北京市朝阳区中考数学二模试题(1)
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.若代数式x2−x的值等于零，则x=()x−1A. 1B. 0C. 0或1D. 0或−12.圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的，那么下列四个图中绕着虚线旋转一周可以得到如图所示的立体图形的是()．A.B.C.D.3.下列四个选项中，既是轴对称又是中心对称的图形是()A. 矩形B. 等边三角形C. 正五边形D. 正七边形4.已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是()A. −a<−bB. a+b<0C. |a|<|b|D.5.若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为()A. 3B. 3√2C. 3√3D. 66.若a+b=3且ab=1，则代数式(1+a)(1+b)的值等于()A. 5B. 1C. 3D. −17.某校七(3)班的同学进行了一次安全知识测试，测试成绩进行整理后分成四个组，并绘制如图所示的频数直方图，则第二组的频数是()A. 0.4B. 18C. 0.6D. 278.如图，矩形ABCD的长和宽分别为2cm和1cm，以D为圆心，AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB长为半径作弧BE，则阴影部分的面积是()A. 1cm2B. 2cm2C. 3cm2D. 4cm2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.比√7大且比√10小的整数是______．10.如图，能用字母表示的直线有______条；能用字母表示的线段有______条；在直线EF上的射线有______条．11.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是_______m(结果保留根号)．12.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=6，AC=5，AD=3，则⊙O的直径AE=______ ．13.北京市2009～2014年轨道交通日均客运量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2015年北京市轨道交通日均客运量约________万人次，你的预估理由是______________．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−3,0)，B(−1,2).以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°，再沿x轴向右平移两个单位，得到△A’O’B’，其中点A’与点A对应，点B’与点B对应.则点A’的坐标为__________，点B’的坐标为__________．15.下表记录了某射击运动员同一条件下的成绩．射击次数n306020050010005000“射中9环以上”的次数m23491623998074001“射中9环以上”的频率mn0.7670.8170.8100.7980.8070.800(精确到0.001)由此估计这名运动员射中9环以上的概率约是________(精确到0.1)．16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线a和直线外一点P．求作：直线a的垂线，使它经过P．作法：如图2，(1)在直线a上取一点A，连接PA；AP的长为半径作弧，(2)分别以点A和点P为圆心，大于12两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D；(3)以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−117.计算：√12−3tan30°+(π−4)0−(1218.解不等式x−24>x+13−1，并在数轴上表示解集．19.如图，在△ABC中；(1)作∠C的角平分线CE交AB于E(保留痕迹，不写作法)，过点E分别作AC、BC的垂线EM、EN，垂足分别为M、N；(2)若EN=2，AC=4，求△ACE的面积．20.已知关于x的方程kx2−x−2k=0(k≠0)．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．21.如图，平面直角坐标系中，反比例函数y1=k图象与函数y2=mx图象交于点A，过点A作AB⊥xx轴于点B，已知点A坐标(2,1)．(1)求反比例函数解析式；(2)当y2>y1时，求x的取值范围．22.如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE//BD，BE//AC，OE=CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，若∠ADC=60°，AD=4，求AE的长．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E.连接OC，BE，相交于点F．(1)求证：EF=BF；(2)若DC=4，DE=2，求直径AB的长．24.在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：(1)求这次调查的50名学生读书的册数的平均数和众数．(2)根据样本数据，估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数．25.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D 与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：补全上面表格，要求结果保留一位小数．则t≈______．(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．26.已知抛物线y=ax2−2ax−2(a≠0)．(1)当抛物线经过点P(4,−6)时，求抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为11，求点M和点N的坐标；2(3)点A(x 1,y1)，B(x2,y2)为抛物线上的两点，设，当时，均有，求t的取值范围．27.27.已知△ABC中，AC=BC，∠C=100°，AD平分∠BAC交BC于D，点E为AB上一点，且∠EDB=∠B.求证：AB=AD+CD．28.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．(1)当⊙M半径为2，点M和点O重合时，1点P1(−2,0)，P2(1,1)，P3(2,2)中，⊙O的“美好点”是______；2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；(2)点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B的值等于零，解析：解：∵代数式x2−xx−1∴x2−x=0，x−1≠0，解得：x=0．故选：B．直接利用分式的值为零条件进而分析得出答案．此题主要考查了分式为零的条件，正确把握定义是解题关键．2.答案：A解析：本题考查了面动成体，由于图中立体图形是由两个圆柱组合而成，根据“圆柱是由长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周所得到的”这一规律，即可作出正确判断．解：由长方形绕着它的一边所在的直线旋转一周可得到圆柱体，图中立体图形是由两个圆柱组合而成，则需要两个一边对齐的长方形，绕对齐边所在的直线旋转一周即可得到，故选A．3.答案：A解析：解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.答案：C解析：本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、绝对值性质的应用，掌握法则是解题的关键．根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，即可作出判断．解：根据点a、b在数轴上的位置可知−1<a<0，1<b<2，则−a>−b，a+b>0，|a|<|b|，a−b<0．故选：C．5.答案：D解析：本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答此题要熟悉正多边形的边长、半径、边心距等概念，以及正六边形和正三角形的关系等概念．连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．解：边长为6的正六边形可以分成六个边长为6的正三角形，而正三角形的边长即为正六边形的外接圆半径，其长度为6cm．6.答案：A解析：本题考查了整式的混合运算—化简求值，能正确运用多项式乘多项式的法则进行化简是解此题的关键，用了整体代入得思想，难度适中.先根据多项式乘多项式的法则计算，再变形，最后整体代入求出即可．解：∵a+b=3，ab=1，∴(1+a)(1+b)=1+b+a+ab=1+(a+b)+ab=1+3+1=5，故选A．7.答案：B解析：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.根据频数分布直方图即可求解．解：根据频数分布直方图可知，第二组的频数是18．故选B．8.答案：A解析：解：∵AD=1cm，AB=2cm，AB的中点是F，AB=1cm=AD，∴AF=BF=12∴扇形DAE的面积=扇形FBE的面积，∴阴影部分的面积=1×1=1(cm2).故选：A．根据题意扇形DAE的面积与扇形FBE的面积相等，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半．本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质以及拼图的能力．得出阴影部分的面积等于矩形面积的一半是解题的关键．9.答案：3解析：此题主要考查了估算无理数的大小，基础题直接利用比√7大且比√10小的整数是√9即可得出答案．解：比√7大且比√10小的整数是：√9=3．故答案为：3．10.答案：3 6 6解析：解：图中有直线3条，分别是AB，AD，EF；线段有：AB、BC、AC、BD、CD，AD共有6条．有射线BE，CE，DE，BF，CF，DF，共有6条；故答案是：3，6，6．根据直线、射线、线段的表示法即可得到．本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键．11.答案：(3√3+9)解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD ，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=BDCD，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=ADCD，∴tan30∘=AD9，即AD9=√33，∴AD=3√3m．在Rt△BCD中，∵∠BCD=45°，∴BD=CD=9m，∴AB=AD+BD=(3√3+9)m．故答案为(3√3+9)．12.答案：10解析：解：由圆周角定理得，∠E=∠C，∠ABE=90°，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD =AEAC，即63=AE5，解得，AE=10，故答案为：10．根据圆周角定理得到∠E=∠C，∠ABE=90°，证明△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13.答案：980；因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．解析：此题考查用样本估计总体有关知识，根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．解：980，因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．故答案为980；因为2012−2013年发生数据突变，故参照2013−2014增长进行估算．14.答案：(2,3)，(4,1)解析：本题考查了旋转中的坐标变换和平移中的坐标变换.根据点A(−3,0)，利用旋转的性质得到点A0的坐标，再利用平移的性质得A′坐标，同理得B′坐标．解：将OA以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°到点A0外，则A0(0,3)，再把A0沿x轴向右平移两个单位到A′处，则A′(2,3)．将OB以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°到点B0外，则B0(2,1)，再把B0沿x轴向右平移两个单位到B′处，则B′(4,1)．故答案为(2,3)，(4,1)．15.答案：0.8解析：本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键.根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．故答案为0.8．16.答案：直径所对的圆周角是直角．解析：解：由作图知，点E在以PA为直径的圆上，所以∠PEA=90°，则PE⊥直线a，所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，故答案为：直径所对的圆周角是直角．由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA=90°，即PE⊥直线a．本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．17.答案：解：原式=2√3−3×√3+1−23=2√3−√3+1−2=√3−1．解析：直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.答案：解：x−24>x+13−1，去分母，得3(x−2)>4(x+1)−12解这个不等式，得x<2∴不等式组的解集为：x<2，将不等式解集表示在数轴上如图：．解析：根据解一元一次不等式的方法可以解答本题，并在数轴上表示出不等式的解集．本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．19.答案：解：(1)如图所示：CE为∠ACB的角平线，(2)∵CE为∠ACB的角平线，∠EMC=∠ENC=90°，∴EM=EN=2，∴S=12AC×EM=4．解析：(1)利用角平分线的作法以及过一点作已知直线的作法得出即可；(2)利用角平分线的性质以及三角形面积求法求出即可．此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质，得出EM的长是解题关键．20.答案：(1)证明：∵k≠0，∴kx2−x−2k=0(k≠0)为关于x的一元二次方程，∵Δ=(−1)2−4k×(−2k)=9>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：x=1±√92k =1±32k，解得x1=2k，x2=−1k，∵方程的两个实数根都是整数，且k是整数，∴k=−1或k=1．解析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．(1)先判断方程为关于x的一元二次方程，再计算出Δ=9，于是根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；(2)利用求根公式解方程得到x1=2k ，x2=−1k，然后利用整数的整除性确定k的值．21.答案：解：(1)∵反比例函数y1=kx经过点A(2,1)，∴k=xy=2×1=2，∴反比例函数的解析式为y=2x．(2)根据对称性可知：A、C关于原点对称，可得C(−2,−1)，观察图象可知，当y2>y1时，x的取值范围为−2<x<0或x>2．解析：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称性确定点C坐标．(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)根据对称性确定点C坐标，观察图象，y2的图象在y1的图象上方的自变量的取值，即为所求．22.答案：证明：(1)∵AE//BD，BE//AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，∵OE=CD，∴OE=AB，∴平行四边形AEBO是矩形，∴∠BOA=90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，∴AO=2，结合勾股定理得DO=√3AO=2√3=BO，∵四边形OBEA是平行四边形，∴AE=OB=2√3．