2014年新课标人教A版必修2数学2.3.3直线与平面、平面与平面垂直的性质随堂优化训练课件

∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面 VBC.
又∵VA⊂面 VAC，
∴面 VBC⊥面 VAC.
题型 3 面面垂直的综合应用 【例 3】 如图 2-3-12，已知矩形 ABCD，过点 A 作 SA⊥平 面 AC，AE⊥SB 于点 E，过点 E 作 EF⊥SC 于点 F. (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面 AEF 交 SD 于点 G，求证：AG⊥SD.
(2)由 PA ＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 得△ABC 是等边三角形，故 AC＝PA . 因为点 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC.
由(1)知：AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，
所以 AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，所以 AE⊥PD.
又因为 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥AB.
题型 2 平面与平面垂直的性质定理的简单应用 【例 2】如图 2-3-10，在三棱锥S -ABC 中，SA⊥平面 ABC， 平面 SAB⊥平面 SBC.求证：A AH⊥SB 于点 H. ∵平面 SAB⊥平面 SBC， ∴AH⊥平面 SBC.∴AH⊥BC. 又∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC. 又∵AH∩SA＝A， ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. 面面垂直→线面垂直→线线垂直．
B．a⊥b
C．直线 a 与直线 b 垂直相交 D．直线 a 与直线 b 垂直且异面
2．面面垂直性质定理 (1)定理一：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直
垂直 ． 线与另一个平面________
(2)定理二：如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平 平面内 ． 面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个_______
【变式与拓展】 2．如图 2-3-11，四棱锥 V-ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB ⊥底面 ABCD，且 VB⊥平面 VAD. 求证：平面 VBC⊥平面 VAC.
图 2-3-11
证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC⊥AB. 又∵面 VAB⊥面 ABCD，面 VAB∩面 ABCD＝AB， ∴BC⊥面 VAB.∴BC⊥VA. ∵VB⊥面 VAD，∴VB⊥VA.
练习 2：下面四个命题，其中真命题的个数为( A )
①如果直线 l 与平面α内的无数条直线垂直，则 l⊥α； ②如果直线 l 与平面α内的一条直线垂直，则 l⊥α； ③如果直线 l 与平面α不垂直，则直线 l 和平面α内的所有直 线都不垂直； ④如果直线 l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条 直线与直线 l 垂直．
ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA ＝AB＝BC，
点 E 是 PC 的中点．证明：
图 2-3-9
(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面
垂直的定义得出线线垂直．要证明线面垂直，则先证明直线垂 直于平面内的两条相交直线． 证明：(1)在四棱锥 P-ABCD 中，因为 PA ⊥底面 ABCD， CD⊂平面 ABCD，故 PA ⊥CD. 又因为 AC⊥CD，PA ∩AC＝A，所以 CD⊥平面 PAC . 而 AE⊂平面 PAC ，所以 CD⊥AE.
2．3.3
直线与平面、平面与平面垂直的性质
【学习目标】 1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理．
2．能运用性质定理解决一些简单问题．
3．了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定 理间的相互联系．
1．线面垂直性质定理
平行 ． 垂直于同一个平面的两条直线______
简记：线面垂直→线线平行． 练习 1：已知 b⊥平面α，a⊂α， 则直线 a 与直线 b 的位 置关系是( B ) A．a∥b
图 2-3-12
证明：(1)∵SA⊥平面 AC，BC⊂平面 AC， ∴SA⊥BC. ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面 SAB. 又∵AE⊂平面 SAB，
∴BC⊥AE.
又∵SB⊥AE，∴AE⊥平面 SBC. ∴AE⊥SC. 又∵EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF. ∴AF⊥SC.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【问题探究】
1．过平面外一点可以作几条直线垂直于这个平面． 答案：一条． 2．垂直于同一个平面的两个平面平行吗？ 答案：不一定，相交或平行都有可能．
题型 1 直线与平面垂直的性质定理的简单应用 【例 1】 如图 2-3-9，在四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面
成 45°角，M，N 分别为 AB，PC 的中点．
求证：平面 MND⊥平面 PDC. 证明：如图 D32，设点 E 为 PD 中点，连接 AE，EN，
图 D32
∵M，N 分别为 AB，PC 中点，
1 1 ∴EN∥DC∥AB，且EN＝2DC＝2AB＝AM.
∴四边形 AMNE 为平行四边形．∴MN∥AE.
∵PA ⊥矩形 ABCD 所在的平面，
∴PA ⊥DC，PA ⊥AD.
又∵DC⊥AD， ∴DC⊥平面 PAD .而 AE⊂平面 PAD ， ∴DC⊥AE，DC⊥PD.
∴∠PDA 是二面角 P-DC-A 的平面角． ∵PDA＝45°，又 PA ⊥AD，
∴∠APD＝45°，△PAD 是等腰直角三角形．
(2)∵SA⊥平面 AC，DC⊂平面 AC，∴SA⊥DC. 又∵AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD. 又∵AG⊂平面 SAD，∴DC⊥AG. 又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG⊂平面 AEF， ∴SC⊥AG，且 SC∩DC＝C. ∴AG⊥平面 SDC.∴AG⊥SD.
【变式与拓展】 3．已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面 ABCD
由已知，得 AB⊥AD，且 PA ∩AD＝A，
所以 AB⊥平面 PAD ，故 AB⊥PD. 又因为 AB∩AE＝A， 所以 PD⊥平面 ABE. 从本例可以进一步体会线面位置关系的相互 转化在解(证)题中的作用．
【变式与拓展】 1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况： ①三角形的两边；②梯形的两边； ③圆的两条直径；④正六边形的两边． 不能保证该直线与平面垂直的是( C ) A．①③ C．②④ B．② D．①②④