浙江省温州中学2016年奥赛班数学能力评估四必修二 含答案 精品
浙江省温州中学2016年高一数学奥林匹克检测二 含答案
2016.102016年温州中学数学奥林匹克检测二[ MATHEMATICS ]（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，第1题15分，第2题25分，计40分）I .在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？检测范围：集合、函数、数列、三角、不等式、向量、立体、平面几何第I 题II .⑴ 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？⑵ 如图，在锐角ABC ∆中，AC AB >，M 为边BC 的中点，I 为内心，MI与边AC 交于点D ，BI 与ABC ∆的外接圆交于另一点E ．证明：IBICEI ED =．第二部分（共2大题，计160分）第II 题一、填空题（共26小题，每题5分，计130分）．1. 若A a ∈且A a ∉-1，A a ∉+1，则称a 为集合A 的孤立元素．那么，集合{}987654321，，，，，，，，=M 的无孤立元素的4元子集的个数为 ． 2. 已知函数()()()x b x a x f cos sin sin cos -=无零点，则22b a +的取值范围3. D 是满足0≥x ，0≥y ，[][]19≤+++y x y x的点()y x ,形成的区域(其中[]x 是不超过x 的最大整数)．则区域D 中整点的个数为 ． 4. 已知关于实数x 的函数()()()22cos 5cos 4sin 4sin θθ-+++=x x x f的最小值为()θg ．则实数θ变化时，()θg 的最大值为 ．5. 设[]10,，∈b a ，则()()b a ab b a S --++++=1111的值域为 ． 6. 设函数()()0382<++=a x ax x f ．对于给定的负数a ，有一个最大的正数()a l ，使得在整个区间()[]a l ，0上，不等式()5≤x f 都成立．则()a l 的最大值为 ．7. 已知四面体ABC P -的体积为1，G 、K 分别是ABC ∆、PBC ∆的重心，过G 作直线分别于AB 、AC 交于点M 、N ．则四棱锥MNCB K -体积的最大值为 ． 8. 设平面点集：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=02518,x y x y y x A ，()()(){}111,22≤-+-=y x y x B ，若()()B A y x ∈,，则y x -2的最小值为 ．9. 把从1到n ()1>n 这n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n 的最小值是 ．10. 设O 、A 、B 、C 是同一个平面上的四个点，使得OA =4，OB =32，OC =22．则A B C ∆面积的最大可能值为 ．11. 设()201021，，，⋅⋅⋅=∈+i x i R 且1201612015=∑=i i x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=20161201520141min i i i x x 的值为 ．12. 已知}654321654321 ，，，，，，，，，，：→f ，且{}654321，，，，，∈∀x ，均有()()()()x x f f f f =．则满足条件的f 的个数为 ．13. 已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC∆的垂心，且32=SA ，349=-ABC S V ．则二面角C AB H --的值为 ．14. 设非负数α、β、γ满足2πγβα=++，则函数()βαγαγβγβαγβαcos cos cos cos cos cos cos cos cos ++=，，f 的最小值为 ． 15. 设0>x ，对于函数[][]1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=x x x x x x y ， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，其值域为 ． 16. 二元函数()6sin sin 84cos 4cos 74cos 74cos ,22+-+++++=y x y x y x y x f的最大值为 ．17. 正数列{}n a 满足：n n n a S 41=，则n n a 2的值为 ．18. 在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，︒=∠30BAC ，点P 是ABC ∆所在平面上任意一点，则u ⋅+⋅+⋅=的最小值为 ． 19. 若D 是边长为1的正ABC ∆的边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的的内切圆半径分别为21,r r ，若5321=+r r ，则满足条件的点D 有两个，分别设为21,D D ，则21,D D 之间的距离为 ．20. 设40322=N ，则不超过∑=Nn n 11的最大整数为 ．21. 设A 是一个225元集，A 1,A 2,…,A 11为A 的11个45元子集，满足对任意的111≤<≤j i ，9=j i A A ．则1121A A A ⋅⋅⋅ 的最小值为 ． 22. 已知数列{}()0≥n a n 满足00=a ，对于所有*∈N n ，有()51113021+++=+n n n n a a a a ，则n a 的通项公式为 ．23. 设正数y x ，满足y x y x -=+33，则使122≤+λy x 恒成立的实数λ的最大值为 ．24. 若从空间一点最多可以引出n 条射线，使得其中每两条射线夹角均为钝角，则n 的值为 ．25. 对于2≥∈∀n n Z ，令n f 表示x nx sin sin =在区间[]π,0上不同解的个数，()n g 表示x nx cos cos =在区间[]π,0上不同解的个数，则()()()∑=-20172n n f n g 的值为 ． 26. 有理数a 、b 的十进制展开均是最小周期为30的循环小数．已知b a -、kb a +十进制展开小数的最小周期均为15．则正整数k 的最小可能值为 ．二、解答题（本大题分3小题，每题10分，计30分）．27. (本题满分10分)设N ∈x 满足2013201412013<⎪⎭⎫⎝⎛+x x ．数列201321a a a ，，，⋅⋅⋅是公差为2013x ，首项()11201221-+=x x a 的等差数列；数列201321b b b ，，，⋅⋅⋅是公比为x x+1，首项()201311x x b +=的等比数列，求证：20132012211b a b a b <<⋅⋅⋅<<<．28. (本题满分10分)求满足下列条件的最小正整数n ：若将集合{}n A ，，，，⋅⋅⋅=321任意划分为63个两两不相交的子集(它们非空且并集为集合A )1A ，2A ，3A ，…，63A ，则总存在两个正整数x ，y 属于同一个子集i A (163i ≤≤)且x y >，3132x y ≤．29. (本题满分10分)给定绝对值都不大于10的整数a ，b ，c ，三次多项式()c bx ax x x f +++=23满足条件()0001.032≤+f ． 试问：32+是否一定是这个多项式的根？2016年温州中学数学奥林匹克检测二 参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，第1题15分，第2题25分，计40分）I. 解 至少要如下图挖去14个小方格．如图，将8×8棋盘切为五个区域．中央部份的区域至少要挖去2个小方格才能使T 形的五方块放不进去．二个打叉的位置是不等同的位置，一个是在角落位置，另一个是内部位置，只挖去其中一个无法避免T 置入．对于在边界的四个全等的区域，每区域至少要挖去3个小方格才能使T 形的五方块放不进去．证明：以右上角的区域为例，下方T 部份必需挖去1个小方格，上方部份必需挖去打叉的位置的1个小方格．下方T 部份挖去的1个小方格有五种情况，但无论如何均可再置入一片T 形的五方块， 因此至少要挖去3个小方格．综合所有区域，对于T 型五方块至少要挖去3×4+2=14个小方格．(15分)II. ⑴解 不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤ ∠B ≤ ∠C ，则∠C =2∠A ，且a =2007．过C 作∠ACB 的内角平分线CD ，则∠BCD =∠A ，结合∠B =∠B ．可知ACB CDB ∆∆∽．所以，ACBC ABAC BC AD BD AC BC CD BD AC CD BC BD AB CB +=++=++===． 即c 2 =a ( a +b ) =2007 ( 2007+b )，这里2007 ≤ b ≤ c < 2007+b ． 由a ,b ,c 都是正整数可知2007|c 2 ，故3⋅223|c ，可设c =669m ， 则223m 2 =2007+b ，即20072232-=m b ，结合2007 ≤ b ，可得m ≥ 5． 另一方面，c ≥ b ，所以，669m ≥20072232-m ，这里要求m <5．矛盾！ 因此，满足条件的三角形不存在．(13分) ⑵ 解(12分)第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 212、 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡402π，3、 554、 495、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-125513，6、 251+ 7、2758、 -1 9、 15 10、 215 11、2015201620152016 12、 256 13、25 14、 30°或437arccos - 15、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡214565 ， 16、17、 nn 2cot22cot1ππ-+ 18、3522-19、5620、 222017- 21、 16522、 ()()n nn a 3021141302114121-+++-= 23、 2+24、 4 25、 -2016 26、 6 二、解答题（本大题分3小题，共60分）． 27、(10分)(可能有多种解法)解 首先， 201320122)1(1)1(x i x x a i -+-+=，………………………… 1分i i i i x x x x x x b --+=++=201412013)1()1()1(。
浙江省温州州市2016-2017学年高一数学奥林匹克选拔测试二Word版含答案
浙江省温州州市2016-2017学年高一数学奥林匹克选拔测试二（本卷满分：200分 考试时间：150分钟）（高一试卷）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.设集合{}6102，，，含的十进制表示中数码不x x A *∈=N ． 证明：31<∑∈A x x．II.如图，给定凸四边形ABCD ，︒<∠+∠180D B ，P 是平面上的动点，令()AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=．⑴ 求证：当()P f 达到最小值时，C B A P 、、、四点共圆；⑵ 设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：23=AB AE ，13-=EC BC ，ECA ECB ∠=∠21，又DC DA ，是O 的切线，2=AC ，求()P f 的最小值．第二部分（共2大题，计150分）第II 题一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1. 设5021a a a ，，，⋅⋅⋅，5021b b b ，，，⋅⋅⋅为互不相同的数，则关于x 的方程：∑∑==-=-501501i i i i b x a x 的所有有限个实根的个数最大值为 ． 2. 在平面直角坐标系中，点集()()(){}06363≤-+-+y x y x y x ，所对应的平面区域的面积3. 是一个高为 3，底面边长为 2 的正四棱锥，K 是棱SC 的中点，过AK 作平面与线段SB ，SD 分别交于M ，N (M ，N 可以是线段的端点)．则四棱锥AMKN S -的体积V 的值域为 ．4. 已知abc = -1，122=+cbc a ，则代数式555ca bc ab ++的值为 ．5. 在ABC ∆中，︒=∠60A ，点P 为ABC ∆所在平面上一点，使得PA =6，PB =7，PC =10，则ABC S ∆的最大值为 ．6. 在数列n a 中，11=a ，前n 项和为n S ，()1241≥+=+n a S n n ，则2013a 的值为 ．7. 用()s σ表示非空整数集S 中所有元素的和，设{}1121a a a A ，，，⋅⋅⋅=是正整数集，且1121a a a <⋅⋅⋅<<，若对每个正整数1500≤n ，存在A 的子集S ，使得()n s =σ，则满足上述要求的10a 的最小值为 ．8. 设z y x 、、是3个不全为零的实数，则2222z y x yzxy +++的最大值为 ．9. 实数a 使得对任意实数54321x x x x x ，，，，，不等式14151+==∑∑≥i i i i i x x a x 都成立，则a 的最大值为 ．10. 设()d cx bx ax x f +++=23对任意[]11，-⊆x ，总有()1≤x f ．则d c b a +++的最大值为 ．11. 两个平行平面α和β将四面体截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．则平面α和β截四面体所得的截面面积之比为 ．12. 空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ．13. 钝角ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且满足()C b B c a cos cos 2=-，()R ∈-+=λλC B C B A sin sin sin sin sin 222， 则λ的值域为 ．14. 若存在整数k ，使得kn n n ->+⎥⎦⎤⎢⎣⎡22313对所有正整数2≥n 恒成立，则k 的最大值为 ．ACDKSMN15. 有n 个砝码(重量可以相同)可以将它们分成4组，使得每组的重量之和相同；也可以将它们分成5组，使得每组的重量之和相同；还可以将它们分成9组，使得每组的重量之和相同．则n 的最小可能值为 ．三、解答题（本大题分3小题，每题20分，计60分）．