解析：本题考查的是矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质等有关知识．(1)证明平行四边形AEBO是矩形，得出AC⊥BD，根据菱形的判定证明即可；(2)由菱形的性质可得AD=CD=4，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∠ADO=30°，可求AO=2，DO=√3AO=2√3=BO，由平行四边形的性质可求AE的长．23.答案：(1)证明：∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC//AD，∴∠BFO=∠AEB，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴OC⊥BE∴EF=BF；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BFO=90º，∵∠OCD=∠CFE=90°，∴四边形EFCD是矩形，∴EF=CD，DE=CF，∵DC=4，DE=2，∴EF=4，CF=2，设⊙O的为r，∵∠OFB=90°，∴OB2=OF2+BF2，即r2=(r−2)2+42，解得，r=5，∴AB=2r=10，即直径AB的长是10.解析：本题考查切线的性质，圆周角定理及其推论和垂径定理，勾股定理．(1)有切线的性质得OC⊥CD，再由AD⊥CD得OC//AD，从而有OC⊥BE，再有垂径定理即可解答．(2)先证明四边形EFCD是矩形，再由勾股定理得方程，解方程即可．，24.答案：解：(1)观察表格，可知这组样本数据的平均数为：(0×3+1×13+2×16+3×17+4×1)÷50=2，故这组样本数据的平均数为2；∵这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是3；=108．(2)∵在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，有300×1850∴根据样本数据，可以估计该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有108名．解析：(1)先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；(2)从表格中得知在50名学生中，读书多于2册的学生有18名，所以可以估计该校八年级300名学=108．生在本次活动中读书多于2册的约有300×1850本题考查了加权平均数、众数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式．25.答案：(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3解析：解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．26.答案：解：(1)把P(4,−6)代入y=ax2−2ax−2得a=−12，又∵对称轴为直线x=1，∴代入解析式计算得该抛物线的顶点坐标为；(2)∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，，∴当x=5时，y的值最大，即M(5,112)，把M(5,112)代入y=ax2−2ax−2，解得a=12，∴该二次函数的表达式为y=12x2−2x−2，当x=1时，y=52，∴N(1,−52)；(3)当a>0时，该函数的图象开口向上，显然不符合题意，当a<0时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x=1，，当时，具有，点A(x1,y1)B(x2,y2)在该函数图象上，∴，，t的取值范围．解析：本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．(1)抛物线经过点P(4,−6)，代入抛物线即可求出顶点坐标；(2)根据图象的开口和增减性，可以求出抛物线的解析式．即可求出点M，点N的横坐标；(3)根据二次函数的开口的情况进行分类讨论即可．27.答案：见解析解析：由∠C=100°，AC=BC得到∠B=∠CAB=40°，再由∠EDB=∠B得到∠DEB=100°，BE=DE，则∠AED=80°，然后根据角平分线的定义得∠DAE=20°，于是利用三角形内角和定理可计算出∠ADE=80°，所以AD=AE，于是AB=AE+BE=AD+CD．【详解】∵∠C=100°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=40°，∵∠EDB=∠B，∴∠DEB=100°，BE=DE，∴∠AED=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAF=20°，∴∠ADE=180°−80°−20°=80°，∴AD=AE，过点D作DF⊥AC于点F，作DH⊥AB于点H，∴DF=DH，在△CDF和△EDH中，∵∴△CDF≌△EDH(AAS)，∴CD=DE，∴CD=BE，∴AB=AE+BE=AD+CD．本题考查全等三角形的判定(AAS)与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定(AAS)与性质、等腰三角形的判定与性质．28.答案：解：(1)P1和P2如图2中，（2）当直线y=4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM=E′M′=2，∴M′(2,2)，m(6,6)，∴满足条件的m的取值范围为2<m<6．解析：解：(1)如图1中，∵OP1=2+r，OP2=√2<r，OP3=2√2>r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2当直线y=x+b与⊙O相切时，设切点分别为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．在Rt△OTK中，OT=2，∠TKO=45°，∴∠KEO=45°，OE=√2OT=2√2，∴b=2√2，根据对称性可知：OF=OE=2√2，∴b=−2√2，∴b的取值范围为：−2√2≤b≤2√2．(2)见答案(1)根据⊙M的“美好点”即可判断，求出直线y=x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；(2)当直线y=4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；本题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会在取特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
北京市朝阳区中考数学二模试题
北京市朝阳区 中考数学二模试题学校 班级 姓名 考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分. 考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．的绝对值是A ．2B ．12C ．12D ．22．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在千克以下．将用科学记数法表示为A ．57.510 B.57.510C ．40.7510 D.67510 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,如果AD =3，BD =5，那么DEBC的值是 A. 35 B. 925 C. 38 D. 584．从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为A ．19B ．18C ．29D ．135．如图，圆锥的底面半径OA 为2，母线AB 为3，则这个圆锥的侧面积为 π B. 6π C. 12π D. 18π6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是．．长方形的是7. 某校篮球课外活动小组21名同学的身高如下表身高（cm ） 170176178182184EDA BO则该篮球课外活动小组21名同学身高的众数和中位数分别是A ．176，176B ．176，177C ．176，178D ．184，1788．图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第 3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上．．一面的字是 A ．我 B ．的 C ．梦 D ．中二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数23yx 中，自变量x 的取值范围是 ．10．分解因式：32242xx x = ．11．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，点F 在弧AC 上， 若∠BCD ＝32°，则∠AFD 的度数为 ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，且A (-2，0)，B (0，1)，在直线 AB 上截取BB 1=AB ，过点B 1分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 1 、C 1，得到矩形OA 1B 1C 1；在直线 AB 上截取B 1B 2= BB 1，过点B 2分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 2 、C 2，得到矩形OA 2B 2C 2；在直线 AB 上截取B 2B 3= B 1B 2，过点B 3分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为点A 3 、C 3，得到矩形OA 3B 3C 3；……则第3个矩形OA 3B 3C 3的面积是 ；第n 个矩形OA n B n C n 的面积是 （用含n 的式子表示，n 是正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()219342452-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．14．计算：2312()111x x x -÷-+- ． 人数 4 6 5 4 2y xA 2A 3C 3C 2A 1C 1OB 3B 2B 1BA15．如图，为了测量楼AB 的高度，小明在点C 处测得楼AB 的顶端A 的仰角为30º，又向前走了20米后到达点D ，点B 、D 、C 在同一条直线上，并在点D 测得楼AB 的顶端A 的仰角为60º，求楼AB 的高．16．已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC 的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ． 求证：AB ∥CD ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx =－2的图象与x 、y 轴分别交于点A、B ，与反比例函数32y x =-（x ＜0）的图象交于点3()2M n -，． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）设点P 是一次函数y kx =－2图象上的一点，且满足△APO 的面积是△ABO 的面积的2倍，直接写出点P 的坐标．18．某新建小区要铺设一条全长为2200米的污水排放管道，为了尽量减少施工对周边居民所造成的影响，实际施工时，每天铺设的管道比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．yx MA B O FCBA FD BE20．如图，在△ABC 中，AC=BC ，D 是BC 上的一点，且满足∠BAD ＝12∠C ，以AD 为直径的⊙O 与AB 、AC 分别相交于点E 、F . （1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）连接EF ，若tan ∠AEF ＝43，AD ＝4，求BD 的长.21．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的500户家庭中，随机调查了40个家庭，并将调查结果制成了部分统计图表．（注：每组数据含最小值，不含最大值）根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布表中的a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图；（3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有多少户？22．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC 中，∠ACB =30º，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA 、PB 、PC ，求PA +PB +PC 的最小值．B 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 (元)教育支出频数分布表 教育支出频数分布直方图小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC 绕点C 顺时针旋转60º，得到△EDC ，连接PD 、BE ，则BE 的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA +PB +PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x 的一元二次方程x 2(4m )x 1m = 0．（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）此方程有一个根是3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y x 2(4m )x 1m向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y x b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax 2bx 4与x 轴交于点A (2，0)、B (6，0)，与y 轴交于点C ，直线CD ∥x 轴，且与抛物线交于点D ，P 是抛物线上一动 点．AB图3ACB P图1y x B A D C O yx B AD C O（1）求抛物线的解析式； （2）过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，将△CPQ 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º），当cos α=35，且旋转后点P 的对应点'P 恰好落在x 轴上时，求点P 的坐标．25. 在□ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .（1）如图1，当EF 与AB 相交时，若∠EAB =60°，求证：EG =AG +BG ； （2）如图2，当EF 与AB 相交时，若∠EAB = α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG 、AG 、BG 之间的数量关系，并证明你的结论.图3 图2 F 图1 F数学试卷参考答案一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCDBBCA二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. x ≥23 10. 22(1)x x 11. 32° ，2n 2+2n三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 解：()219342cos 452-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭243122……………………………………………………4分1. ………………………………………………………………………5分14. 解：2312111x x x()()3(1)11(1)1(1)x x x x x x ⎡⎤++=-⎢⎥+-+-⎣⎦221x………………………………2分()()2242111x x x x +=÷+--…………………………………………………………………3分()()()()1124112x x x x x +-+=⋅+-..................................................................4分 2x =+. (5)分15. 