【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版等差数列 教案
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一、自我诊断 知己知彼
1.在等差数列{a n }中,若a 2=4,a 4=2,则a 6等于( ) A .-1 B .0 C .1 D .6 【答案】B
【解析】由等差数列的性质,得a 6=2a 4-a 2=2×2-4=0,故选B.
2.设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( ) A .31 B .32 C .33 D .34 【答案】B
【解析】由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1+5d =2,5a 1
+10d =30,解得
⎩⎨⎧
a 1=263
,
d =-43,
∴S 8=8a 1+8×7
2
d =32.
3. {a n }为等差数列,公差d =-2,S n 为其前n 项和.若S 10=S 11,则a 1=( ) A .18 B .20 C .22 D .24
【答案】 B
【解析】 由S 10=S 11得a 11=S 11-S 10=0,a 1=a 11+(1-11)d =0+(-10)×(-2)=20. 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( ). A .6
B .7
C .8
D .9
【答案】A
【解析】由a 4+a 6=a 1+a 9=-11+a 9=-6,得a 9=5,从而d =2,所以S n =-11n +n (n -1)=n 2-12n =(n -6)2-36,因此当S n 取得最小值时,n =6.
5.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a n
b n
为整
数的正整数的个数是 ( ).
A .2
B .3
C .4
D .5
【答案】D
【解析】由A n B n =7n +45n +3得:a n b n =A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,要使a n
b n 为整数,则需7n +19n +1=7+
12
n +1
为整数,所以n =1,2,3,5,11,共有5个. 6.已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2a 3=15,S 4=16.
(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式;
(2)若数列{b n }满足:b 1=1,b n +1-b n =1
a n a n +1
,求数列{b n }的通项公式.
【答案】(1) S n =n (1+2n -1)2=n 2,n ∈N *. (2) b n =3n -2
2n -1(n ∈N *).
【解析】(1)设数列{a n }的公差为d (d >0),
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 2a 3=(a 1+d )(a 1+2d )=15,
S 4=4a 1+6d =16, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,d =2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=7,d =-2
(舍去), ∴a n =1+2(n -1)=2n -1,S n =n (1+2n -1)2
=n 2
,n ∈N *.
(2)由(1)知,b n +1-b n =1a n a n +1=1(2n -1)(2n +1)=12⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
-121121
n n , b n -b 1=(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n -1) =1
2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-13+⎝⎛⎭⎫13-15+…+⎝⎛⎭⎫12n -3-12n -1
=12⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
--1211n =n -12n -1(n ≥2), ∴b n =3n -22n -1. 当n =1时,b 1=1也符合上式,
∴b n =3n -22n -1
(n ∈N *).
二、温故知新 夯实基础
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数
列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式是a n =a 1+(n -1)d .
3.等差中项
由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).
(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.
(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.
(6)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…构成等差数列.
5.等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2.或S n =na 1+n (n -1)
2
d .
6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n =d
2n 2+)2
(1d a -n .
数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).
7.等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.
三、典例剖析 思维拓展
考点一 等差数列基本量的运算
例1.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( ) A .12 B .13 C .14 D .15
【答案】 B
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
由S 5=5(a 2+a 4)2,得5(3+a 4)2
=25,解得a 4=7,
所以7=3+2d ,解得d =2,所以a 7=a 4+3d =7+3×2=13.
【易错点】在求解数列基本量运算中,要注意公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算
的准确性.
【方法点拨】等差数列前n 项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式,若已知首项和公差,则使用公式S n =na 1+
n (n -1)
2d ;若已知通项公式,则使用公式S n =n (a 1+a n )
2
,同时注意与性质“a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n
-2
=…”的结合使用.
例2.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .4 D .8 【答案】 C
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4+a 5=24,
S 6=48,得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1+3d +a 1+4d =24,
6a 1
+6×5
2
d =48,
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 1+7d =24,2a 1+5d =16,解得d =4. 【易错点】注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程组时,要注意整体代换思想的运用,使运算更加便捷.
【方法点拨】等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.