16. (本题满分20分)证明：任意一个四面体总有一个顶点，由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边．17. (本题满分20分)正整数数列{}n a 满足：12211+-==+n n n a a a a ，．证明：数列的任何两项皆互质．18. (本题满分20分)求最小常数a >1，使得对正方形ABCD 内部任一点P ，都存在PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆中的某两个三角形，使得它们的面积之比属于区间][1a a ，-．浙江省温州州市2016-2017学年高一数学奥林匹克选拔测试二参考答案（本卷满分： 200 分）第一部分（共2小题，每题25分，计50分）I.II.解 ⑴ 如图，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有 PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅PB CA PD CA ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因上面不等式当且仅当P A B C 、、、顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅．又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()P f 取最小值min ()f P AC BD =⋅． 故当()P f 达最小值时，C B A P 、、、四点共圆．………………………10分⑵ 记 ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有 sin 2sin 3AE AB αα==2sin 2αα=，即34sin )4sin cos αααα-=，所以2cos )4cos 0αα--=，整理得 24cos 0αα-=，解得 cosα=cos α=舍去)，故 30α= ，60ACE ∠= ． ………………………………………15分由已知 1BCEC ==()0sin 30EAC EAC∠-∠,有 sin(30)1)sin EAC EAC ∠-=∠ ，即1cos 1)sin 2EAC EAC EAC ∠-∠=∠，整理得 21cos 22EAC EAC ∠=∠，故 tan 2EAC ∠==，可得 75EAC ∠= ，从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因 AC =，则1CD =．……………………………………20分 又ABC ∆也是等腰直角三角形，故 BC =212215BD =+-⋅= ，BD =故 min ()f P BD AC =⋅=25分第二部分（共2大题，计150分）一、填空题（共15小题，每题6分，计90分）．1、 492、 243、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2334，4、 35、 36+、 201223019⨯ 7、 248 8、 25 9、 332 10、 7 11、 134129 12、 11613、 ()()2301-，，14、 5 15、 14三、解答题（本大题分3小题，共60分）． 16、(20分)(可能有多种解法)证明 利用反证法．设四面体ABCD 中AB 是最长的棱，如果任一顶点出发的三条都不能构成一个三角形，则对由A 出发的三条棱，有AD AC AB +≥．又对由B 出发的三条棱，有 BD BC BA +≥． 两式相加，得BD BC AD AC AB +++≥2．(＊)(12分) 但在ABC ∆与ABD ∆中，有BC AC AB +<，BD AD AB +<． 两式相加，有BD BC AD AC AB +++<2．与(＊)式矛盾，故原命题得证．(20分)17、(20分)(可能有多种解法)证明 改写条件为()111-=-+n n n a a a ，(8分)从而 ()1111-=---n n n a a a ，……， 据此迭代得()1111-=--+n n n n a a a a()1221-=---n n n n a a a a ()1111-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-a a a a n n 11a a a n n ⋅⋅⋅=-，所以，1121+⋅⋅⋅=--a a a a n n n ， 因此当k n <，()1=k n a a ，．(20分)18、(20分)(可能有多种解法)解min a =．首先证明min a ≤，记ϕ=对正方形ABCD 内部一点P ，令1S ，2S ，3S ，4S 分别表示PAB ∆，PBC ∆，PCD ∆，PDA ∆的面积，不妨设1243S S S S ≥≥≥．令1224,S SS S λμ==，如果,λμϕ>，由13241S S S S +=+=， 得221S S μ=-，得21S μμ=+． 故2121111111S S λμλϕϕλμϕμϕ===>==++++，矛盾． 故{}min ,λμϕ≤，这表明min a ϕ≤．(12分)反过来对于任意(1,)a ϕ∈，取定(,t a ∈，使得2819t b t =>+． 我们在正方形ABCD 内取点P ，使得12342,,,1b bS b S S S b t t====-，则我们有12231(,2S S t a S S +==∈，3242,(1)4(1)S b b a S t b b =>>>-- 由此我们得到对任意{},1,2,3,4i j ∈，有1[,]ijS a a S -∉． 这表明min a ϕ=．(20分)。
2016.4温州市高三二模数学(理科)试题参考答案
3 5 2 4 ，…， 2n 1 2n 1 2 2n
2( 1 3 2n 1 2n 1) (1 2n 1) 2( 2 4 2n )
3 f min ( x) f max ( x) f (2) f (0) 3a b a b 2a a 2 b …………………………14 分 4 均符合题意 a b b 综上所述： 4 2 或 2 …………………………15 分 a a
2 3 3 x， 3 3
10. 2 ， 13．1
6
11. 3n 15 ， 30 14. [0, ]
12. 0 ， (
2 2 ,0) ( , ] 3 3
9 2
15.
5 4
三、解答题：本大题共 5 小题，共 7４分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16． （本题 14 分）解： （Ⅰ）由 AB AC BA BC 得： AB ( AC BC ) 0 即 ( AC BC ) ( AC BC ) | AC |2 | BC |2 0
b 0 符合题意 a
………………………12 分
由
得： 2
③当 1
b b 2 即 4 2 时， 2a a b b f ( x) 在 [0, ] 上递减，在 [ , 2] 上递增且 f (0) f (2) 2a 2a
f min ( x) f max ( x) f ( b2 3 2a 2b a 4a 2
2 1 1 2 2
5 10 , ] 3 4
…………………………………14 分
cos
[2,3] cos [
…………………………………15 分
2016-2017学年高中数学苏教版选修4-4阶段综合测评2 含解析
阶段综合测评(二)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上）1．已知动圆：x2＋y2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a，b是正常数，a≠b，θ是参数），那么圆心的轨迹是________．【答案】椭圆2．圆错误!的圆心坐标是________．【解析】消去参数θ，得圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2）．【答案】（0,2）3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为错误!错误!和错误!（t为参数),则曲线C1与C2的交点坐标为________．【解析】C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0）．C2的普通方程为x－y－1＝0。
解方程组错误!得错误!∴C1与C2的交点坐标为（2,1)．【答案】（2，1）4．直线错误!上对应t＝0和t＝1两点间的距离是________．【答案】错误!5．方程错误!分别以t为参数（t≠0）和θ为参数，得到两条曲线,则这两条曲线公共点的个数是________．【答案】2个6．已知点P(x,y）在椭圆错误!＋y2＝1上，则2x＋y的最大值________．【解析】设x＝2cos θ,y＝sin θ（0≤θ＜2π），2x＋y＝4cos θ＋sin θ＝错误!sin（θ＋φ),所以2x＋y最大值为错误!.【答案】错误!7．直线错误!（t为参数）过定点________．【答案】（3，－1）8．直角坐标系xOy中,以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A,B分别在曲线C1：错误!(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则AB的最小值为________．【解析】曲线C1的方程是（x－3）2＋(y－4）2＝1,曲线C2的方程是x2＋y2＝1，两圆外离，所以AB的最小值为错误!－1－1＝3。
【答案】39．过曲线错误!（θ为参数,0≤θ≤π）上一点P和原点连线的倾斜角为错误!，则点P的坐标为________．【解析】由于错误!＝错误!＝tan错误!＝1，所以tan θ＝错误!，cos θ＝错误!,sin θ＝错误!，点P的坐标为（错误!，12）．5【答案】（错误!，错误!)10．直线错误!（t为参数)与圆错误!（θ为参数）相交，弦长为________．【解析】圆的普通方程为x2＋y2＝5,将错误!代入上式，得5t2－24t＋16＝0，｜t1－t2｜＝错误!＝错误!，所以相交弦长为错误!|t1－t2|＝错误!错误!。
2016-2017学年高中数学人教B版必修四 章末综合测评2
章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A.(－7，－4)B.(7,4)C.(－1,4)D.(1,4)【解析】 法一：设C (x ，y )， 则AC →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4).故选A. 法二：AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4). 故选A. 【答案】 A2.(2015·福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A.－32B.－53C.53D.32 【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k,2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3.(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2 B.－34a 2 C.34a 2D.32a 2【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D. 【答案】 D4.(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A.|a·b |≤|a ||b | B.|a －b |≤||a |－|b || C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D.(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立.当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立.根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立.根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立.【答案】 B5.(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π. 【答案】 C6.(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )【导学号：72010074】A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →，故选D.【答案】 D7.(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( ) A.0 B.2 C.5D.25【解析】 因为a ＝(2,1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b|＝50，∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50， 即5＋2×10＋|b|2＝50， 所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )图1A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43bD.－23a ＋43b【解析】 BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b . 【答案】 B9.(2016·景德镇期末)设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A.150°B.120°C.60°D.30°【解析】 设向量a ，b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B. 【答案】 B10.(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A.3B.2C.32D.33【解析】 设AE →与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD →∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图： ∵AE →·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|A E →|·cos θ＝33，∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1，∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2. 