部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案考点题型与解题方法

(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案考点题型与解
题方法
单选题
1、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（ ）
A ．13
2B ．22
3C ．15
2D ．23
3
2、已知直线a 与平面α,β,γ，能使α//β的充分条件是（ ） ①α⊥γ,β⊥γ ②α//γ,β//γ ③a //α,a //β ④a ⊥α,a ⊥β A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④
3、下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个平面
B ．垂直于同一直线的两条直线平行
C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则l ⊥α
D ．若a 、b 、c 是三条直线，a ∥b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 在同一平面上
4、如图.AB 是圆的直径，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，C 是圆上一点(不同于A ，B )，且PA =AC ，则二面角P −BC −A 的平面角为（ ）
A ．∠PAC
B ．∠CPA
C ．∠PCA
D ．∠CAB
5、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A ．18π
B ．20π
C ．22π
3D ．26π
6、如图，某圆锥的轴截面ABC 是等边三角形，点D 是线段AB 的中点，点E 在底面圆的圆周上，且BE ⌢的长度等于CE
⌢的长度，则异面直线DE 与BC 所成角的余弦值是（ ）
A ．√2
4
B ．√64
C ．
√104D ．√14
4
7、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．24
C ．26
D ．27
8、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC 且AB =2DC ，点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点，点F 为线段AD 的中点，AE 与BF 交于点O ，且AO
⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则x +y 的值为（ ）
A ．1
B ．5
7
C ．14
17
D ．5
6
多选题
9、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，且AA 1=AB =2．下列说法正确的是（ ）
A ．四棱锥
B −A 1AC
C 1为“阳马” B ．四面体A 1C 1CB 为“鳖膈” C ．四棱锥B −A 1ACC 1体积最大为2
3
D ．过A 点分别作A
E ⊥A 1B 于点E ，A
F ⊥A 1C 于点F ，则EF ⊥A 1B
10、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题正确的是（）A．异面直线C1P和CB1所成的角为定值
B．直线CD和平面BPC1相交
C．三棱锥D−BPC1的体积为定值
D．直线CP和直线A1B可能相交
11、已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（）
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
填空题
12、对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．
部编版高中数学必修二第八章立体几何初步带答案(四)参考答案
1、答案：C
分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．
解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，
由图示可知，该空间几何体体积为V=23−(1
3×1
2
×12×1+1
3
×1
2
×12×2)=15
2
，
故选：C.
2、答案：D
解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.
对①，若α⊥γ,β⊥γ，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误；
对②，若α//γ,β//γ，则α//β，平面的平行具有传递性，故②正确；
对③，若a//α,a//β，平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；
对④，a⊥α,a⊥β，垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.
综上：②④正确，
故选：D.
3、答案：D
分析：利用空间点、线、面位置关系直接判断.
A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不一定垂直，故C错误；
D.因为a//b，所以a、b确定唯一一个平面，又c与a、b都相交，故直线a、b、c共面，故D正确；
故选：D.
4、答案：C
解析：由圆的性质知：AC⊥BC，根据线面垂直的判定得到BC⊥面PAC，即BC⊥PC，结合二面角定义可确定二面角P−BC−A的平面角.
∵C是圆上一点(不同于A，B)，AB是圆的直径，
∴AC⊥BC，PA⊥BC，AC∩PA=A，即BC⊥面PAC，而PC⊂面PAC，
∴BC⊥PC，又面ABC∩面PBC=BC，PC∩AC=C，
∴由二面角的定义：∠PCA为二面角P−BC−A的平面角.
故选：C
5、答案：A
分析：由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可
解：由题意得，球的半径R=2，圆柱的底面半径r=1，高ℎ=3，
则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrℎ
=8π+4π+2π×1×3=18π
故选：A.
6、答案：A
分析：过点A作AO⊥BC于点O，过点A作DG⊥BC于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有∠DEF （或其补角）就是异面直线DE与BC所成的角，设圆锥的底面半径为2，解三角形可求得答案.
解：过点A作AO⊥BC于点O，过点A作DG⊥BC于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，
BC，所以∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与BC所成的角，
则DF//BC，且DF=1
2
设圆锥的底面半径为2，则DF=1，OE=2，AO=2√3，所以DG=OF=√3，
在Rt△GOE中，GO=1，OE=2，所以GE=√GO2+OE2=√5，
在Rt△GDE中，GE=√5，DG=√3，所以DE=√GD2+GE2=2√2，
在Rt△FOE中，FO=√3，OE=2，FE=√FO2+OE2=√7，
所以在△DFE中，满足DF2+FE2=DE2，所以∠DFE=90∘，
所以cos∠DEF=DF
DE =
2√2
=√2
4
，
故选：A.
