高中数学数列的综合应用优秀课件

综 2.了解等差数列与 2018全国卷Ⅰ 17
合 一次函数、等比数 2018全国卷Ⅱ 17
问 列与指数函数的关 2018全国卷Ⅲ 17
题 系。
3.会用数列的等差
关系或等比关系解
决实际问题。
三年统计 （理科） 2016全国卷Ⅰ 3，15 2016全国卷Ⅱ 17 2016全国卷Ⅲ 17 2017全国卷Ⅰ 4，12 2017全国卷Ⅱ 3，15 2017全国卷Ⅲ 9，14 2018全国卷Ⅰ 4，14 2018全国卷Ⅱ 17 2018全国卷Ⅲ 17
（2018 全国Ⅲ文，17) 等比数列an中，a1 1,a5 4a3 . (1)求an的通项公式； (2)记Sn 为an的前n 项和，若Sm 63 ，求m .
(2)若 an
(2)n1 ，则Sn
1 (2)n 1 (2)
1 (2)n 3
.
由 Sm 63 得(2)m 188 ，此方程没有正整数解．
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
【解析】设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，
则由题意知 S7＝381，q＝2， ∴S7＝a111－－qq7＝a111－－227＝381，解得 a1＝3.故选 B.
（2018 全国卷Ⅱ文，17) 记 Sn 为等差数列an的前项和，已知
若 an
2n1 ，则Sn
1 2n 1 2
2n
1 .
由 Sm 63 得 2m 64 ，解得 m 6 .
综上， m 6 .
考点三 数列的综合应用
(2017 全国Ⅱ理，3) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问
题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖
头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的
an
注： S奇 logna aan中
若 Sn是等比数列的前n项和，则
Sn, S2n Sn, S3n S2n,... 成等比数列
an Aan
真题演练
考点一 由递推公式求通项公式
(2016 全 国 Ⅰ 文 ， 17) 已 知 an 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列 bn 满 足
1
1
n
3 1 1
3 2
1 2 3n1
.
3
（2018 全国Ⅰ文，17)已知数列an满足a1
1, nan1
2(n 1)an
，设bn
an n
.
（1）求b1,b2,b3 ；
（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；
（3）求an 的通项公式.
解：
(1)由条件可得an1
2(n n
1)
an
，
将 n 1代入，得 a2 4a1 ，又因a1 1 ，所以a2 4 . 将 n 2 代入，得 a3 3a2 ，所以a3 12 .
b1
1, b2
1 3 , anbn1
bn1
nbn
.
(1)求 an 的通项公式；
(2)求bn的前 n 项和.
（2） anbn1 bn1 nbn
(3n 1)bn1 bn1 3nbn1 nbn
bn1 bn
1 3
，
bn
是首项为1
，公比为
1 3
的等比数列．
记bn的前 n 项和为 Sn
，则 Sn
联立①和②解得
d q
03(舍去），qd
1 2
因此bn的通项公式为b 2n1 .
(2017 全国Ⅱ文，17) 已知等差数列an的前n 项和为Sn ，等比数列bn的前n
项和为Tn ， a1 1,b1 1,a2 b2 2 .
(1)若 a3 b3 5，求bn的通项公式；
(2)若T3 21，求S3.
b1
1, b2
1 3 , anbn1
bn1
nbn
.
(1)求 an 的通项公式；
(2)求bn的前 n 项和.
解：
(1)由已知，
a1b2
b2
b1,b1
1, b2
1 3
数列an是首项为 2 ，公差为3 的等差数列
a1 2 .
通项公式为 a 3n 1.
