第14章 函数的奇偶性假期晋级利器之初升高数学衔接教材精品(解析版)

第14章 函数的奇偶性
【知识衔接】
————初中知识回顾————
正比例函数：图象关于原点对称
一次函数：当0=b 时，图象关于原点对称 反比例函数：图象关于原点对称
二次函数：当0=b 时，图象关于y 轴对称
————高中知识链接————
【经典题型】
初中经典题型
1．已知点()2,A m -、2,3B n ⎛⎫
⎪⎝⎭
是正比例函数y kx =图象上关于原点对称的两点，则k 的值为（ ） A ．
13 B ． 1
3
- C ． 3 D ． 3- 【答案】A 故选A
2．反比例函数m
y x
=的图象如图所示，以下结论： ①常数m ＜﹣1；
②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；
③若A （﹣1，h ），B （2，k ）在图象上，则h ＜k ； ④若P （x ，y ）在图象上，则P′（﹣x ，﹣y ）也在图象上． 其中正确的是（ ）
A ． ①②
B ． ②③
C ． ③④
D ． ①④ 【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象位于一三象限， ∴m ＞0 故①错误；
当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故②错误； 将A （﹣1，h ），B （2，k ）代入m
y x
=得到h =﹣m ，2k =m ， ∵m ＞0 ∴h ＜k 故③正确；
将P （x ，y ）代入m y x =
得到m=xy ，将P ′（﹣x ，﹣y ）代入m
y x
=得到m =xy ， 故P （x ，y ）在图象上，则P ′（﹣x ，﹣y ）也在图象上 故④正确，故选：C ．
3．已知点()12,y ， ()23,y -均在抛物线2
1y x =-上，则1y 、2y 的大小关系为（ ）
A ．12y y <
B ．12y y >
C ．12y y ≤
D ．12y y ≥ 【答案】A
【解析】∵抛物线2
1y x =-开口向上，对称轴为直线0x =（即y 轴），点()12y ，比点()23y -，到对称轴
的距离近， ∴12y y <．
点睛：（1）当抛物线的开口向上时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越小；（2）当抛物线开口向下时，抛物线上的点距对称轴越近，其纵坐标越大． 4．若在同一直角坐标系中，作
，
，
的图像，则它们（ ）
A ． 都关于轴对称
B ． 开口方向相同
C ． 都经过原点
D ． 互相可以通过平移得到 【答案】A
故选A ．
高中经典题型
1．下列函数为奇函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝e x
C ．y ＝cos x
D ．y ＝e x －e －x
【答案】D
【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数． D 中函数定义域为R ，又()()()x
x
x
x
f x e e e e
f x －－－＝－＝－－＝－，∴x x y e e －＝－为奇函数．
2．已知定义域为R 的函数()122x x a
f x b
+-+=+是奇函数，求,a b 的值．
【答案】1
2
a b =⎧⎨
=⎩
【解析】
()(),f x f x -=-1
12222x x x x a a
b b
--++-+-∴=++， ()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+- 42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅，420
1222ab a b a b a b
-=⎧=⎧⎪
=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩
．
3．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x
f x
g x e -=，则有( ) A ．()()()230f f g << B ．()()()032g f f << C ．()()()203f g f << D ．()()()023g f f <<
【答案】D
【解析】由题意，得()()()()x x f x g x e f x g x e
-⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得()()2
2
x x x x
e e
f x e e
g x --⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 故(0)1g =-，()f x 为R 上的增函数，()()023f f <<，故()()()023g f f <<． 4．若函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，则( ) A ．函数()()f x g x -是奇函数 B ．函数()()f x g x ⋅是奇函数 C ．函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 D ．()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 【答案】B
【解析】若函数()()f x x ∈R 是奇函数，函数()()g x x ∈R 是偶函数，对于选项A ．设()()2,f x x
g x x ==，
则函数()()f x g x -为非奇非偶函数，对于选项B ．设()()()h x f x g x =⋅，则
()()()()h x f x g x h x -=-⋅-=-，故函数()()f x g x ⋅是奇函数，选项B 正确；对于选项C ．设()()2,sin f x x g x x ==，则函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数，故选项C 不正确；对于选项D ．设
()()2,sin f x x g x x ==， ()g f x ⎡⎤⎣⎦是偶函数，故选项D 不正确；综上，正确的只有选项B,故选B ．
【实战演练】
————先作初中题 —— 夯实基础————
A 组
1．抛物线y ＝2x 2－3的顶点在( )
A ． 第一象限
B ． 第二象限
C ． x 轴上
D ． y 轴 【答案】D
