安徽省皖南八校2008届高三第二次联考数学(理)

安徽省皖南八校2008届高三第二次联考数学（理）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．设全集1,{|0},{1,}u x U R A x C A a x b-==≥=--+，则a b +等于 A ．一2B ．2C ．1D ．02．函数212(log )4(2)y x x =-≥的反函数是A．3)y x =≥- B．23)y x =≥- C．3)y x =-≥-D．23)y x =-≥-3．在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，则28a a 等于A ．16B ．6C ．12D ．44．若定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x π+=-，且()()f x f x -=，则()f x 可以是A ．1()2sin3f x x = B ．()2sin3f x x = C ．1()2cos 3f x x =D ．()2cos3f x x =5．已知函数12()3,0log ,0x f x x x x +⎧=≤⎨>⎩，若0()1f x ≥，则0x 的取值范围是A ．2x ≥B ．10x -≤≤C ．10x -≤≤或2x ≥D ．1x ≤-或02x <≤6．已知点(cos ,sin )θθ到直线sin cos 10x y θθ+-=的距离是1(0)22πθ≤≤．则θ的值为A ．12πB ．512πC ．12π或512πD ．56π或6π7．已知向量(2,1),(,2),(3,)a b x c y =-=-= ，若,()()a b a b b c +⊥-，则x y +为A ．0B ．2C ．4D ．一48．某校A 班有学生40名，其中男生24人，B 班有学生50名，其中女生30人，现从A 、B 两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为A ．1225B ．1325 C ．1625 D ．925 9．已知非零向量AB 和AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅= ，且12||||A B A C A B A C ⋅=，则ABC为A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形10．一同学在电脑中打出如下若干个圆：若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2007个圆中共有●的个数是A ．6lB ．62C ．63D ．6411．已知()f x 是定义在R 上的奇函数．且是以2为周期的周期函数．若当[0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 6)f 的值为A ．52-B ．一5C ．12-D ．一6二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷中的横线上．12．右图是函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的图象的一部分，则ϕ= ，ω=13．已知A 、B 为椭圆22:11x y C m m+=+的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且APB ∠的最大值是23π，则实数m 的值是 ．14．若61()x的展开式中的第5项是152，设12n n S x x x ---=++⋅⋅⋅+，则lim n n S →+∞=15．对正整数n ，设曲线(1)ny x x =-在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列{}1na n +的前n 项和公式是三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（本小题满分12分）已知7cos 2,252πθθπ=<<．求： （1）tan θ的值；（2）22cos sin 2)4θθπθ-+的值17．（本小题满分14分）已知在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=1，AB=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PEC ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角的大小； （3）求二面角P 一EC 一D 的大小．18．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小；（2）设(sin ,cos2),(4,1)(1),m A A n k k m n ==>⋅的最大值为5，求k 的值19．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心在坐标原点O ，一条准线的方程为4x =，过椭圆的左准点F ，且方向向量为(1,1)a =的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中点为M ．（1）求直线OM 的斜率（用a b 、表示）；（2）设直线AB 与OM 的夹角为α，当tan 7α=时，求椭圆的方程． 20．（本小题满分13分）已知定义域为R 的函数2()(1),()4(1)f x xg x x =-=-，数列{}n a 满足12a =，*1()()()0()n n n n a a g a f a n N +-+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13()()n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 的最值及相应的n 值． 