【答案】 B11.(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A.(－3,0)B.(3,0)C.(2,0)D.(4,0)【解析】 设P (x,0)，则有 AP →·BP →＝(x －2,0－2)·(x －4,0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1， 此时P 点坐标为(3,0). 【答案】 B12.(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12 B.23 C.56D.712【解析】 如图：∠BAD ＝120°，|AB →|＝|AD →|＝2.AF →·AE →＝(AD →＋DF →)(AB →＋BE →) ＝(AD →＋μDC →)(AB →＋λBC →) ＝(AD →＋μAB →)(AB →＋λAD →) ＝λAD →2＋μAB →2＋(λμ＋1)AD →·AB → ＝4(λ＋μ)＋(λμ＋1)×4×cos 120° ＝4(λ＋μ)－2(λμ＋1)＝1， 即2λμ－4(λ＋μ)＋3＝0，①由CE →·CF →＝(CB →＋BE →)(CD →＋DF →)＝(λ－1)·(μ－1)·BC →·DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23， 所以有λμ＝λ＋μ－23，代入①得 2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ－23－4(λ＋μ)＋3＝0， 解得λ＋μ＝56. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【解析】 因为OA →＝(1，－3)，又|OA →|＝10＝|OB →|， 又OA →·OB →＝0，所以∠AOB ＝90°，所以△AOB 为等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5. 【答案】 2 514.(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】 －315.(2015·湖北高考)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 【解析】 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA →·OB →＝OA 2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9.【答案】 916.(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【解析】 ∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围.【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角). 因为0°<θ<120°， 所以－12<cos θ<1， 所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5).18.(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3).(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 【解】 (1)当m ＝8时，OC →＝(8,3)， 设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →.(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形， 则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)， 则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19.(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积.【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0， 所以AB →⊥AD →，又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形， 又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形.所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20.(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值.【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.21.(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6. 22.(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b|＝3|a －k b |(k >0，k ∈R ).(1)求a·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值. 【解】 (1)由已知|k a ＋b|＝3|a －k b |， 有|k a ＋b|2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 由|a|＝|b|＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2， 所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k (k >0).(2)因为a∥b，k>0，所以a·b＝k2＋14k>0，则a与b同向.因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，即k2＋14k＝1，整理得k2－4k＋1＝0，所以k＝2±3，所以当k＝2±3时，a∥b.(3)设a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝a·b＝k2＋14k＝14⎝⎛⎭⎪⎫k＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫k－1k2＋2.当k＝1k，即k＝1时，cos θ取最小值12，又0≤θ≤π，所以θ＝π3，即向量a与b夹角的最大值为π3.。
人教版高中数学选修4-4评估验收卷(二)含解析.doc
评估验收卷（二）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）卜=-1-当，1.下列点不在直线彳庆（t为参数）上的是（A. （—1, 2）C・（3, -2）B. （2, -1）D・（一3, 2）解析：直线/的普通方程为x +厂1 = 0 ,因此点（-3 r 2）的坐标不适合方程x + y - 1 = 0.答案:D两点，则4B的中点坐标为（）A. （3, -3）B・（一羽,3）C・（^3, 3）D・（3, 一萌）|x= 1 + #解析：把| （t为参数）代入X2+/=16中，得1J = （• 3+刃（t为参数）和圆X2+/=16交于A9 B2.直线-3t += 16 ,即"-8r+12 = 0.设A , B 对应的参数分别为ti r t 2 f 则6 + ^ = 8,办+鮎所以AB 的中点对应的参数t =七」=4x=1+^x 4 = 3,y= - 3书 + 普X4=-羽,即AB 的中点坐标为（3，■曲・答案：D解析：消参可得x 2-/ = l z又+ a $1，当且仅当八+时““成立，所以xW-1或x21，该曲线为双曲线. 所以 3・已知某曲线的参数方程是 X=2l a+«J ,（其中a 是参数），则 该曲线是（）A.线段B.圆C.双曲线D.圆的一部分x=rcos qh尸罰0 W 是参数）的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.视尸的大小而定 y=答案:C4.设Q0,那么直线xcos ^+j^sin 0=r 与圆解析：易知圆的圆心在原点，半径是r ,则圆心（0 , 0倒直线的 |0 + 0 - r| 距离为卄巫祐需rr,恰好等于圆的半径,所以直线和圆相答案:BC 到直线kx-\-y+4=0的距离最大时，％的值为()5.直线/的参数方程为 x=a-ht,v=b+t ((为参数)，/上的点B 对应的参数是G 则点鬥与点P(“，方)之间的距离是()C.V2|6| B ・ 2|6|D.^Fil解析：点几与点P 之间的距离为^/(a + Zi-a)2+ (/F + ^- A)2 =心 + 彳=迈|心|・ 答案:Cx=r (cos (p-\-(ps\n (p}, y=r (sin 。
最新奥赛数学总结评估试题+Word版含答案
2016学年温州中学奥赛总结评估{ M A T H E M A T I C S } （本卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．1. 设函数()()()[)⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈-∞-∈--=，，，，2221211x x f x x x f ，则函数()()1-=x xf x F 的零点个数为 ．2. 已知双曲线C ：()0012222>>=-b a by a x ，，1F ，2F 分别为C 的左右焦点．P 为C 右支上一点，且使12=3F PF π∠，又21PF F ∆的面积为2．设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，若存在常数()0λλ>，使得22=QF A QAF λ∠∠恒成立，则λ的值为 ． 3. 现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，则出错的数据是 ． 4. 设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值为 ．5. 已知三棱锥BCD A -，DA ，DB ，DC 两两垂直，且 CAD BAC DAB ∠+∠+∠ ︒=90，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 ．6. 设ω为正实数，若存在实数()ππ2≤<≤b a b a ，，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ．7.正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同的顶点j i A A 、，1≥+的概率为 ． 8. 已知0a >，0b >，0c >，则5823232b c a c b ca b b c c a++++++++的最小值为 ． 9. 已知r z =，1>r ，则1z z+在复平面内的轨迹的焦距为 ．10. 已知{}1691≤≤∈∈i i c b a N ，，()c b a <<，且a ，b ，c 构成以整数为公比的递增等比数列，则()c b a ，，的组数为 ．2017年1月班级：姓名：（模拟）A 二、解答题（本大题分4小题，每题20分，计80分）． 11. ⑴ 如图，弧AEC 是半径为a 的半圆，AC为直径，点E 为弧AC 的中点，点B和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F满足FB FD ==，FE =．已知点,Q R 分别为线段,FE FB 上的点，使得λ=，λ=，求当RD 最短时，平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．⑵ 如图ABC ∆为正三角形，且2BC CD ==，CD BC ⊥，将ABC ∆沿BC 翻折．若点A的射影在BCD ∆内，且AB 与面ACD 所成的角的正弦值为11，求AD 的长．12. 设1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆，C 是平面上的一个动圆．若C 和1C ，2C 都相切，则C 的圆心轨迹是何种曲线？13. ⑴ 已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值．⑵ 已知0a >，函数()ln (1),()x f x x a x g x e =--=．(Ⅰ) 经过原点分别作曲线()y f x =和()y g x =的切线1l 和2l ．已知两切线的斜率互为倒数，求证：211e e a e e--<<． (Ⅱ) 设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围．14. 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次，以 p n 表示未出现连续 3 次正面的概率．(Ⅰ) 求p 1，p 2，p 3，p 4；(Ⅱ) 探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；第11题⑵(Ⅲ) 讨论数列{ p n}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．2017年1月 奥赛总结 Mathematics 评估试题 < 答题卷 > 制备人：2016学年 奥赛总结评估[ MATHEMATICS Examination paper reference answer ]（本卷满分： 150 分）一、填空题（共10小题，每题7分，计70分）．1、 62、 23、 ()()83， 41-5、 316、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎪⎭⎫⎢⎣⎡，，4132549 7、10076718、 6 9、 4 10、 91F二、解答题（本大题分4小题，共80分）． 11、(10+10=20分)(可能有多种解法)⑴ 解法一：如图，以B 为原点，BE为x 轴正方向，过B 作平面BEC 的垂线，建立空间直角坐标系，由此得(0,0,0)B ，(0,,0)C a ，(0,2,0)D a ，(,0,0).E a∵,,FD FB BC CD ==∴.FC BD ⊥ ∴2.FC a =当RD FB ⊥时，RD 最短. 