数百强名校试题解析精编版：江西省抚州市临川区第一中学2019届高三上学期第一次月考理数试题解析(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设{|{|ln(1)}A x y B y y x ====+，则A
B =（ ）
A ．{|1}x x >-
B ．{|1}x x ≤
C ．{|11}x x -<≤
D ．∅ 【答案】B 【解析】
试题分析：根据题意，可知(,1]A =-∞，B R =，所以A B ={|1}x x ≤，故选B.
考点：集合的运算.
2.已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域（ ） A ．[]-37，
B ．[]-14，
C ．[]-55，
D ． []05
2
， 【答案】D 【解析】
试题分析：由[2,3]x ∈-得1[1,4]x +∈-，由21[1,4]x -∈-，解得5[0,]2
x ∈，故选D. 考点：函数的定义域.
3.命题“存有04,2
<-+∈a ax x R x 使，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必
要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意为240x ax a +-≥恒成立，即2160a a +≤，解得016≤≤-a ，所以为充要条件，故选A. 考点：充要条件的判断.
4.若幂函数a mx x f =)(的图像经过点)2
1
,41(A ，则它在点A 处的切线方程是（ ）
A ．02=-y x
B ．02=+y x
C ．0144=+-y x
D ．0144=++y x 【答案】C 【解析】
试题分析：根据函数a mx x f =)(为幂函数，所以1m =，根据图像经过点)21
,41(A ，则有12
α=，
所以1
2
()f x x =，'()
f x =，1'()14
f =，根据直线方程的点斜式，求得切线方程是
0144=+-y x ，故选C.
考点：幂函数解析式的求解，导数的几何意义，函数图像的切线方程. 5.将函数sin(4)6
y x π
=-
图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移
4
π
个单位，纵坐标
不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ） A 12
x π
=
B. 6
x π
=
C 3
x π
=
D
12
x π
=-
【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意，变换以后的函数解析式为sin(2)3
y x π
=+，根据函数的性质，可知函
数图象的一条对称轴的方程是12
x π
=，故选A.
考点：函数图像的变换. 6.函数x
x
y 2
4cos =
的图象大致是（ ）
【答案】A 【解析】
试题分析：根据函数解析式可知函数是非奇非偶函数，所以图像不关于y 轴对称，所以C,D 不准确，当x 趋向于正无穷时，2x 趋向于正无穷，而余弦函数是有界的，所以y 趋向于0，故B 不对，只能选A. 考点：函数图像的选择.
7.已知定义在R 上的偶函数，()f x 在0x ≥时，()ln(1)x
f x e x =++，若()()1f a f a <-，
则a 的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞
B ．1(,)2-∞
C ．1(,1)2
D ．()1,+∞ 【答案】B 【解析】
试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上是增函数，根据偶函数图像的对称性，可知函数在(,0]-∞上是减函数，所以()()1f a f a <-等价于1a a <-，解得
1
2
a <
，故选B. 考点：偶函数的性质. 8.下列四个命题： ○
1∃x ∈(0, ＋∞), (12)x ＜(1
3)x ； ○
2∃x ∈(0, 1), log 12
x ＞log 13
x ； ○
3∀x ∈(0, ＋∞), (12)x
＞log 12
x ； ○
4∀x ∈(0, 13), (1
2)x ＜log 13
x. 其中真命题是（ ） A ．○1○3 B ．○2○3
C ．○2○4
D ．○3○4
【答案】
C
考点：指对函数的图像和性质.
9.已知符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0,1,0,0,
0,1)sgn(x x x x 则函数x x x f 2ln )sgn(ln )(-=的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题中所给的函数解析式，能够求得函数的零点为,1e ，所以函数的零点的个数为2个，故选B. 考点：函数的零点.
10.设奇函数()x f 在[]1,1-上是增函数，且()11-=-f ，当[]1,1-∈a 时， ()1
22
+-≤at t x f 对
所有的[]1,1-∈x 恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤
B ．2t ≥或2t ≤-
C ．2t >或2t <-或0t =
D ． 2t ≥或2t ≤-或0t =
【答案】D 【解析】
试题分析：根据题意有2max ()21f x t at ≤-+，根据奇函数的性质，可知函数的最大值为
(1)1f =，所以有220t at -≥对于[]1,1-∈a 恒成立，所以有2()20g a ta t =-+≥在
[]1,1-∈a 恒成立，即22
(1)20(1)20
g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-+≥⎩，解得2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：构造函数，恒成立问题.