(2016 全 国 Ⅰ 文 ， 17) 已 知 an 是 公 差 为 3 的 等 差 数 列 ， 数 列 bn 满 足
(2)求an的通项公式．
解：
(1)由题意得
a2
1 2
, a4
1. 4
（2）an2 (2an1 1)an 2an1 0
2an1(an 1) an (an 1)
an
的各项都为正数， an1 an
1 2
.
an是首项为1
，公比为
1 2
的等比数列， an
1 2n1
．
(2017 全国Ⅱ文，17) 已知等差数列an的前n 项和为Sn ，等比数列bn的前n
(1)求 an 的通项公式；
(2)求 Sn ，并判断 Sn1, Sn, Sn2 是否成等差数列．
解： (1)设an的公比为 q，由题设可得
a1(1 q) 2
a1(1
q
q
2
)
6
解得 q＝－2，a1＝－2.
故an的通项公式为 an (2)n .
1
的前n
项和．
(2)记
an 2n
1
的前
n
项和为
Sn
.
由(1)知
an 2n
1
(2n
2 1）(2n
1)
2 2n
1
2 2n
1
，
则
Sn
1 1
1 3
1 3
1 5
1 5
1 7
...
1 2n 1
1 2n 1
2n 2n 1
.
感悟高考
(2018 全国Ⅰ理,4) 记Sn 为等差数列an的前n 项和，若3S3 S2 S4 ，
数列的综合应用〔第二课时〕
考纲解读
考
考纲内容
三年统计
点
（文科）
与 1.理解等差数列、 2016全国卷Ⅰ 17
数 等比数列的概念， 2016全国卷Ⅱ 17
列 掌握等差数列、等 2016全国卷Ⅲ 17
有 比数列的通项公式 2017全国卷Ⅰ 17
关 与前n项和公式及其 2017全国卷Ⅱ 17
的 应用。
2017全国卷Ⅲ 17
b1 1,b2 2,b3 4
（2018 全国Ⅰ文，17)已知数列an满足a1 1, nan1 2(n 1)an
，设bn
an n
.
（1）求b1,b2,b3 ；
（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；
（3）求an 的通项公式.
(2)bn是首项为1 ，公比为 2 的等比数列．
理由如下：由条件可得 an1 n 1
最小值为 16 .
(2017·全国Ⅲ文，17)设数列an满足a1 3a2 5a3 ... (2n 1)an 2n .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列
an 2n
1
的前n
项和．
解： (1) a1 3a2 5a3 ... (2n 1)an 2n ，
当 n 2 时， a1 3a2 5a3 ... (2n 3)an 2(n 1) )，
A．100
B．99
C．98
D．97
解析 由等差数列性质，知
S9＝9a1＋ 2 a9＝9×22a5＝9a5＝27
a5＝3
又因a10＝8，公差 d＝a1100－－a55＝1， a100＝a10＋90d＝98，
故选 C.
(2017 全国Ⅰ理,4) 记 Sn 为等差数列an 的前n 项和，若a4 a5 24 ，
前 n 项和法：an pn q
an cqn an cqn
法
Sn n An2 Bn
注： an是正S项n 等比A数n列2 ， Bn 注：an 是等差数列，
则 log a an是等an差数列
则Aaan n是等比数列
log a an
Aan
等差数列
等比数列
m, n, p, q N，m n p q, m, n, p, q N，m n p q,
两式相减，得 (2n 1)an 2，
所以
an
2 (n 2n 1
2)
．
又由题设可得 a1 1，满足上式，
所以{an}的通项公式为 an
2
.
2n 1
(2017·全国Ⅲ文，17)设数列an满足a1 3a2 5a3 ... (2n 1)an 2n .
(1)求 an 的通项公式；
(2)求数列
an 2n
2an n
，即 bn1
2bn ，
又b1 1，所以bn是首项为1 ，公比为 2 的等比数列．
(3)由(2)可得 an
n
2n1 ，
an
的通项公式为an n 2n1 .
