高中数学必修一《函数的概念》教学设计

函数的概念教学设计
一、教学目标
1、知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.
（2）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（3）了解构成函数的要素；
3、情感.态度和价值观
(1)通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；
(2) 启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.
(3)在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培
养学生的辨证思想.
(4) 让学生体会现实世界充满变化，要用发展的眼光看待问题。

使学生感受到学习函数的必要
性的重要性，激发学习的积极性。

二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数三要素的理解；
三、学法与教学方法
1、学法（尝试自学辅导法）.：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课
的教学目标 .
2..教学方法：建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出
问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观感知→观察分析→归纳类比→抽象概括，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力.
通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。

内容分析：
函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材
泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中
函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数
的内容
本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的
四：教学过程
1.复习回顾：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素.
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？
炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .
从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系h=130t-5t ²,在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应，满足函数定义，应为函数。

发现解析式可以用来刻画函数。

对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（﹡），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.
发现解析式可以用来刻画函数。

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
提出问题：观察分析图中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.
根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .
引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A 中的每一个时刻t 都对应t 时刻时曲线在该点的纵坐标。

即在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s 与之对应，满足函数定义，也应为函数。

发现图像也可以来刻画函数。

对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.
教师及时提问：这两个个实例的不同点和共同点是什么？
（二）．问题探讨，归纳概括
1.以上两个实例有什么不同点和共同点？
活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果.
归纳以上两个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系.
其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作.:B A f →
引导学生思考：在两个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，
2.你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
活动：让学生分组讨论交流，讨论归纳出：
函数的概念:
一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈= 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.
显然，值域是集合B 的子集.
引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件
强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应. ③认真理解ｙ﹦ｆ（ｘ）的含义：f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，ｙ﹦ｆ（ｘ）是一个整体，绝对不能理解为f 与x 的乘积.在不同的函数中f 的具体含义不同，由以上两个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f (x )表示外，还可用g (x ),F (x )等表示．
思考：这个函数的定义与以往的函数定义有何区别和联系
引导学生思考，提高分析问题解决问题的能力
这两种定义实质上是一致的，即它们的定义域和值域的意义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，其中对应关系是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数y 对应起来；高中给出的定义是从集合对应的观点出发，其中的对应关系是将A 集合中的任一元素与B 集合中的唯一确定的元素对应起来，这样定义逃脱了物理运动的束缚，更加完美。

教师再及时引导，既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？问题清晰，学生
马上给出解答。

④函数的三要素：定义域，值域和对应法则 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

1°核心 —— 对应法则
等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y.因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x 与y 的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f 也可以采用其他方式（如图表或图象等）.
（补充理解）① 函数是个“信使”
“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清.同样，“函数”也是这样，每个自变量x 都要按一定的对应法则与确定的y 一一对应.自变量x 就是一封信，它被“对应法则”这个信使送到确定的“收信人”——y 手里.
② 函数是个“产品加工厂”
工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量x 按规格——“对应法则”“加工”成不同产品——y .它也象“数字发生器”把原料——自变量x ，投入不同的“数字发生器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y .
③函数是个“无能的射手”
有本领的射手可以“一箭双雕”，可函数不行，有可能射不中目标，但它能多箭一雕.如，由数集A 到数集B 的映射中，B 中每个元素必有原象，也可有多个原象. A 中元素在B 中可以没有象. ④函数是“封建社会的婚宴”
在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量x 可对应一个函数值y ，但是一个“妇女”——自变量x 不能找多个“婆家”——y 值.在现代社会是“一夫一妻”制，这正如有反函数的函数x 与y 之间必须是一一对应的.）
2°前提和基础 ——定义域
定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.
在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题.
3°值域
值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数.
同一函数概念。

构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。

而值域可由定义域和对应法则
唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数.
5 函数的值：关于函数值 )(a f 的意义：自变量x 取确定的值a 时，对应的函数值用符号()f a 表示
例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常
（三）新知演练 及时反馈
1. 提出问题：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？
并用函数的概念来描述这些函数.
1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;
2．反比例函x
k x f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R
值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素.
2. 思考辨析：
(1) 1=y (x ∈R )是函数吗？(2))0(≥±=x x y 是函数吗？
(3)x x y -+=13-是函数吗？(4)x y =与x
x y 2
=是同一函数吗？ 方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？
可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？
由学生总结得到：(1)理解函数的定义应注意：
①符号“f:A →B ”表示从A 到B 的一个函数；②函数是非空数集A 到非空数集B 上的一种对应； ③集合A 中数的任意性，集合B 中数的唯一性.
(2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A ，B ，一个对应关系.。