11.已知函数)(x f 满足)
1(1
1)(+=
+x f x f ，当]1,0[∈x 时x x f =)(，函数
m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．]21,0(
B ．]21,1(-
C ．),21[+∞
D ．]2
1,(-∞ 【答案】A 【解析】
试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在(1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，函数m mx x f x g --=)()(在]1,1(-内有2个零点，相当于函数()f x 的图像与直线
(1)y m x =+有两个交点，而图像过点(1,1)，此时1
2
m =
，结合函数的图像，可知m 的取值范围是]2
1,0(，故选A.
考点：函数的零点，数形结合思想.
12.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存有两条距离为d 的直线1m kx y +=和
2m kx y +=，
使得在D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+ 恒成立，则称函数)(x f 在D 内有一个宽度为d
的通道.
定义二：若一个函数)(x f ，对于任意给定的正数ε，都存有一个实数0x ，使得函数)(x f 在
),[0∞+x 内有一个宽度为ε的通道，则称)(x f 在正无穷处有永恒通道.
下列函数①()ln f x x =,②sin ()x f x x
=
，③()f x =，④()x f x e -=， 其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ） A. 1 B.2 C. 3 D.4 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有①没有，剩下三个都能够，所以选C. 考点：新定义.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若函数()x
x
k k x f 212⋅+-=在其定义域上为奇函数，则实数=k ．
【答案】1± 【解析】
试题分析：根据奇函数的条件，当函数在0点有定义时，可知1
(0)01k f k
-=
=+，解得1k =，当函数在0点没有定义时，求得10k +=，解得1k =-，经验证函数是奇函数，故=k 1±. 考点：奇函数的定义.
14.定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2
f x f x f -=+=则(1)f -= ． 【答案】2-
考点：利用函数的周期性及奇偶性求函数值.
15.已知命题p ：关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解；命题
221
:()log (2)2
q f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增；
若“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】3(1,)4
- 【解析】
试题分析：根据题意，关于x 的方程220x mx --=在[0,1]x ∈有解，可得120m --≥，从
而求得1m ≤-；221()log (2)2f x x mx =-+在[1,)x ∈+∞单调递增，可得11
1202
m m ≤⎧
⎪
⎨-+>⎪⎩，解得3
4m <
，根据“p ⌝”为真命题，“p q ∨”是真命题，可知p 假q 真，所以实数m 的取值范围为3
(1,)4
-.
考点：命题的真假判断，参数的取值范围.
16.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2
x x f x f x x π⎧∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：
①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*
()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；
③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2
()f x x
≤
恒成立． 则其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①③④ 【解析】
试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0,)+∞上的最大值和最小值分别是1和
1-，所以①对，()2(2)k f x f x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立，故②错，根据
图像可知函()ln(1)y f x x =--有3个零点，故③对，根据图像，能够判断④准确，故答案为①③④.
考点：函数的性质，数形结合思想.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合}2733|{≤≤=x
x A ，}1log |{B 2>=x x ． （1）分别求B A ，()
R C B A ；
（2）已知集合{}
a x x C <<=1，若A C ⊆，求实数a 的取值集合． 【答案】（1）{}|23A B x x ⋂=<≤，{|3}R C B A x x ⋃=≤；
（2）3a ≤. 【解析】
试题分析：第一问结合指数函数和对数函数的单调性求解集合,A B ，再根据集合的交并补集中元素的特点，求得结果，第二问注意对集合C 是否为空集实行讨论，在非空的条件下，结合数轴来解决即可. 试题解析：（1）
3327x ≤≤即13333x ≤≤，13x ∴≤≤，∴{}31≤≤=x x A ，
2log 1x >，即22log log 2x >，2x ∴>∴{}2
B x x =>，{}|23A B x x ∴⋂=<≤；
{}2
R C B x x =≤，{|3}R C B A x x ∴⋃=≤
（2）由（1）知{
}31≤≤=x x A ，当A C ⊆
当C 为空集时，1a ≤
当C 为非空集合时，可得 31≤<a 综上所述3a ≤
考点：集合的运算，参数的取值范围，交并补集，子集.
