【13朝阳二模】北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理科数学.解析版

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 【答案】D【解析】{039}N =，，,{0139}M N = ，，， 【考点】集合的运算、并集（2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13- B ．23- C ．1- D ．2-【答案】B【解析】12321001111()d ()|()003232x mx x x mx m +=+=+-=⎰ 解得23m =-【考点】微积分基本定理（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >?B. 7n ≥?C. 8n >?D. 9n >?（第5题图）（第3题图）【答案】C【解析】列举法：S=0 1 4 9 16n=1 3 5 7 9则7不满足条件，9满足条件，故选择C【考点】程序框图、条件的判断（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3)【答案】A【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=正视图 侧视图俯视图22b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得220b x x a -+=，2()80b a ∆=-≥，则2()8b a ≥所以3e =【考点】圆锥曲线、双曲线的离心率（5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13C ．12 D ．1【答案】A 【解析】1111326S =⨯⨯=【考点】三视图、求椎体体积（6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A ．10种B ．12种C ．18种D ．36种 【答案】C【解析】11233218C C A ⋅⋅=【考点】排列组合（7）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是A ．②B ．①②C ．③D ．②③【答案】D 【解析】画出函数()21(0)x f x a a =⋅+≠的草图当0a >时 当0a <时对应的()F x 图象分别为当0a >时 当0a <时显然，①错；②正确；对于③，0mn <,0m n +>,m n >-由图知，()F x 为减函数，所以()()()F m F n F n <-=-，推出()()0F m F n +<，③正确；【考点】函数的性质、指数函数、分段函数（8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC的取值范围是A ．1[1,]4--B ．11[,]24-- C ．[1,0]- D ．1[,0]2-【答案】D 【解析】如图，建系 当P 与1A 重合时，1PA PC ⊥ ，10PA PC = ，故A 、B 排除；(100)A ，，,1(011)C ，，，设(0)P x y ，，(0101)x y ≤≤≤≤， 1(11)(10)PA x y PC x y =---=--，，，，， 222211111()()2222PA PC x x y y x y =-+-+=-+--≥-所以答案选D【考点】空间向量与立体几何第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ． 【答案】2i -【解析】3i (3i)(1i)42i2i 1i (1i)(1i)2++--===-++- 【考点】复数的运算（10）若直线l 与圆2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．【答案】π4【解析】将2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩化为直角方程得22(1)4x y ++=，圆心为(01)-，圆心与AB 的中点连线的斜率为21110-+=--，所以l 斜率为1，故倾斜角为π4. 【考点】参数方程、直线与圆（11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则tan COP ∠= ，△OBC 的面积是 ． 【答案】43;185【解析】由切割线定理，2PC PA PB =⋅,又4,8PC PB ==，故2PA =所以6AB =,则3OC =，易知，OC CP ⊥,则4tan 3PC COP OC ∠==, 过C 作CD OP ⊥,由OC PC OP CD ⋅=⋅,得125CD = 11825OBC S OB CD ∆=⋅⋅= 【考点】几何证明选讲（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 【答案】30【解析】6001800322120y x x x x =⋅+=+≥，当且仅当18002x x =，即30x =【考点】均值不等式、实际应用题（13）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．【答案】π112-【解析】如图，画出区域，只需求质点落入阴影部分的概率，1143π12ππ2211212432S S ∆⨯⨯--===-⨯⨯影 【考点】线性规划、几何概型（14）数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈ N ，从集合nA 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．【答案】63，(1)221n n +-【解析】当3n =时，3{1,3,7}A =，1137T =++，2131737T =⨯+⨯+⨯，3137T =⨯⨯313713173713763S =+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=令21n n a =-121213112()()n n n n nS a a a a a a a a a a a a -=+++++++++ 12(1)(1)(1)1n a a a =+++-122221n =⋅⋅- (1)221n n +=-【考点】新定义型数列三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在△ABC 中， ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．【答案】 （Ⅱ）3 【解析】（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为22()2cossin sin cos 2222A A A Af A =+-sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π， 所以444A ππ3π-<-<.所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π-=，所以sin()04A π-=．又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=． 又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a bA B=得，sin sin 33sin sin 4a Bb A π===π． …………13分【考点】三角函数、解三角形（16）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （Ⅰ）求证：FG 平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60 ？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）略 （Ⅱ）4π【解析】（16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG PE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG 平面PED . …………4分 （Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥，PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形， 所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系， 因为22AD PD EA ===,所以D ()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ．…………5分因为F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F ()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =- ，1(2,0,)2GH =- .A DBCPEFGH设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则1100GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 再令11y =，得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =- ,(0,2,2)PC =-. 设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n .所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n. 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. …………9分 （Ⅲ）假设在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60 . 依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤. 由(0,2,2)PC =- ,则(0,2,2)PM λλ=-.又因为FM FP PM =+ ,(1,1,1)FP =--，所以(1,21,12)FM λλ=--- . 因为直线FM 与直线PA 所成角为60 ，(2,0,2)PA =-， 所以cos ,FM PA =12，即12=，解得58λ=.所以55(0,,)44PM =-，PM .所以在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60，此时PM =. ………………………………………14分【考点】空间向量与立体几何、动点问题（17）（本小题满分13分）为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随其成绩等级为“A 或B ”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率． 