此时RD == BR ∴=35λ∴=.∵33,,55FQ FE FR FB == ∴24(0,),5R a 33(,0,0).55RQ BE a == ∴8(0,5RD = 设平面RQD 的法向量为1(,,n x y z =则10,n RD ⋅= 10,n RQ ⋅= ∴1(0,1n =∵平面BED 的法向量为2n =∴12cos ,5n n = ∴12sin ,5n n = ∴平面BED 与平面RQD 解法二：（确定二面角的平面角—综合方法一）过D 作HD ∥QR .∵,,FQ FE FR FB λλ==∴QR ∥.EB ∴HD ∥.EB∵D ∈平面BED 平面RQD ， ∴HD 为平面BED 与平面RQD 的交线.∵,BD RD ⊂平面,BDF EB ⊥平面BDF ，∴,.HD BD HD RD ⊥⊥ ∴RDB ∠为平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角.xzyBRD ∆是直角三角形，5sin 2BR BDR BD a ∴∠===(10分)(10分)12、(20分)(可能有多种解法)（1）两定圆1C ，2C 外离 (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>，则可知C 的圆心轨迹是以点12,O O 为焦点，12r r -为实轴长的双曲线的一支（内切时是双曲线另一支如图1）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线如图2）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，具体地，比如与圆1C 内切，圆2C 外切那么212112OO OO r r OO -=+<，则C 的圆心轨迹是双曲线一支（离2O 较远的一支）；反之，则是双曲线的另一支（离1O 较远的一支）（如图3）.（2）两定圆1C ，2C 外切 (4分)①若C 与1C ，2C 都外切，那么21211212()OO OO r r OO r r -=-<>，则C 的圆心轨迹是双曲线的一支（内切时为双曲线另一支如图4）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，具体地，比如与圆1C 外切切，圆2C 内切，则11OO r r =+，22OO r r =-.当220OO r r =->时，即圆2C 内切于动圆C 时，121212OO OO r r OO -=+=，所求轨迹是从以点2O 为端点的一条射线；当220OO r r =->时，即动圆C 内切于圆2C 时，121212OO OO r r OO +=+=，所求轨迹是不含端点的线段12O O .反之，所求轨迹是以点1O 为端点的一条射线和线段12O O .综上可知若圆与1C ，2C 一个外切，一个内切时，所求轨迹是不含点1O 和2O 的直线12O O .（3）两定圆1C ，2C 相交 (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，那么12121212()OO OO r r OO r r -=-<>，则C 的圆心轨迹是双曲线的一支（内切时为双曲线另一支如图5）.（21r r =时C 的圆心轨迹是12O O 的垂直平分线不含两定圆的交点）.② 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，那么211212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图6）.（4）两定圆1C ，2C 内切（由于圆1C ，2C 不重合则21r r ≠） (4分)① 若C 与1C ，2C 都外切，则121212OO OO r r OO -=-=，所求C 的圆心轨迹是一条射线.② 若C 与1C ，2C 都内切，则212112OO OO r r OO -=-=，所求C 的圆心轨迹是一条射线.③ 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，那么121212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图7）.（5）两定圆1C ，2C 内含（由于圆1C ，2C 不重合则21r r ≠） (4分)① 若两定圆的圆心1O ，2O 重合，则所求轨迹为以1O （或2O ）为圆心，122r r+为半径的圆.② 若两定圆的圆心1O ，2O 不重合，则分以下两种情况： 若C 与1C ，2C 都内切（不存在外切情况），那么122112OO OO r r OO +=->，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，21r r -为长轴长的椭圆.③ 若C 与1C ，2C 一个外切，一个内切，只可能与大圆1C 内切，与小圆2C 外切，那么121212OO OO r r OO +=+>，则C 的圆心轨迹是以点1O ，2O 为焦点，12r r +为长轴长的椭圆（如图8）.综上所述，动圆C 的圆心轨迹可以是双曲线、直线、椭圆、射线. 13、(20分)(可能有多种解法)（1）解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以 38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.解法二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则 11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为 38.(6分)（2）(Ⅰ)(8分) (Ⅱ)(6分) 14、(20分)(可能有多种解法)(Ⅰ)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ； 又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正 或 正正正反 或 反正正正，故161316314=-=p . (2分)(Ⅱ)共分三种情况：① 如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；② 如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③ 如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P .综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④(8分)(Ⅲ)由(Ⅱ)知 =-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有 =n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ）所以5≥n 时，p n 的单调递减， 又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p .(6分)其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.(4分)。
必修4第二次月考试卷(含答题卡、答案、评分标准)
长乐*中*校2015-2016学年下学期第二次月考试卷 高一数学 2016-5-27一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．手表时针走过2小时，时针转过的角度为（ ） A 60B —60C 30D —302．0tan 600的值是（ ）A 3-B3C3．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是（ ） A,2,44ππ B 4,2,4ππ--C 4,2,4ππD 2,2,4ππ4.若α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是（ ）A sin α=sin βB cos α=cos βC tan α=tan βD tan α·tan β=1 5. 已知(02)ααπ<<的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么α的值为（ ）A14π或34π B 54π或74π C4π或54π D4π或74π 6．要得到y=sin(2x － π3)的图象，只需将y=sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位7．已知函数sin()y A x b ϖϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πϖϕ>><，则（ ） A 4A = B.1ϖ= C 6πϕ=D 4b =8. 同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数”的一个函数是 （ ）A y ＝sin(26x π+)B y ＝cos(2x ＋3π)C y ＝sin(2x －6π)D y ＝cos(2x －6π)9．若1sin cos ,0,tan 5αααπα+=-<<且则的值是（ ） A 3443或-- B 43 C 43- D 34- 10．在下列四个函数中，在区间02（，）π上为增函数，且以π为最小正周期的偶函数是（ ） A y=tanx B y=sin|x| C y=cos2x D y=|sinx|11．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ）A ．B ． C. D.12．函数cos()23x y π=--的单调递增区间是（ ） A 422,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B 424,4()33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C 282,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D 284,4()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13．设扇形的半径长为4cm ，面积为28cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 14．与02002-终边相同的最小正角是_______________。
浙江省温州中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案
温州中学2016学年第二学期高二期中考试数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：柱体的体积公式：V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π=其中R 表示球的半径 第I 卷(选择题 共30分)一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。
） 1．设.R a ∈则”“0112<+--a a a 是“1<a ”成立的（ ▲ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件 2．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m N n N =++++++=∈∈，则集合A中的元素个数是（ ▲ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019 3．在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，若1566AP AD AB =+，则()BC tPB t R +∈的取值范围是（ ▲ ）A ．[1,)+∞B ．)+∞C ．D ． )+∞4．设,m n 是两条异面直线，下列命题中正确的是 （ ▲ ） A ．过m 且与n 平行的平面有且只有一个 B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 C ．m 与n 所成的角的范围是()π，0D ．过空间一点P 与m 、n 均平行的的平面有且只有一个5．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=-是（ ▲ ）A ．奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．偶函数且图像关于点(,0)2π对称6．设实数c b a ,,满足,0)(252⎪⎩⎪⎨⎧>=+≥a ac b c a b 若b a c b a +++485的最大值和最小值分别为m M ,，则m M +的值为（ ▲ ）A ．9B ．332C ．349D ．197．点F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，l 是准线，A 是抛物线在第一象限内的点，直线AF 的倾斜角为60，AB l ⊥于B ，ABF ∆p 的值为（ ▲ ）A．2B ．1 CD ．38．定义点),(00y x P 到直线)0(0:22≠+=++b a c by ax l 的有向距离为：2200ba c by ax d +++=.已知点1P 、2P 到直线l 的有向距离分别是1d 、2d .以下命题正确的是（ ▲ ）A ．若121d d ==，则直线1P 2P 与直线l 平行B ．若121,1d d ==-，则直线1P 2P 与直线l 垂直C ．若120d d +=，则直线1P 2P 与直线l 垂直D ．若120d d ⋅≤，则直线1P 2P 与直线l 相交9．已知数列{}n a 的通项公式为52nn a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设,,,,n n n n n nn b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ▲ ）A ．45-≤≤-kB ．34-≤≤-kC ．35-≤≤-kD ．4-=k10．已知函数()x f 为R上的奇函数，当0>x 时，)cos 3cos 2cos (21)(ααα++++=x x x f (παπ≤≤-),若对任意实数恒成立都有)()3(,x f x f R x ≤-∈,则实数α取值范围是（ ▲ ）A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,ππ B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,65ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32ππ第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题（本题共7道小题，多空题每题4分，单空题每题3分，共25分） 11．