18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，
xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，．
（1）若11
cos()3
13
π
α+
=-
，求1x 的值； （2）若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3
AOB π
∠=
．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂
足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()
f α的最大值．
【答案】（1）11
26
x =；
（2）max ()3
f π
αα=
=
时， 【解析】
试题分析：第一问根据题意可知1cos x α=，利用题中所给的条件，利用差角公式求得cos α的值，第二问利用三角函数的定义式，结合图形将三角形的面积用三角函数来表示，即将函数解析式转化为关于α的函数关系式，利用和差角公式，辅助角公式化简，结合自变量的取值范围，求得函数的最大值.
试题解析：（1）由三角函数的定义有1cos x α=， ∵11cos()()3
1362
π
ππ
αα+
=-
∈，，，
∴sin()3
π
α+
=
， ∴ 1cos cos ()33x ππαα⎡
⎤==+-⎢⎥⎣
⎦
cos()cos
sin()sin 3333ππ
ππαα=+
++ 1111
13226
=-⋅+=
． （2）由1sin y α=，得111111
cos sin sin 2224
S x y ααα===．
由定义得2cos()3x π
α=+
，2sin()3y πα=+，又5()()62326
πππππ
αα∈+∈由，，得，，于是，
22211cos()sin()2233
S x y ππ
αα=-=-++12sin(2)43πα=-+
∴ 12112()sin 2sin(2)443f S S πααα=+=-+=1122sin 2(sin 2cos cos 2sin )4433
ππ
ααα-+
=3sin 228αα-
12cos 2)2αα-
)6
π
α-，
5()2()62666πππππαα∈-∈由，，可得，，262
ππ
α-=于是当
，即max ()3f παα==
时， 考点：三角函数和差角公式，三角函数的定义式，辅助角公式，三角函数的最值问题.
19.（本小题满分12分）已知函数()x a
f x x b
+=+（a 、b 为常数）． （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =，当[]1,2x ∈-时，2
1
()()f x x b ->
+恒成立，求b 的取值范围．
【答案】（1）1a <时，解集为：(0,1)a -， 1a =时，解集为：∅， 1>a 时，解集为：(1,0)a -，
（2）1b >-. 【解析】
试题分析：第一问不等式为
10x a
x
-+<，将其转化为正式不等式(1)0x x a -+<，需要对1a -和0比较大小，从而求得结果，第二问式子为
2
11
()
x x b x b +->++，等价于()(1)1x b x ++>-，能够发现x b ≠-，易知当1x =-时，不等式显然成立，所以式子转化为
111(1)11
b x x x x >-
-=-++++恒成立，转化为最值来处理，结合自变量的取值范围，利用基本不等式求得最值，从而求得结果. 试题解析：（1）∵()x a f x x b +=
+，1=b ，∴()1x a
f x x +=+，∴()()
11(1)11x a x a f x x x -+-+-==-+，
∵(1)0f x -<，∴
10x a
x
-+<，等价于()10x x a --<⎡⎤⎣⎦， ①10a ->，即1a <时，不等式的解集为：(0,1)a -， ②当10a -=，即1a =时，不等式的解集为：∅，
③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a -，
（2）∵1a =，21()()f x x b ->
+， ∴2
11
()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※）
显然x b ≠-，易知当1x =-时，不等式（※）显然成立； 由[]1,2x ∈-时不等式恒成立，当12x -<≤时，11
1(1)11
b x x x x >-
-=-++++，
∵10x +>，∴
()1121x x ++≥=+， 故1b >-． 综上所述，1b >-．
考点：解不等式，恒成立问题，基本不等式.
20.（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．
【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）60. 【解析】
试题分析：第一问连结相对应的线段，利用平行四边形的判定定理和性质定理，证得TH//DB ，利用线面平行的判定定理证得线面平行，第二问建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ．在三棱台DEF ABC -中，
2,AB DE =则2,AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点，
又在BDC ∆,H 是BC 的中点，则TH//DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ；
（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ,可得DG ⊥平面ABC 而,45,AB BC BAC ⊥∠=
则GB AC ⊥,于是,,GB GA GD 两两垂直，以点G 为坐标原点，,,GA GB GD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
设2AB =,
则1,DE CF AC AG ====
((B C F H ， 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ，
设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuu r ,
即2222
00x y z -=⎪+=⎩， 取21x =
，则221,y z ==
2n =u u r ，
121cos ,2n n <>==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60． 考点：线面平行的判定，二面角的余弦值.
