线性系统理论全课件

称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述
5/7,9/50
离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 X (k 1) Gx(k) Hu (k) Y (k) Cx(k) Du (k)
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
离散时间线性时变系统 X (k 1) G(k)x(k) H (k)u(k ) Y (k) C(k)x(k) D(k)u(k)
cM
J
ce La f
J
ia
1
La 0
e
0
1ia
上式可表为形如 X AX Bu Y CX Du
Ra
i f const
J,F
La
2/7,6/50
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
u1
yq
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
yq
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
g(s)
y(s) u(s)
sn
可见 y bn z (n) bn1z (n1) b0 z
3/18,16/50
令
x1 z
x2 z
xn z(n1)
u z (n) an1z (n1) a0 z
有 x1 x2 x2 x3
y bn z (n) bn1z (n1) b0 z
xn1 xn xn z (n) an1z (n1) a1z a0 z u an1xn a1x2 a0 x1 u y bn z (n) bn1z (n1) b0 z bn (an1xn a1x2 a0 x1 u) bn1xn b0 x1 (b0 a0bn )x1 (b1 a1bn )x2 (bn1 an1bn )xn bnu
5/18,18/50
结论2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
间描述可按如下两类情况导出
(1)m=0情形
Байду номын сангаас
此时输入输出描述为: y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y b0u
g(s)
b0
s n an1s n1 a1s a0
选取n个状态变量
6/7,10/50
离散系统状态空间描述的特点：
一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。） 二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都
呈现为线性关系。） 三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。
离散时间线性系统的方块图
D(k)
x(k 1)
(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系
的、一阶微分方程（组）：x&(t) Ax(t) Bu(t)
(6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关
系的数学表达式： y(t) Cx(t) Du(t)
(7)状态空间表达式： (5)+ (6). 状态变量的特点： (1)独立性：状态变量之间线性独立. (2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实
t
)，g
(
x,
u,
t)
g
2
(
x,
u,
t
)
f
n
(
x,
u,
t
)
gq
(
x,
u,
t
)
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个 组成元素为x、u的非线性函数,该系 统称为非线性系统 。
非线性系统可以用泰勒展 开方法化为线性系统。
若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x、u的 线性函数,该系统称为线性系统
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
其传递函数描述
g(s)
Y (s) U (s)
bm s m bm1s m1 b1s1 s n an1s n1 a1s
内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
2/4,2/50
(3) 状态向量：以系统的 个n 独立状态变量
x t , L, x t 作为分量的向量，即
1
n
x t x t , L, x t T .
1
n
(4) 状态空间: 以状态变量 x t ,K , x t 为坐
1
n
标轴构成的 n 维空间。
bn1s n1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分.
线性时不变系统
X AX Bu
Y
CX
Du
线性时变系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
3/7,7/50
连续时间线性系统的方块图
D(t)
X
X
U
B(t)
C(t)
Y
A(t)
4/7,8/50
人口分布问题状态空间描述的列写示例
假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡 村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%
际上存在无穷多种方案. (3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异
变换.
(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. (5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. 2.1.2 状态空间表达式的一般形式： (1)线性系统
x&t At x t B t u t
yt Ct xt Dtut
y (b0 bna0 ), (b1 bna1), , (bn1 bnan1) x bnu
证明：设
u z (n) an1z (n1) a0 z
2/18,15/50
y(n) an1 y(n1) a0 y bnu(n) bn1u(n1) b0u bn z(2n) bnan1z(2n1) bna0 z(n) bn1z (2n1) bn1an1z (2n2) bn1a0 z (n1) b0 z(n) b0an1z(n1) b0a0 z (bn z(n) bn1z(n1) b0 z)(n) an1(bn z(n) bn1z(n1) b0 z)(n1) a0 (bn z(n) bn1z(n1) b0 z)
x1 y x2 y xn y(n1)
6/18,19/50
连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统
当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因 果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.
确定性系统和不确定性系统
x Rn, u Rp, y Rq
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式
（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和
输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
R1
C
iC
电路系统状态空间描述的列写示例
L(R1 R2 )
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc
iL
R2 R1 R2
e
以上方程可表为形如
X AX Bu Y CX Du
1/7,5/50
机电系统状态空间描述的列写示例
Raia
La
dia dt
ce
e
cM ia
f
J
d dt
e(t)
ia
Ra La
(2)m<n,即系统为严真情形
xn1
xn
0 1 0 0 0
g(s) Y (s) bm s m bm1s m1 b1s1 b0
U (s)
s n an1s n1 a1s a0
X 0
0
0 x u
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1 1
y b0 b1 bm 0 0x
4/18,17/50
写成矩阵形式： x1
x2
0
0
xn1 xn
0
a0
1 0 0 1
0 0 a1 a2
0 0
x1 x2
0 0
1 an
1
xn1
xn
u 0 1
y b0 a0bn
b1 a1bn
bn2 an2bn
x1
x2
bn1 an1bn bnu
b0 a0
可以导出其状态空间描述为
x Ax bu y cx du
x Rn A Rnn
b Rn1
c R1n
d R11
1/18,14/50
结论1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
写成矩阵形式
x1(k
x2
(k
1) 1)
0.9696 0.0404
0.0202 0.9898
x1 (k ) x2 (k)
5.05 104 5.05 104
u(k
)
y(k) 1
1
x1 x2
(k) (k )
亦可表为 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
x(k)
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f (x, u, t) y g(x, u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,
u,
t
)
f
2
(
x,
u,
对于线性系统
X A(t)X B(t)u Y C(t)X D(t)u
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
该系统称为时变系统
第一部分: 线性系统时间域理论
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直 接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论 和方法。
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
yq
1/4,1/50
(1).系统的外部描述
uc
R2C
duc dt
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL U c R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年 所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口 迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全 国人口数
x1(k 1) 1.01 (1 0.04)x1(k) 1.01 0.02x2 (k) 1.01 5104 u(k) x2 (k 1) 1.01 (1 0.02)x2 (k) 1.01 0.04x1(k) 1.01 5104 u(k)
g(s)
Y (s) U (s)
bm s m bm1s m1 b1s1 s n an1s n1 a1s
b0 a0
其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
(1)m=n,即系统为真情形
0 1 0 0 0
X 0
0
0 x u
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1 1