例3.设等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2=-d ,若a k 是a 6与a k +6的等比中项,则k =( ) A .5 B .6 C .9 D .11
【答案】 C
【解析】: 因为a k 是a 6与a k +6的等比中项,所以662
+=k k a a a
又等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2=-d ,
所以[a 2+(k -2)d ]2=(a 2+4d )[a 2+(k +4)d ],所以(k -3)2=3(k +3), 解得k =9,或k =0(舍去),故选C.
【易错点】注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程时,要注意先进行化简,使运算更加便捷.
【方法点拨】等差数列等比数列的综合运用问题,要综合运用等差数列,等比数列的性质进行求解.
考点二 等差数列的判定与证明
例1.已知数列{a n }满足a 1=1,且na n +1-(n +1)a n =2n 2+2n .
(1)求a 2,a 3; (2)证明数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 是等差数列,并求{a n }的通项公式. 【答案】(1) a 2=6.a 3=15, (2) a n =2n 2-n . 【解析】:(1)由已知,得a 2-2a 1=4,
则a 2=2a 1+4,又a 1=1,所以a 2=6. 由2a 3-3a 2=12,
得2a 3=12+3a 2,所以a 3=15.
(2)证明:由已知na n +1-(n +1)a n =2n 2+2n , 得
na n +1-(n +1)a n n (n +1)=2,即a n +1n +1-a n
n
=2,
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 是首项a 1
1=1,公差d =2的等差数列.
则a n
n
=1+2(n -1)=2n -1,所以a n =2n 2-n . 【易错点】用定义证明等差数列时,容易漏掉对起始项的检验,从而产生错解. 【方法点拨】等差数列的判定与证明方法
例2.已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1a n -1(n ≥2,n ∈N *),数列{b n }满足b n =1
a n -1
(n ∈N *).
(1)求证:数列{b n }是等差数列;
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由.
【答案】(1) 略, (2) 当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3. 【解析】 (1)证明 因为a n =2-1
a n -1
(n ≥2,n ∈N *),
b n =
1
a n -1
(n ∈N *), 所以b n +1-b n =1a n +1-1-1
a n -1=
1-1a n
-1
-1a n -1=a n a n -1-1a n -1=1. 又b 1=1a 1-1
=-5
2.
所以数列{b n }是以-5
2为首项,1为公差的等差数列.
(2) 由(1)知b n =n -7
2
,
则a n =1+1b n =1+2
2n -7.
设f (x )=1+2
2x -7
,
则f (x )在区间(-∞,72)和(7
2
,+∞)上为减函数.
所以当n =3时,a n 取得最小值-1,当n =4时,a n 取得最大值3. 【易错点】本题应注意n 为正整数,且应注意函数的图像与性质. 【方法点拨】结合函数的图像与性质解题
例3.已知数列{a n }是等差数列,b n =a 2n -a 2
n +1.
(1)证明:数列{b n }是等差数列;
(2)若a 1+a 3+a 5+…+a 25=130,a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k (k 为常数),求数列{b n }
的通项公式.
【答案】(1) 略, (2) b n =-2(1-k )2n +25k 2-30k +5. 【解析】:(1)证明:设{a n }的公差为d ,
则b n +1-b n =(a 2n +1-a 2n +2)-(a 2n -a 2n +1)=2a 2n +1-(a n +1-d )2-(a n +1+d )2=-2d 2
,
∴数列{b n }是以-2d 2为公差的等差数列. (2)∵a 1+a 3+a 5+…+a 25=130, a 2+a 4+a 6+…+a 26=143-13k , ∴13d =13-13k ,∴d =1-k . 又13a 1+13×(13-1)2×2d =130,
∴a 1=-2+12k ,
∴a n =a 1+(n -1)d =(-2+12k )+(n -1)(1-k )=(1-k )n +13k -3,
∴b n =a 2n -a 2n +1=(a n +a n +1)(a n -a n +1)=-2(1-k )2n +25k 2
-30k +5.
【易错点】注意运算的准确性以及技巧性,要注意整体代换思想的运用,使运算更加便捷. 【方法点拨】利用整体思想进行运算,按照新构造的数列形式进行代入计算求解.
