黑龙江省虎林市高三数学下学期开学摸底考试(3月)试题

黑龙江省虎林市2017届高三数学下学期开学摸底考试（3月）试题 理
1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域
内.
2． 选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚.
3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效.
4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
2．已知复数z 满足z(1＋i)2＝1－i ，则复数z 对应的点在________上( )
A ．直线y ＝－12x
B ．直线y ＝12x C.直线y ＝－12 D ．直线x ＝－12
3、已知动点P 与定点)0,1(M 、)0,3(N ,满足：2=-PN PM ，则点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线
4．已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M ＝2a
，N ＝5－b
，P ＝ln c ，则M ，N ，P 的大小关系为( )
A ． P ＜N ＜M
B ．P ＜M ＜N
C ．M ＜P ＜N
D ．N ＜P ＜M
5、已知βα,都是锐角，13
5
cos ,54sin ==
βα，则=-)sin(αβ（ ） A ．6516- B. 6516 C.6556- D.65
56
6.已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222
a b c b c =+-，4bc =，则ABC ∆的面
积为
A. 1
2
B. 1
D. 2
8. 已知函数()0
()210
x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨
->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),0-∞
C ．()1,0-
D ．[)1,0- 9、设一个几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）.
A ．3
16 B. 320
C. 215
D. 2
13
10．已知实数x ∈[1，10]，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为( )
A.13
B.49
C.25
D.310
11．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
A ．233
B ．236
C ．113
D ．103
12.已知函数()x f 是R 上的偶函数，在()2,3--上为减函数且对
R x ∈∀都有()()x f x f =-2，若B A ,是钝角三角形ABC 的两个锐
角，则（ ）
()()B f A f A cos sin .< ()()B f A f B cos sin .>
()()B f A f C cos sin .= () A f D sin .与()B f cos 的大小关系不确定
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．若实数x ，y 满足10
00x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的最大值是__________。

14.已知,2
1
tan =
α则=α2cos ______ 15．设dx x a ⎰=20sin π
，则6
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x a x 展开式的常数项为______．
16．已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA = 2，PB = PC = 1，则三棱锥P -ABC 的内
10题图
11题图
切球半径为__________。

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点（a ，b ）在直线4x cosB －y cosC ＝c cosB 上． （Ⅰ）求cosB 的值；
（Ⅱ）若3=⋅BC BA ，b ＝a 和c ．
18．(本小题满分12分)如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．
O 为AB 的中点，OF EC ⊥．
（1）求证：OE FC ⊥；
（2）若AC AB =F CE B --的余弦
值．
19．(本小题满分12分)为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试
⑴ 根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关
⑵为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得
60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为1
2，得
80分以上的概率为1
3，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X 表示甲
班通过预选的人数，求X 的分布列及期望E （X ）. 附: k 2
=n(ad-bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
, n=a+b+c+d
20. (本小题满分12分)已知椭圆12222=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率36
=e ，过点A （0，-b ）
和B （a ，0）的直线与原点的距离为2
3
． （1）求椭圆的方程．
（2） 已知定点E （-1，0），若直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的
值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．
21．(本小题满分12分)已知函数2
()ln f x x ax x =+-，a R ∈. （1） 若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；
（2） 令2
()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最
小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点. ⑴ 求证：OC AD //；
⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x=22t
y=2
2t+42
(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π
4
)．
（1）求圆心C 的直角坐标；
（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
24已知函数()⎩⎨⎧≥<+-=1
,ln 1
,23x x a x x x x f
（1）当1≥a 时，求()x f 在[]e ,0（e 为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意的正实数a ，问：曲线()x f y =上是否存在两点P,Q ，使得POQ ∆(O 为坐标原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？
⑵
数学试题答案
一. 选择题: CCBAD CADCA DA 二. 填空题：13. 2 14.53 15.160 16.4
1
三．解答题 17题答案（12分）：
（Ⅰ）由题意得 4cos cos cos a B b C c B -=，……………………………（1分） 由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，
所以4sin cos sin cos sin cos A B B C C B ⋅-⋅=⋅，………………………………………（3分） 即4sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+⋅，
所以4sin cos sin()sin A B C B A ⋅=+=，…………………………………………………（5分） 又sin 0A ≠， 所以1
cos 4
B =
.………………………………………………………………………………（6分） (Ⅱ）由3BA BC ⋅=得cos 3ac B =，又1
cos 4
B =
，所以12ac =.………………（9分）
由2222cos b a c ac B =+-，b =2224a c +=，
所以()2
0a c -=，即a c =，……………………………………………………………（11分）
所以a c ==…………………………………………………………………………（12分） 18题答案（12分）
（1）证明：连结OC ，因AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥． 又因平面ABC ⊥平面ABEF ，故OC ⊥平面ABEF ， 于是OC OF ⊥．又O F E C
⊥，所以OF ⊥
平面OEC ，所以OF OE ⊥，又因OC OE ⊥，故OE ⊥平面OFC ，所以OE FC ⊥． 5分
（2）由（1），得2AB AF =，不妨设1AF =，2AB =，取EF 的中点D ，以O 为原点，
,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设O C k
=
，则(0,1,1),
(0,1,1),(F E B C k -，从而
(2,1,1),(0,2,0),CE EF =-=-设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =，由00
CE n EF n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，
得(1,0,2)n =，
同理可求得平面CEB 的法向量(1,2,0)m =，设,n m 的夹角为θ，则1
cos 3
n m n m θ⋅==，
由于二面角F CE B --为钝二面角，则余弦值为13
-. 7分
19．答案(12分)．解（1）2×2列联表如下
由错误！未找到引用源。