【解析】试题分析：b =0，抛物线的对称轴是y 轴，所以顶点在y 轴上，故选D ．
2．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．y=﹣2x 2 B ．y=2x 2 C ．y=﹣12x 2 D ．y=1
2
x 2 【答案】C
3．如图，直线y=x 与双曲线()0k y k x
=的一个交点为A ，且OA=2，则k 的值为 ．
【答案】2．
【解析】∵点A 在直线y =x ，且OA =2，
∴点A 的坐标为 ，
把
代入k
y x
=得，
=
， ∴k=2．
4．如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y=k
x
（x ＞0）的图象上，AC ∥x 轴，AC=2，若点A 的坐标为（2，2），则点B 的坐标为_______． 【答案】（4，1）
【解析】试题分析：∵点A （2，2）在函数（x ＞0）的图象上，∴2=
，得k=4，∵在Rt △ABC 中，
AC ∥x 轴，AC=2，∴点B 的横坐标是4，∴y=
=1，∴点B 的坐标为（4，1），故答案为：（4，1）．
5．如图，直线l 与双曲线交于A 、C 两点，将直线l 绕点O 顺时针旋转a 度角（0°＜a≤45°），与双曲线交于B 、D 两点，则四边形ABCD 的形状一定是_ _． 【答案】平行四边形
【解析】分析：本题考查的反比例函数图像的对称性和平行四边形的判定定理得出即可． 解析：因为反比例函数是中心对称图形，所以OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD 是平行四边形． 故答案为平行四边形．
6．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点为（2，5），则另一个交点坐标为________． 【答案】（﹣2，﹣5）
【解析】∵另一个交点的坐标与点（2，5）关于原点对称， ∴另一交点的坐标为（-2，-5）． 故答案是：(-2,-5) ．
7．如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
【答案】（1）8；（2）﹣4＜x＜0和x＞4．（3）点P的坐标为（8，1）或（2，4）．
详解：（1）∵直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，
∴×4=2，即：A点的坐标为（4，2），
∴k=4×2=8，即：k的值为8．
（2）∵点A与点B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），
又∵不等式x＞的解，是函数图象上直线位于双曲线上方的部分对应的x的取值，
∴由图象可知：不等式x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．
（3）作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，）．
∵P、Q 关于O 点对称，A、B 关于O 点对称，
∴四边形APBQ 为平行四边形，
∴4S△OAP=24
∴S△OAP=6．学科！网
①当点P 在直线AB 的下方时，如图1 所示，
S △OAP=×4×2+（+2）（a ﹣4）﹣a•=6， ∴a2﹣6a ﹣16=0， 解得：a 1=﹣2，a 2=8，
∴此时点P 的坐标为（8，1）；
②当点 P 在直线 AB 的上方时，如图 2 所示， S △OAP=a•+（+2）（4﹣a ）﹣×4×2=6， ∴a2+6a ﹣16=0， 解得：a 1=2，a 2=﹣8，
∴此时点P 的坐标为（2，4）．
综上所述：点P 的坐标为（8，1）或（2，4）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征，利用函数图像解不等式，平行四边形的判定与性质及分类讨论的数学思想，解题的关键是：（1）求出点A 的坐标；（2）利用两函数图象的上下位置关系解不等式；（3）找出关于a 的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数k 是关键．
————再战高中题 —— 能力提升————
B 组
1．判断下列函数的奇偶性：
（1）2
lg(1)()22x f x x -=--； （2）2
22,0,()0,0,2,0,
x x f x x x x ⎧+>⎪
==⎨⎪--<⎩
【答案】（1）()f x 为奇函数；(2) ()f x 为奇函数
2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13
B ．13
C ．12
D ．－12
【答案】B
【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－，∴13a ＝，则13
a b +＝． 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12x
D ．y ＝x 2＋sin x
【答案】D
4．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为 ( ) A ．偶函数
B ．奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数 【答案】B
【解析】显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．
令y x ＝－，得()()0x ()f f f x =+-，又∵(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x －＝－． ∴()f x 是奇函数，故选B ．
5．已知函数()()2,0
{
,0
x x f x g x x >=<是偶函数，则()2f -=（ ） A ． 2 B ．
12 C ． 4 D ． 1-2
【答案】C
【解析】因为函数()()2,0
{ ,0
x x f x g x x >=<是偶函数，所以()()2?2f f -== 22=4 ，故选C ．
6．若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1
【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +- =2
2
ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1．。