一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ． 12．函数44()sin cos f x x x =+的最小正周期是 ▲ ；单调递增区间是 ▲ .13．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为▲ ，_____21的取值范围-+x y ▲ . 14．已知4316a b a -=，21log a a b+=，则a = ▲ ；b = ▲ .15．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()4,25R λμλμ=∈，则双曲线的离心率e 的值是 ▲ . 16．已知点()()1,0,1,0A m B m -+，若圆C :2288310x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB ⋅=，则正实数．．．m 的最小值为 ▲ ．17．记集合{}8,6,4,2,0=P ,{}P a a a a a a m m Q ∈++==321321,,,10100，将集合Q 中的所有元素排成一个递增数列，则此数列第68项是 ▲三、解答题（本大题共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 18．（8分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin A C a b A B c --=+，7b =，21cos 28C =．（Ⅰ）求B ，a 的值；（Ⅱ）若6A π>，如图，D 为边BC 中点，P 是边AB 上动点，求CP PD +的最小值．19．（9分）已知f n (x)=a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n ，且f n (-1)= (-1)n·n ，n=1，2，3，….A BCDP第16题图(Ⅰ) 求321,,a a a ；(Ⅱ) 求数列{n a }的通项公式；(Ⅲ) 当7k >且N*k ∈时，证明：对任意n ∈N *都有2312121212121>+⋯++++++-++nk n n n a a a a 成立．20．（9分）如图，在正三棱柱DEF ABC —中，.1,2==AD AB P 是CF 的沿长线上一点，.t FP =过P B A ,,三点的平面交FD 于M ，交FE 于.N（Ⅰ）求证：MN ∥平面CDE ；（Ⅱ）当平面⊥PAB 平面CDE 时，求t 的值.21．（9分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为12，直线1y =与C 46. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分别过12F F 、作12l l 、满足12l l //，设12l l 、与C 的上半部分分别交于A B 、两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.22．（10分）已知函数2()f x ax x x b =+-（1）当1-=b 时，若不等式()21f x x --≥恒成立，求实数a 的最小值； （2）若0<a ，且对任意[]2,1∈b ，总存在实数m ，使方程1()4f x m -=在[]3,3-上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围．命题老师：吴绍泽、王聪聪 审题老师：赵大藏NMPFDCA20题温州中学2016学年第二学期高二期中考试数学答案及评分标准一、选择题：CADAC DBACD 二、填空题：11、159,568 12、2π[,]()242k k k Z πππ-∈ 13、8，1[3,]2--。
高中数学必修2+必修4综合测试带答案
高中数学必修2+必修4综合测试班级 姓名 分数选择题答案：一、选择题（10小题，每题5分，共50分） 1．下列直线中倾斜角为锐角的直线是A ．210x y ++=B ．210x y --+=C ．10x +=D ．10x --=2．sin 300︒=A ．BC ．12D 3．一个圆柱的体积和侧面积数值相等，则圆柱的底面半径为A ．1B ．2C ．3D ．44．对于非零向量AB，BC ，AC ，下列等式中一定不成立．．．的是 A ．+AB BC AC = B ．AB AC BC -=C ．AB BC AC +=D ．AB BC BC -=5．为了得到函数=3cos 2+R 3y x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，的图象，只需把函数=3cos2y x 的图象A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度6．设l m ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A ．若l m m l αα⊥⊂⊥,,则 B ．若////l m l m αα⊂则，， C ．若//l l m m αα⊥⊥,,则D ．若//////l m l m αα则，，7．在平面直角坐标系中，已知点213100AB O - (，)，(，)，(，)，则AOB ∠= A ．12π B ．34π C ．4π D ．23π 8. 直线0x y -=的倾斜角为 A ．30° B ．45° C ．60° D ．135°9. 某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积是A ．36a π B ．33a πC ．323a πD ．3a π正视图 左视图俯视图图110．已知非零向量a 、b 满足2a b a -⊥ ()； 2b a b -⊥ ()，则向量a 与向量b的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π二、填空题（4小题，每题5分，共20分）11．已知直线平12:3410:23230l k x k y l k x y -+-+= --+=()(),()平行，则k = ． 12．已知点1P -1(,)落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为 ．13．已知2παπ∈ （,），且sin cos 22αα+=,则cos =α ． 14. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则OA OB OC +()的最小值是 ．三、解答题（3小题，共30分） 15.（本小题8分）在平面直角坐标系xOy 中，点1223AB - - (,)，(,). （1）求向量AB；（2）若向量a ∥AB，且1a k = (,)，求k .16. (本小题10分)已知直线1l ：3420x y +-=与直线2:l 220x y ++=相交于点A ，直线1x =与1l 、2l 分别交于B C 、两点．（1）求过点B 与1l 垂直的直线的方程； （2）求ABC ∆的面积．左视图图117. (本小题12分)如图3，在四棱锥P ABCD-中，PD ABCD⊥平面，AD CD⊥，且DB平分ADC∠，E为PC的中点，1AD CD==，DB=，2PD=．（1）证明：P A//BDE平面；（2）证明：AC PB⊥；（3）求三棱锥E ABD-的体积．以下题目（重点班必做，普通班选做）18.一个几何体有如右的三视图（如图1）所示，三幅图是全等的等腰直角三角形，其中直角边长为1，则这个几何体中任意两个不．相互垂直．．．．的平面形成的锐二面角的正切值A．1BCD．219. 将函数sin3y x x Rπ=-∈()()的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向左平移3π个单位长度，则得到的图象的函数单调增区间（其中k∈Z）为A．44k kππππ-+[,]B．54433k kππππ-+[,]C．63k kππππ-+[,]D．244433k kππππ-+[,]图320. (本小题20分) 已知函数sin +0002f x A x A πωϕωϕ=> > ∈ ()()(,,(,))的部分图像如图2所示，其中点P 是图像的一个最高点． （1）求函数f x ()的解析式； （2）求函数f x ()的单调递减区间．21．(本小题20分) 已知2=sin sin cos f x x k x x +()，04f π=()．（1）求k 的值；（2）若)2παπ∈ (,，且5sin 13α=，求2f α()；（3）求f x ()在02π[,]的取值范围．参考答案15. 解：解： （1）(3,5)AB = (4)分（2） 由于a ∥AB，则()1,(3,5)k m = …………………………8分135mk m=⎧⎨=⎩ ……………………………………10分 35k = 即53k = ……………………………12分16.解：联立方程组得到1(2,2),(1,),(1,4)4A B C --- (3)分（1） 所求直线的斜率43k =…………………………………………… 4分 则过点过点B 与1l 垂直的直线的方程为14()(1)43y x --=- 5分即：1612190x y --= …………………………………………7分（2）A 点到直线1x =的距离为3d = ………………………………..9分又有154BC = ……………………………………………………….10分 则115453248ABCS =⨯⨯= ………………………………………….12分17. 解：（1）证明：如图，设AC BD F = ，连接EF ，∵AD CD =，且DB 平分ADC ∠，∴F 为AC 中点， 又∵E 为PC 的中点，∴EF 为PAC ∆的中位线， ∴//PA EF ，又∵EF ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ∴BDE PA 平面//．……………………………………4分(2)证明：因为AD CD =，且DB 平分ADC ∠，所以 AC BD ⊥， 又ABCD PD 平面⊥，AC ABCD ⊂平面，所以PD AC ⊥，又因为PD BD D = ，且PD ⊂平面PBD 、BD ⊂平面PBD ， 所以AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，所以AC PB ⊥．……………………………………………………8分 （3）由（2）知AF BD ⊥，又因为CD AD ⊥、1==CD AD ，所以AF =，所以11122ABD S BD AF ∆=⋅=⋅=；……………11分 又因为ABCD PD 平面⊥，2PD =，E 为PC 中点， 所以E 到平面ABD 的距离为112h PD ==；…………………………13分 所以11111333E ABD ABD V S h -∆=⋅=⋅⋅=， 即三棱锥E ABD -的体积为13．…………………………………………14分 20. （1）由于P 是图像的一个最高点，且(,2)12P π，则2A = (2)分由于[,]612ππ-为整个函数的四分之一周期，则T π=……………………….4分所以22Tπω== …………………………………………………………………..6分 由()06f π-= ，则2sin(2())0,()63k k Z ππϕϕπ⨯-+=-+=∈. 所以=3k πϕπ+又02πϕ<<，则=3πϕ ……………………………………………………….8分所以()2sin(2)3f x x π=+ ………………………………………………………10分（2）3222232k x k πππππ+≤+≤+71212k x k ππππ+≤≤+ 则()f x 的单调递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈ ……………………14分21. （1）由于()04f π= ，所以2sinsincos0444k πππ+=，1k =- (2)分（2）21cos 2sin 21()sin sin cos (22)222222x x f x x x x x x -=-=-=-+1)224x π=-+………………………………………………………………6分111())(sin cos )222422f απααα=-+=-+ ………………………………7分 由于(,),2παπ∈ 且5sin 13α=，则12cos 13α=- ………………………9分所以10()213f α=…………………………………………………………10分（3）由于[0,]2x π∈，则52[,]444x πππ+∈ ……………11分由正弦函数的图像得到sin(2)[42x π+∈-…………12分()f x 在[0,]2π的取值范围为1[2…………………………14分。
