高三数学一轮巩固与练习 二项分布及其应用

巩固
1．(2009年高考上海卷)若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1
4，则P (EF )的值等于( )
A ．0 B.1
16 C.14 D.12
解析：选B.EF 表示E 与F 同时发生，
∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝1
16.故选B.
2．(2008年高考福建卷)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )
A.12125
B.16125
C.48125
D.96125
解析：选C.由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生，
故P (X ＝2)＝C 32
·(45)2·(1－45)＝48
125.
3．(2010年厦门市高中调研)如图所示的电路，有是1
2，且是
a ，
b ，
c 三个开关，每个开关开或关的概率都相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )
A.18
B.14
C.12
D.116
解析：选A.理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件AC B ，且A ，C ，B 间彼此独立，
且P (A )＝P (B )＝P (C )＝1
2.
所以P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝1
8.
4．(原创题)设X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，已知P (X ≥1)＝5
9，则P (Y ≥1)＝________.
解析：由1－C 20p 0(1－p )2＝59得p ＝13，由1－C 40(13)0(23)4＝65
81.
答案：6581 5．两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A 事件为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B 事件为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P (A |B )＝__________.
解析：由题意知P (B )＝40
100，
P (A ∩B )＝35
100，
故P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝3540＝7
8.
答案：78
6．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
解：记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ， 依题意得P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，
且A i 、B i (i ＝1,2,3)相互独立．
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A －1A －
2A 3，且三次试跳相互独立， ∴P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063. ∴甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C . 法一：∵C ＝A 1B 1∪A 1B 1∪A 1B 1， 且A 1B 1、A 1B 1、A 1B 1彼此互斥， ∴P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1) ＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88. 法二：P (C )＝1－P (A 1)P (B 1)
＝1－0.3×0.4＝0.88.
∴甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
练习
1．关于事件的独立性，下列说法错误的是( )
A ．若事件A ，
B 满足P (B |A )＝P (B )，则事件A ，B 独立
B ．若事件A ，B 独立，则事件B ，A 也独立，即A 与B 独立是相互的
C ．若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B 也相互独立
D ．若事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件C 与A 相互独立，则事件A ，B ，C 相互独立
答案：D
2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.49
B.2
9 C.23 D.13 解析：选A.由独立事件发生的概率得
3．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )
A ．0.665
B ．0.56
C ．0.24
D ．0.285
解析：选A.记A 为事件“甲厂产品”，B 为事件“合格产品”， 则P (A )＝0.7，P (B |A )＝0.95.
∴P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝0.7×0.95＝0.665.
4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )
A ．[0.4,1)
B ．(0,0.6]
C ．(0,0.4]
D ．[0.6,1) 解析：选A.C 41p (1－p )3≤C 42p 2(1－p )2，
4(1－p )≤6p ，p ≥0.4，又0＜p ＜1，∴0.4≤p ＜1.
5.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
解析：选B.由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，
第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为(59)3×4
9.
6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，
定义数列{a n }∶a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1 第n 次摸取红球
1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那
么S 7＝3的概率为( )
7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
解析：记事件A 为“甲闹钟准时响”，事件B 为“乙闹钟准时响”． P ＝1－P (A －B －
)＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98. 答案：0.98
8．某篮球运动员在三分线投球的命中率是1
2，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答)．
答案：15
128
9．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．
解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A 、B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．
据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝7
10，
∴P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝7
25.
答案：7
25
10．(2008年高考辽宁卷)某批发市场对某种商品的周销售量(单位：吨)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
周销售量 2 3 4 频数 20 50 30
(1)根据上面的统计结果，求周销售量分别为2吨、3吨和4吨的频率； (2)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求： ①4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率； ②该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
解：(1)周销售量为2吨、3吨和4吨的频率分别为0.2、0.5和0.3. (2)①P 1＝1－0.74＝0.7599； ②P 2＝C 43×0.5×0.33＋0.34＝0.0621.
故4 周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率为0.7599；该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率为0.0621.
11．某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七场四胜制，即有一
队胜四场，则此队获胜，且比赛结束．在每场比赛中，甲队获胜的概率是2
3，乙队
获胜的概率是1
3，根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：
(1)组织者在总决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？ (2)组织者在总决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？
解：(1)门票收入为120万元的概率为：
P 1＝(23)4＋(13)4＝1781.
(2)门票收入为180万元的概率为：
门票收入不低于180万元的概率是：
P ＝P 2＋P 3＝40
81.
12．甲、乙两人玩投篮游戏，他们每次投进的概率都是1
2，现甲投3次，记下投进的次数为m ；乙投2次，记下投进的次数为n .
(1)分别计算甲、乙投进不同次数的概率；
(2)现在规定：若m ＞n ，则甲获胜；若n ≥m ，则乙获胜．你认为这样规定甲、乙获胜的机会相等吗？请说明理由．
解：(1)甲、乙投进不同次数的概率分别如下表：
(2)这样规定甲、乙获胜的机会相等，这是因为甲获胜，则m ＞n ，即：
当m ＝3时，n ＝2,1,0，其概率为18×(14＋12＋14)＝1
8；
当m ＝2时，n ＝1,0，其概率为38×(12＋14)＝9
32；
当m ＝1时，n ＝0，其概率为38×14＝3
32；
∴甲获胜的概率为18＋932＋332＝1
2.
从而乙获胜的概率也为1
2.
甲和乙获胜的概率都是1
2，所以甲、乙获胜的机会相等．。