7、答案：D
分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
该几何体由直三棱柱AFD−BHC及直三棱柱DGC−AEB组成，作HM⊥CB于M，如图，
因为CH=BH=3,∠CHB=120∘，所以CM=BM=3√3
2,HM=3
2
，
因为重叠后的底面为正方形，所以AB=BC=3√3,
在直棱柱AFD−BHC中，AB⊥平面BHC，则AB⊥HM, 由AB∩BC=B可得HM⊥平面ADCB，
设重叠后的EG与FH交点为I,
则V I−BCDA =1
3
×3√3×3√3×3
2
=
272
,V AFD−BHC =12
×3√3×32
×3√3=81
4
则该几何体的体积为V =2V AFD−BHC −V I−BCDA =2×814
−
272
=27.
故选：D. 8、答案：C
分析：由向量的线性运算法则化简得到AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ==(x −y
2
)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ 和BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3
BE
⃑⃑⃑⃑⃑ ，结合B,O,F 三点共线和A,O,E 三点共线，得出2x +3y −2=0和3x −4y =0，联立方程组，即可求解. 根据向量的线性运算法则，可得AO
⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +DC
⃑⃑⃑⃑⃑ ) =(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅(2AF ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(x −y)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ +1
2yAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x −y
2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAF ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为B,O,F 三点共线，可得x −y 2+2y =1，即2x +3y −2=0；
又由BO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yBC ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −xBA ⃑⃑⃑⃑⃑ +y ⋅43BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−x)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +4y 3BE ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为A,O,E 三点共线，可得1−x +
4y 3=1，即3x −4y =0，
联立方程组{2x +3y −2=03x −4y =0 ，解得x =817,y =617，所以x +y =14
17.
故选：C. 9、答案：ABD
分析：根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC =BC 时，四棱锥B −A 1ACC 1体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证A 1B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误. 底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，侧棱AA 1⊥平面ABC ，
A 选项，∴AA 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，且AA 1∩AC =A ，则BC ⊥平面A 1ACC 1， ∴四棱锥
B −A 1AC
C 1为“阳马”，对；
B 选项，由A
C ⊥BC ，即A 1C 1⊥BC ，又A 1C 1⊥C 1C 且BC ∩C 1C =C ， ∴A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，
∴A 1C 1⊥BC 1，则△A 1BC 1为直角三角形，
又由BC⊥平面AA1C1C，得△A1BC为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形，∥CC1B为直角三角形．∴四面体A1C1CB为“鳖膈”，对；
C选项，在底面有4=AC2+BC2≥2AC⋅BC，即AC⋅BC≤2，
当且仅当AC=BC=√2时取等号，
V B−A
1ACC1=1
3
S A
1ACC1
×BC=1
3
AA1×AC×BC=2
3
AC×BC≤4
3
，错；
D选项，因为BC⊥平面AA1C1C，则BC⊥AF，
AF⊥A1C且A1C∩BC=C，则AF⊥平面A1BC，
∴AF⊥A1B，又AE⊥A1B且AF∩AE=A，
则A1B⊥平面AEF，所以则A1B⊥EF，对；
故选：ABD．
10、答案：AC
解析：A：由正方体的性质判断B1C⊥平面ABC1D1，得出B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为90°；B：由CD//AB，证明CD//平面ABC1D1，即得CD//平面BPC1；C：三棱锥D−BPC1的体积等于三棱锥的体积P−DBC1的体积，判断三棱锥D−BPC1的体积为定值；D：可得直线CP和直线A1B为异面直线.
对于A，因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1，
又BC1∩C1D1=C1，BC1，C1D1⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，
而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，
故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；
对于B，因为平面BPC1与面ABC1D1是同一平面，
DC//AB，AB⊂平面ABC1D1，CD⊂平面ABC1D1，
故CD//平面ABC1D1，即CD//平面BPC1，故B错误；
对于C，三棱锥D−BPC1的体积等于三棱锥P−DBC1的体积，
而平面DBC1为固定平面，且△DBC1大小一定，
又因为P∈AD1，
因为AD1//BC1，AD1⊂平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，
所以AD1//平面DBC1，
所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，为定值，
所以三棱锥D−BPC1的体积为定值，故C正确；
对于D，直线CP和直线A1B是异面直线，不可能相交，故D错误.
故选：AC.
分析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定及性质，异面直线所成的角，直线与平面所成的角，空间中的距离，正确理解判定定理和性质是解题的关键.
11、答案：ABD
分析：由PA⊥矩形ABCD，得PA⊥BD，若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故PD⊥BD不正确．
解：∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD，
∴PA⊥BD，故D正确．
若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，
故PD⊥BD不正确，故C不正确；
∵PA⊥矩形ABCD，
∴PA⊥CD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；
∵PA⊥矩形ABCD，
∴由三垂线定理得PB⊥BC，故A正确；
故选：ABD．
12、答案：无数
分析：平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答. 令给定的两条异面直线分别为直线a,b，平移直线b到直线b′，使b′与直线a相交，如图，
则直线b′与a确定平面α，点A是平面α内任意一点，过点A有唯一直线l⊥α，
因此，l⊥a,l⊥b′，即有l⊥b，由于点A的任意性，
所以有无数条直线与异面直线a,b都垂直.
所以答案是：无数。