温州市必修第二册第四单元《统计》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11A ．23B ．21C ．35D ．322．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（ ） A ．1.75B ．1.85C ．1.95D ．2.053．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据被墨迹污损不清（如图1），但甲得分的折线图完好（如图2），则下列结论错误的是（ ）A ．乙运动员得分的中位数是17，甲运动员得分的极差是19B ．甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差C ．甲运动员得分有12的叶集中在茎1上 D ．甲运动员得分的平均值一定比乙运动员得分的平均值低 4．如果数据121x +、221x +、、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1445．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．6．我国古代数学算经史书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A．104人B．108人C．112人D．120人7．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论错误的是（）年之间出生，80前指1979年及以前注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989出生.A．互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后一定比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后一定比80后多8．某班同学进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的p，a的值分别为（）A．0.79，20 B．0.195，40C．0.65，60 D．0.975，809．如图是民航部门统计的2018年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A ．变化幅度从高到低居于后两位的城市为北京，深圳B ．天津的变化幅度最大，北京的平均价格最高C ．北京的平均价格同去年相比有所上升，深圳的平均价格同去年相比有所下降D ．厦门的平均价格最低，且相比去年同期降解最大10．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300，300,200.为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ） A ．120B ．40C ．30D ．2011．已知数据122020,,,x x x 的平均数、标准差分别为90,20x x s ==，数据122020,,,y y y 的平均数、标准差分别为,y y s ，若5(1,2,,2020)2nn x y n =+=，则（ ）A ．45,5y y s ==B ．45,10y y s ==C ．50,5y y s ==D ．50,10y y s ==12．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何？”意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人，现要按人数多少从三乡共征集378人，问从各乡征集多少人？在上述问题中，需从西乡征集的人数是 （ ） A ．102B ．112C ．130D ．13613．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下： 行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张二、解答题14．某高级中学今年高一年级招收“国际班”学生720人，学校为这些学生开辟了直升海外一流大学的绿色通道，为了逐步提高这些学生与国际教育接轨的能力，将这720人分为三个批次参加国际教育研修培训，在这三个批次的学生中男、女学生人数如下表：已知在这720名学生中随机抽取1名，抽到第一批次、第二批次中女学生的概率分别是0.25,0.15.m n k的值；（1）求,,（2）为了检验研修的效果，现从三个批次中按分层抽样的方法抽取6名同学问卷调查，则三个批次被选取的人数分别是多少？（3）若从第（2）小问选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求“参加访谈的两名同学至少有一个人来自第一批次”的概率.15．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？16．为了调查居家隔离“抗疫”时期居民的消费情况，某校统计小组分别在A、B两个小区0,50，抽取了各20户家庭2月20日的购物登记数据，他们对A小区当日的消费额按[) [)250,300，[)200,250，[)300,350分组，做出100,150，[)150,200，[)50,100，[)频率分布直方图，对B小区只做了数据记录，统计如下（单位：元）：250,300的频率，并补全A小区的频（1）分别计算两个小区这20户家庭当日消费额在[)率分布直方图；（2）根据统计小组对A、B两个小区做出的频率分布直方图与数据记录，分别求出A、B 两个小区当日的消费额的中位数.17．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.()20P K k ≥0.10 0.05 0.010 0.005 0k2.7063.8416.6357.879附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 18．《复仇者联盟4：终局之战》是安东尼·罗素和乔·罗素执导的美国科幻电影，改编自美国漫威漫画，自2019年4月24日上映以来票房火爆.某电影院为了解在该影院观看《复仇者联盟4》的观众的年龄构成情况，随机抽取了100名观众的年龄，并分成(0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]七组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这100名观众年龄的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）、中位数； （2）该电影院拟采用抽奖活动来增加趣味性，观众可以选择是否参与抽奖活动（不参与抽奖活动按原价购票），活动方案如下：每张电影票价格提高10元，同时购买这样电影票的每位观众可获得3次抽奖机会，中奖1次则奖励现金a 元，中奖2次则奖励现金10a +元，中奖三次则奖励现金3a 元，其中8a ≥且a N ∈，已知观众每次中奖的概率均为15. ①以某观众三次抽奖所获得的奖金总额的数学期望为评判依据，若要使抽奖方案对电影院有利，则a 最高可定为多少；②据某时段内的统计，当8a =时该电影院有600名观众选择参加抽奖活动，并且a 每增加1元，则参加抽奖活动的观众增加100人.设该时间段内观影的总人数不变，抽奖活动给电影院带来的利润的期望为Z ，求Z 的最大值.19．汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2015年开始，将对2CO 排放量超过130g/km 的1M 型新车进行惩罚（视为排放量超标），某检测单位对甲、乙两类1M 型品牌抽取5辆进行2CO 排放量检测，记录如下（单位：g/km ）： 甲 80 110 120 140 150 乙100120xy160经测算发现，乙品牌车2CO 排放量的平均值为120/x g cm =乙.（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，则至少有一辆2CO 排放量超标的概率是多少? （Ⅱ）若乙类品牌的车比甲类品牌的2CO 的排放量的稳定性要好，求x 的范围.20．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表： 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 90 20 110 有私家车 70 40 110 合计16060220（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关； （2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K 2＝()()()()2()n ad bc a b c d a c b d -++++P （K 2≥k ） 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k2.7063..8416.6357.87910.82821．涡阳县某华为手机专卖店对市民进行华为手机认可度的调查，在已购买华为手机的1000名市民中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频数分布表和频率分布直方图如图：分组（岁） 频数[)25,30 5[)30,35 x[)35,4035[)40,45y []45,5010合计100x y （2）在抽取的这100名市民中，从年龄在[)25,30、[)30,35内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加华为手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2人中恰有1人的年龄在[)30,35内的概率.22．某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），（1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．23．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）24．为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在寒假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间[]2,4的有8人．10,12的人数；（I）求直方图中a的值及甲班学生平均每天学习时间在区间(]（II）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为k，求k的分布列和数学期望．25．青少年“心理健康”问题越来越引起社会关注，某校对高一600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率20．04[50，60）80．16[60，70）10[70，80）[80，90）140．28[90，100]合计1．00（1）填写答题卡上频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；（2）试估计该年段成绩在[70，90）段的有多少人？（3）请你估算该年段的平均分．26．某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m、n、t的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，于是将两个数字构成的编号依次写出，然后读取出在01，02，…，39，40编号内编号（重复的算一次），依次选取5个不重复的即可得到．【详解】解随机数表第1行的第6列和第7列数字为6,4所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,45，… 其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16,26,24,23,21, … 故第5个编号为21. 故选B ． 【点睛】本题考查了抽样中的随机抽样法，理清本题中随机抽样的规则是解题的关键，依次写出落在规定范围内的不重复的编号，从而解决问题．2．C解析：C 【分析】设乙得到十位市民的幸福感指数分别为111220,,,x x x ，根据这10个数据的平均数为8、方差为2.2可得221120662x x ++=，再根据方差的公式可求20个数据的方差.【详解】设甲得到的十位市民的幸福感指数分别为1210,,,x x x ，乙得到十位市民的幸福感指数分别为111220,,,x x x ，故这20位市民的幸福感指数的方差为()22222212101120120x x x x x x ++++++-，因为乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，11122081080x x x +++=⨯=，故56677778891087.520x ++++++++++⨯==，而()221120164 2.210x x ++-=，故221120662x x ++=，而222222222121056647289502x x x +++=+++⨯+⨯+=，故所求的方差为()215026627.5 1.9520+-=， 故选：C. 【点睛】本题考查方差的计算，注意样本数据12,,,n x x x 的方差为()211nii x xn =-∑，也可以是2211n i i x x n =-∑，本题属于中档题. 3．D解析：D 【分析】先根据甲得分的折线图确定被墨迹污损的两个数字取值范围，再根据极差、平均数、中位数等概念以及茎叶图判断大小以及稳定性,即可作出判断选择.由茎叶图得乙运动员得分的中位数是17，平均值为9+14+15+17+18+19+20=148根据甲得分的折线图确定被墨迹污损的两个数字取值范围为[13,15]，所以甲运动员得分的极差是28919-=，甲运动员得分有41=82的叶集中在茎1上，甲运动员得分数据比乙分散，所以甲发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差，甲运动员得分平均值9+12+13+13+13+20+26+28>>148x 甲，所以D 错误，故选：D 【点睛】本题考查茎叶图、折线图及其应用，考查基本分析判断计算能力，属基础题.4．A解析：A 【分析】计算出数据1x 、2x 、、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差.【详解】 设数据1x 、2x 、、n x 的平均值为x ，方差为2s ，由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===.【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.5．B解析：B 【解析】 【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。
2016-2017学年高中数学必修4章末综合测评2 含解析
章末综合测评（二)平面向量（时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2016·淮北高一检测)化简错误!－错误!＋错误!－错误!得（）A．错误!B．错误!C。
错误!D．0【解析】错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!－（错误!＋错误!）＝错误!－错误!＝0。
【答案】D2．已知a，b都是单位向量,则下列结论正确的是( )A．a·b＝1 B．a2＝b2C．a∥b⇒a＝b D．a·b＝0【解析】因为a,b都是单位向量，所以｜a｜＝｜b|＝1，所以|a｜2＝|b|2,即a2＝b2。
【答案】B3．已知A，B,C为平面上不共线的三点，若向量错误!＝(1，1）,n ＝（1，－1），且n·错误!＝2，则n·错误!等于( ）A．－2 B．2C．0 D．2或－2【解析】因为n·错误!＝n·(错误!－错误!)＝n·错误!－n·错误!.又n·错误!＝(1,－1）·（1，1)＝1－1＝0，所以n·错误!＝n·错误!＝2。
【答案】B4．（2015·全国卷Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点,错误!＝3错误!，则（)A．错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!B。
