高等数学下复习资料

z 2
oy x
解 (x, y, z) | x2 y2 4, 1 (x2 y2 ) z 2}.

2


(r, ,

z)
|
0


2 ,0

r

2,
1 2
r2

z

2}.
I (x2 y2z)dv
z
2 z2
zr 4 cos2 sin2 rdrddz
30 Pdx Qdy 是某一二元函数的全微 分.
5. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x
y py qy f (x) ①
结论：
在（1）中，若 f (x) ex pn (x), 则（1）具有形如 y* xkQn (x)ex
的特解，其中Qn (x)与 pn (x) 同次，k按不是特征根、是
特征单根、是特征重根依次取 0、1或2.
特别是
f ( x) aex (a为常数）
dy x y
①
dx
y x0 1
②
由 ① 得 d y y x,
dx
y e pdx[ Qe pdxdx C]
p(x) 1,Q(x) x,
edx[ xedxdx C]
ex[ xexdx C] ex (xex ex C) Cex x 1
D
0
a2
第二型曲面积分的计算
曲面 曲面 曲面
上侧,下侧
（上侧正下侧负） 前侧,后侧
(前侧正后侧负)
右侧,左侧
小结: 光滑曲面
（单值）
R(x, y, z)d x d y R(x, y, z( x, y) ) d x d y
S
Dxy
（上侧正下侧负）
光滑曲面
前侧
（单值）
后侧
P( x, y, z)d y d z P( x( y, z), y, z)d y d z
解 原式
S1 S2 S3

e x2y2 dxdy
x y 2
2
1 x2 y2 4
x2 y2 1
e dxdy
x2 y2
x2 y2 4
e2
x
dxdy
x2 y2
2 d 0
2 er rdr 1r
*(x) aex , * (x) * (x) aex , 代入(*)解得 a 1 ,
2
*(x) 1 ex ,
2

(
x)

C1
c
os
x

C2
sin
x

1 2
e
x
.
14: 设 (x) ex x 0 x( x u ) d u, (0) 0,
2 2 4 2 2 15 15
x2 y2 4 D : x2 y2 4
4.计算
其中L为圆周
解 参数方程计算, 则
y
o
d s x2 y 2 d t
t ax
第二型曲线积分的计算
1. 直接计算法
2. 利用格林公式化为二重积分计算
格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则
[yf(x)]y [2xf (x) x2 ]x , 即 f(x) 2f(x) 2xf (x) - 2x,
df (x) 1 f (x) 1. dx 2x

f(x)

e-
1 dx 2x
(C

1 e
1 dx
2x dx)
- 1 ln x
e 2 (C

1 ln x
积分, 得
arctgy x - 1 x2 C, 2
以y
|x0

1代入求得C


4
,
故所求之解为
10. 设曲线积分 yf (x)dx [2xf (x) x2 ]dy在右半平面(x 0)内与路径 L
无关,其中f (x)可导且f (1) 1,求f (x).
解 [由恰当条件 Qx Py列方程解之 ]依题意,有
e 2 dx)
1
- ln x
e 2 (C
1
x 2 dx)

-1
x 2 (C
2
x
3 2
)
1 -
Cx 2

2 x.
3
3
代入初始条件f(1)=1,得 C 1 ,所以 3
f (x) 2 x 1 . 3 3x
11.
的通解.
解: 特征方程 4 2 3 5 2 0, 特征根:
1 2 0, 3, 4 1 2 i
因此原方程通解为 y C1 C2 x ex ( C3 cos 2x C4 sin 2x )
14. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: 5 4 0, 特征根 : 1 2 3 4 0, 5 1
z 1 (x2 y2)

r5 cos2 sin2 drd
2
r2 zdz
D
2
2
x o(x, y) y
2
2
cos2

(1

cos2

)d

256
0
15
2z x2 y2 z 2
2(1 3 1 ) 256 32 .
n1
n
解
10当p

1时,因
由 ② 得 C = 2, 因此所求曲线方程为 y 2ex x 1.
线性常系数非齐次微分方程
y py qy f (x) ( p, q 为常数) f x \ 0 ①
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法
D
D
o
x

