人教A版高中数学必修一课时达标作业3.1.2用二分法求方程的近似解

课时提升作业(二十四)
用二分法求方程的近似解
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
【解析】选D.题中图象与x轴有4个交点,所以解的个数为4;左、右函数值异号的有3个零点,所以可以用二分法求解的个数为3.
2.为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值,如下表所示:
则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为()
A.1.32
B.1.39
C.1.4
D.1.3
【解析】选C.由图表可知,函数f(x)=2x+3x-7的零点介于1.375到1.4375之间,故方程2x+3x=7的近似解也介于1.375到1.4375之间,由于精确到0.1,结合选项可知1.4符合题意,故选C.
3.下列是关于函数y=f(x),x∈[a,b]的几种说法:
①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值.
那么以上叙述中,正确的个数为()
A.0
B.1
C.3
D.4
【解析】选A.因为①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,
所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),
所以①错误;②因为函数f(x)不一定连续,
所以②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以③错误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以④也错误.
4.(2014·石家庄高一检测)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是()
A.[-2,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
【解析】选A.由于f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,故可以取区间[-2,1]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算.
5.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.()
A.(0,0.5),f(0.25)
B.(0,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75)
D.(0,0.5),f(0.125)
【解析】选 A.因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以函数零点所在区间为(0,0.5),第二次应计算x==0.25的函数值,故选A.
【举一反三】本题条件不变,试问第二次计算后零点所在的区间是.
【解析】因为f(0.25)=0.253+3×0.25-1=-<0,又f(0.5)>0,所以第二次计算后零点所在的区间是(0.25,0.5).
答案:(0.25,0.5)
6.若函数f(x)在[a,b]上连续,且同时满足f(a)·f(b)<0,f(a)·f>0,则
()
A.f(x)在上有零点
B.f(x)在上有零点
C.f(x)在上无零点
D.f(x)在上无零点
【解析】选B.由已知可知f(b)·f<0,故在区间上有零点.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.函数f(x)=x3-3x+5的零点所在长度为1的一个端点为整数的区间为.
【解析】因为f(-2)=-8+6+5=3>0,
f(-3)=-27+9+5=-13<0,所以f(x)的零点所在长度为1的一个端点为整数的区间为[-3,-2].
答案:[-3,-2]
8.(2014·安阳高一检测)用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解(精确度0.01)为.
【解析】由表可知f(1.5625)·f(1.5562)<0,且1.5625-1.5562=0.0063<0.01,故方程3x-x-4=0的一个近似解为1.56.
答案:1.56
9.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似解,经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈(填区间).
【解析】因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.
答案:(2,3)
【举一反三】本题条件“f(2)·f(x1)<0”改为“f(2)·f(x1)>0”,则此时零点x0∈(填区间).
【解析】因为f(2)·f(3)>0,所以f(3)·f(4)<0,
所以零点在区间(3,4)内.
答案:(3,4)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点(精确度0.1).
【解析】由于f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)是连续的增函数,所以函数在区间(1,2)内有唯一零点,不妨设为x0,则x0∈(1,2).下面用二分法求解:
因为f(1.1875)·f(1.25)<0,且|1.1875-1.25|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6精确度为0.1的零点可取为1.25.
11.用二分法求f(x)=x3+x2-2x-2在x轴正半轴上的一个零点(精确度0.1).
【解析】显然f(2)=23+22-2×2-2=6>0.
当x>2时,f(x)>0,又f(0)=-2<0,f(1)=-2<0,
故f(x)在区间(1,2)内有零点.
因为f(1.375)·f(1.4375)<0,且|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,
故f(x)=x3+x2-2x-2的近似零点为x=1.4.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是()
A.[1,4]
B.[-2,1]
C.
D.
【解析】选D.由于第一次所取的区间为[-2,4],
所以第二次所取区间为[-2,1]或[1,4],
第三次所取区间为,,或.
2.(2014·浏阳高一检测)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[a n,b n](n∈N)上,当
|a n-b n|<m时,函数的零点近似值x0=与真实零点a的误差最大不超过()
A. B. C.m
D.2m
【解析】选B.因为取中点,故零点的近似值与真实零点的误差最大不超过区间长度的一半即
.
3.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()
A.0.65
B.0.74
C.0.7
D.0.6
【解析】选C.因为f(0.72)>0,f(0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)内,又零点是精确度为0.1的正实数,所以为0.7.
4.(2014·长春高一检测)用二分法求方程x3-8.5=0在区间(2,3)内的近似解,经过次“二分”后精确度能达到0.01.()
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选C.设n次“二分”后精确度达到0.01,因为区间(2,3)的长度为1,所以<0.01,即2n>100,注意到26=64<100,27=128>100,故要经过7次“二分”后精确度达到0.01.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.用二分法求f(x)=0的近似解,f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)=-0.984,
f(1.375)=-0.260,下一个求f(m),则m=.
【解析】由于f(1.5)>0,f(1.375)<0,故下一个应求
f(1.4375),故m=1.4375.
答案:1.4375
6.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.
【解题指南】不能用二分法求出的零点一定是不变号零点,而二次函数的零点为不变号零点,需Δ=0.
【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.
答案:a2=4b
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.求的近似值(精确度0.1).
【解析】令=x,则x3=2,令f(x)=x3-2,则就是函数f(x)=x3-2的零点,因为f(1)=-1<0,f(2)=6>0,所以可取初始区间为[1,2],用二分法计算,列表如下:
至此,得到区间[1.25,1.3125]的区间长度为0.0625<0.1,因此可取区间[1.25,1.3125]内的任意一个数作为函数f(x)的零点,不妨取1.3125,即≈1.3125.
【方法锦囊】用二分法求无理数的近似值
二分法是一种非常重要的方法,其体现的逼近思想经常会得到应用.在碰到求解某无理数的近似值时,我们应先将此无理数看作某方程的解,然后构造其对应的函数,通过二分法去逼近其近似值,这一过程既体现了转化的数学思想,又体现了逼近的数学思想,值得我们好好把握. 8.利用计算器,求方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1).
【解析】作出y=lgx,y=2-x的图象,可以发现,方程lgx=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.设f(x)=lgx+x-2,用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2);
f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2);
f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.8125)>0⇒x0∈(1.75,1.8125); 因为|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,
所以方程的近似解可取为1.8125.。