错误!＝错误!错误!－错误!错误!C。
错误!＝错误!错误!＋错误!错误!D。
错误!＝错误!错误!－错误!错误!【解析】错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!－错误!)＝错误!错误!－错误!错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!.故选A．【答案】A5．已知向量a，b不共线,实数x,y满足（3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b,则x－y的值为( )A．3 B．－3C．0 D．2【解析】由原式可得错误!解得错误!∴x－y＝3。
2016-2017学年高中数学必修4模块综合测评 含解析
模块综合测评(教师用书独具）(时间120分钟，满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与－457°角终边相同角的集合是( )A．｛α｜α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z｝C．｛α｜α＝k·360°＋263°，k∈Z｝D．{α|α＝k·360°－263°,k∈Z}【解析】－457°＝－360°－97°，而－97°＝－360°＋263°。
∵－457°＝－2×360°＋263°，∴应选C。
【答案】C2．已知扇形的圆心角为错误!π弧度，半径为2，则扇形的面积是( )A．错误!πB．错误!C．2π D．错误!π【解析】由S扇形＝错误!｜α｜R2,可得S扇形＝错误!×错误!π×22＝错误!π.【答案】 D3．（2015·福建高考)若sin α＝－错误!,且α为第四象限角,则tan α 的值等于( ）A ．125 B ．－错误!C.错误!D ．－错误!【解析】 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝错误!＝错误!，所以tan α＝错误!＝错误!＝－错误!。
法二:因为α是第四象限角,且sin α＝－错误!，所以可在α的终边上取一点P (12,－5),则tan α＝错误!＝－错误!。
故选D 。
【答案】 D4．已知sin α－cos α＝错误!,α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－错误! C 。
错误!D ．1【解析】 将等式sin α－cos α＝错误!两边平方， 得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即 sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0， 得（sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0.又sin α－cos α＝错误!，故tan α＝错误!＝－1。
浙江省温州中学2016年高一奥林匹克数学 圆 检测试卷(二) 含解析
数学奥林匹克试题——圆(二)[ M A T H E M A T I C S ］2016.11（本卷满分：150 分 考试时间：100 分钟）一、填空题（共6小题，每题10分，计60分）．1.在四面体ABCD 中，3AB AC ==，4BD BC ==，⊥BD 面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．2.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭的正四面体容器，则3.已知正三棱锥ABC P -的底面的边长为6，侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为 ．4.设ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点A ,B ，C 1，D 1的圆上的点Q 之间的最小距离是 ．检测内容：关于圆的平面几何及立体几何部分——圆（二）的新知质量评估姓名：MDO 2O 1O 3CBA5.空间四个球，它们的半径分别是2、2、3、3．每个球都与其他三个球外切．另一个小球与这四个球都相切，则这个小球的半径为 ．6.四个半径为1的球彼此相切，三个在地板上，第四个在它们上面，一个边长为S 的四面体的面与这些球都相切，则S 的值为 ．二、解答题（本大题分4小题，计90分）．7.（本题满分20分)如图,设A 为⊙O 1，⊙O 2的一个交点，直线l 切⊙O 1，⊙O 2分别于B ，C ，3O 为ABC ∆的外心，3O 关于A 的对称点为D ,M 为12O O 的中点．求证：12O DM O DA ∠=∠．第7题PSHMACB8.（本题满分20分）如图所示，ABCD 是平行四边形．G 是ABD ∆的重心，点P 、Q 在直线BD 上,使得PC GP ⊥，QC GQ ⊥,证明：AG 平分PAQ ∠．9.（本题满分25分）如图，在ABC ∆中，AB AC >，H 为ABC ∆的垂心，M 为边BC 的中点,点S 在边BC 上且满足BHM CHS ∠=∠,点A 在直线HS 上的射影为P ．证明：MPS ∆的外接圆与ABC ∆的外接圆相切．第8题10. (本题满分25分)如图所示,在ABC ∆中，X ，Y 是直线BC 上两点（X ，B ，C ,Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅．设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为1O ,2O ,直线21O O 与AB ，AC 分别交于点U ，V ．证明:AUV ∆是等腰三角形．第9题第10题数学奥林匹克试题—-圆（二）[ MATHEMATICS Examination paper reference answer]（本卷满分： 150 分)一、填空题（共6小题,每题10分,计60分）．1、 108052、 624+3、 14、223- 5、116 6、2+二、解答题(本大题分4小题，共90分)． 7、(20分）（可能有多种解法）证明 易得31O O 是AB 的中垂线，32O O 是AC 的中垂线．连接12,AO AO ． 则31112O O A BO A CBA ∠=∠=∠，13312O O A BO A BCA ∠=∠=∠,故 31O O A CBA ∆∆．同理,3213O O A BCA OO A ∆∆∆． 作312O O O ∆的外接圆Γ，设3O A 交Γ于另一点E ， 则 123213EOO AO O AOO ∠=∠=∠，213123EO O AO O AO O ∠=∠=∠，故 121332O EO O AO O AO ∆∆∆．从而 133122O O O A O O EO =，233121O O O A O O EO =，因此 312132321O A OO OO EO O O EO ⋅=⋅=⋅， 由托勒密定理，()3121323213121122O A O O O O EOO O EO O E O O ⋅=⋅+⋅=⋅， 所以 3312O A O E =,从而E 与D 重合．再由()2313232113212MO O D O O EO O O O E O O O D ⋅=⋅+⋅=⋅，知道312O O D O MD ∆∆．所以，213O DM O DO ∠=∠． 故12O DM O DA ∠=∠． （20分)8、（20分)(可能有多种解法)（20分）9、(25分）(可能有多种解法）证明 联接AH 并延长交ABC∆的外接圆于点D ，作//DE BC 与ABC ∆的外接圆交于点E ,易知,D H 关于BC 对称,故HCB BCD CBE ∠=∠=∠，因此//CH BE ，由此推出EB AB ⊥，故AE 为ABC ∆外接圆的直径。
浙江省温州市2016届高三4月第二次适应性考试数学(理)试题 含答案
2016年温州市高三第二次适应性测试理科数学选择题部分(共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =,{3,4,5}B =，则U A C B =（ )A ．{3}B ．{1,2,4,5}C ．{1,2}D ．{1,3,5}2。
已知实数,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =-（）A ．最小值为—1,不存在最大值B ．最小值为2，不存在最大值C ．最大值为-1，不存在最小值D ．最大值为2，不存在最小值 3.直线1:10l mx y +-=与直线2:(2)10lm x my -+-=，则“1m =”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4。
已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是（ ）A ．4B ．163C ．8D ．3235。
设集合0123{,,,}S A A A A =,在S 上定义运算⊕：i jk A AA ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3i j =，若230()mA A AA ⊕⊕=，则m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.数列{}na 是递增数列，且满足1()n n af a +=,1(0,1)a ∈，则()f x 不可能是（ ）A ．()f x x =B ．()21xf x =- C ．2()2f x x x =- D ．2()log (1)f x x =+8。
棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱1CC 的中点,点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为( )A ．22B ．10C ．11D ．23非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)9。
人教A版高中数学必修四答案 (2).docx
高中数学学习材料唐玲出品卓越联盟2015-2016学年第二学期第三次月考高一数学试题答案1.答案：B2.答案：Ｃ3.[答案] C[解析] 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos[180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )，∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12，∴cos(A －B )＝1， ∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，故选C ．4.答案：D5.答案：C因为sin47°＝sin(30°+17°)＝sin30°cos17°+sin17°cos30°，所以原式，故选C 项．6.答案：C7.答案：A8.答案：A9．答案：Bq ＝≥＝＝p 10.答案：D.设△=x，□=y，则有x+4y=30，+ =( + ) (x+4y)= ［5+( + )］≥(5+2 )= ，当且仅当由此解得x=10，y=5，故选D.11.答案：B12.答案：B解析：由，得c ＝4，a 2 ＝b 2 + c 2 －2 bc cos A ＝13，∴.而.13.14.15.答案：0试题分析：因为f(x)是奇函数，图像关于原点对称，所以零点关于原点对称其和为016.答案：Sn=解析:因为an = 所以Sn=17.--------------5分---------10分18.---------------6分---------------12分19.解：(1)由S n＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3； ------------2分当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝4n－1.所以a n＝4n－1，n∈N*. -------------------4分由4n－1＝a n＝4log2b n＋3，得b n＝2n－1，n∈N*. ---------6分(2)由(1)知，a n b n＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， ------------ 8分2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n， ----9分所以2T n－T n＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.--- ---11分故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*. ----------12分20、答案：解：（1）∵ x ＞ y ＞0，∴ x － y ＞0，∵ xy ＝1(定值)，∴.解方程组得∴当，时，取得最小值. ------6分（2）因为 a ， b ∈ R ，故2 a，2 b∈(0，+∞)，则.当且仅当 a ＝ b ＝时，取等号．所以 a ＝ b ＝时，2 a +2 b取得最小值为. ----------12分21.解析：---------4分-------------6分--------------8分----------11分------12分22.。
高中数学必修2+必修4综合训练带答案