解： 由题意可知∠ACB =30°，∠ADB =60°，CD =20，在Rt△ABC 中，()3tan 30=20AB BC BD =⋅︒+.………………………………1分 在Rt△ABD 中，tan 60=3AB BD BD =⋅︒………………………………………2分∴()3203BD BD +…………………………………………………………3分 ∴10BD =.…………………………………………………………………………4分∴103AB =................... (5)分16. 证明：∵AE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠DFC . ………………………………………………………………1分∵BF =CE ，∴BF +EF ＝CE +EF .即BE ＝CF . ………………………………………………………………………2分 在△ABE 和△DCF 中，AE DFAEB DFCBECF∴△ABE ≌△DCF . … ……………………………………………………………3分 ∴∠B =∠C. ………………………………………………………………………4分 ∴AB ∥CD. … ……………………………………………………………………5分17. 解：（1）∵点3()2M n -，在反比例函数32y x=-（x ＜0）的图象上， ∴1n (1)分∴3()2M -，1.∵一次函数y kx =－2的图象经过点3()2M -，1， ∴3122k .∴2k .∴一次函数的解析式为22y x =--.∴A (1，0)，B (0，2) . ………………………………………………………3分（2）P 1(3，4)，P 2(1，4) . (5)分18. 解：设原计划每天铺设x 米管道．…………………………………………………1分由题意，得220022005(110%)x x=++ ……………………………………………3分解得 40x =． ……………………………………………………………4分经检验40x =是原方程的根． …………………………………………………5分答：原计划每天铺设40米管道．四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：作BG ⊥AE ，垂足为点G ， ∴∠BGA ＝∠BGE ＝90º.在平行四边形ABCD 中，AD = 4， ∵E 是BC 边的中点，∴11 2.22BE EC BC AD ====……………………………………………………1分∵∠BAE =30º，∠ABC =105º， ∴∠BEG =45º.由已知得△ABE ≌△AFE .∴AB =AF ，BE ＝FE ，∠BEF =90º. 在Rt△BGE 中，BG ＝GE……… ………………………………………………………………2分 在Rt △ABG 中，∴AB =AF=………………………………………………………………………3分 在Rt△ECF 中，FC = ………………………………………………… ……4分 ∴四边形ABCF的周长4+……………………………………………………5分20. （1）证明：在△ABC 中，∵AC=BC ， ∴∠ CAB = ∠B .∵∠ CAB +∠B +∠C ＝180º， ∴2∠B +∠C ＝180º.∴12B C ＝90º. ……………………………………………………1分 ∵∠BAD ＝12∠C ，∴B BAD ＝90º.∴∠ADB ＝90º. ∴AD ⊥BC.∵AD 为⊙O 直径的，∴直线BC 是⊙O 的切线. …………………………………………………2分（2）解：如图，连接DF ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分 ∵∠ADC ＝90º，∴∠ADF +∠FDC ＝∠CD +∠FDC ＝90º.∴∠ADF ＝∠C . …………………………………………………………………4分∵∠ADF ＝∠AEF ，tan ∠AEF ＝43， ∴tan ∠C ＝tan ∠ADF ＝43. 在Rt△ACD 中，设AD ＝4x ，则CD ＝3x .∴5.AC x == ∴BC ＝5x ，BD ＝2x . ∵AD ＝4，B∴x ＝1.∴BD ＝2. …………………………………………………………………………5分21．解：（1）a =3，b =； ……………………………………………………………2分 （2）…………………………3分（3）500(0.050.15)100⨯+=.所以该小区家庭中，教育支出不足1500元的家庭大约有100户.…………5分21．解：（1）61.………………………………………………………………………………1分 （2）①如图，…………………………………………2分BD ； ……………………………………………………………………………3分 (3)43. …………………………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. （1）证明：∵△=()()2441m m ---.……………………………………………… 1分 =2412m m -+=()228m -+…………………………………………………………2分 ∴△＞0. …………………………………………………………………3分∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.（2）把x =-3代入原方程，解得m =1. …………………………………………………4分 ∴23y x x =+.A B11即23924y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.依题意，可知新的抛物线的解析式为239'24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. (5)分即2'3y x x =+∵抛物线'y 与直线y x b =+只有一个公共点，∴23x x x b -=+..…………………………………………………………………6分 即240x x b --=. ∵△=0.∴()()2440b --⨯-=.解得b = -4. ……………………………………………………………………7分24. 解：（1）根据题意得424036640a b a b -+=⎧⎨++=⎩，．…………………………………………………………1分解得1343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．所以抛物线的解析式为214433y x x =-++.………………………………2分（2）如图1，过点Q 的对应点'Q 作EF ⊥CD 于点E ，交x 轴于点F .设P (x ，y )，则CQ = x ，PQ =4- y .由题意可知'CQ = CQ = x ，''P Q =PQ =4- y ，∠CQP =∠C ''Q P =90°. ∴'''''QCQ CQ E P Q F CQ E ∠+∠=∠+∠=90°.∴'''P Q F QCQ α∠=∠=.……………………………………………………3分 又∵cos α=35， ∴4'5EQ x = ，3'(4)5FQ y =-. ∴43(4)455x y +-=. ∵214433y x x =-++， 整理可得2145x =.∴125x =225x =-.∴85-8(25)P ，.………………………………………………………………5分y xFEP'Q'B AQ C O P12如图2，过点Q 的对应点'Q 作EF ⊥CD 于点E ，交x 轴于点F . 设P (x ，y )，则CQ =- x ，PQ =4- y .可得'''P Q F QCQ α∠=∠=.……………………………………………………6分又∵cos α=35，∴4'5EQ x =- ，3'(4)5FQ y =-.∴434(4)55x y -+=-.∵214433y x x =-++， 整理可得2145x =.∴125x =（舍去），225x =-. ∴85+8(25)P -，-.……………………………………………………………7分 ∴85-8(25)P ，或85+8(25)P -，-.25. 解：（1）证明：如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE . ………………………………………………………………1分 ∵∠EAB =∠EGB ，∠APE =∠BPG ，∴∠ABG =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ………………2分 ∴BG =EH ，AG =AH .∵∠GAH =∠EAB =60°， ∴△AGH 是等边三角形. ∴AG =HG .∴EG =AG +BG . …………………………………………………………………3分(2) 2sin .2EG AG BG α=+…………………………………………………………5分（3）2.EG AG BG =-……………………………………………………………6分如图，作∠GAH =∠EAB 交GE 于点H .∴∠GAB =∠HAE . ∵∠EGB =∠EAB =90°，∴∠ABG +∠AEG =∠AEG +∠AEH =180°.∴∠ABG =∠AEH .∵又AB =AE ，∴△ABG ≌△AEH . ………………7分∴BG =EH ，AG =AH .∵∠GAH =∠EAB =90°， y xE F P'Q'BAQ DC OPP HE DA G FH E D G∴△AGH是等腰直角三角形.=HG.∴.EG BG-…………………………………………………………8分说明：各解答题其它正确解法请参照给分.13。
2022年北京市朝阳区中考数学二模试卷及答案解析
2022年北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。
1．（2分）汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到2030年森林蓄积量达到190亿立方米．将19000000000用科学记数法表示应为（）A．19×109B．1.9×1010C．0.19×1011D．1.9×109 3．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a+b＞0，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．（2分）如图，点C，D在直线AB上，OC⊥OD，若∠ACO＝120°，则∠BDO的大小为（）A．120°B．140°C．150°D．160°5．（2分）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（2分）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（）A．B．C．D．7．（2分）9个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这9个数都不相等．把a和这9个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（）A．这两组数据的平均数一定相同B．这两组数据的方差一定相同C．这两组数据的中位数可能相同D．以上结论都不正确8．（2分）用绳子围成周长为10m的正x边形．记正x边形的边长为ym，内角和为S°．当x在一定范围内变化时，y和S都随着x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系C．反比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）分解因式：2m2﹣2n2＝．11．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝70°，PA，PC是⊙O的切线，∠P＝°．13．（2分）如图，OP平分∠MON，过点P的直线与OM，ON分别相交于点A，B，只需添加一个条件即可证明△AOP≌△BOP，这个条件可以是（写出一个即可）．14．（2分）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．15．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象与直线x＝1的交点的纵坐标为2，则该图象与直线y＝﹣2的交点的横坐标为．16．（2分）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，围住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子．像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住个白子．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）解分式方程：．19．（5分）解不等式x﹣5＜，并写出它的所有非负整数解．20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b 的值，直接写出m的取值范围．21．（5分）已知：线段AB．求作：△ABC，使得∠A＝90°，∠C＝30°．作法：①分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线AB的一侧相交于点D；②连接BD并延长，在BD的延长线上取一点C，使得CD＝BD；③连接AC．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AD．∵AB＝BD＝AD，∴△ABD是等边三角形（）（填推理的依据）．∴．∠B＝∠ADB＝60°．∵CD＝BD，∴CD＝AD．∴．∠DAC＝∠ACB．∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB（）（填推理的依据）＝2∠ACB．∴∠ACB＝30°．∴∠BAC＝90°．22．（6分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，DE＝DC．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OA＝4，OE＝2，求cos D．24．（6分）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0 1.0 3.0 5.07.0h（米） 3.2 4.2 5.0 4.2 1.8请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）25．（5分）某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取30名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，相关信息如下：a.30名学生A，B两门课程成绩统计图：b.30名学生A．B两门课程成绩的平均数如下：A课程B课程平均数85.180.6根据以上信息，回答下列问题：（1）在这30名学生中，甲同学A课程成绩接近满分，B课程成绩没有达到平均分．请在图中用“〇”圈出代表甲同学的点；（2）这30名学生A课程成绩的方差为s12，B课程成绩的方差为s22，直接写出s12，s22的大小关系；（3）若该年级学生都参加此次测试，估计A，B两门课程成绩都超过平均分的人数．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a+2）x+2a．（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；（2）若点（﹣1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1＜y2＜y3，求a的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且MN⊥DE，垂足为点F．（1）如图1，当点N与点C重合时，求证：MN＝DE；（2）将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，①依题意补全图2；②用等式表示线段MH，HF，FN之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB＝1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B 的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图1，点A1，B1的坐标分别为（﹣3，0），（﹣2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为，点A2，B2的坐标分别为（﹣，），（，），线段A2B2到⊙O的“平移距离”为；（2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d 的最小值；（3）如图2，若点A坐标为（1，），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2022年北京市朝阳区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个。