考点三 等差数列的性质及前n 项和
例1.在等差数列{a n }中,a 1=29,S 10=S 20,则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A .S 15 B .S 16 C .S 15或S 16 D .S 17 【答案】 A
【解析】∵a 1=29,S 10=S 20,
∴10a 1+10×92d =20a 1+20×192
d ,解得d =-2,
∴S n =29n +n (n -1)
2×(-2)=-n 2+30n =-(n -15)2+225.
∴当n =15时,S n 取得最大值. 【易错点】本题数较大,容易出现计算错误. 【方法点拨】求等差数列前n 项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解.
(2)通项公式法:求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可.一般地,等差数列{a n }中,若a 1>0,且S p =S q (p ≠q ),则: ①若p +q 为偶数,则当n =p +q
2
时,S n 最大; ②若p +q 为奇数,则当n =
p +q -12或n =p +q +1
2
时,S n 最大.
(3)邻项变号法:①a 1>0,d <0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧
a m ≥0,
a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;
②当a 1<0,d >0时,满足⎩
⎪⎨⎪⎧
a m ≤0,
a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
例2.已知函数f (x )的图象关于直线x =-1对称,且f (x )在(-1,+∞)上单调,若数列{a n }是公差不为0的等差数列,且f (a 50)=f (a 51),则数列{a n }的前100项的和为 ( )
A .-200
B .-100
C .-50
D .0 【答案】B
【解析】因为函数f (x )的图象关于直线x =-1对称,又函数f (x )在(-1,+∞)上单调,
所以f (x )在(-∞,-1)上也单调,且数列{a n }是公差不为0的等差数列.
又f (a 50)=f (a 51),所以a 50+a 51=-2,所以S 100=100(a 1+a 100)
2
=50(a 50+a 51)=-100.
【易错点】忽视由函数的对称性及单调性知f (x )在(-∞,-1)上也单调;
【方法点拨】结合函数的性质知a 50+a 51=-2.要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用,如a n =a m +(n -m )d ,d =a n -a m n -m ,S 2n -1=(2n -1)a n ,S n =n (a 1+a n )2=n (a 2+a n -1)
2(n ,
m ∈N *)等.
例3. 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值.
【答案】(1) a 2=6.a 3=15, (2) a n =2n 2-n . 【解析】 ∵a 1=20,S 10=S 15,
∴10×20+10×92d =15×20+15×142d , ∴d =-5
3
.
由a n =20+(n -1)×)3
5(-=-53n +65
3,得a 13=0.
即当n ≤12时,a n >0,当n ≥14时,a n <0. ∴当n =12或n =13时,S n 取得最大值,
且最大值为S 12=S 13=12×20+12×11
2×)3
5(-=130.
【易错点】由于a 13=0,所以当n =12或n =13时,S n 取得最大值,错解中忽略了数列中为0的项.
【方法点拨】一般地,等差数列{a n }中,若a 1>0,且S p =S q ,若p +q 为奇数,则当n =
p +q -1
2或n =p +q +12
时,S n 最大.
四、举一反三 成果巩固
考点一 等差数列基本量的运算
1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 412-S 3
9=1,则公差为________.
【答案】 6
【解析】 依题意得S 4=4a 1+4×32d =4a 1+6d ,S 3=3a 1+3×2
2d =3a 1+3d ,于是有4a 1+6d 12-
3a 1+3d
9
=1,由此解得d =6,即公差为6. 2.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20等于( ). A .-1 B .1 C .3 D .7
【答案】 B
【解析】 两式相减,可得3d =-6,d =-2.由已知可得3a 3=105,a 3=35,
所以a 20=a 3+17d =35+17×(-2)=1.
3.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 2+S 3=4,a 3+S 5=12,则a 4+S 7的值是( ) A .20 B .36 C .24 D .72
【答案】 C
【解析】: 由a 2+S 3=4及a 3+S 5=12,
得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1+4d =4,6a 1+12d =12,解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1=0,d =1,
∴a 4+S 7=8a 1+24d =24.
