(易错题精选)初中数学向量的线性运算知识点(1)

（易错题精选）初中数学向量的线性运算知识点(1)
一、选择题
1．已知非零向量a r 、b r 、c r ，在下列条件中，不能判定a r //b r
的是（ ） A ．a r
//c r ，b r //c r
B ．2a c =r r ，3b c =r r
C ．5a b =-r r
D ．||2||a b =r r
【答案】D 【解析】
分析：根据平面向量的性质即可判断． 详解：A ．
∵a r
∥c b r
r
，∥c r
，∴a b P u u r r
，故本选项，不符合题意； B ．
∵a r =2c b r r ，=3c r
，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
C ．
∵a r
=﹣5b r ，∴a b P u u r r ，故本选项，不符合题意；
D ．
∵|a r
|=2|b r |，不能判断a b P u u r r ，故本选项，符合题意．
故选D ．
点睛：本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的基本性质的解题的关键．
2．在中，已知是
边上一点，
，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据A ，B ，D 三点共线得出入的值,即可完成解答. 【详解】
解：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2
，
，
则，
∴
，故选A.
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，识记定理内容并灵活应用是解答本题的关键.
3．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823
a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
4．下列命题：
①若a b r r
=，b c =r
r
，则c a =r r
； ②若a r ∥b r ，b r
∥c r ，则a r ∥c r
；
③若|a r
|=2|b r
|，则2a b =r
r
或a r
=﹣2b r
； ④若a r
与b r
是互为相反向量，则a r +b r
=0． 其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】
①若a b =r r ，b c =r r ，则c a =r r ，正确； ②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r
，正确；
③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相
反；
④若a r
与b r
是互为相反向量，则a r +b r
=0，正确． 综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．
5．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘
C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】
【分析】
根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】
解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
6．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r
r
时，ma r 与a r
是平行向量；
③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
7．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．
①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．0个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】
解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；
②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】
此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.
8．下列式子中错误的是（ ）．
A ．2a a a +=r r r
B ．()0a a +-=r r r
C ．()
a b a b -+=--r r r r
D ．a b b a -=-r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】
A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r
，故本选项正确；
B. a r
与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；
C.根据实数对于向量的分配律，可知()
a b a b -+=--r r r r
，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r
，故本选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.
9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝
B ．++＝0
C ．
+
＝
D ．
+
＝
【答案】C 【解析】 【分析】
由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】
由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +
＝
,
+＝
故选：B. 【点睛】
此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.
10．下列结论正确的是（ ）．
A ．2004cm 长的有向线段不可以表示单位向量
B ．若AB u u u r
是单位向量，则BA u u u r 不是单位向量
C ．若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA u u u r 、OB uuu r
是单
位向量
D ．计算向量的模与单位长度无关 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义及意义判断即可. 【详解】
A.1个单位长度取作2004cm 时，2004cm 长的有向线段才刚好表示单位向量，故选项A 不正确；
B. AB u u u r
是单位向量时，1AB =uu u r ，而此时1AB BA ==u u u r u u u r ，即BA u u u r 也是单位向量，故选项B
不正确；
C.单位长度选定以后，在l 上点O 的两侧各取一点A 、B ，使得OA u u u r 、OB u u u r
都等于这个单位
长度，这时OA u u u r 、OB uuu r
都是单位向量，故选项C 正确；
D.没有单位长度就等于没有度量标准，故选项D 不正确. 故选C. 【点睛】
本题考查单位向量，掌握单位向量的定义及意义是解题的关键.
11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r
，那么下列说法中，错误的是
（ ）
A ．//a b r r
B ．a b =r r
C ．72
BD =
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C
【解析】 【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】
解：已知2a c v v
＝，2b c -v
v
＝，故a b v
v ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.
12．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形
法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC AD n ==u u u r u u u r r ，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u
r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r ， ∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r ()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
13．下列关于向量的运算中，正确的是 A ．a b b a -=-r r r r
； B ．2()22a b a b --=-+r r r r
； C ．()0a a +-=r r
； D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A. ()
,a b b a A ---v
v v v ＝所以错误；
B. (
)
222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.
14．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r
可以用点P 的坐标表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r
，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r
互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．()()
01
3,2019,3,1OC OD -==-u r u r B
．
))
1,1,1,1OE OF =u r u r
C
．(
()
21,,82OG OH ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭u r u r
D
．
,OM
+⎭
u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.(
)1
332019
10-⨯-+⨯=，正确；
B.
))
11112⨯
+⨯=，错误；
C.(
2
1
842
+⨯=，错误；
D.
)
)
2222
⨯+=，错误； 故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
16．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r
等于（ ）
A ．1122a b +r r
B ．1122a b --r r
C ．1122a b -r r
D ．1122
a b -+r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得12
OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r
，即可求得
OD uuu r
的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD=
1
2
BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，
∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222
a b a b -+=-+r r r r
故选：D ． 【点睛】
此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．
17．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r
的方向关系是（ ）
A ．a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向一致
B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r 方向相反
C ．a r 和b r 方向互相垂直
D ．a r 和b r 之间夹角的正切值为5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】
∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r
，
∴a r ∥b r ，a r 与b r
的方向相反，
故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
18．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r
，则||n v
=（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
【答案】B 【解析】
根据向量的运算法则可得:
n v
(
)
22
2OA OB +=u u u v u u u v 故选B.
19．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）
A ．12
CA AB =u u u r u u u r
B ．12
CB AB =u u u r u u u r
C ．0AC BC u u u r u u u r
+=
D ．0AC CB +=u u u r u u u r r
【答案】B 【解析】
根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．
解：A 、12
CA BA =u u u r u u u r
，故本选项错误；
B 、12CB AB =u u u r u u u r
，故本选项正确；
C 、0AC BC +=u u u r u u u r r
，故本选项错误；
D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r
，故本选项错误．
故选B ．
20．下列各式不正确的是（ ）．
A ．0a a -=r r r
B ．a b b a +=+r r r r
C ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行
D ．如果a b =r r ，那么a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】
A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；
B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r
，所以选项B 正确；
C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；
D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r
方向不
同，则a b ≠r r
，所以D 选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.。