北京朝阳区达标名校2024届中考二模数学试题含解析
北京朝阳区达标名校2024届中考二模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 2．已知一次函数y ＝﹣12x +2的图象，绕x 轴上一点P （m ，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），则m 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长，分别交对角线BD 于点F ，交BC 边延长线于点E ．若FG ＝2，则AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．如图，已知E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB CF =，A D ∠∠=，添加以下条件之一，仍不能证明ABC ≌DEF 的是( )A ．E ABC ∠∠=B ．AB DE =C ．AB//DED ．DF//AC5．下列计算正确的是（ ）A ．9＝±3B ．﹣32＝9C ．（﹣3）﹣2＝19D ．﹣3+|﹣3|＝﹣66．实数a 在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是( )A ．a 的相反数大于2B ．a 的相反数是2C ．|a|＞2D ．2a ＜07．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）A ．零上3℃B ．零下3℃C ．零上7℃D ．零下7℃8．下列计算正确的是（ ）A ．3a 2﹣6a 2=﹣3B ．（﹣2a ）•（﹣a ）=2a 2C ．10a 10÷2a 2=5a 5D ．﹣（a 3）2=a 69．下列命题中，真命题是（ ）A ．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B ．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C ．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D ．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离10．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b+c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．因式分解23a a +=______.12．在直角坐标系中，坐标轴上到点P （﹣3，﹣4）的距离等于5的点的坐标是 ．13．如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与BC相交于点D．若13CD BD，则∠B＝________°．14．如果抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），那么m的值为_____．15．如图，▱ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：①E为AB的中点；②FC=4DF；③S△ECF=92EMN S；④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．其中一定正确的是_____．16．已知一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标（6，0），B的坐标（0，8），点C 的坐标（﹣25，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A 匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间为t秒（t ＞0），△OMN的面积为S．则：AB的长是_____，BC的长是_____，当t＝3时，S的值是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．(1)判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AC＝8，cos∠BED＝，求AD的长．19．（5分）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．()1若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？()2若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？()3若该工厂新购得65张规格为33m⨯的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材(不计损耗)，用切割成.的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只20．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，点D的横坐标为m（0＜m＜3），连结DC并延长至E，使得CE=CD，连结BE，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示点E的坐标，并求出点E纵坐标的范围；（3）求△BCE的面积最大值．21．（10分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．22．（10分）如图，Rt ABP 的直角顶点P 在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数k y x=图象的两支上，且PB x ⊥轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，AB 分别与x 轴，y 轴相交于点F 和.E 已知点B 的坐标为()1,3．()1填空：k =______；()2证明：//CD AB ；()3当四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等时，求点P 的坐标．23．（12分）如图，在△ABC 中，AB=BC ，CD ⊥AB 于点D ，CD=BD ．BE 平分∠ABC ，点H 是BC 边的中点.连接DH ，交BE 于点G .连接CG .（1）求证：△ADC ≌△FDB ；（2）求证：1CE BF 2=； （3）判断△ECG 的形状，并证明你的结论.24．（14分）解不等式()()41223x x ---＞ ，并把它的解集表示在数轴上.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【题目详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．2、C【解题分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为y=-12x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．【题目详解】∵一次函数y＝﹣12x+2的图象，绕x轴上一点P（m，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣12x﹣1，在一次函数y＝﹣12x+2中，令y＝1，则有﹣12x+2＝1，解得：x＝4，即一次函数y＝﹣12x+2与x轴交点为（4，1）．一次函数y＝﹣12x﹣1中，令y＝1，则有﹣12x﹣1＝1，解得：x＝﹣2，即一次函数y＝﹣12x﹣1与x轴交点为（﹣2，1）．∴m＝242-+＝1，故选：C．【题目点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基础题，难度不大．3、D【解题分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【题目详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DGGE CG==1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键． 4、B【解题分析】由EB=CF ，可得出EF=BC ，又有∠A=∠D ，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF ，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA ，就不能证明△ABC ≌△DEF 了．【题目详解】A.添加E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故A 选项不符合题意．B.添加DE AB =与原条件满足SSA ，不能证明ABC ≌DEF ，故B 选项符合题意；C.添加AB//DE ，可得E ABC ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故C 选项不符合题意；D.添加DF//AC ，可得DFE ACB ∠∠=，根据AAS 能证明ABC ≌DEF ，故D 选项不符合题意，故选B ．【题目点拨】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL.注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5、C【解题分析】分别根据二次根式的定义，乘方的意义，负指数幂的意义以及绝对值的定义解答即可．【题目详解】，故选项A 不合题意；﹣32＝﹣9，故选项B 不合题意；（﹣3）﹣2＝19，故选项C 符合题意； ﹣3+|﹣3|＝﹣3+3＝0，故选项D 不合题意．故选C ．【题目点拨】本题主要考查了二次根式的定义，乘方的定义、负指数幂的意义以及绝对值的定义，熟记定义是解答本题的关键． 6、B【解题分析】试题分析：由数轴可知，a ＜-2，A 、a 的相反数＞2，故本选项正确，不符合题意；B 、a 的相反数≠2，故本选项错误，符合题意；C 、a 的绝对值＞2，故本选项正确，不符合题意；D 、2a ＜0，故本选项正确，不符合题意．故选B．考点：实数与数轴．7、B【解题分析】试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.故选B.考点：负数的意义8、B【解题分析】根据整式的运算法则分别计算可得出结论.【题目详解】选项A，由合并同类项法则可得3a2﹣6a2=﹣3a2，不正确；选项B，单项式乘单项式的运算可得（﹣2a）•（﹣a）=2a2，正确；选项C，根据整式的除法可得10a10÷2a2=5a8，不正确；选项D，根据幂的乘方可得﹣（a3）2=﹣a6，不正确．故答案选B．考点：合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．9、D【解题分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【题目详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；故选：D．【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．10、D【解题分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【题目详解】①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧，∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵a ＞0，x=﹣2b a＜1， ∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④正确．故选D ．【题目点拨】 本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、a （3a+1）【解题分析】3a 2+a =a （3a +1），故答案为a （3a +1）．12、（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）【解题分析】由P（﹣3，﹣4）可知，P到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外一点，共有三个．【题目详解】解：∵P（﹣3，﹣4）到原点距离为5，而以P点为圆心，5为半径画圆，圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点（如图所示），∴故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．故答案是：（0，0）或（0，﹣8）或（﹣6，0）．13、18°【解题分析】由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，根据在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得=AC CD，再由13 CD BD=和半圆的弧度为180°可得AC的度数×5=180°，即可求得AC的度数为36°，再由同弧所对的圆周角的度数为其弧度的一半可得∠B=18°.【题目详解】解：由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD，∴=AC CD，∵13CD BD=，∴AC的度数+ CD的度数+ BD的度数=180°，即AC的度数×5=180°，∴AC的度数为36°，∴∠B=18°.故答案为:18.【题目点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.14、2【解题分析】把点（2，1）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+3，即可求出m的值.【题目详解】∵抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+3经过点（2，1），∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2.【题目点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式.15、①③④【解题分析】由M、N是BD的三等分点，得到DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出△BEM∽△CDM，根据相似三角形的性质得到，于是得到BE=AB，故①正确；根据相似三角形的性质得到=，求得DF=BE，于是得到DF=AB=CD，求得CF=3DF，故②错误；根据已知条件得到S△BEM=S△EMN=S△CBE，求得=，于是得到S△ECF=，故③正确；根据线段垂直平分线的性质得到EB=EN，根据等腰三角形的性质得到∠ENB=∠EBN，等量代换得到∠CDN=∠DNF，求得△DFN是等腰三角形，故④正确．【题目详解】解：∵•ƒM、N是BD的三等分点，∴DN=NM=BM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴△BEM∽△CDM，∴，∴BE=CD，∴BE=AB，故①正确；∵AB∥CD，∴△DFN∽△BEN，∴=，∴DF=BE，∴DF=AB=CD，∴CF=3DF，故②错误；∵BM=MN，CM=2EM，∴△BEM=S△EMN=S△CBE，∵BE=CD，CF=CD，∴=，∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，∴S△ECF=，故③正确；∵BM=NM，EM⊥BD，∴EB=EN，∴∠ENB=∠EBN，∵CD∥AB，∴∠ABN=∠CDB，∵∠DNF=∠BNE，∴∠CDN=∠DNF，∴△DFN是等腰三角形，故④正确；故答案为①③④．【题目点拨】考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．