【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）随机变量X所以812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）3487【解析】（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==． 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13．……………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由已知得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3． 所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=； 112312124(1)()()33279P X C ==⋅==；22131262(2)()()33279P X C ==⋅==；3303121(3)()()3327P X C ==⋅=． 随机变量X 的分布列为所以812610123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………9分 （Ⅲ）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为,m n ．显然基本事件的总数为230C ．不妨设m n >，当90m =时，60n =或40或30，其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++；当70m =时，n =40或30，其基本事件数为111673()C C C ⋅+；当60m =时，30n =，其基本事件数为11103C C ⋅； 所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==． 所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487． ……………13分 【考点】概率分布列、二项分布（18）（本小题满分13分）已知函数2()11mxf x x =++（0m ≠），2()e ()axg x x a =∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0m >时，若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）当0m >时,函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-，(1,)+∞当0m <时,函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间是(1,1)-. （Ⅱ）a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. 【解析】（18）（本小题满分1 3分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，22222(1)(1)(1)()(1)(1)m x m x x f x x x --+'==++.…………1分 ①当0m >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-，单调递减区间是(,1)-∞-，(1,)+∞.…………3分②当0m <时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间是(1,1)-.……………5分（Ⅱ）依题意，“当0m >时，对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当0m >时，对于任意[0,2]x ∈， min max ()()f x g x ≥成立”.当0m >时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =. 所以应满足max ()1g x ≤. ……………………………………………………………6分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e ax g x ax x '=. ……………7分 ①当0a =时，函数2()g x x =，[0,2]x ∀∈，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，故0a =不成立. ……………8分 ②当0a ≠时，令()0g x '=得，10x =，22x a=-.（ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时，在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==.由24e 1a ≤得，ln 2a ≤-，所以1ln2a -≤≤-. ……………10分 （ⅱ）当202a<-<，即1a <-时,在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a-上单调递减，所以max 2224()()eg x g a a =-=.由2241e a ≤得，2ea ≤-，所以1a <-. ……………11分 （ⅲ）当20a-<，即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥，函数()g x 在[0,2]上单调递增，且2max ()(2)4e a g x g ==.显然2max ()4e 1a g x =≤不成立，故0a >不成立. ……………12分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. ……………13分【考点】函数与导数、单调区间、恒成立问题（双变量）（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．【答案】（Ⅰ）22143x y +=;（Ⅱ）1(0,)4【解析】（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =-- ，2(1,)FB b =-.由12FB FB a ⋅=-，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………4分（Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. …………6分所以弦MN 的中点为22243(,)3434k kP k k -++. ……………7分所以MN =2212(1)43k k +=+. ……………9分 直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++，由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP =. …………11分所以224312(1)43DP k k MN k +==++ ……………12分 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<. 所以DPMN 的取值范围是1(0,)4. ………………………………………14分【考点】圆锥曲线、椭圆、弦长问题（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （2n ≥）满足||1(1,2,3,,)i x i n ≤= ，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值；（Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值． 注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.【答案】（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-．(1,1,1,1)1111112S --=----+=-．（Ⅱ）min 1S =-（Ⅲ）min 1(1)2S n =--【解析】（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-．(1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ……………3分（Ⅱ）设123(,,)S S x x x =．当3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．若固定23,x x ，仅让1x 变动，此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++， 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-． 同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-． 2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到， 于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥．当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++212313()22x x x =++-． 因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-时，1S =-． 因此min 1S =-． ……………8分（Ⅲ）设121(,,,)n i j i j nS S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++ .固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，此时2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++⋅+++++ ，因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥- ．同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥- ． 2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥--- ．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k nS S x x x =±=≥ ．当1k x =±（1,2,,k n = ）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++2121()22n n x x x =+++- ． ①当n 为偶数时，2nS ≥-，若取1221n x x x ==== ，12221n nn x x x ++====- ，则2n S =-，所以min 2nS =-．②当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥ ，所以1(1)2S n ≥--，若取12121n x x x -==== ，1112221n n n x x x --++====- ，则1(1)2S n =--，所以min 1(1)2S n =--． …………………………13分【考点】新定义题。