断函数()f x 有几个不同的零点，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①当2e a =时，有唯一的零点；②当20e a <<时，不存在零点；③当2
e
a >时，有2个不同的零点．
【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，令()2220a x a
f x x x x -'=-==，则x =······1分
所以当x ⎛
∈ ⎝时，()0f x '<，当x ⎫∈∞⎪⎪⎭
时，()0f x '>，······2分
所以()f x 的最小值为=ln 122a a f ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭，······3分
当20e a <≤
时，1
ln 1ln 102e
a +≤+=，所以=ln 1022a a f ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 所以()0f x ≥成立．······4分 （2）①当2
e a =
时，由（1）得，()()2
2ln 1e f x x x =-+的最小值为0f =， 即()()2
2ln 1
e f x x x =-
+有唯一的零点x =；······6分
②当20e
a <<
时，由（1）得，()()2
ln 1f x x a x =-+的最小值为=ln 122a a f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，
且=ln 1022a a f ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()2
ln 1f x x a x =-+不存在零点；······8分
③当2
e
a >
时，()f x 的最小值=ln 1022a a f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，
又
1e <211
=0e e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在⎛ ⎝上有唯一的零点，······9分
又当2e a >
时，a >()()()2=ln 1=ln 1f a a a a a a a -+--， 令()=ln 1g a a a --，()11
=1a g a a a
-'-
=，
()=0g a '，得1a =，可知()g a 在2
,1e
⎛⎫
⎪⎝
⎭
上递减，在()1,+∞上递增，
所以()()10g a g ≥=，所以()0f a ≥，所以函数()f x
在⎫
∞⎪⎪
⎭
上有唯一的零点， 所以，当2
e
a >
时，()f x 有2个不同的零点，······11分 综上所述，①当2e a =
时，有唯一的零点；②当2
0e
a <<时，不存在零点； ③当2
e
a >
时，有2个不同的零点．·······12分 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程是2cos x y θ
θ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以射线Ox 为
极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-=．
（1）将曲线C 的参数方程化成普通方程，将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．
【答案】（1）22143x y +=
，0x y -=；（2
【解析】（1）曲线C 的参数方程化成直角坐标方程为22
143
x y +=，·····2分 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l
的直角坐标方程为0x y -．·····4分 （2）直线l 的倾斜角为4
π
，过点，
所以直线l
化成参数方程为cos 4sin 4x t y t π⎧=⎪⎪⎨π⎪=⎪⎩
，即2
x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），·····5分
代入22
143
x y +=得，2760t +-=，·
····6分
247(6)3840∆-⨯⨯-=>，
设方程的两根是1t ，2t ，则127
t t +=-
，1267t t =-，·····8分
所以12AB t t =-===
．·····10分 【选修4-5：不等式选讲】
23．（10分）已知函数()212f x x a x a =+-+-（a 为正实数），()()
2
2
4
241g x x x x =--+
-．
（1）若()
2
2141f a a ->-，求实数a 的取值范围；
（2）若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()1,+∞；（2）(]0,2．
【解析】（1）∵()
22141f a a ->-，∴2222141a a a a -+->-，
∴()
12141a a a a -++>-，∴214a a ++>且1a ≠，·····2分
因为0a >，所以214a a ++>且1a ≠，1a ∴>，所以a 的取值范围是()1,+∞．·····4分
（2）∵()()()
2
2
4
15511g x x x =-+-≥=--，显然可取等号，
∴()min 1g x =-，·····6分
所以若存在实数x ，y ，使()()0f x g y +≤，只需使()min 1f x ≤，·····8分 又()()(
)()
2
2
2
12121f x x a x a x a x a
a =+-+-≥+---=-，
()2
11a ∴-≤，111a ∴-≤-≤，因为0a >，所以实数a 的取值范围是(]0,2．·····10分。