上海市进才中学2021-2022学年高二上学期9月月考数学试卷(解析版)
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所以
故答案为：
4.已知数列 满足： ， ，则 ___________
【答案】2
【解析】
【分析】由递推关系结合三角函数可知数列的变化规律，即可求解
【详解】数列 满足： ， ，
则 ，
，
，
由此可知数列 是一个周期为2的周期数列，
所以 ，
故答案为：2
5.在正方体上，a，b是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________
而a，b，c不共面，故③错误；
对于④：
如图：
a，b不共面，b，c不共面，
而a，c共面，故④错误；
综上，正确的个数为0
故选：A
15.在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.
（2）过M，N，P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）截面见解析，截面周长为
【解析】
【分析】（1）连接 ，先证明 ，即可证明 平面 ；
（2）先作出过M，N，P三点作正方体的截面为 ，再求出相关线段的长度，即可求解
【详解】（1）连接 ，如图：
【详解】当直线在AB位置时，与其异面直线有 ，共4条，
当直线在 位置时，除 外，其他8条直线均与其异面，
当直线在GH位置时， ，与其异面直线有 共6条，
当直线在AH位置时，与其异面直线有 ，共7条，
所以不可能是5条，
故选：D
16.已知函数 ，各项均不相等的数列 满足 ，记 .①若 ，则 ；②若 是等差数列，且 ，则 对 恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）
A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对
【答案】A
【解析】
【分析】①利用正弦函数为奇函数可得 ，再进行累加即可得到答案；
② 是等差数列，当 时，对 分为奇数和偶数进行讨论；
【详解】解： 在 为奇函数且单调递增，
①
所以 ，且 ，①正确；
② 是等差数列，当 时，
若 为偶数， ，
，
同理 ，…， ，
则易知 ， ，
所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）过M，N，P三点作正方体的截面为 ，如图所示：
则截面 的周长为： ，
因为正方体棱长为1，则
，
，
所以 ，
所以截面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ周长为
20.设数列 的前 项和为 ，若 （ ），则称 是“紧密数列”.
（1）已知数列 是“紧密数列”，其前5项依次为 ，求 的取值范围；
【答案】32
【解析】
【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解
【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面 的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
因为对任意 ， ，即 ，所以， ，
即 是“紧密数列”．
（3）由数列 是公比为 的等比数列，得 ，
因为 是“紧密数列”，所以 ．
①当 时， ，因为 ，
所以 时，数列 为“紧密数列”，故 满足题意．
②当 时， ，则 ，因为数列 为“紧密数列”，
所以 ，对任意 恒成立．
（ⅰ）当 时， ，
即 ，对任意 恒成立．
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n） ，令f′（n） ，
则f（n）在 上是单调递增，在 上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
则 ，则
所以 ，
所以 .
11.在数列 中，对任意 ， ，当且仅当 ，若满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】512
【解析】
【分析】不妨设 ，则 ，从而得到 ，同理求出 ， ， ，利用已知的不等式求解，求出 的最小值，从而得到 的最小值．
详解】不妨设 ， ，
由题意可得， ，
因为 ，
所以 ，
【答案】 或
【解析】
【分析】通过求异面直线 与 和异面直线 与 所成角即可.
【详解】解：正方体的面对角线成异面直线的，分平行的面和相交的面两类
如图找两对代表进行计算：
1.异面直线 与 ，其所成的角即为直线 与 所成的角， ；
2.异面直线 与 ，其所成的角即为直线 与 所成的角， .
故答案为： 或 .
【解析】
【分析】
通过举特例可以选出正确答案.
【详解】例如数列： ，显然值为3的项数有无穷多个.
故选：D
【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题.
14.下列命题正确的个数是（）
①若a，b共面，b，c共面，则a，b，c共面；
②若a，b共面，b，c共面，则a，c共面；
③若a，b共面，b，c共面，c，a共面，则a，b，c共面；
（3）由（2）可知， ，计算整理可得 ，赋值可得 ，进而可得对任意的 ，根据等差数列的定义，即可求得答案.
【详解】（1）解：根据题意，可知数列 为递增数列，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
因为 ，
当 时， ，
又因为当 时， ，
又由 可得， ，即 ，该结果与题意相反，故 ；
由上可得， ，满足题意，
综上 ， ；
【解析】
【分析】首先判断 不相交，假设 不是异面直线，则 ，由此推出矛盾，从而证明 是异面直线.