4cos

2
d
2cos
f ( cos, sin ) d
2
x2 y2 2x x2 y2 4x
2.计算椭球体
解法1 利用“先二后一”计 算.
的体积 V. cz
z
a
V

d
xd
yd
z

c
20d zDz
dxd
x y

cab(1
0

z c
2 2
)
d
z
4 abc
3
Dz by
解法2 利用三重积分换元法. 令
x ar sin cos , y br sin sin , z cr cos
则
0 r 1
J

(x, y, z)
(r, , )

abcr2 sin ,
:
0
0 2
S
D yz
(前侧正后侧负)
光滑曲面
右侧
Q( x, y, z)d z d x Q( x, y(z, x), z)d z d x左侧
ห้องสมุดไป่ตู้
S
D z x (右侧正左侧负)
7. 求 I yzdzdx zxdxdy.其中S为上半球面
S
z R2 x2 y2 的上侧.
解 这里P=0，Q=yz，R=zx,


a a
x
2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
y
C
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
D
L
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
高等数学练习题
1.将二重积分 f (x, y)d化为二次积分,其中积分区域D
D
是由两圆周（x 1)2 y2 1和（x 2)2 y2 4所围成.
2cos
y
4cos
解 f (x, y)d f ( cos, sin )dd

2 d
0
1 e rdr 0r

2
d
2 e2 rdr 2e2.
0
0r
s1
y
s2
9. 求微分方程dy dx

1
x

y2

xy 2
满足初始条件y
|x0

1的解
解 原方程化为 dy (1 y 2 )(1 x), 分离变量 ,得 dx
dy (1 x)dx 1 y2
于是 P( fx ) Q( f y ) R 1
fx
x, z
fy
y, z
yz y zx y2 x R2 x2 y2 . z
I
( y2 x R2 x2 y2 )dxdy
D:x2 y 2 R2

(r 2 sin2 r cos R2 r 2 )rddr
特解
y* xkbex
13. 设函数(x) 连续,且满足 (x) ex
x
(t x)(t)dt
0
解
(x) ex
x
t(t)dt x
x
(t )dt
0
0
对积分方程两边求导，得
求 (x).
(x) e x x(x)
x
(t )dt
提示: 对积分换元 , 令 t x u , 则有
解初值问题: 答案:
级数的收敛、求和与展开 基本问题：判别敛散； 求收敛域；
求和函数； 级数展开. 15. 判别下列级数的敛散性:
解
利用比值判别法, 可知原级数发散.
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
(3)
n1
an ns
(a 0, s 0): 用比值判别法可知:
a 1 时收敛 ; a 1 时发散. s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
16下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(2)
n1
(1)n
1
sin

n1
n1
;
(3)
(1)n ln n 1 ;
原方程通解: y C1 C2 x C3x2 C4 x3 C5ex
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x2, x3, ex )
12.一曲线在点(x, y)处的斜率等于 x y,且经过点(01), 试求
该曲线的方程 .
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
0
0
0
0
注意： 2 sin 2 d 4 2 sin 2 d 4 ,
0
0
4
2
cosd 0.
I 1 R4.
0
4
8.计算
ez dxdy,其中S为锥面z x2 y2
S x2 y2
及平面z 1 及z 2所围成的立体表面外侧 . z s3

x ( x)

ex

x
(t )dt,
(1)
0
0
再求导，得 (x) (x) e x . 初始条件为 (0) 1, (0) 1. (2)
特征方程与特征根为:
2 1 0, 1,2 i,

(x) C1 cos x C2 sin x.
由于(1)中自由项 f (x) e x , 1不是特征根 ,故设
Q P
Pdx Qdy
L

(
D
x

y
)dxdy
3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径
D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且 Q P (在D上) x y
10 积分 Pdx Qdy与路径无关; 20
Pdx Qdy 0;
L
任意cD
V d x d y d z J d d dr
abc r 2 sin d d dr
2
abc d

sin d
1r2 d r 4 abc
0
0
0
3
3 .求三重积分
I (x2 y2z)dv
其中是由曲面 2z x2 y2及平面z 2围成.
D:00rR2 ,
(r3 sin2 ddr r2 cos R2 r2 ddr
D:00rR2 ,
D:00rR2 ,

2 sin 2 d
R r3dr
2
cosd
R
r2
R2 r 2 dr
3
B o Ax
(利用格林公式)
6. 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
I (ex sin y 2y) d x (ex cos y 2)d y L
y L
D


L AB AB
oA a B x
Q P 2
x y
2d x d y a ex sin 0dx (ex cos 0 2) 0dx