16、5【解题分析】∵多边形的每个外角都等于72°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷72°=5，∴这个多边形的边数为5.17、10， 1， 1【解题分析】作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥OB 于E ，由勾股定理得出AB ＝22OA OB +=10，OC ＝()22254+＝1，求出BE ＝OB ﹣OE ＝4，得出OE ＝BE ，由线段垂直平分线的性质得出BC ＝OC ＝1；当t ＝3时，N 到达C 点，M 到达OA 的中点，OM ＝3，ON ＝OC ＝1，由三角形面积公式即可得出△OMN 的面积．【题目详解】解：作CD ⊥x 轴于D ，CE ⊥OB 于E ，如图所示：由题意得：OA ＝1，OB ＝8，∵∠AOB ＝90°，∴AB ＝22OA OB +＝10；∵点C 的坐标（﹣25，4），∴OC ＝()22254+＝1，OE ＝4，∴BE ＝OB ﹣OE ＝4，∴OE ＝BE ，∴BC ＝OC ＝1；当t ＝3时，N 到达C 点，M 到达OA 的中点，OM ＝3，ON ＝OC ＝1，∴△OMN 的面积S ＝12×3×4＝1； 故答案为：10，1，1．【题目点拨】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）AC 与⊙O 相切，证明参见解析；（2）.试题分析：（1）由于OC ⊥AD ，那么∠OAD+∠AOC=90°，又∠BED=∠BAD ，且∠BED=∠C ，于是∠OAD=∠C ，从而有∠C+∠AOC=90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC=90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，AB 是直径，那么∠ADB=90°，在Rt △AOC 中，由于AC=8，∠C=∠BED ，cos ∠BED=，利用三角函数值，可求OA=6，即AB=12，在Rt △ABD 中，由于AB=12，∠OAD=∠BED ，cos ∠BED=，同样利用三角函数值，可求AD ． 试题解析：（1）AC 与⊙O 相切．∵弧BD 是∠BED 与∠BAD 所对的弧，∴∠BAD=∠BED ，∵OC ⊥AD ，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°，∴∠OAC=90°，∴AB ⊥AC ，即AC 与⊙O 相切；（2）连接BD ．∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=90°，在Rt △AOC 中，∠CAO=90°，∵AC=8，∠ADB=90°，cos ∠C=cos ∠BED=，∴AO=6，∴AB=12，在Rt △ABD 中，∵cos ∠OAD=cos ∠BED=，∴AD=AB•cos ∠OAD=12×=．考点：1.切线的判定；2.解直角三角形．19、（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或1．【解题分析】()1表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；()2设制作竖式箱子a 只，横式箱子b 只，利用A型板材65张、B 型板材110张，得出方程组求出答案；()3设裁剪出B 型板材m 张，则可裁A 型板材()6593m ⨯-张，进而得出方程组求出符合题意的答案．【题目详解】解：()1设最多可制作竖式箱子x 只，则A 型板材x 张，B 型板材4x 张，根据题意得3090410000x x +⨯≤ 解得252539x ≤． 答：最多可以做25只竖式箱子．()2设制作竖式箱子a 只，横式箱子b 只，根据题意，得26543110a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：530a b =⎧⎨=⎩． 答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．()3设裁剪出B 型板材m 张，则可裁A 型板材()6593m ⨯-张，由题意得：2659343a b m a b m +=⨯-⎧⎨+=⎩， 整理得，1311659a b +=⨯，()111345b a =-．竖式箱子不少于20只，4511a ∴-=或22，这时34a =，13b =或23a =，26b =．则能制作两种箱子共：341347+=或232649+=．故答案为47或1．【题目点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式．20、（1）y=﹣x 2+2x+1．（2）2≤E y ＜2．（1）当m=1.5时，S △BCE 有最大值，S △BCE 的最大值=278． 【解题分析】分析：(1) 1)把A 、B 两点代入抛物线解析式即可;(2)设()()2,23,0,3D m m m C CE CD -++=，利用求线段中点的公式列出关于m 的方程组，再利用0＜m ＜1即可求解;(1) 连结BD ，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点H,由BCE BCD S S ∆∆=，设出点D 的坐标，进而求出点H 的坐标，利用三角形的面积公式求出BCE S ∆，再利用公式求二次函数的最值即可. 详解：(1)∵抛物线 2y x bx c =-++ 过点A （-1，0）和B （1，0） 10930b c b c ---=⎧∴⎨-++=⎩ 22233b y x xc =⎧∴∴=-++⎨=⎩ （2）∵()()2,23,0,3D m m m C CE CD -++= ∴点C 为线段DE 中点设点E （a,b ）()20236a m b m m +=⎧⎪∴⎨+-++=⎪⎩ ()2,23E m m m ∴--+∵0＜m ＜1, ()222312m m m -+=-+∴当m=1时，纵坐标最小值为2当m=1时，最大值为2∴点E 纵坐标的范围为26E y ≤<（1）连结BD ，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点H∵CE=CD ()2,23,:3BCE BCDS S D m m m BC y x ∆∆∴=-++=-+ ∴H （m ，-m+1） ∴()211=233322BCD S DH OB m m m ∆=⨯-+++-⨯ 23922m m =-+ 当m=1.5时，max 278EBC S ∆=.点睛：本题考查了二次函数的综合题、待定系数法、一次函数等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会用方程的思想解决问题.21、（1）ab ﹣4x 1（13【解题分析】（1）边长为x 的正方形面积为x 1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．【题目详解】解：（1）ab ﹣4x 1．（1）依题意有：22ab 4x 4x -=，将a=6，b=4，代入上式，得x 1=2．解得x 1，x 1=．22、（1）1；（2）证明见解析；（1）P点坐标为()13-，． 【解题分析】 ()1由点B 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 值；()2设A 点坐标为3a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 点坐标为()1,0，进而可得出PB ，PC ，PA ，PD 的长度，由四条线段的长度可得出PC PD PB PA=，结合P P ∠∠=可得出PDC ∽PAB ，由相似三角形的性质可得出CDP A ∠∠=，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD//AB ；()3由四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等可得出PAB PCD S 2S =，利用三角形的面积公式可得出关于a 的方程，解之取其负值，再将其代入P 点的坐标中即可求出结论．【题目详解】 ()1解：B 点()1,3在反比例函数k y x=的图象， k 133∴=⨯=．故答案为：1．()2证明：反比例函数解析式为3y x=， ∴设A 点坐标为3a,.a ⎛⎫ ⎪⎝⎭PB x ⊥轴于点C ，PA y ⊥轴于点D ，D ∴点坐标为30,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 点坐标为31,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C 点坐标为()1,0， 3PB 3a ∴=-，3PC a=-，PA 1a =-，PD 1=， 3PC 1a 3PB 1a 3a-∴==--，PD 1PA 1a=-， PC PD PB PA∴=． 又P P ∠∠=，PDC ∴∽PAB ，CDP A ∠∠∴=，CD//AB ∴．()3解：四边形ABCD 的面积和PCD 的面积相等， PAB PCD S 2S ∴=，()131331a 212a 2a ⎛⎫⎛⎫∴⨯-⨯-=⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：2(a 1)2-=， 解得：1a 12=，2a 12(=舍去)， P ∴点坐标为()1,323-．【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题关键是：()1根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 值；()2利用相似三角形的判定定理找出PDC ∽PAB ；()3由三角形的面积公式，找出关于a 的方程．23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解题分析】（1）首先根据AB=BC ，BE 平分∠ABC ，得到BE ⊥AC ，CE=AE ，进一步得到∠ACD=∠DBF ，结合CD=BD ，即可证明出△ADC ≌△FDB ；（2）由△ADC ≌△FDB 得到AC=BF ，结合CE=AE ，即可证明出结论；（3）由点H 是BC 边的中点，得到GH 垂直平分BC ，即GC=GB ，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF ，得∠ECO=45°，结合BE ⊥AC ，即可判断出△ECG 的形状.【题目详解】解：（1）∵AB=BC ，BE 平分∠ABC∴BE ⊥AC∵CD ⊥AB∴∠ACD=∠ABE （同角的余角相等）又∵CD=BD∴△ADC ≌△FDB（2）∵AB=BC ，BE 平分∠ABC∴AE=CE则CE=12AC 由（1）知：△ADC ≌△FDB∴AC=BF∴CE=12BF （3）△ECG 为等腰直角三角形，理由如下：由点H 是BC 的中点，得GH 垂直平分BC ，从而有CG=BG ，则∠EGC=2∠CBG=∠ABC=45°，又∵BE ⊥AC ，故△ECG 为等腰直角三角形.【题目点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，此题难度不是很大．24、x ＜5；数轴见解析【解题分析】【分析】将（x-2）当做一个整体，先移项，然后再按解一元一次不等式的一般步骤进行求解，求得解集后在数轴上表示即可.【题目详解】移项，得 ()1x 213-＜， 去分母，得 x 23-＜，移项，得x 5＜，∴不等式的解集为x 5＜，在数轴上表示如图所示：【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的特点选择恰当的方法进行求解是关键.。
北京市朝阳区2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．下列各数中是无理数的是（ ）A ．cos60°B ．·1.3C ．半径为1cm 的圆周长D ．384．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是反比例函数y ＝(k≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，直立于地面上的电线杆 AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得 BC=6 米，CD=4 米，∠BCD=150°，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰 角为 30°，则电线杆 AB 的高度为（ ）A ．2+23B ．4+23C ．2+32D ．4+326．若关于x 的不等式组2x a x >⎧⎨<⎩恰有3个整数解，则字母a 的取值范围是（ ） A ．a≤﹣1 B ．﹣2≤a ＜﹣1 C ．a ＜﹣1 D ．﹣2＜a≤﹣17．下列图案是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（ ）A ．0.21×108B ．21×106C ．2.1×107D ．2.1×1069．计算－－|－3|的结果是( ) A ．－1 B ．－5 C ．1 D ．510．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别在CD 、BC 的延长线上，AE ∥BD ，EF ⊥BC ，tan ∠ABC=34，EF=，则AB 的长为（ ）A 533B ．536C ．1D 17211．下列方程中是一元二次方程的是( )A ．20ax bx c ++=B ．2211x x +=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=12．如图，点C 是直线AB ，DE 之间的一点，∠ACD=90°，下列条件能使得AB ∥DE 的是（ ）A．∠α+∠β=180°B．∠β﹣∠α=90°C．∠β=3∠αD．∠α+∠β=90°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，F为CD上一点，且CF=13CD，过点B作BE∥DC交AF的延长线于点E，BE=12，则AB的长为_____．14．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是_____cm．15．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为_____．16．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为_____．17．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝2，则△CEF 的周长为____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．（1）b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．21．（6分）如图，AB为☉O的直径，CD与☉O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O 作OC∥BE，交☉O于点F，交切线于点C，连接AC.（1）求证：AC 是☉O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形.22．（8分）如图，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC=4，D 是BC 边上一点，将点D 绕点A 逆时针旋转60°得到点E ，连接CE. B(1)当点E 在BC 边上时,画出图形并求出∠BAD 的度数；(2)当△CDE 为等腰三角形时，求∠BAD 的度数；(3)在点D 的运动过程中，求CE 的最小值.(参考数值:sin75°=624， cos75°=624，tan75°=23+) 23．（8分）小明遇到这样一个问题：已知：1b c a -=. 求证：240b ac -≥. 经过思考，小明的证明过程如下：∵1b c a-=，∴b c a -=.∴0a b c -+=.接下来，小明想：若把1x =-带入一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0），恰好得到0a b c -+=.这说明一元二次方程20ax bx c ++=有根，且一个根是1x =-.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：240b ac -≥.根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：42a c b+=-. 求证：24b ac ≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程. 24．（10分）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE ． （1）求证：△BDE ≌△BCE ；（2）试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．