【详解】由于 ， ，所以 ，
由于 ，所以 不相交.
假设 不是异面直线，则 ，
由于 则 ，
这与 矛盾
所以 是异面直线.
18.已知M，N是长方体 的棱 ， 的中点，且
（1）若 ，求异面直线MN与 所成角的大小；
6.在2，x，8，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则 ___________
【答案】 或 .
【解析】
【分析】根据等比数列和等差数列的概念列式计算即可.
【详解】解：由已知得
解得 或 ，
或 .
故答案为： 或 .
7.已知数列 的通项公式为 ，且为严格单调递增数列，则实数 的取值范围是___________
④若a，b不共面，b，c不共面，则a，c不共面；
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】以正方体棱上的a，b，c为例，逐个判断即可求解
【详解】以正方体棱上的a，b，c为例说明：
对于①②：
如图：
a，b共面，b，c共面，
而显然a，c异面，故a，b，c不共面；
所以①②都错误；
对于③：
如图：
a，b共面，b，c共面，c，a共面，
（3）由题意， 是“紧密数列”，所以 ．分类讨论：
①当 时数列 为“紧密数列”， 满足题意．
②当 时，结合等比数列前n项和公式有 ，对任意 恒成立．讨论可得：（ⅰ）当 时，满足题意；（ⅱ）当 时， 不存在．
则 的取值范围是 ．
试题解析：
（1）由题意得： ，所以 .
（2）由数列 的前 项和 ，
得 ．
所以， ，
【答案】
【解析】
【分析】画出正三角形△ABC的直观图 ，根据重心分中线的比为 来计算重心 到底边 的距离
【详解】如图为正三角形△ABC的直观图 ， 为重心 到底边 的距离
则 ，
因为 为 的重心， ，
.
故答案为： .
9.已知数列 满足 则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以 ，设f（n） ，由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到 的最小值．
（2）若数列 的前 项和为 （ ），判断 是否是“紧密数列”，并说明理由；
（3）设 是公比为 的等比数列，若 与 都是“紧密数列”，求 的取值范围.
【答案】(1) (2) 是“紧密数列”(3)
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组可得 .
（2）由题意可得 ．则 ，结合反比例函数的性质讨论可得 ，则 是“紧密数列”．
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有 个，
故答案为：32
二､选择题（本大题共4个小题，每题3分，满分12分）
13.一个不是常数列 等比数列中，值为 的项数最多有
A. 个B. 个C. 个D.无穷多个
【答案】D
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高二数学试卷
一､填空题（本大题共12个小题，每题3分，满分36分）
1.不共线的三点确定___________个平面.（填数字）
【答案】1
【解析】
【分析】由空间几何的公理求解即可
【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面
故答案为：1
2.空间两个平面最多将空间分成___________部分.（填数字）
21.数列 满足： ，且对任意 ，都有 ．
（1）求 ；
（2）设 ，求证：对任意 ，都有 ；
（3）求数列 的通项公式 ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据题中递推关系，代入数据，结合 为递增数列，分析推理，即可求得答案.
（2）利用反证法，假设存在 ，使得 ，即 ，根据题中条件，可证 ，该结论与 相反，假设不成立，原命题成立；
（2）证明：假设存在 ，使得 ，即 ，
则由 ，及 ，得 ，
由 ，及 ，得 ，
由此可得， ，该结论与 相反，
∴假设不成立，即 ，
即对任意 ，都有 ．
（3）解：由（2）可知， ，
因为 ，
所以 ，
所以异面直线MN与 所成角的大小 ；
（2）设 ，则 ， ，
因为异面直线MN与 所成角的大小为 ，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以 为异面直线CD和 所成的角，
因 ，
所以 ，
所以异面直线CD和 所成角的大小为
19.已知在正方体 中，M，N，P分别为 ，AD， 的中点，棱长为1，
（1）求证： 平面 ；
【答案】4
【解析】
【分析】当两个平面相交时可得答案.
【详解】当两个平面相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4部分.
故答案为：4.
3.若数列 的通项公式 ，其前5项和 ___________
【答案】
【解析】
【分析】先判断数列为等比数列，再用求和公式求解即可
【详解】数列 的通项公式 ，
则 ，故数列 首项为2公比为2的等比数列，
所以
若 为奇数， ，
， ，…，
所以 ；
同理，当 时，也有 .②正确.