考点二 等差数列的判定与证明
1.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1a n +2
(n ∈N *),则该数列的通项为( )
A .a n =1n
B .a n =2n +1
C .a n =2n +2
D .a n =3
n
【答案】 A
【解析】 由已知式2a n +1=1a n +1
a n +2
可得
1
a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,知{1a n }是首项为1a 1=1,公差为1a 2-1a 1=2-1=1的等差数列,所以1a n =
n ,即a n =1
n
.
2. 数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n +2=2a n +1-a n +2. (1)设b n =a n +1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.
【答案】(1) 略, (2) a n =n 2-2n +2. 【解析】(1)证明 由a n +2=2a n +1-a n +2,
得a n +2-a n +1=a n +1-a n +2, 即b n +1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,
所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)得b n =1+2(n -1)=2n -1,
即a n +1-a n =2n -1.
于是∑n k =1
(a k +1-a k )=∑n k =1
(2k -1), 所以a n +1-a 1=n 2,即a n +1=n 2+a 1.
又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.
3.设数列{a n }的各项都为正数,其前n 项和为S n ,已知对任意n ∈N *,S n 是a 2n 和a n 的等差中项.
(1)证明:数列{a n }为等差数列;
(2)若b n =-n +5,求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值. 【答案】(1) 略, (2) 当n =2或n =3时,{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)证明:由已知可得2S n =a 2n +a n ,且a n >0,
当n =1时,2a 1=a 21+a 1,解得a 1=1. 当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+a n -1,
所以2a n =2S n -2S n -1=a 2n -a 2
n -1+a n -a n -1, 所以a 2n -a 2n -1=a n +a n -1,
即(a n +a n -1)(a n -a n -1)=a n +a n -1, 因为a n +a n -1>0,所以a n -a n -1=1(n ≥2). 故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列. (2)由(1)可知a n =n ,设c n =a n ·b n ,
则c n =n (-n +5)=-n 2+5n =-⎝⎛⎭⎫n -522+25
4
, 因为n ∈N *,当n =2或n =3时,{a n ·b n }的最大项的值为6.
考点三 等差数列的性质及前n 项和
1. 在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. 【答案】 10
【解析】因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 7=a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=25,所以a 5=5,故a 2+a 8=2a 5=10.
2. 已知{a n },{b n }都是等差数列,若a 1+b 10=9,a 3+b 8=15,则a 5+b 6=________.
【解析】 因为{a n },{b n }都是等差数列,所以2a 3=a 1+a 5,2b 8=b 10+b 6,所以2(a 3+b 8)=(a 1+b 10)+(a 5+b 6),即2×15=9+(a 5+b 6),解得a 5+b 6=21.
3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=-12,S 9=45,则S 12=________.
【答案】114
【解析】因为{a n }是等差数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9成等差数列,所以2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6),即2(S 6+12)=-12+(45-S 6),解得S 6=3.
又2(S 9-S 6)=(S 6-S 3)+(S 12-S 9),
即2×(45-3)=(3+12)+(S 12-45),解得S 12=114.
4. 在等差数列{a n }中,a 1=-2 018,其前n 项和为S n ,若S
1212-S 1010=2,则S 2 018的值等于(
) A .-2 018 B .-2 016 C .-2 019 D .-2 017
【答案】A
【解析】 由题意知,数列{S n n }为等差数列,其公差为1,
∴S 2 0182 018=S 11+(2 018-1)×1=-2 018+2 017=-1.
∴S 2 018=-2 018.
五、分层训练 能力进阶
【基础达标】
1. 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11等于( )
A .58
B .88
C .143
D .176
【答案】B
【解析】S 11=a 1+a 112=a 4+
a 82=11×162=88.
2. 等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,若S
n T n =3n -22n +1,则a 7
b 7
等于( ) A.3727 B.3828 C.3929 D.4030
【答案】A
【解析】a 7b 7=2a 72b 7=a 1+a 13b 1+b 13=a 1+a 132×13b 1+b 132×13=S 13T 13=3×13-22×13+1=3727
.
