2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做16 选修4-4：坐标系与参数方程(理)

大题精做16 选修4-4：坐标系与参数方程（理）
精选例题：
[2019·长沙检测]在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ+=+⎧⎨⎩
=（ϕ为参数）
，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点． （1）求l 和M 的极坐标方程；
（2）当4π0,α⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，求OA OB +的取值范围．
【答案】（1）()θαρ=∈R ，()
22cos sin 10ρθθρ-++=；（2）(
． 【解析】（1）由题意可得，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ． 曲线M 的普通方程为()()2
2
111x y -+-=，
因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=． （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，
将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=， 当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πΔα⎛
⎫=+-> ⎪⎝
⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，
根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A ，B 的极径．
从而()
122cos sin π4OA OB ρρααα⎛
⎫+=+=+=+ ⎪⎝
⎭．
当
4π0,α⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦
，故OA OB +的取值范围是(
．
精选模拟题：
1．[2019·安庆期末]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
x t y ==⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极
点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设点)
M
，直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求MA MB ⋅的值．
2．[2019·柳州模拟]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
322522x t y t ⎧⎪⎪⎨=+=-⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为2
312sin ρθ
=
+．
（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；
（2）若P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角 坐标．
3．[2019·咸阳模拟]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y ϕϕ⎧==+⎪
⎨⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）在曲线C 上取两点M ，N 与原点O 构成MON △，且满足π
2
MON ∠=，求MON △面积的最大值．
详解答案
1．【答案】（1）直线l
30
y
+-=，曲线C的直角坐标方程()22
24
x y
-+=；（2
）3
MA MB
⋅=．
【解析】（1）直线l的普通方程为
33
y x
=-+，即330
x y
+-=，
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，cos
xρθ
=，222
x y
ρ=+，
而4cos
ρθ
=，则24cos
ρρθ
=，即()22
24
x y
-+=，
故直线l30
y
+-=，曲线C的直角坐标方程()22
24
x y
-+=．
（2）点)
M在直线l上，且直线l的倾斜角为120︒，可设直线的参数方程为：
1
2
x t
y
⎧
⎪⎪
⎨
=
⎪
⎪⎩
=
（t为参数），代入到曲线C的方程得(2230
t t
++-=，
12
2
t t+，
12
3
t t=-
由参数的几何意义知
12
3
MA MB t t
⋅==，故3
MA MB
⋅=．
2．【答案】（1）40
x y
+-=，
2
C的参数方程为
sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
（ϕ为参数）；（2）31,
22
Q
⎛⎫
⎪
⎝⎭
．
【解析】（1）由曲线
1
C的参数方程为
3
2
2
5
2
2
x t
y t
⎧
⎪⎪
⎨
=+
=-
⎪
⎪⎩
（t为参数），消去t，得40
x y
+-=，
由ρ()
22
12sin3
ρθ
∴+=，即222
2sin3
ρρθ
+=，
222
23
x y y
∴++=，即
2
21
3
x
y
+=，
2
C
∴的参数方程为
sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
（ϕ为参数）．
（2）设曲线
2
C上动点为)
,sin
Qϕϕ，则点Q到直线
1
C的距离：d==
∴当sin1
3
π
ϕ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
时，即π
6
ϕ=时，d PQ
3
62
1
s
π
π
in
62
x
y
⎧
==
⎪⎪
∴⎨
⎪==
⎪⎩
，31,
22
Q
⎛⎫
∴ ⎪
⎝⎭
．
3．【答案】（1）
π
4sin
3
ρθ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
；（2）4．
【解析】（1）可知曲线C 的普通方程为(()2
2
14x y +-=，
所以曲线C 的极坐标方程为223cos 2sin 0ρρθρθ--=，即π4sin 3ρθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
（2）由（1）不妨设()1,M ρθ，22π,N ρθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，()120,0ρρ>>，
12112π8sin s ππin 4sin 242232π33MON S OM ON ρρθθθ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
⋅==+++=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
△， 所以MON △面积的最大值为4．。