故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.
三､解答题（本大题共5小题，满分52分）
17.已知平面 平面 ， ， ， 且 ，用反证法证明：b，c是异面直线.
【答案】证明见解析
同理可得， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，又 ，
所以 的最小值整数解为9，
故 的最小值为 ．
故答案为：512．
12.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面 ：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到 的距离是前三个点到 的距离的2倍，这样的平面 的个数是___________个
因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以，当 时， ，对任意 恒成立．
（ⅱ）当 时， ,即 ，对任意
恒成立．因为 ．所以 ，解得 ，
又 ，此时 不存在．
综上所述， 的取值范围是 ．
点睛：(1)本题解题的关键是抓住新定义的概念：若 （ ），则称 是“紧密数列”可将问题迎刃而解．
(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
又因为 ， ，
所以 的最小值为
故答案为
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
10.已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整数，若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则 ________
【答案】2
【解析】
【详解】由 ，若对于任意 的第 项等于 的第 项，
（2）若异面直线MN与 所成角的大小为 ，求异面直线CD和 所成角的大小.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，则 为所求角，结合三角形知识求出角度即可
（2）设 ，由已知条件求出 ，又易知 为所求角，结合三角形知识求出角度即可
【详解】（1）连接 ，
易知 ，所以 为异面直线MN与 所成的角，
【答案】
【解析】
【分析】根据递增数列 定义，利用做差法可得 恒成立，分离参数求解即可.
【详解】由数列 是严格单调递增数列，
所以 ，即 ，
即 恒成立，
又数列 是单调递增数列，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 .
故答案为：
8.若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC的直观图是 ，则 的重心 到底边 的距离是___________
故答案为：
4.已知数列 满足： ， ，则 ___________
【答案】2
【解析】
【分析】由递推关系结合三角函数可知数列的变化规律，即可求解
【详解】数列 满足： ， ，
则 ，
，
，
由此可知数列 是一个周期为2的周期数列，
所以 ，
故答案为：2
5.在正方体上，a，b是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________
而a，b，c不共面，故③错误；
对于④：
如图：
a，b不共面，b，c不共面，
而a，c共面，故④错误；
综上，正确的个数为0
故选：A
15.在正方体的一个面所在的平面内任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数不可能是（）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据异面直线的定义及直线的位置关系，逐一分析，即可得答案.
（2）过M，N，P三点作正方体的截面，画出截面（保留作图痕迹），并计算截面的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）截面见解析，截面周长为
【解析】
【分析】（1）连接 ，先证明 ，即可证明 平面 ；
（2）先作出过M，N，P三点作正方体的截面为 ，再求出相关线段的长度，即可求解
【详解】（1）连接 ，如图：
【详解】当直线在AB位置时，与其异面直线有 ，共4条，
当直线在 位置时，除 外，其他8条直线均与其异面，
当直线在GH位置时， ，与其异面直线有 共6条，
当直线在AH位置时，与其异面直线有 ，共7条，
所以不可能是5条，
故选：D
16.已知函数 ，各项均不相等的数列 满足 ，记 .①若 ，则 ；②若 是等差数列，且 ，则 对 恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是（）
A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①对②错D. ①错②对
【答案】A
【解析】
【分析】①利用正弦函数为奇函数可得 ，再进行累加即可得到答案；
② 是等差数列，当 时，对 分为奇数和偶数进行讨论；
【详解】解： 在 为奇函数且单调递增，
①
所以 ，且 ，①正确；
② 是等差数列，当 时，
若 为偶数， ，
，
同理 ，…， ，
则易知 ， ，
所以 ,
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）过M，N，P三点作正方体的截面为 ，如图所示：
则截面 的周长为： ，
因为正方体棱长为1，则
，
，
所以 ，
所以截面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ周长为
20.设数列 的前 项和为 ，若 （ ），则称 是“紧密数列”.