3.在数列{a n }中,a 1=3,a n +1=3
a
n a n
+3,则a 4=( )
A.34 B .1 C.43 D.32
【解析】依题意得1a n +1=a n +33a n =1a n +13,1a n +1-1a n =13
, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨
⎧n a 1是以1a 1=13为首项、13为公差的等差数列,则1a n =13+n -13=n 3,a n =3n ,a 4=34
. 4.已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=________.
【答案】6
【解析】∵a 3+a 5=2a 4,∴a 4=0.
∵a 1=6,a 4=a 1+3d ,∴d =-2.
∴S 6=6a 1+6×(6-1)2
d =6×6-30=6. 5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n -1(n ∈N *).
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 4a n +1,求{b n }的前n 项和T n .
【答案】(1) a n =2n -1(n ∈N *
), (2) T n =n 2+3n 4 【解析】(1)当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -
1, 当n =1时,a 1=2-1=1,满足a n =2n -1,
∴数列{a n }的通项公式为a n =2n -
1(n ∈N *). (2)由(1)得,b n =log 4a n +1=n +12
, 则b n +1-b n =n +22-n +12=12
, ∴数列{b n }是首项为1,公差d =12
的等差数列, ∴T n =nb 1+n (n -1)2d =n 2+3n 4
. 【能力提升】
1.若等差数列{a n }的前17项和S 17=51,则a 5-a 7+a 9-a 11+a 13=________.
【答案】3
【解析】因为S 17=a 1+a 172
×17=17a 9=51,所以a 9=3. 根据等差数列的性质知a 5+a 13=a 7+a 11,
所以a 5-a 7+a 9-a 11+a 13=a 9=3.
2.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前 n 项和为S n ,当且仅当n =8 时S n 取得最大
值,则d 的取值范围为________. 【答案】⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--871, 【解析】由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,
可得⎩⎪⎨⎪⎧
d <0,a 8>0,
a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78. 3.在等差数列{a n }中,S 15>0,S 16<0,则使a n >0成立的n 的最大值为 ( ). A .6
B .7
C .8
D .9
【答案】C
【解析】依题意得S 15=
a 1+a 152=15a 8>0,即a 8>0;S 16=a 1+a 162=8(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)<0,
即a 8+a 9<0,a 9<-a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8,选C.
4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,a 3+a 10>0,a 6a 7<0,则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )
A .6
B .7
C .12
D .13
【答案】 C
【解析】因为a 1>0,a 6a 7<0,所以a 6>0,a 7<0,等差数列的公差小于零,
又a 3+a 10=a 1+a 12>0,a 1+a 13=2a 7<0,所以S 12>0,S 13<0, 所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.
5.已知数列{a n }满足,a n +1+a n =4n -3(n ∈N *).
(1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值;
(2)当a 1=2时,求数列{a n }的前n 项和S n . 【答案】(1) a 1=-12, (2) S n =⎩⎨⎧ 2n 2-3n +52,n 为奇数,2n 2-3n 2
,n 为偶数.
【解析】(1)法一:∵数列{a n }是等差数列,
∴a n =a 1+(n -1)d ,a n +1=a 1+nd .
由a n +1+a n =4n -3,
得a 1+nd +a 1+(n -1)d =4n -3,
∴2dn +(2a 1-d )=4n -3,
即2d =4,2a 1-d =-3,解得d =2,a 1=-12.
法二:在等差数列{a n }中,由a n +1+a n =4n -3, 得a n +2+a n +1=4(n +1)-3=4n +1,
∴2d =a n +2-a n =4n +1-(4n -3)=4,∴d =2.
又∵a 1+a 2=2a 1+d =2a 1+2=1,∴a 1=-12
. (2)由题意知,①当n 为奇数时,
S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n -1+a n )
=2+4[2+4+…+(n -1)]-3×n -12=2n 2-3n +52
. ②当n 为偶数时,S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n -1+a n )
=1+9+…+(4n -7)=2n 2-3n 2
. 综上,S n =⎩⎨⎧
2n 2-3n +52,n 为奇数,2n 2-3n 2,n 为偶数.。