教科版物理必修2 第三章 第2节 万有引力定律 巧用万有引力定律条件解题(讲义)-word文档

二、重难点提示：
重点：会利用万有引力定律计算物体之间的引力；
难点：万有引力定律使用条件的理解。

一、万有引力定律的理论推证
设某一行星的质量为m ，行星的运行轨道近似圆（由于行星椭圆轨道的偏心率很小，如地球为0.0167，因而其轨道可近似看作圆），根据开普勒第二定律，可将行星视为匀速圆周运动，由牛顿第二定律：
F ＝ma ＝m·22224)2(T
mR T R R m R v ππ== 式中m ——行星质量，T ——行星运行周期，R ——圆周轨道半径，再由开普勒第二定律.
T 2k= R 3 代入上式得
224kR m F π= 令k
24πμ= 得 式中μ是一个与行星无关而只与太阳的性质有关的量，称为太阳的高斯常数；m 为行星质量。

由上式可知：引力与行星的质量成正比。

牛顿通过研究引力使不同大小的物体同时落地和同磁力的类比，得出引力的大小与被吸引物体的质量成正比，从而把质量引进了万有引力定律。

牛顿又进一步用实验作了验证：他用摆做了一系列实验，实验的结果以千分之一的准确度表明，对于各种不同的物质，万有引力与质量的比例题始终是一个常数。

牛顿又接着作了大胆的假设，行星受到的引力与太阳的质量有关，并用数学作了推证地球对一切物体包括太阳的引力应为
μ′——地球的高斯常数，M ——太阳的质量。

太阳对地球的引力为2R
m F μ=，式中m ——地球的质量，μ——太阳的高斯常数。

根据牛顿第三定律有：F ＝F′即
G 是一个与地球和太阳的性质都无关的恒量，所以引力的平方反比定律的数学形式为
二、万有引力定律及适用条件
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2. 表达式：F ＝221r
m Gm G 为引力常量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）。

2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。

3. 适用条件
（1）公式适用于质点间的相互作用。

当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

（3）当研究物体不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力。

例如将物体放在地球的球心时,由于物体各方面受到相互对称的万有引力,故合外力为零。

【重要提示】
1. 牛顿得出了万有引力与质量和距离比例关系，但无法计算物体之间的引力大小， 直到1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出G 值后，才能具体计算物体之间引力大小。

2. 万有引力定律解决天体运动问题的模型处理：天体做匀速圆周运动，万有引力充当向心力。

例题1 关于万有引力公式F ＝G 221r
m m ，以下说法正确的是（ ） A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D. 公式中引力常量G 的值是牛顿规定的
思路分析：万有引力公式F ＝G r
m m 21，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力。

当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用。

两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律。

公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的。

故正确答案为C 。

答案：C
例题2 中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测
到它的自转周期为T =
30
1s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

（引力常数G =6.67⨯1011-22/kg m N ⋅） 思路分析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 22ω=，T πω2=，ρπ33
4R M = 由以上各式得2
3GT πρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ⨯=ρ。

答案：最小密度为314/1027.1m kg ⨯=ρ。

技巧点拨：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解，这是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

例题3 （新课标）假设地球是一半径为R ，质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A. 1－R d
B. 1+R d
C. 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-R d R
D. 2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-d R R 思路分析：在地球表面2M mg G m R =，又343M R ρπ=，所以243
M g G G R R πρ==，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d 的矿井内()
2M mg G m R d '=-，得()()243
M g G G R d R d πρ'==--，所以1g R d d g R R '-==-。

答案：A
【方法提炼】 巧用割补法求引力
物体模型是实际物体的抽象和概括，其特性通常为人们所熟悉，当题目所给不是人们所熟悉的物体模型，可以考虑适当地补偿、转化，使实际物体转化为物体模型，以寻求解决问题的有效途径。

满分训练：有一质量为M 、半径为R 、密度均匀的球体，在距离球心O 为2R 的地方有一质量为m 的质点，现在从M 中挖去一质量为
8M 的球体，如图所示，求剩下部分对m 的万有引力F 为多大？
思路分析：一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式221r
m m G F =直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用了。

此时我们可以用“割补法”进行求解。

设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m 的引力为F 1，可以看作剩余部分对质点的引力F 与被挖小球对质点的引力F 2的合力，即F 1=F+F 2。

设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′。

由题意，知M′=，r′=R ；由万有引力定律，得
所以剩下部分对m 的万有引力为。