x y O x y O x y O xyO高中数学必修2+必修4综合训练班级 姓名 分数1、下列函数中，最小正周期为2的是 A ．sin y x = B ．sin cos y x x = C ．tan 2xy = D ．cos 4y x =2. 已知tan 4α=，tan 3β=-，则tan αβ-=()A ．711B ．713C ．713-D ．711-3、在空间中，下列说法正确的是A ．若两直线a b ，与直线m 所成的角相等，那么//a bB ．若两直线a b ，与平面α所成的角相等，那么//a bC ．如果直线m 与两平面α，β所成的角都是直角，那么//αβD ．若平面γ与两平面αβ，所成的二面角都是直二面角，那么//αβ 4．已知点()2,1P -是圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是A ．30x y --=B ．230x y +-=C ．10x y +-=D ．250x y --=5、已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x6. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y+c=0上，则m+c 的值 为（ ） A ．－1B ．2C ．3D ．08. 已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）Ｂ．21Ｄ．19．如果ac ＜0，bc ＜0，那么直线ax+by+c=0不通过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10. 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A .3B . 343R π C3 D .39R 11．ABC ∆的斜二侧直观图如图2所示，则ABC ∆的面积为 . 12．已知角θ的终边过点P (-3,4),则sin cos θθ+的值为 .13. 已知过点P (2,2)的直线与圆2251x y +=-()相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a = .14．已知向量13a = (),，11b = (),，c a b λ=+ ，若向量a 和向量c的夹角是锐角，则实数λ的取值范围是 .15. 已知a ，b 是两个不共线的非零向量.（1）设13OA OB t t R OC ==∈=+ ,(),(),a b a b 当A 、B 、C 三点共线时，求t 的值.（2）如图4，若OD OE ==,,a b a 与b 夹角为120°，1==a b ，点P 是以O 为圆心的圆弧DE 上一动点，设OP xOD yOE x y R =+∈(,)，求x y +的最大值.16. 已知圆22:2440C x y x y +-+-=，斜率为1的直线l 交圆C 于A 、B 两点， （1）将圆C 的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径；（2）是否存在直线l ，使以线段AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.图 4 图A 'B 'C ' y 'x '0'1 2参考答案选择题答案：11. 2； 12.5 ； 13. 2 ； 14. (,0)(0,)2-+∞ . 15. 解：（1）由题意，可设,AB kBC =…………………………………………………2分将11,(-t),33AB OB OA t BC OC OB =-=-=-= b a a +b 代入上式，得1t -()33k k t +-b a =a b, ……………………………………4分解得13,2k t =-= ………………………………6分（2）解法一：以O 为原点，OD 为x 轴建立直角坐标系，则1(1,0),(2D E -， 设2(0)3POD παα∠=≤≤,则(cos ,sin )P αα， ………………………………8分由OP xOD yOE =+ ，得1cos ,sin 2x y y αα=-=，所以cos ,x y ααα==………………………………11分所以cos 2sin()6x y πααα+=+=+，故当3πα=时，x y +的最大值为2. ………………………………14分解法二：设2(0)3POD παα∠=≤≤， 由OP OD xOD OD yOE OD ∙=∙+∙ ，OP OE xOD OE yOE OE ∙=∙+∙ 得121cos ,cos()232x y x y παα=--=-+ 所以22[cos cos()]2sin()36x y ππααα+=+-=+ 故当3πα=时，x y +的最大值为2.16. 解：（1）圆C 化成标准方程为：2223)2()1(=++-y x ， ……1分所以圆心为(1,2)C -，半径3r =． ……2分(2)设以线段AB 为直径的圆为M ，且圆心M 的坐标为(,)a b ． ……3分由于CM l ⊥，1CM l k k ∴⋅=-，即1112-=⨯-+a b ， ∴,01=++b a ① ……4分由于直线l 过点M (,)a b ，所以l 的方程可写这为y b x a -=-，即0x y b a -+-=， ……5分因此CM =． ……6分又AB M 以为直径的圆过原点，MA MB OM ∴＝＝． ……7分而22229MB CB CM=-=-，222OM a b =+所以222)23(9b a a b +=+-- ② ……8分由①②得：312a a ==-或． ……9分 当32a =时，52b =-，此时直线l 的方程为40x y --=； ……11分当1a =-时，0b =，此时直线l 的方程为10x y -+=． ……13分所以，所求斜率为1的直线l 是存在的，其方程为40x y --=或10x y -+=. …14分。
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2016.9奥赛班 数学能力评估四 试题卷[ MATHEMATICS ]（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）第一部分（共2小题，第I 题15分，第II 题25分，计40分）I .[解答]如图，E 、F 分别为线段AB 、AD 上的点，BF 与DE 交于点C ．若FC AF EC AE +=+，证明：DC AD BC AB +=+．II .⑴[填空]设f e d c b a 、、、、、为实数，已知2165432=+++++f e d c b a ．则 ()2222222f e d c b a f e d c b a +++++++++++ 的最小值为 ． ⑵[解答]把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．第二部分（共3大题，计110分）一、单项选择题（共2小题，每题5分，计10分）．注：不得使用任何电子产品,检测范围：主要考察必修二第I 题1. 若实数x ,y 满足122≤+y x ，则y x y x 3622--+-+的最小值是 ( ) A ．2 B ．3 C ．2.4 D ．1.82. 桌上放着4堆火柴两人依次轮流做取火柴游戏：游戏者每次任意取走其中一堆，并把余下两堆中的任意一堆分成非空的两堆．谁无法这样做，就算失败．假如一开始4堆火柴中有3堆是2根，另一堆是n 根，若使先取火柴的一方有必胜策略，则n 的可能值为 ( ) A ．34 B ．45 C ．59 D ．66 二、填空题（共12小题，每题6分，计72分）． 3. 已知集合(){}*∈+-===N m m y m x y x M ，，23,， ()(){}*∈+-===N n n a a y n x y x N ，，1,，则使得≠N M Ø的整数a4.已知抛物线⎪⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21p x p x y 上有点()00,y x 满足：0x 为正整数，0y 为质数的平方．则00y x +5.已知ABC ∆AC =BC =1，过点B 作平面ABC =1，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则BEF ∆周长的最小值6. 1的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为 ．7. 平面上三条直线022=+-y x ，02=-x ，0=+ky x ，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k 可能取值的个数是 ． 8.设平面点集：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=02518,x y x y y x A ，()()(){}111,22≤-+-=y x y x B ，若()()B A y x ∈,，则y x -2的最小值为 ．9. 若从空间一点最多可以引出a 条射线，使得其中每两条射线夹角均为钝角，则a 的值为 ．10. 空间中的n 条直线满足任意三条中必有两条异面，且不存在3条两两异面的直线，则n 的最大可能值为 ．11. 已知三棱锥ABC P -的各侧面都与底面成45°角，且底面是一个钝角三角形，三边长为3个连续偶数，则此三棱锥的体积为 ．12. 在四面体ABCD 中，AB=AC=3，BD=BC=4，BD ⊥面ABC ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．13. 空间内若存在一个正方体，它的8个顶点到一个平面的距离恰好为0,1,2,3,4,5,6,7．则正方体的棱长为 ．14. 如图，四棱锥ABCD S -的底面是平行四边形ABCD ，过棱SC 的中点K 和点A 作一平面，分别交棱SB 和SD 于点M 和N ，若V 表示 CKS M N四棱锥ABCD S -的体积，V 1表示四棱锥AMKN S -的体积，则VV 1的取值范围为 ．三、解答题（本大题分2小题，共28分）．15. (本题满分12分)如图，圆O 的圆心在坐标原点，过点()10，P 的动直线l 与圆O 相交于A ,B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被圆O截得的线段长为 ⑴ 求圆O 的方程；⑵ 在平面直角坐标系xOy 内，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16. (本题满分16分)如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6==OD OB ．第14题第15题⑴ 求证：OC OA ⋅为定值；⑵ 当点A 在半圆()()424222≤≤=+-x y x 上运动时，求点C 的轨迹．第16题奥赛班 数学能力评估四 答题卷[ MATHEMATICS Answer question volume ] (满分：150分 时间： 120分钟)第一部分（共2小题，第I 题15分，第II 题25分，计40分） I . [解答,15分]如图，E 、F 分别为线段AB 、AD 上的点，BF 与DE 交于点C ．若FC AF EC AE +=+，证明：DC AD BC AB +=+．II . ⑴[填空，9分]设f e d c b a 、、、、、为实数，已知2165432=+++++f e d c b a ．则 ()2222222f e d c b a f e d c b a +++++++++++ 的最小值为 ．班级 姓名 考号 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 装订线 装订线 装订线第I 题⑵[解答，16分]把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值．第二部分（共3大题，计110分）一、单项选择题（共2二、填空题（共12小题，每题6分，计72分）．3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 三、解答题（本大题分2小题，共28分）．15、(本题满分12分)如图，圆O 的圆心在坐标原点，过点()10，P 的动直线l 与圆O 相交于A ,B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被圆O截得的线段长为⑴ 求圆O 的方程；⑵ 在平面直角坐标系xOy 内，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16、(本题满分16分)如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6==OD OB ．⑴ 求证：OC OA ⋅为定值；⑵ 当点A 在半圆()()424222≤≤=+-x y x 上运动时，求点C 的轨迹．第15题奥赛班数学能力评估四试卷参考答案[ MATHEMATICS Examination paper reference answer]（本卷满分：150分）第一部分（共2小题，第I题15分，第II题25分，计40分）I.II.⑴ [填空] (9分) 43⑵ [解答]解 所求黑格个数的最小值n=12．(5分) 先证明n ≥ 12．由于12×12单位方格纸可划分为12431212=⨯⨯个（除边界外） 互不相交的3×4方格长方形．由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格， 故至少要涂12个黑色方格．(12分)要证明n=12，只需构作一个可行的例子，见下图．(15分)(10分)(5分)(16分)第二部分（共3大题，计120分）一、单项选择题（共2小题，每题5分，计10分）．[ 1~2 ] B C二、填空题（共12小题，每题6分，计72分）．3、 104、 7 56 7、 3 8、 -1 9、 4 10、 5 11、 5 12、1080513、 42114、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8331，三、解答题（本大题分2小题，共28分）． 15、(12分)(可能有多种解法)⑴ 设圆O 半径为r ，依题意有2221r +=．所以 24r =，圆O 方程为224x y +=． ………………………………………………3分⑵ 设符合条件的点Q 存在．当直线l 平行于x 轴时，PA PB =，由此可得QA QB =．又此时A 、B 关于y 轴对称，因此，点Q 在y 轴上．设(0)Q t ，．第15题当l x ⊥轴时，(02)A ，，(02)B -，．由QA PA QB PB=，得2123t t -=+，4t =或1t =（舍去）．（当(02)A -，，(02)B ，时，同理可得4t =）因此，若点Q 存在，则点Q 只能为(04)Q ，．………………………………………………6分下面证明点(04)Q ，符合要求．当直线AB 斜率不存在或为0时，由前面讨论可知点(04)Q ，符合要求． 当直线AB 斜率存在且不为0时，设AB 方程为1y kx =+．由2214y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得22(1)230k x kx ++-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12221k x x k -+=+，12231x x k -=+． ∴ 12121212441414QA QB y y kx kx k k x x x x --+-+-+=+=+ 21212122211123()232322031kx x k k k k k k x x x x k -++=-+=-⨯=-⨯=-=-+． ∴ AQO BQO ∠=∠．………………………………………………10分∴ QP 平分AQB ∠，由角平分线性质定理知，QAPAQB PB =．综上可知，符合条件的点Q 存在，其坐标为(04)Q ，． (共12分)16、(16分)(可能有多种解法)(4分) (8分) (12分) (12分)。