25．（10分）如图，已知ABC DCB ∠=∠，ACB DBC ∠=∠．求证AB DC =．26．（12分）如图，已知等边△ABC ，AB=4，以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，连接FD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求EF 的长．27．（12分）某单位为了扩大经营，分四次向社会进行招工测试，测试后对成绩合格人数与不合格人数进行统计，并绘制成如图所示的不完整的统计图．（1）测试不合格人数的中位数是 ．（2）第二次测试合格人数为50人，到第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，若这两次测试的平均增长率相同，求平均增长率；（3）在（2）的条件下补全条形统计图和扇形统计图．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a 、b 、a b -的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，a 0<，b 0<，当x 1=-时，y a b 0=-<，()y a b x b ∴=-+的图象经过二、三、四象限，观察可得D 选项的图象符合，故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.2．B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A 、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A 选项不合题意；B 、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B 选项与题意相符；C 、球的左视图与主视图都是圆，故C 选项不合题意；D 、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3．C【解析】分析：根据“无理数”的定义进行判断即可.详解：A 选项中，因为1cos602=o ，所以A 选项中的数是有理数，不能选A ； B 选项中，因为·1.3是无限循环小数，属于有理数，所以不能选B ；C 选项中，因为半径为1cm 的圆的周长是2πcm ，2π是个无理数，所以可以选C ；D 选项中，因为38=2，2是有理数，所以不能选D.故选.C.点睛：正确理解无理数的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.4．B【解析】试题分析：当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，可判定k ＞0，所以﹣k ＜0，即可判定一次函数y=kx ﹣k 的图象经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限，故答案选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象与系数的关系．5．B【解析】 【分析】【详解】延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF ⊥BE 于F ，∵∠BCD=150°，∴∠DCF=30°，又CD=4，∴DF=2，22CD DF -3由题意得∠E=30°，∴EF=23tan DF E= ， ∴3∴AB=BE×tanE=（3×33=（3+4）米， 即电线杆的高度为（3+4）米．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.6．B【解析】【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出字母a 的取值范围.【详解】解：∵x 的不等式组2x a x >⎧⎨<⎩恰有3个整数解， ∴整数解为1，0，-1，∴-2≤a ＜-1.故选B.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.7．C【解析】解：A ．此图形不是轴对称图形，不合题意；B ．此图形不是轴对称图形，不合题意；C ．此图形是轴对称图形，符合题意；D ．此图形不是轴对称图形，不合题意．故选C ．8．D【解析】2100000=2.1×106.点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.9．B【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式故选：B ．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．B【解析】【分析】由平行四边形性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，证出四边形ABDE 是平行四边形，得出DE=DC=AB ，再由平行线得出∠ECF=∠ABC ，由三角函数求出CF 长，再用勾股定理CE ，即可得出AB 的长．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AB=CD ，∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB=DE ，∴AB=DE=CD ，即D 为CE 中点，∵EF ⊥BC ，∴∠EFC=90°，∵AB ∥CD ，∴∠ECF=∠ABC ，∴tan ∠ECF=tan ∠ABC=34，在Rt △CFE 中，tan ∠ECF=EF CF 34，∴CF=3，根据勾股定理得，3，∴AB=12CE=6， 故选B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线的性质，三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，判断出AB=12CE 是解决问题的关键． 11．C【解析】【分析】找到只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0的整式方程的选项即可． 【详解】解：A 、当a=0时，20ax bx c ++=不是一元二次方程，故本选项错误； B 、2211x x+=是分式方程，故本选项错误； C 、(1)(2)1x x -+=化简得：230x x +-=是一元二次方程，故本选项正确； D 、223250x xy y --=是二元二次方程，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 12．B 【解析】 【分析】延长AC 交DE 于点F ，根据所给条件如果能推出∠α=∠1，则能使得AB ∥DE ，否则不能使得AB ∥DE ； 【详解】延长AC 交DE 于点F.A. ∵∠α+∠β=180°，∠β=∠1+90°， ∴∠α=90°-∠1，即∠α≠∠1， ∴不能使得AB ∥DE ；B. ∵∠β﹣∠α=90°，∠β=∠1+90°， ∴∠α=∠1， ∴能使得AB ∥DE ；C.∵∠β=3∠α，∠β=∠1+90°， ∴3∠α=90°+∠1，即∠α≠∠1， ∴不能使得AB ∥DE ；D.∵∠α+∠β=90°，∠β=∠1+90°， ∴∠α=-∠1，即∠α≠∠1， ∴不能使得AB ∥DE ； 故选B.【点睛】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1．【解析】【分析】根据三角形的性质求解即可。
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模试卷含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（）A．B．C．D．2．π这个数是( )A．整数B．分数C．有理数D．无理数3．下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣34．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）A．1806x+=1206x-B．1806x-=1206x+C．1806x+=120xD．180x=1206x-5．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（）A．20 B．30 C．40 D．506．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为()A．65°B．130°C．50°D．100°7．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)8．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q9．下列计算正确的是（）A．﹣2x﹣2y3•2x3y＝﹣4x﹣6y3B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．（2a+1）（2a﹣1）＝2a2﹣1 D．35x3y2÷5x2y＝7xy10．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行淘汰赛，在相同条件下，每人射击10次，甲、乙两人的成绩如图所示，丙、丁二人的成绩如表所示．欲淘汰一名运动员，从平均数和方差两个因素分析，应淘汰（）丙丁平均数8 8方差 1.2 1.8A．甲B．乙C．丙D．丁11．下列计算正确的是（）A．2x+3x=5x B．2x•3x=6x C．（x3）2=5 D．x3﹣x2=x12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．14．函数1xy+=中，自变量x的取值范围是．15．函数y=123xx++中，自变量x的取值范围是_____．16．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y=kx的图象在第一象限的分支过AB的中点D交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，则k=_____．17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．18．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边BCCD上，BE=CF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，完成第1次与边的碰撞，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，则小球P与正方形的边第2次碰撞到__边上，小球P与正方形的边完成第5次碰撞所经过的路程为__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5～46.5；B：46.5～53.5；C：53.5～60.5；D：60.5～67.5；E：67.5～74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg 至53kg 的学生大约有多少名．20．（6分）如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，DE AB ⊥于点E ，66A ∠=o ，90ABC ∠=o ，BC AD =，求C ∠的度数．21．（6分）某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题： （1）这次知识竞赛共有多少名学生？（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．22．（8分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果； （2）求一次打开锁的概率．23．（8分）如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE ＝2，EB ＝6，∠DEB ＝30°，求弦CD 长．24．（10分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A ．唐诗；B ．宋词；C ．论语；D ．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．25．（10分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．求二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？26．（12分）如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，设AB u u u r =a r ，AD u u u r =b r ，求向量MN u u u u r 关于a r 、b r的分解式．27．（12分） “校园手机”现象越来越受到社会的关注．“寒假”期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： （1）求这次调查的家长人数，并补全图1； （2）求图2中表示家长“赞成”的圆心角的度数；（3）已知某地区共6500名家长，估计其中反对中学生带手机的大约有多少名家长？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选C．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系2．D【解析】【分析】由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．【详解】解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．【点睛】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．3．C【解析】试题分析：根据顶点式，即A、C两个选项的对称轴都为，再将（0,1）代入，符合的式子为C选项考点：二次函数的顶点式、对称轴点评：本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为4．A【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：1806x+=1206x-．故选A．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．5．A【解析】分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n.详解：根据题意得:.n0430n=+ ,计算得出:n=20, 故选A.点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率. 6．C 【解析】试题分析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C ． 考点：切线的性质． 7．A 【解析】 【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC ∽△OBA ，相似比是13，根据已知数据可以求出点C 的坐标． 【详解】由题意得，△ODC ∽△OBA ，相似比是13， ∴OD DCOB AB=， 又OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1，∴点C 的坐标为：（2，1）， 故选A ． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 8．C 【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．9．D【解析】【分析】A．根据同底数幂乘法法则判断；B．根据积的乘方法则判断即可；C．根据平方差公式计算并判断；D．根据同底数幂除法法则判断．【详解】A.-2x-2y3 2x3y=-4xy4，故本选项错误；B. (−2a2)3=−8a6，故本项错误；C. (2a+1)(2a−1)=4a2−1，故本项错误；D.35x3y2÷5x2y=7xy，故本选项正确.故答案选D.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式.10．D【解析】【分析】求出甲、乙的平均数、方差，再结合方差的意义即可判断．