一元二次函数的图像和性质

§ 3.4一元二次函数的图象和性质复习目标
1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征
2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值
4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

知识回顾
1．函数叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数都可把它的解析式配方为顶点式：，性质如下：
（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。

（2）最大（小）值
①当，函数图象开口向上，有最小值，，无最大值。

②当，函数图象开口向下，有最大值，，无最小值。

（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。

当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法
和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数
的顶点坐标与对称轴；
但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开
口方向。

例题精解
一、一元二次函数的图象的画法
【例1】求作函数的图象
【解】 2-4)(2
14]-4)[(21 2222+=+=x x 以为中间值，取的一些值，列表如下：
【例2】求作函数的图象。

【解】
7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x
先画出图角在对称轴的右边部分，列表
【点评】画二次函数图象步骤：
(1)配方； (2)列表；
(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）
边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质
【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调
区间。

【解】
由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；
∴当时，
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。

【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

，
∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为
∴当时，函数取得最大值
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1)配方法；如例3
(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)
如例4，可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：
三、二次函数性质的应用
【例5】(1)如果对于任意实数都有，那么（）
（A）（B）
（C）（D）
【解】∵对于一切的均成立
∴的图像关于对称
又∴抛物线开口向上。

∴是的最小值。

，
∴
(2)如果对于任意实数都有，则。

(用“”或“”填空)
【解】∵对于一切的均成立
∴的图像关于对称
又∴抛物线开口向下。

，
∴
【点评】1.当时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。

如例5(1)中当所对应的点比当所对应的点离对称轴远，所以时对应的函数值也比较大。

2．1.当时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。

如例5(2)中当所对应的点比当所对应的点离对称轴远，所以对应的函数值也比较小。

【例6】求函数在给定区间上的最值。

【解】（1）原函数化为
∵ ∴ 当时，
又∵ ∴当时，
（2）原函数可化为：，图象的对称轴是直线注意到当时，函数为减函数
∴
【例7】已知函数是偶函数，试比较，，的大小。

【解】解法一：∵是偶函数，
∴, ∴
∴ 可知函数的对称轴为直线
又∵，
∴
解法二：∵是偶函数，
∴, ∴
可知在上单调递减
又∵是偶函数，
∴
而
∴
∴
三、一元二次函数、一元二次方程的关系。

【例8】求当为何值时，函数的图象与轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.
【解】令，则的判别式
(1)当，即，时，方程有两个相等的实根，这时图象与轴只有一个公
共点；
(2) 当，即，时，方程有两个不相等的实根，这时图象与轴有两个公
共点；
(3) 当，即，时，方程有两个不相等的实根，这时图象与轴无公共点；
同步训练
一．选择题
1．二次函数的值域是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．(］Ｄ．
2．如果二次函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则（）
Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-10
3．如果二次函数有两个不相等的实数根，则的聚值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ． 0 Ｄ．
4．函数的最小值是（）
Ａ．-3. Ｂ．Ｃ．3 Ｄ．
5．函数具有性质（）
Ａ．开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为（-1，0）
Ｂ．开口方向向上，对称轴为，顶点坐标为（1，0）
Ｃ．开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为（-1，0）
Ｄ．开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为（1，0）
6．下列命题正确的是（）
Ａ．函数的最小值是Ｂ．函数的最小值是
Ｃ．函数的最小值为7 Ｄ．函数的最大值为7
7．函数（1）；（2）；（3）；（4）中，对称轴是直线的是（）Ａ．（1）与（2）Ｂ．（2）与（3）Ｃ．（1）与（3）Ｄ．（2）与（4）
8．对于二次函数，下列结论正确的是（）
Ａ．当时，有最大值8 Ｂ．当时，有最大值8 Ｃ．当时，有最小值8 Ｄ．当时，有最小值8 9．如果函数，对于任意实数都有，那么下列选项中正确的是（）Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
10．若二次函数有最小值，则实数＝（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二．填空
1．若函数，则的对称轴是直线
2．若函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则
3．函数的图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标
是、
4．已知，则有最值为
5．已知，则有最值为
三．解答题
1．已知二次函数，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当为何值时；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2.如果二次函数与轴至多有一个交点，求的值。

3．已知二次函数，
（1）如果它的图象经过原点，求的值。

（2）如果它的图象关于轴对称，写出函数的关系式。

（3）如果它的图象关于轴对称，试比较。