21．（本小题蠛分14分）在数列{}n a 中12a =，且1112212n n n nn a a +++--= （1）求证：2n n a n ≤⋅（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：1(1)22n n S n +≤-⋅+ （3）求证：122n n n a a +≤+皖南八校2008届高三第二次联考数学参考答案（理科）1．A 2．A3．D4．D5．C6．C7．A8．B9．D10．A11．C 12．6π 2 13．1214．115．122n +-提示：1．A 由{1,}u C A a =--，知(,1](,)A a =-∞-⋃-+∞．所以1,a b a =--=-，因此2a b +=-2．A 函数可化为22(log )4y x =-，所以2l og (3)x y ≥-，则反函数为3)y x =≥-3．D 由312311188a a a q =⇒=（q 为公比），即412a q =，∴42281()4a a a q ==4．D ∵()()f x f x -=，∴排除A 、B ，又∵()()3f x f x π+=-，∴选D5．C 当0x ≤时，13110x x +≥⇒+≥，∴当0x >时，2log 12x x ≥⇒≥，∴2x ≥，综上所述：10x -≤≤或2x ≥ 6．C12=，∴1sin 2(0)22πθθ=≤≤，即12π或512π7．A ∵a b ，∴4x =，∴(4,2)b =- ，∴(6,3),(1,3)a b b c y +=--=--，∵()()a b b c +⊥- ，∴()()0a b b c +⋅-=，即62(2)0y ---=，∴4y =-，∴0x y +=．8．B A 班男生B 班女生概率为3355⨯，B 班男生A 班女生概率为2255⨯．9．D 由()0||||AB AC BC BAC AB AC +⋅=⇒∠的角平分线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形．∵12||||AB AC AB AC ⋅=，∴60BAC ∠=︒，∴ABC 为等边三角形 10．A 因为黑圆间隔的白圆数成等差数列，设有n 组白圆，则有1n -个黑圆，所以所有圆的个数为2(1)32122n n n n n ++-+-=，由已知23220072n n +-≤，因为当61n =时，232195120072n n +-=<，当62n =时，232201420072n n +-=>，但第62组中共有62个白圆，所以在前2007个圆中共有61个黑圆11．C ∵123log 62-<<-，∴121log 620-<+<，即1231log 02-<<，∵()f x 是周期为2的奇函数，∴23log 211122223331(log 6)(log )(log )(log )(21)2222f f f f ==--=-=--=-12．6π 2 由图知11()1212T πππ=--=，∴222T ππωπ===，∴sin(2)y x ϕ=+，又点(,0)12π-在图象上，∴sin()06πϕ-+=，∴由06πϕ-+=，知6πϕ=13．12由椭圆知识知，当点P 位于短轴的端点时APB ∠取得最大值．据题意则有1tan32m π=⇒=14．1 由题意知42456115(()T C xx=-=，又∵5152T =，∴2x =，∴11(1)122lim lim lim (1)11212n n n n n n S →+∞→+∞→+∞-==-=- 15．122n +- ∵(1)n y x x =-，∴1'(1)n n y nx n x -=-+，∴1'(2)2(1)2n n k f n n -==-+12(2)n n -=-+，又切点为(2,2)n -，∴切线方程为122(2)(2)n n y n x -+=-+-，令0x =，则(1)2n n a n =+，∴数列{}1n a n +的通项公式21n n an =+，故前n 项和公式12(21)2221n n n S +-==--16．（1）由7cos 225θ=，得227912sin ,sin 2525θθ-==…………2分∵2πθπ<<，∴34sin ,cos 55θθ==-，∴sin 3tan cos 4θθθ==-…………6分 （2）24312cos sin cos 1sin 552234sin cos )455θθθθπθθθ-+--+-===++-…………12分 17．解法一：（1）取PC 的中点O ，连结OF 、OE ．∴FO ∥DC ，且FO=12DC ∴FO ∥AE …………2分又E 是AB 的中点．且AB=DC ．∴FO=AE ． ∴四边形AEOF 是平行四边形．∴AF ∥OE 又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ∴A F ∥平面PEC （2）连结AC∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角……………6分 在Rt △PAC中，tan 5PA PCA AC ∠===即直线PC 与平面ABCD所成的角大小为arctan……………9分 （3）作A M ⊥CE ，交CE 的延长线于M ．连结PM ，由三垂线定理．得P M ⊥CE∴∠PMA 是二面角P —EC —D 的平面角． ……11分 由△AM E ∽△CBE，可得AM =tan PA PMA AM ∠==∴二面角P 一EC 一D的大小为14分解法二：以A 为原点，如图建立直角坐标系，则A （0．