考点二 通项公式与前项和公式
(2016 全国Ⅰ理，3)已知等差数列an前9 项的和为 27 , a10 8 ，则a100 ( )
a1 7, S3 15．
（1）求an的通项公式； （2）求Sn ，并求Sn 的最小值
解：（1）设 an 的公差为 d
，由题意得 S3
3a1
3（3 2
1)
3a1
3d
15
．
由 a1 7 得 d 2 ． an的通项公式为an 2n 9 ．
（2）由（1）得 Sn n2 8n n 42 16 ． 所以当n 4 时，Sn 取得最小值，
am 2aann1aapn aanq2
性 2m p q 2am ap aq
质
an pn q
a an2m1 aan n aanp2aq
2m p q am2 ap aq
an cqn
若 Sn是等差n数列的前n项和，则
Sn, S2n Sn, SS3nnS2nA,...n成2等差B数n列
项和为Tn ， a1 1,b1 1,a2 b2 2 .
(1)若 a3 b3 5，求bn的通项公式；
(2)若T3 21，求S3.
解 设an的公差为 d ，bn的公比为 q ，
则 an 1 n 1 d,bn qn1 .
由 a2 b2 2 得 d q 3 ①
(1)由 a3 b3 5得 2d q2 6 ②
知识清单
等差数列和等比数列比较
等差数列
定义
an1 an 常数
通项公式
an a1 (n 1)d an am (n m)d
等比数列
an1 常数 an
an a1qn1
an amqnm
等差数列
等比数列
前n项和公式
Sn
n(a1 2
an )
q 1, Sn na1
Sn
na1
n(n 1) 2
S6 48，则an的公差为(
A．1
B．2
【解析】设{an}的公差为 d，
) C．4
由 a4＋a5＝24， S6＝48，
a1＋3d＋a1＋4d＝24， 得 6a1＋6×5d＝48，
2
D．8
解得 d＝4.故选 C.
〖秒解〗
由题意可知S6
6(a1 2
a6 )
48
得 a3
a4
16
a4 a5 24 a5 a3 2d 8
(2)由b1 1,T3 21得 q2 q 20 0 . 解得 q 5 或 q 4 .
当
q
5
时，由①得
d
8,
则
S3
3
(1)
3
3
2
1
8
21.
当
q
4பைடு நூலகம்
时，由①得
d
1 ，则
S3
3
(1)
3
3
2
1
1
6
.
(2017·全国Ⅰ文，17)
记 Sn 为等比数列an 的前n 项和．
已知 S2 2, S3 6 .
d
q
1, Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
推导方法
倒序相加法
错位相减法
等差数列
等比数列
定义法 ：
定义法 ：
中项公式法：
中项公式法：
2an1 an an2 通项公式法2：an1 an an2
an21 an an2 通项a公n2式1 法：an an2
判 定 方
an pn q
∴数列an是首项 a1 1，公比 q 2 的等比数列，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1)(1 2n ) 1 2
1
2n
，
S6 1 26 63 .
(2016·全国Ⅲ，文，17) 已知各项都为正数的数列an
满足 a1 1, an2 (2an1 1)an 2an1 0 .
(1)求 a2 , a3 ；
d 4
（2018 全国Ⅲ文，17) 等比数列an中，a1 1,a5 4a3 . (1)求an的通项公式； (2)记Sn 为an的前n 项和，若Sm 63 ，求m .
解 (1)设an的公比为 q ，由题设得an a1qn1 qn1 .
a5 4a3 q4 4q2 q 0(舍去)， q 2 或q 2 . 故 an (2)n1 1 或an 2n1(n N ) ．
a1 2 ，则 a5 等于( )
A．－12
B．－10
C．10
解析 设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，
D．12
得
33a1
3 （2 2
1）d
2a1
2
（2 2
1）d
4a1
4
（4 2
1）d
将 a1＝2 代入上式，解得 d＝－3，
故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
(2018 全国Ⅰ理,14) 记 Sn 为数列 an 的前n 项和．若Sn 2an 1 ，
则 S6 ＝________.
解析 Sn 2an ，当 n 2 时， Sn1 2an1 1 ，
an Sn Sn1 2an 2an1(n 2) ， 即an 2an1(n 2) ．
当 n 1时， a1 S1 2a1 1，得 a1 1.