2022届高三下半年第一次月考数学试卷(贵州省遵义市第四中学)

2022届高三下半年第一次月考数学试卷（贵州省遵义市第四中学）
解答题
（1）证明：如果，，那么；
（2）已知，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）作差利用乘法公式与实数的性质即可得出．
（2）利用柯西不等式的性质即可得出．
试题解析：
（1）
∵，，
∴，
∴．
（2），
∴,当且仅当时取等号。

∴的最小值为.
填空题
观察下列各式：
……
照此规律，当时，则．
【答案】
【解析】试题分析:观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：
不等式的右边的分子是的形式，分母是的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是.故应填答案.
选择题
函数的大致图像是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，函数，
则，所以函数为奇函数，所
以图象关于原点对称，当时，，所以函数的图象为选项A，故选A。

选择题
已知等差数列，，则其前项的和（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选C.
选择题
设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，故选C．解答题
已知椭圆,过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点；
（Ⅰ）求中点的轨迹方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值,并求此时直线的方程．
【答案】（Ⅰ）;(Ⅱ) 此时, .
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点的轨迹方程；
（Ⅱ）令代入，利用韦达定理，表示出
面积，利用函数的单调性，即可求面积的最大值，及此时直线
的方程．
试题解析：
（Ⅰ）法一:
设, ,
直线的方程为:
则
①②得：
所以,
即：,
所以
所以代入
所以即为所求
法二：
设, ,
则
①-②得：
即：
即：
所以即为所求
(Ⅱ)令
联立
得：
因为
所以
所以
令
则在上单调递减，当，即时,
此时,
选择题
函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】C
【解析】试题分析：从的图象可知的符号为正、负、正、负，所以在内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在内只有一个极小值点，故选A.
选择题
在区间上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，∴由得，
则事件发生的概率，故选B．
选择题
已知，下列不等关系中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选项A中不等式两边同乘以负数，不等式方向没有改变，错误，选项B中，考查幂函数，因为，所以函数在上是减函数，错误，选项D中做差
，所以正确，选D．
填空题
已知，则__________．
【答案】7
【解析】因为，，又，故，应填答案为7．
填空题
给定两个向量，，且，则实数
等于__________．
【答案】
【解析】根据题意，，即，因为，，，故
，所以.
选择题
已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若是异面直线，，
，，则．
其中真命题是（）
A. ①和④
B. ①和③
C. ③和④
D. ①和②
【答案】A
【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线，，则平面是正确的；因为答案②中的两个平面也可能相交，故不正确；答案③中的两个平面，可以推出两个平面
相交，故也不正确；对于答案④，可将直线平移到到平面内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知，是正确命题，所以应选答案A。

选择题
若满足约束条件，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由约束条件，作出可行域如图，
由，得A（0，1）
化目标函数z=x+y为y=?x+z，
由图可知，当直线y=?x+z过A（0，1）时，目标函数有最大值，为z=1+0=1．
故选：C．
选择题
已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，故的共轭复数为
．故本题正确答案为B．
解答题
为检验寒假学生自主学习的效果，年级部对某班50名学生各科的检测成绩进行了统计，下面是政治成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，．
（1）求图中的值及平均成绩；
（2）从分数在中选5人记为，从分数在中选3人，记为，8人组成一个学习小组．现从这5人和3人中各选1人做为组长，求被选中且未被选中的概率．
【答案】（1），74；（2）.
【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的性质能求出x及平均成绩．
（2）从这5人和3人中各选1人做为组长，先求出基本事件总数，再求出a1被选中且b1未被选中包含的基本事件个数，由此能求出a1被选中且b1未被选中的概率．
试题解析：
（1）由，解得
平均成绩为
（2）从这5人和3人中各随机选1人，所有结果有：
共15个．
事件为“被选中，未被选中”包含的基本事件有：，共2个．
所以被选中，未被选中的概率
解答题
已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知求数列的前项和．
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）当时，解出（
舍去），
又①
当时②
①-②得：? , 即，∴,
（），
是以3为首项，2为公差的等差数列，?
．
（2）③
又④
④－③
填空题
已知函数为定义在上的连续可导函数，且，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】令
则.
因为，所以.
所以在定义域上的增函数.
由不等式，得.
所以解得.
故答案为.
选择题
已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解析：因为点在椭圆上，且轴，所以代入椭圆方程可得，又因为且若，所以
，即，则，应选答案A。

解答题
如图，已知平面，四边形为矩形，四边形
为直角梯形，，，，．（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（3）求三棱锥的体积．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）
【解析】（1）因为四边形为矩形，
所以平面，平面，
所以平面．
（2）过作，垂足为，
因为所以四边形为矩形．
所以，又因为所以，，
所以，所以；
因为平面，所以平面，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（3）因为平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面．
选择题
一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，
它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：.
该三棱锥的外接球的表面积为：4×π×()2=29π，
故选A.
选择题
若将函数的图象向左平移个单位，则平移后的图象（）
A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 关于点对称
D. 关于直线对称
【答案】D
【解析】根据已知条件，平移后的函数表达式为.令，解得，则平移后的图象关于直线对称，当时，.
故本题正确答案为。