1.4 矩阵的分块法

0 L 0 . L L L As Bs
首页
上 页
下 页
尾 页
例1
设
0 0 0 1 0 0 , 2 1 0 1 0 1 0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1 1 0 0 1 , 4 1 2 0
1 0 A= −1 1
首页
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1 0 4 2
0 1 B E = 11 1 B21B22 0
E 则 AB = A1
O B11 E B21
E B22 . A1 + B22 E
首页 上 页
A1 A+ B = 0
0 B1 + A2 0
0
0 B2
A1 + B1 = 0
, A2 + B2
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
首页
上 页
下 页
尾 页
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 = 1 C3 b
C2 , C4
即
a 0 A= 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C2 = C3 C 4 1 b
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 简化运算，经常采用分块法 分块法， 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是： 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵， 子块， 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
调换主对角元
1 d − b ∴A = . ad − bc − c a
−1
此法仅适用于二阶矩阵， 注 此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的 矩阵不适用． 矩阵不适用．
首页
上 页
下 页
尾 页
第四节 矩阵的分块法
一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算规则 三、小结
首页
上 页
下 页
尾 页
一、矩阵的分块
首页
上 页
下 页
尾 页
A11 L A1r (2 ) 设 A = M M , λ为数 , 那末 A L A s1 sr
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
首页
上 页
下 页
尾 页
例 λ
首页
上 页
下 页
尾 页
a 0 A= 1 0 a 0 A= 1 0 1 a 0 1
1 a 0 1 0 0 b 1
0 0 b 1
0 0 A O 0 b 1 1 a 0 O B A = E B , 其中E = 1 0 b a 1 1 0 b
首页 上 页 下 页 尾 页
A1 ∴ A+ B = 0
0 B1 + A2 0 0
0 B2
A1 + B1 = 0
A2 + B2
2a 1 0 0 1 2a 0 0 = . 0 0 2b 1 0 0 2 2b
1 = 2, A = 3 4
2 2 5
3 1 6

1 ×2 2 ×2 3 ×2 2 A = 3 ×2 2 ×2 1 ×2 4 ×2 5 ×2 6 ×2 4 4 6 = 6 4 2 . 8 10 12
首页 上 页 下 页 尾 页
a x1 + b x 3 = 1, c + d = 0, x3 x1 则有 a x 2 + b x 4 = 0, c x 2 + d x 4 = 1.
d , x1 = ad − bc −b , x2 = ad − bc 解得 −c x3 = , ad − bc a = x 4 ad − bc .
a 0 A1 = 0 0 A1 0 = 0 A , 其中 1 2 b A2 = b 1
1 , a 1 ; b 0 , a 0 ; b
下 页 尾 页
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 0 1 , 其中 = 0 0 B2 b B2 = b 1
B11 = A1 B11 + B21
首页
上 页
下 页
尾 页
B11 AB = A1 B11 + B21
又
. A1 + B22 E
0 − 1 2 1 0 1 A1 B11 + B21 = + 1 1 − 1 2 − 1 − 1 0 − 2 4 − 3 4 1 , = + = 0 2 − 1 − 1 − 1 1 − 1 2 4 1 3 3 A1 + B22 = + = , 1 1 2 0 3 1
o
o
首页
上 页
下 页
尾 页
A1 0 (7) L 0
0 L 0 B1 A2 L 0 0 L L L L 0 L As 0 L
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
相同的分块法 , 有
A11 A= M A s1 L L A1 r B11 M , B = M B A sr s1 L L
, 采用
B1 r M B sr
其中 Aij 与 B ij的行数相同 , 列数相同 , 那末
A11 + B 11 A+ B = M A +B s1 s1 L L A1 r + B 1 r M . A sr + B sr
其中 Ai (i = 1,2,L s ) 都是方阵, 那末称 A为分块 对角
尾 页
A1 (6)设 A =
A2
o
−1
, O As
o
若Ai(i=1,2,…,s)均可逆，则有 均可逆， 均可逆
A1 −1 A = A2 −1 . O −1 As
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
C 11 AB = M C s1 t 其中 C ij = ∑ A ik B kj
k =1
C 1r M L C sr (i = 1 , L , s ; j = 1 , L , r ). L
首页
上 页
下 页
尾 页
A1 ABA = 0
0 B1 A2 0
0
0 A1 B2 0
0 A2
1 0 0 a 0 0 , 0 b 1 0 1 b
a 1 B= 0 0 求 A + B,
0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b ABA.
首页 上 页 下 页 尾 页
解
a 0 A= 0 0
将 A, B分块
1 a 0 0 0 0 b 1
(5 ) 设 A为 n阶矩阵 , 若 A的分块矩阵只有在主对 角线
上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非零子块都 是方阵 .即
A1 O A2 A= , O O As
首页 上 页 下 页 尾 页
A1 O A2 A= , O O As
首页 上 页 下 页 尾 页
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
0 1 0 a 0 0 a = ( A1 A2 A3 A4 ),其中 2 = A1 L4 L 3 1 0 1 b 1 b 0 b
首页
上 页
下 页
尾 页
二、分块矩阵的运算规则 (1 ) 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同
首页 上 页 下 页 尾 页
T T A11 L A r A11 L Ass1 AT L AT1 1 11 T T (4 ) 设 A = M M , 则 A = MM MM .. 则 A = As1 L A AT T L AT A L AT sr sr sr 1r1r
首页
上 页
下 页
尾 页
于是
B11 AB = A1 B11 + B21
1 −1 = −2 −1 0 4 4 1 1 0 3 3
E A1 + B22
0 1 . 3 1
首页
上 页
下 页
尾 页
例2
a 0 设 A= 0 0
求 AB .
解
把A, B分块成
1 1 0 0 00 0 0 1 1 00 A = A= −1 1 2 2 1 1 − 1 1 110 0
00 00 00 11
E O = , 1 A E
上 页 下 页 尾 页
a b 补例 求 (ad − bc ≠ 0)的逆矩阵 . c d
解 方法一 用定义求逆阵
设
x1 A = x3
−1
x2 , x4
由 A−1 A = E , 得
a b x1 c d x 3
x2 1 0 = , x4 0 1
首页
上 页
下 页
尾 页
例
a 0 A= 1 0 a 0 A= 0 0
1 0 0 B1 a 0 0 = B2 , 0 b 1 B3 1 1 b
即
1 a 1 1
0 0 1 1
0 B 1 0 = B2 b B 3 b
1 d − b ∴A = . ad − bc − c a
−1
首页 上 页 下 页 尾 页
方法二
求二阶矩阵逆矩阵可用 " 两调一除 "的方法 , 其做法是 : 先将矩阵 A 中的主对角元素调换其 位 置 , 再将次对角元素调换其 符号 , 最后用 A 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩阵 .
a b A= , A = ad − bc . c d
首页
上 页
下 页
尾 页
d b 次对角元调符号 d − b → A → c a − c a 1 d − b 用 A 去除 , → A − c a