（1）已知数列 是“紧密数列”，其前5项依次为 ，求 的取值范围；
【答案】32
【解析】
【分析】按照四个点的位置不同分类讨论，即可求解
【详解】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面 的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
因为对任意 ， ，即 ，所以， ，
即 是“紧密数列”．
（3）由数列 是公比为 的等比数列，得 ，
因为 是“紧密数列”，所以 ．
①当 时， ，因为 ，
所以 时，数列 为“紧密数列”，故 满足题意．
②当 时， ，则 ，因为数列 为“紧密数列”，
所以 ，对任意 恒成立．
（ⅰ）当 时， ，
即 ，对任意 恒成立．
【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33
且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33．
从而
设f（n） ，令f′（n） ，
则f（n）在 上是单调递增，在 上是递减的，
因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值．
则 ，则
所以 ，
所以 .
11.在数列 中，对任意 ， ，当且仅当 ，若满足 ，则 的最小值为___________.
【答案】512
【解析】
【分析】不妨设 ，则 ，从而得到 ，同理求出 ， ， ，利用已知的不等式求解，求出 的最小值，从而得到 的最小值．
详解】不妨设 ， ，
由题意可得， ，
因为 ，
所以 ，
【答案】 或
【解析】
【分析】通过求异面直线 与 和异面直线 与 所成角即可.
【详解】解：正方体的面对角线成异面直线的，分平行的面和相交的面两类
如图找两对代表进行计算：
1.异面直线 与 ，其所成的角即为直线 与 所成的角， ；
2.异面直线 与 ，其所成的角即为直线 与 所成的角， .
故答案为： 或 .
【解析】
【分析】
通过举特例可以选出正确答案.
【详解】例如数列： ，显然值为3的项数有无穷多个.
故选：D
【点睛】本题考查了等比数列的性质，属于基础题.
14.下列命题正确的个数是（）
①若a，b共面，b，c共面，则a，b，c共面；
②若a，b共面，b，c共面，则a，c共面；
③若a，b共面，b，c共面，c，a共面，则a，b，c共面；
（3）由（2）可知， ，计算整理可得 ，赋值可得 ，进而可得对任意的 ，根据等差数列的定义，即可求得答案.
【详解】（1）解：根据题意，可知数列 为递增数列，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
因为 ，
当 时， ，
又因为当 时， ，
又由 可得， ，即 ，该结果与题意相反，故 ；
由上可得， ，满足题意，
综上 ， ；
【解析】
【分析】首先判断 不相交，假设 不是异面直线，则 ，由此推出矛盾，从而证明 是异面直线.
【详解】由于 ， ，所以 ，
由于 ，所以 不相交.
假设 不是异面直线，则 ，
由于 则 ，
这与 矛盾
所以 是异面直线.
18.已知M，N是长方体 的棱 ， 的中点，且
（1）若 ，求异面直线MN与 所成角的大小；
6.在2，x，8，y四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则 ___________
【答案】 或 .
【解析】
【分析】根据等比数列和等差数列的概念列式计算即可.
【详解】解：由已知得
解得 或 ，
或 .
故答案为： 或 .
7.已知数列 的通项公式为 ，且为严格单调递增数列，则实数 的取值范围是___________
④若a，b不共面，b，c不共面，则a，c不共面；
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【解析】
【分析】以正方体棱上的a，b，c为例，逐个判断即可求解
【详解】以正方体棱上的a，b，c为例说明：
对于①②：
如图：
a，b共面，b，c共面，
而显然a，c异面，故a，b，c不共面；
所以①②都错误；
对于③：
如图：
a，b共面，b，c共面，c，a共面，
（3）由题意， 是“紧密数列”，所以 ．分类讨论：
①当 时数列 为“紧密数列”， 满足题意．
②当 时，结合等比数列前n项和公式有 ，对任意 恒成立．讨论可得：（ⅰ）当 时，满足题意；（ⅱ）当 时， 不存在．
则 的取值范围是 ．
试题解析：
（1）由题意得： ，所以 .
（2）由数列 的前 项和 ，
得 ．
所以， ，
【答案】
【解析】
【分析】画出正三角形△ABC的直观图 ，根据重心分中线的比为 来计算重心 到底边 的距离
【详解】如图为正三角形△ABC的直观图 ， 为重心 到底边 的距离
则 ，
因为 为 的重心， ，
.
故答案为： .
9.已知数列 满足 则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以 ，设f（n） ，由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到 的最小值．
（2）若数列 的前 项和为 （ ），判断 是否是“紧密数列”，并说明理由；
（3）设 是公比为 的等比数列，若 与 都是“紧密数列”，求 的取值范围.
