2020届河北省衡水中学高三第三次调研考试数学(文)试题

2020届河北省衡水中学高三第三次调研考试
数学(文科）试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I卷(选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.集合，，则=
A. B. C.
D.
2.已知复数满足为虚数单位），则
A. B.
C. D.
3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为
A. 2，5
B. 5，5
C. 5，8
D. 8，8
4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点
，则
的值为
A. B. C.
D.
5.若，
，
，则
的大小关系为( ) A. B. C.
D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是
（ ） A. 函数
在区间
上单调递增 B.
图像关于直线
对称 C. 函数在区间
上单调递减 D.
图像关于点
对
称
7.已知定义在R 上的奇函数
满足
，且当时，
，若
，则
A. 34-
B.43-
C. 3
4
D.
4
3 8.设
分别是
的内角
的对边，已知
，则
的大小为
A. B. C.
D.
9.如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在
正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是
A.
21
3-
B.
31
3-
C.
23
2-
D.
33
2-
10.设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为
A. B. C.
D.
11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B 两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为
A. B. C.
D.
12.已知函数的导数为，且对恒成立，则下列不
等式一定成立的是
A. B. C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7：30，8：00，8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率是_____．
14.若f（x)＝，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是__．
15.将函数的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，则_________. 16.已知三点在半径为5的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平
面的距离为__________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．
(1)求c；
若，求．
18（本大题满分12分）
.“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都
流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；
“江南梅雨无限愁”.镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2009～2018年的亩产量（/亩）与降雨量的发生频数（年）如列联表所示（部分数据缺失）.请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？
（完善列联表，并说明理由）.
（参考公式：，其中）
19.（本大题满分12分）
如图，在多面体中，和交于一点，除以外的其余各棱长均为2.
作平面与平面的交线，并写出作法及理由；
求证：；
若平面平面，求多面体的体积.
20.（本大题满分12分）
已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，
.
（Ⅰ）当时，求的面积
（Ⅱ）当时，证明：.
21.（本大题满分12分）
己知函数.
（1)试讨论f（x）的单调性；
(2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为：
当极点到直线的距离为时，求直线的直角坐标方程；
若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数
（1）m＝1时，求不等式f（x－2）+f（2x）＞4的解集；
（2）若0 t ，求证：≥．
数学(文科）试题参数答案
1.C
2.C
3.C
4.D
5.A
6.C
7.A
8.C
9.C 10.B 11.C 12.A
13. 14. 15. 16.3 17，，的面积为，
解得：，
由余弦定理可得：，
由可得，
，，
在中，由正弦定理，可得：，
，
，
，
，
18.频率分布直方图中第四组的频率为.
所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为
.
根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为
.
进而完善列联表如图.
.
故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.
而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅.
19.过点作（或）的平行线，即为所求直线.
和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.
四边形为菱形，从而.
又平面，且平面，平面.
平面，且平面平面，.
证明：取的中点，连结，.，，，. 又，平面，平面，故.
又四边形为菱形，.又，平面.
又平面，.
解：平面平面，平面.
故多面体的体积.
20.（Ⅰ）设，则由题意知.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.
又，因此直线的方程为.
将代入得.
解得或，所以.
因此的面积.
（Ⅱ）将直线的方程代入得
.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得.
由得，即.
设，则是的零点，，所以在单调递增.又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.
21.（1）函数的定义域为(0，+∞).
由已知可得．
当m≤0时，>0，故在区间(0，+∞)上单调递增；
当m>0时，由>0，解得；由 0，解得．
所以函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.
综上所述，当m≤0时，函数在区间(0，+∞)上单调递增；
当m>0时，函数在(0，)上单调递增，
函数在(，+∞)上单调递减.
（2）∵ 函数g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，
显然x=e是其零点，
∴ 函数存在两个零点，即有两个不等的实数根．
可转化为方程在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根，
即函数y=m的图象与函数的图象有两个交点.
∵ ，
∴ 由>0，解得，故在上单调递增；
由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；
故函数y=m的图象与的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上，
即lnx-mx=0的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上，
∴ g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e．
令，则t∈．
由，解得
故，t∈．
令，则．
令，则．所以在区间上单调递增，即>．
所以，即在区间上单调递增，
即≤=，
所以，即x1x3≤，
所以x1x3的最大值为．
22.（1）直线的方程为：
则直角坐标方程为
极点到直线的距离为：；解得
故直线的直角坐标方程为
（2）曲线的普通方程为
直线的普通方程为
联立曲线与直线的方程，消去可得
即与在上有两个不同的交点
的最大值为；且；
实数的范围为
23.（1）由m=1，则|x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|>4的解集．
当x≥3时，|x-3|+|2x-1|=3x-4>4恒成立；
当时，x+2>4，解得x>2，综合得；当x≤时，4-3x>4，解得x<0，综合得x<0；所以不等式的解集为{x|x<0或x>2}．
（2）∵ t<0，
∴
≤==．所以≥．。