21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且
抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q ．
（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求抛物线C 1的方程；
（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求2
1S S 的最小值．
【答案】（Ⅰ）y x 242=； （Ⅱ）223+.
【解析】
试题分析：第一问要求抛物线的方程，任务就是求p 的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得10=p
x ，再根据切点在切线上，得022200=--p x x ，从而求得22=p ，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于p 和切点横坐标的关系式，从而有
424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-2220002200(2)4432(4)24
x x x x x --==++--，利用基本不等式求得最值.
试题解析：（Ⅰ）设点)2,(200p
x x P ，由)0(22>=p py x 得，p x y 22=，求导p x y ='， ……2分 因为直线PQ 的斜率为1，所以10=p
x 且022200=--p x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=．
（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(20020x x p
x p x y -=-，即022200=--x py x x ，
根据切线又与圆相切，得r d =，即14422020
=+-p x x ，化简得2204044p x x +=，
由04420402>-=x x p ，得20>x ，由方程组200222201
x x py x x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，解得)24,2(200p x x Q -，
202)x --， 点)2,0(p F 到切线PQ
的距离是204x d =， 所以32010||1(2)216x S PQ d x p
=⋅=-， 02221x p x OF S Q ==， 所以424200001242200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-32234424)4(2)2(20
20202020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当4
4242020-=-x x 时取“＝”号，即22420+=x ，此时，222+=p ， 所以2
1S S 的最小值为223+． 考点：导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式.
22.（本小题满分12分）已知函数()()3221ln 2
f x a x x a a x =+-+（R a ∈）， ()223ln 2
g x x x x x =--．
（Ⅰ）求证：()g x 在区间[]2,4上单调递增；
（Ⅱ）若2a ≥，函数()f x 在区间[]2,4上的最大值为()G a ，求()G a 的解析式，并判断()G a 是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据：0.69ln 20.7<<）
【答案】（Ⅰ）证明见解析； （Ⅱ）332321ln (24),()2
2ln 2448(4).
a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩，()G a 有最小值，没有最大值．
试题解析：（Ⅰ）证明：∵22()3ln 2g x x x x x =--，∴()6ln 1g x x x x '=--， 设()6ln 1h x x x x =--，则()6ln 5h x x '=+，
∴当24x <<时，()0h x '>，∴()h x 在区间(2,4)上单调递增．
∵(2)3(4ln 21)0h =->，∴当24x <<时，()(2)0h x h >>．
∴()g x 在区间[2,4]上单调递增． （Ⅱ）∵3221()ln ()2
f x a x x a a x =+-+(a ∈R )， ∴()f x 的定义域是(0,)+∞，且32()()a f x x a a x '=+-+，即2()()()x a x a f x x
--'=． ∵a ≥2，∴2a a <，
当x 变化时，()f x 、()f x '变化情况如下表：
∴当24a ≤≤时，24a ≥，()f x 在区间[2,4]上的最大值是3321()ln 2
f a a a a a =--． 当4a >时，()f x 在区间[2,4]上的最大值为32(4)2ln 2448f a a a =--+． 即 332321ln (24),()2
2ln 2448(4).
a a a a a G a a a a a ⎧--≤≤⎪=⎨⎪--+>⎩ （1）当24a <<时，22()3ln 2G a a a a a '=--．
由（Ⅰ）知，()G a '在(2,4)上单调递增．又(2)2(6ln 25)0G '=-<，(4)12(8ln 23)0G '=->，
∴存有唯一0(2,4)a ∈，使得0()0G a '=，且当02a a <<时，()0G a '<，()G a 单调递减，当04a a <<时()0G a '>，()G a 单调递增．∴当24a ≤≤时，()G a 有最小值0()G a ．
（2）当4a >时，2228()6ln 2846ln 2()43ln 23ln 2G a a a a '=--=---， ∴()G a '在(4,)+∞单调递增．又(4)12(8ln 23)0G '=->，
∴当4a >时，()0G a '>．∴()G a 在(4,)+∞上单调递增．
综合（1）（2）及()G a 解析式可知，()G a 有最小值，没有最大值．
考点：导数的应用.。