【答案】(1) (2) 是“紧密数列”(3)
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组可得 .
（2）由题意可得 ．则 ，结合反比例函数的性质讨论可得 ，则 是“紧密数列”．
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，
所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有 个，
故答案为：32
二､选择题（本大题共4个小题，每题3分，满分12分）
13.一个不是常数列 等比数列中，值为 的项数最多有
A. 个B. 个C. 个D.无穷多个
【答案】D
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高二数学试卷
一､填空题（本大题共12个小题，每题3分，满分36分）
1.不共线的三点确定___________个平面.（填数字）
【答案】1
【解析】
【分析】由空间几何的公理求解即可
【详解】不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个平面
故答案为：1
2.空间两个平面最多将空间分成___________部分.（填数字）
21.数列 满足： ，且对任意 ，都有 ．
（1）求 ；
（2）设 ，求证：对任意 ，都有 ；
（3）求数列 的通项公式 ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据题中递推关系，代入数据，结合 为递增数列，分析推理，即可求得答案.
（2）利用反证法，假设存在 ，使得 ，即 ，根据题中条件，可证 ，该结论与 相反，假设不成立，原命题成立；
（2）证明：假设存在 ，使得 ，即 ，
则由 ，及 ，得 ，
由 ，及 ，得 ，
由此可得， ，该结论与 相反，
∴假设不成立，即 ，
即对任意 ，都有 ．
（3）解：由（2）可知， ，
因为 ，
所以 ，
所以异面直线MN与 所成角的大小 ；
（2）设 ，则 ， ，
因为异面直线MN与 所成角的大小为 ，
所以 ，
解得 ，
又 ，
所以 为异面直线CD和 所成的角，
因 ，
所以 ，
所以异面直线CD和 所成角的大小为
19.已知在正方体 中，M，N，P分别为 ，AD， 的中点，棱长为1，
（1）求证： 平面 ；
【答案】4
【解析】
【分析】当两个平面相交时可得答案.
【详解】当两个平面相交时，可讲空间分成最多的部分，分成4部分.
故答案为：4.
3.若数列 的通项公式 ，其前5项和 ___________
【答案】
【解析】
【分析】先判断数列为等比数列，再用求和公式求解即可
【详解】数列 的通项公式 ，
则 ，故数列 首项为2公比为2的等比数列，
所以
若 为奇数， ，
， ，…，
所以 ；
同理，当 时，也有 .②正确.
故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性，对抽象能力要求较高，属于难题.
三､解答题（本大题共5小题，满分52分）
17.已知平面 平面 ， ， ， 且 ，用反证法证明：b，c是异面直线.
【答案】证明见解析
同理可得， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，又 ，
所以 的最小值整数解为9，
故 的最小值为 ．
故答案为：512．
12.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面 ：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到 的距离是前三个点到 的距离的2倍，这样的平面 的个数是___________个
因为 ， ， ，
所以 ， ，
所以，当 时， ，对任意 恒成立．
（ⅱ）当 时， ,即 ，对任意
恒成立．因为 ．所以 ，解得 ，
又 ，此时 不存在．
综上所述， 的取值范围是 ．
点睛：(1)本题解题的关键是抓住新定义的概念：若 （ ），则称 是“紧密数列”可将问题迎刃而解．
(2)对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
又因为 ， ，
所以 的最小值为
故答案为
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
10.已知数列 和 ，其中 ， ， 的项是互不相等的正整数，若对于任意 ， 的第 项等于 的第 项，则 ________
【答案】2
【解析】
【详解】由 ，若对于任意 的第 项等于 的第 项，
（2）若异面直线MN与 所成角的大小为 ，求异面直线CD和 所成角的大小.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，则 为所求角，结合三角形知识求出角度即可
（2）设 ，由已知条件求出 ，又易知 为所求角，结合三角形知识求出角度即可
【详解】（1）连接 ，
易知 ，所以 为异面直线MN与 所成的角，
【答案】
【解析】
【分析】根据递增数列 定义，利用做差法可得 恒成立，分离参数求解即可.
【详解】由数列 是严格单调递增数列，
所以 ，即 ，
即 恒成立，
又数列 是单调递增数列，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 .
故答案为：
8.若用“斜二测法”作出边长为2的正三角形△ABC的直观图是 ，则 的重心 到底边 的距离是___________