算得，
错误！未找到引用源。

，所以有99%的把握认为环保知识与专业有关 （4分）
（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M,N,R 分别表示小王，小张，小李通过预选，则P （M ）=12， P （N ）=P （R ）= 1
3
（5分）
∴随机变量X 的取值为0，1，2，3 （6分）
所以P(x=0)=P(M ¯N ¯R ¯)=12×23×23 = 29, P(x=1)=P(MN ¯R ¯+M ¯NR ¯+M ¯N ¯R)= 12×23×23+12×23×13+12×23×13= 4
9
,
P(x=2)=P(MNR ¯+M ¯NR+MN ¯R )= 12×23×13+12×23×13+12×13×13 = 518, P(x=3)=P(MNR)= 12×13×13 = 1
18
（10分）
所以随机变量X 的分布列为：
E(X) =0×29+1×49+2×518+3×118 = 7
6 （12分）
20答案．解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab ＝0．
依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=
+=2336
22b
a a
b a
c ， 解得 ⎩⎨⎧==13b a ，
∴ 椭圆方程为 13
22
=+y x ．…………………4分 （2）假若存在这样的k 值，由⎩⎨⎧=-++=0
3322
2y x kx y ，得)31(2k +09122
=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(2
2
>+-=∆k k ． ①
设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=
+-=+⋅2212
213193112k x x k k x x ， ②
…………………………………………8分
而4)(2)2)(2(21212
2121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y ．
要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则
11
12211
-=++⋅x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．…………………………………………10分
∴ 05))(1(2)1(21212
=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=k ．经验证，6
7
=k ，使①成立． 综上可知，存在6
7
=
k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．………………………12分 21答案（12分）试题解析：（1）2121
'()20x ax f x x a x x
+-=+-=
≤在[]1,2上恒成立， 令2
()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得1
72
a a ≤-⎧⎪⎨≤-
⎪⎩，得72a ≤-. 5分
（2）假设存在实数a ，使(]()ln (0,)g x ax x x e =-∈有最小值3，11
'()ax g x a x x
-=-=
①当0a ≤时，()g x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4
a e
=
（舍去），
②当10e a <
<时，()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1,e a ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增 ∴min 1
()()1ln 3g x g a a
==+=，2a e =，满足条件. ③当
1e a ≥时，()g x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4
a e
=（舍去）
， 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3. 7分
22答案（10分）解：
(1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，
//AD OC .
5分
(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，
AD AB
OB OC
=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分
23.答案（10分）解： (1)∵ρ=2cos(θ+π
4
)
∴ρ=2 cos θ-2sin θ,∴ρ2
=2ρcos θ-2ρsin θ …………(2分) ∴圆C 的直角坐标方程为x 2
+y 2
-2x+2y=0 …………(3分) ∴圆心C 的直角坐标为(
22,- 2
2
) …………(5分) (2)法一： 由直线l 上的点向圆C 引切线长为
(
22t-22)2+(22t+ 22
+42)2-1=t 2+8t+40=(t+4)2
+24≥26, ∴直线l 上的点向圆C 引切线长的最小值为26 …………（10分） 法二：直线l 的普通方程为x-y+42=0, …………(6分)
圆心C 到l 直线距离是
52
|2422
22|
=++， …………(8分)
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分）
24.答案（12分）试题解析：（1）2121
'()20x ax f x x a x x
+-=+-=
≤在[]1,2上恒成立， 令2
()21h x x ax =+-，有(1)0(2)0h h ≤⎧⎨≤⎩得1
72
a a ≤-⎧⎪⎨≤-
⎪⎩，得72a ≤-. 5分
（2）假设存在实数a ，使(]()ln (0,)g x ax x x e =-∈有最小值3，11
'()ax g x a x x
-=-=
①当0a ≤时，()g x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4
a e
=（舍去）， ②当10e a <
<时，()g x 在1(0,)a 上单调递减，在1,e a ⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增 ∴min 1
()()1ln 3g x g a a
==+=，2a e =，满足条件. ③当
1e a ≥时，()g x 在(]0,e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4
a e
=（舍去）
， 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3. 7分。