0，0），B （2，0，0），C （2，l ，0），D （0，1，0），F （0，12，12），E （1，0，0），P （0，0，1） （1）取PC 的中点O ，连结OE ，则O （1，12，12），1111(0,,),(0,,)2222AF EO ==∴AF EO……………………………………5分又OE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴A F ∥平面PEC …………………………6分（2）由题意可得(2,1,1)PC =- ，平面ABCD 的法向量(0,0,1)PA =-cos ,||||PA PC PA PC PA PC ⋅<>===即直线PC 与平面ABCD所成的角大小为 ……………9分 （3）设平面PEC 的法向量为(,,),(1,0,1),(1,1,0)m x y z PE EC ==-=则0m PE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则(1,1,1)m =-- ……………11分 由（2）可得平面ABCD 的法向量是(0,0,1)PA =-cos ,||||m PA m PA m PA ⋅<>===∴二面角P 一EC 一D的大小为……………………………………14分 18．（1）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=……2分整理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+=………………………4分∵(0,)A π∈，∴sin 0A ≠，∴1cos ,23B B π==………………………6分 （2）24sin cos22sin 4sin 1m n k A A A k A ⋅=+=-++ ，其中2(0,)3A π∈……8分 设sin (0,1]A t =∈，则2241,(0,1]m n t kt t ⋅=-++∈∴当1t =时，m n ⋅取得最大值………………………12分依题意2415k -++=，解得32k =，符合题意，∴32k =……………………14分 19．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，∵A 、B 在椭圜上，∴2222112222221,1x y x y a b a b+=+= ………………3分两式相减，得2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+∵121212121,AB OM y y y y k k x x x x -+===-+∴22OMb k a=-………………6分（2）∵直线AB 与OM 的夹角为α，tan 7α=由（1）知221,AB OMb k k a ==-，∴22221tan 71b a b aα+==- ①………………8分 又椭圆的中心在坐标原点O ，一条准线的方程为4x =，∴24a c= ② 在椭圆中，222a b c =+ ③联立①②③，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴椭圆的方程为22143x y +=………………12分 20．（1）2()(1),()4(1)n n n n f a a g a a =-=-∵21()4(1)(1)0n n n n a a a a +-⋅-+-=，∴1(1)(431)0n n n a a a +---= ∵12a =，∴1n a ≠，∴14310n n a a +--=，∴131(1)4n n a a +-=-………3分 又111a -=，∴数列{1}n a -是首项为1，公比为34的等比数列， ∴131()4n n a --=，∴13()14n n a -=+………………7分（2）21211333(1)4(1)3((())())44n n n n n b a a --+=---=-………………9分 令13,()4n n b y u -==，则2211133(())3()2424y u u =--=--∵*n N ∈，∴()u n 递减，其值分别为39271,,,,41664⋅⋅⋅，经比较916距12最近 ∴当3n =时，n b 有最小值189256-；当1n =时，n b 有最小值0………………13分21．（1）1121222n n n n a a ++-=-<∵11112,2(21)2n n n n n a a a +++==+-，∴110,22n n n n a a a ++>-<， 整理得11122n nn na a ++-<………………2分 则当2n ≥时，1211211,,12222nn n n a a a a ---<⋅⋅⋅-< 叠加得11122n n a a n -<-，即2nn a n <⋅ 当1n =时，1112a =⋅故2n n a n ≤⋅………………………………………………………………4分 （2）由（1）得231222322n n S n ≤⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅………………………………6分令231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ∴231122222,(1)22n n n n n T n T n ++-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-+ 故1(1)22n n S n +≤-⋅+………………………………9分 （3）由已知得1112222n n n n n n a a a n +++-=-≥-，故只须证明122n n n +->，即2nn > ∵012(11)n n nn n n C C C n =+=++⋅⋅⋅+>，∴结论成立………………………14分薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。