【详解】x 甲=110（6+10+8+9+8+7+8+9+7+7）=8，2 S 甲=110[（6-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（7-8）2]=110×13=1.3；x乙=（7+10+7+7+9+8+7+9+9+7）=8，2 S 乙=110[（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=110×12=1.2；丙的平均数为8，方差为1.2，丁的平均数为8，方差为1.8，故4个人的平均数相同，方差丁最大．故应该淘汰丁．故选D．【点睛】本题考查方差、平均数、折线图等知识，解题的关键是记住平均数、方差的公式．11．A【解析】【分析】依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．【详解】A、2x＋3x＝5x，故A正确；B、2x•3x＝6x2，故B错误；C、（x3）2＝x6，故C错误；D、x3与x2不是同类项，不能合并，故D错误．故选A．【点睛】本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．12．D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．8【解析】 【分析】 【详解】解：设边数为n ，由题意得， 180（n-2）=360⨯3 解得n=8.所以这个多边形的边数是8. 14．x 1≥-且x 2≠. 【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2x -在实数范围内有意义，必须x+10x 1{{x 1x 20x 2≥≥-⇒⇒≥--≠≠且x 2≠.考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式和分式有意义的条件. 15．x≠﹣32． 【解析】 【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于1，故分母x ﹣1≠1，解得x 的范围． 【详解】解：根据分式有意义的条件得：2x+3≠1 解得：32x ≠-． 故答案为32x ≠-． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于1．16． 【解析】 【分析】设AD=a ，则AB=OC=2a ，根据点D 在反比例函数y=k x 的图象上，可得D 点的坐标为（a ，k a），所以OA=k a ；过点E 作EN ⊥OC 于点N ，交AB 于点M ，则OA=MN=ka,已知△OEC 的面积为12，OC=2a ，根据三角形的面积公式求得EN=12a ，即可求得EM=12k a-；设ON=x ，则NC=BM=2a-x ，证明△BME∽△ONE，根据相似三角形的性质求得x=24ak，即可得点E的坐标为(24ak，12a)，根据点E在在反比例函数y=kx的图象上，可得24ak·12a=k，解方程求得k值即可.【详解】设AD=a，则AB=OC=2a，∵点D在反比例函数y=kx的图象上，∴D（a，ka），∴OA=ka,过点E 作EN⊥OC于点N，交AB于点M，则OA=MN=ka,∵△OEC的面积为12，OC=2a，∴EN=12a，∴EM=MN-EN=ka-12a=12ka-；设ON=x，则NC=BM=2a-x，∵AB∥OC，∴△BME∽△ONE，∴EM BMEN ON=,即12212ka xaxa--=，解得x=24ak，∴E(24ak，12a)，∵点E在在反比例函数y=kx的图象上，∴24ak·12a=k，解得k=122±∵k＞0，∴k=122.故答案为：122. 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，求得点E的坐标为(24ak，12a)是解决问题的关键.17．5.【解析】【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：222243BC CE+=+考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．18．AB, 115 2【解析】【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为12，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置．再由勾股定理就可以求出小球第5次碰撞所经过路程的总长度．【详解】根据已知中的点E,F的位置,可知入射角的正切值为12，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为G,在AB上,且AG=16 AB，第三次碰撞点为H,在AD上,且AH=13 AD，第四次碰撞点为M,在DC上,且DM=13 DC，第五次碰撞点为N,在AB上,且BN=16 AB，第六次回到E点,BE=13 BC.由勾股定理可以得出EF=5,FG=325,GH=125,HM=5,MN=325,NE=125，故小球第5次经过的路程为：5+325+125+5+325=1125，故答案为AB，1125.【点睛】本题考查了正方形与轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与轴对称的性质.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．576名【解析】试题分析：根据统计图可以求得本次调查的人数和体重落在B组的人数，从而可以将条形统计图补充完整，进而可以求得我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名．试题解析：本次调查的学生有：32÷16%=200（名），体重在B组的学生有：200﹣16﹣48﹣40﹣32=64（名），补全的条形统计图如右图所示，我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有：1800×64200=576（名），答：我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有576名．20．78o【解析】【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA DB=，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【详解】连接BD，∵E为AB的中点，DE AB⊥于点E，∴AD BD=，∴DBA A∠=∠，∵66A∠=o，∴66DBA∠=o，∵90ABC∠=o，∴24DBC ABC DBA∠=∠-∠=o，∵AD BC=，∴BD BC=，∴C BDC∠=∠，∴180782DBCC-∠∠==oo．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．(1)200；（2）72°,作图见解析；（3）3 10.【解析】【分析】(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案. 【详解】解：（1）这次知识竞赛共有学生2010%=200（名）；（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），补图如下：“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×40200=72°；（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是：2040200+=310．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键.22．（1）详见解析（2）1 4【解析】【分析】设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出树形图，再根据概率公式求解即可.【详解】（1）设两把不同的锁分别为A、B，能把两锁打开的钥匙分别为a、b，其余两把钥匙分别为m、n，根据题意，可以画出如下树形图：由上图可知，上述试验共有8种等可能结果；（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．∴P（一次打开锁）＝21 84 =．【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=．23．【解析】试题分析：过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．试题解析：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．考点：垂径定理；勾股定理．24．(1) 14；（2）112.【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．25．（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元．【解析】【分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得：3000027000100x x=+，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解，答：二月份每辆车售价是900元；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，解得：y=600，答：每辆山地自行车的进价是600元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 26．答案见解析【解析】试题分析：连接BD，由已知可得MN是△BCD的中位线，则MN=12BD，根据向量减法表示出BD即可得.试题解析：连接BD,∵点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，∴MN ∥BD ，MN=12 BD ， ∵DB=AB-AD=a b -u u u v u u u v u u u v v v ， ∴1122MN a b =-u u u u v v v . 27．（1）答案见解析（2）36°（3）4550名【解析】试题分析：（1）根据认为无所谓的家长是80人，占20%，据此即可求得总人数； （2）利用360乘以对应的比例即可求解；（3）利用总人数6500乘以对应的比例即可求解．（1）这次调查的家长人数为80÷20%=400人，反对人数是：400-40-80=280人， ；（2）360×40400=36°； （3）反对中学生带手机的大约有6500×280400=4550（名）． 考点：1.条形统计图；2.用样本估计总体；3.扇形统计图．。
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析
北京市朝阳区2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，已知D 是ABC V 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE2．等腰三角形两边长分别是2 cm 和5 cm ，则这个三角形周长是（ ）A ．9 cmB ．12 cmC ．9 cm 或12 cmD ．14 cm3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．9aB ．35aC ．22a b +D ．12a + 4．已知x a =2，xb =3，则x 3a ﹣2b 等于（ ）A ．89B ．﹣1C ．17D ．725．对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中适合抽样调查的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．下列命题中，错误的是（ ）A ．三角形的两边之和大于第三边B ．三角形的外角和等于360°C ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分7．- 14的绝对值是（ ） A ．-4 B ．14 C ．4 D ．0.48．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，连接BC 、BD 、AC ，下列结论中不一定正确的是（ ）A ．∠ACB=90°B ．OE=BEC ．BD=BCD ．»»AD AC =9．1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（ ）A ．810 年B ．1620 年C ．3240 年D ．4860 年10．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，连接AC ，AE ，则AE AC 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．3 11．﹣18的相反数是（ ） A ．8 B ．﹣8 C ．18 D ．﹣1812．下列因式分解正确的是( )A ．22x 2x 1(x 1)+-=-B ．22x 1(x 1)+=+C ．()2x x 1x x 11-+=-+D ．()()22x 22x 1x 1-=+- 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在Rt △ABC 纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E ，F 落在AB 边上，每个正方形的边长为1，则Rt △ABC 的面积为_____．14．将23x =代入函数1y x =-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数1y x=-中，所得的函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y …，继续下去．1y =________；2y =________；3y =________；2006y =________．15．如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，-1）和（-3，1），那么“卒”的坐标为_____.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若CD=5，则EF 的长为________．17．计算：（13）0﹣38=_____． 18．从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是__．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x+m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m 的值．20．（6分）如图矩形ABCD 中AB=6，AD=4，点P 为AB 上一点，把矩形ABCD 沿过P 点的直线l 折叠，使D 点落在BC 边上的D′处，直线l 与CD 边交于Q 点．（1）在图（1）中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l ．（保留作图痕迹，不写作法和理由）（2）若PD′⊥PD ，①求线段AP 的长度；②求sin ∠QD′D ．21．（6分）如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线．∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由．题（1）中，如将“∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A ＝70°”，求∠BOC 的度数．若∠A ＝n°，求∠BOC 的度数．22．（8分）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D 的高度．如图，当在点A 处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM 与影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.2m ，已知标杆直立时的高为1.8m ，求路灯的高CD 的长．23．（8分）计算：2-1+20160-3tan30°+|-3| 24．（10分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的顶点为M ，直线y ＝m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶． 由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是_____．抛物线y ＝212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ），则m ＝_____，对应的碟宽AB 是_____．抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （x p ，y p ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出y p 的取值范围．若没有，请说明理由．25．（10分） “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.26．（12分）如图所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC 的延长线交BD 于点P ．（1）把△ABC 绕点A 旋转到图1，BD ，CE 的关系是 （选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3，AD=5，把△ABC 绕点A 旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD= ，简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD 的最小值为 ，最大值为 ．27．（12分）如图①，在正方形ABCD 的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ，则图中ADE V ≌DFC △，可知ED FC =，求得DMC ∠=______．如图②，在矩形()ABCD AB BC >的外侧，作两个等边三角形ABE 和ADF ，连结ED 与FC 交于点M ．()1求证：ED FC =．()2若20ADE ∠=o ，求DMC ∠的度数．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．2．B【解析】当腰长是2 cm时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；当腰长是5 cm时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm．故选B．3．C【解析】【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【详解】A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A不符合题意，B.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意，C.被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意，D.被开方数含分母，故D不符合题意.故选C．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．A【解析】∵x a=2,x b=3，∴x3a−2b=(x a)3÷(x b)2=8÷9= 89，故选A.5．B【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；②审查某教科书稿适合全面调查；③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.故选B.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．C【解析】【分析】根据三角形的性质即可作出判断．【详解】解：A、正确，符合三角形三边关系；B、正确；三角形外角和定理；C、错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形；D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确．故选：C．【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．7．B【解析】【分析】直接用绝对值的意义求解.【详解】−14的绝对值是14．故选B．【点睛】此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．8．B【解析】【分析】根据垂径定理及圆周角定理进行解答即可．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，故A正确；∵点E不一定是OB的中点，∴OE与BE的关系不能确定，故B错误；∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴»»BD BC，∴BD=BC ，故C 正确；∴AD AC u u u r u u u r，故D 正确．故选B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 9．B【解析】【分析】根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案．【详解】由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，故镭的半衰期为1620年，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键．10．B【解析】【分析】连接AG 、GE 、EC ，易知四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG 、GE 、EC ，则四边形ACEG 为正方形，故AE AC 2 故选：B ．【点睛】 本题考查了正多边形的性质，正确作出辅助线是关键．11．C【解析】互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18-的相反数是18， 故选C ．12．D【解析】【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而判断即可． 【详解】解：A 、2x 2x 1+-，无法直接分解因式，故此选项错误；B 、2x 1+，无法直接分解因式，故此选项错误；C 、2x x 1-+，无法直接分解因式，故此选项错误；D 、()()22x 22x 1x 1-=+-，正确． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．494【解析】【分析】如图，设AH=x ，GB=y ，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x ，y 即可解决问题．【详解】解：如图，设AH ＝x ，GB ＝y ，∵EH ∥BC ，AH EH AC BC∴=， 135x x y∴=++① ∵FG ∥AC ，FG BG AC BC ∴=135y x y=++②， 由①②可得x ＝12，y ＝2， ∴AC ＝72，BC ＝7， ∴S △ABC ＝494， 故答案为494．【点睛】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 14．32-2 13- 2 【解析】 【分析】根据数量关系分别求出y1，y2，y3，y4，…，不难发现，每3次计算为一个循环组依次循环，用2006除以3，根据商和余数的情况确定y2006的值即可． 【详解】y 1=32-， y 2=−1312-+=2，y 3=−112+=13-，y 4=−1113-+=32-，…，∴每3次计算为一个循环组依次循环， ∵2006÷3=668余2，∴y2006为第669循环组的第2次计算，与y2的值相同， ∴y2006=2， 故答案为32-；2；13-；2. 【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是多运算找规律. 15．（-2，-2） 【解析】【分析】先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒”的坐标．【详解】“卒”的坐标为（﹣2，﹣2），故答案是：（﹣2，﹣2）．【点睛】考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置．16．5【解析】【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB=2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【详解】∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=12AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10，∴EF=12×10=5.故答案为5.【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线,熟悉掌握是关键. 17．-1【解析】【分析】本题需要运用零次幂的运算法则、立方根的运算法则进行计算.【详解】由分析可得：（13）038－2＝﹣1.【点睛】熟练运用零次幂的运算法则、立方根的运算法则是本题解题的关键.18．【解析】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．【详解】解：列表如下：-2 -1 1 2-2 2 -2 -4-1 2 -1 -21 -2 -1 22 -4 -2 2由表可知，共有12种等可能结果，其中积为大于-4小于2的有6种结果，∴积为大于-4小于2的概率为=，故答案为：．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）m＜2；（2）m=1．【解析】【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+2＞3，然后解不等式即可；（2）先利用m的范围得到m=3或m=1，再分别求出m=3和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．【详解】（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+2．∵方程有两个不相等的实数根，即﹣8m+2>3．解得m＜2；（2）∵m＜2，且m 为非负整数，∴m=3 或m=1，当m=3 时，原方程为x2-2x-3=3，解得x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)，当m=1 时，原方程为x2﹣2=3，解得x1=2，x2=﹣2，综上所述，m=1．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=3（a≠3）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞3时，方程有两个不相等的实数根；当△=3时，方程有两个相等的实数根；当△＜3时，方程无实数根．20．（1）见解析；（2）10 10【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）由（1）知，PD=PD′，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPD′，根据全等三角形的性质得到AD=PB=4，得到AP=2；根据勾股定理得到PD=22AD AP=25，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）连接PD，以P为圆心，PD为半径画弧交BC于D′，过P作DD′的垂线交CD于Q，则直线PQ即为所求；（2）由（1）知，PD=PD′，∵PD′⊥PD，∴∠DPD′=90°，∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠BPD′=90°，∴∠ADP=∠BPD′，在△ADP与△BPD′中，90{A BADP BPD PD PD'∠=∠=∠=='∠，∴△ADP≌△BPD′，∴AD=PB=4，AP= BD′∵PB=AB﹣AP=6﹣AP=4，∴AP=2；∴PD=22AD AP+=25，BD′=2∴CD′=BC- BD′=4-2=2∵PD=PD′，PD⊥PD′，∵DD′=2PD=210，∵PQ垂直平分DD′，连接Q D′则DQ= D′Q∴∠QD′D=∠QDD′∴sin∠QD′D=sin∠QDD′=10210CDDD==''．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．21．（1）125°；（2）125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【解析】【分析】如图，由BO、CO是角平分线得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，再利用三角形内角和得到∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，接着再根据三角形内角和得到∠1+∠2+∠BOC=180°，利用等式的性质进行变换可得∠BOC=90°+12∠A，然后根据此结论分别解决（1）、（2）、（3）．【详解】如图，∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∴2∠1+2∠2+∠A=180°，∵∠1+∠2+∠BOC=180°，∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，∴2∠BOC﹣∠A=180°，∴∠BOC=90°+12∠A，（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∴∠BOC=90°+12×70°=125°；（2）∠BOC=90°+12∠A=125°；（3）∠BOC=90°+12 n°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．22．路灯高CD为5.1米．【解析】【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】设CD长为x米，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ， ∴MA ∥CD ∥BN ， ∴EC ＝CD ＝x 米， ∴△ABN ∽△ACD ， ∴BN CD ＝AB AC ，即1.8 1.21.8x x =-，解得：x ＝5.1．经检验，x ＝5.1是原方程的解， ∴路灯高CD 为5.1米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形． 23．32【解析】 【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果； 【详解】原式=1+1323-⨯+=1+12 =32． 【点睛】此题考查实数的混合运算．此题难度不大，注意解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算． 24．（1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝12AB ，（2）2，4；（2）①y ＝13x 2﹣2；②在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，y p 的取值范围是y p ＜﹣2或y p ＞2． 【解析】 【分析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质分析得出答案；（2）利用已知点为B （m ，m ），代入抛物线解析式进而得出m 的值，即可得出AB 的值； （2）①根据题意得出抛物线必过（2，0），进而代入求出答案； ②根据y ＝13x 2﹣2的对称轴上P （0，2），P （0，﹣2）时，∠APB 为直角，进而得出答案．（1）MN 与AB 的关系是：MN ⊥AB ，MN ＝12AB ， 如图1，∵△AMB 是等腰直角三角形，且N 为AB 的中点，∴MN ⊥AB ，MN ＝12AB ， 故答案为MN ⊥AB ，MN ＝12AB ；（2）∵抛物线y ＝212x 对应的准蝶形必经过B （m ，m ）， ∴m ＝12m 2， 解得：m ＝2或m ＝0（不合题意舍去）， 当m ＝2则，2＝12x 2， 解得：x ＝±2， 则AB ＝2+2＝4； 故答案为2，4；（2）①由已知，抛物线对称轴为：y 轴，∵抛物线y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0）对应的碟宽在x 轴上，且AB ＝1． ∴抛物线必过（2，0），代入y ＝ax 2﹣4a ﹣53（a ＞0），得，9a ﹣4a ﹣53＝0，解得：a ＝13，∴抛物线的解析式是：y ＝13x 2﹣2；②由①知，如图2，y ＝13x2﹣2的对称轴上P （0，2），P （0，﹣2）时，∠APB 为直角，∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P ，使得∠APB 为锐角，y p 的取值范围是y p ＜﹣2或y p ＞2．此题主要考查了二次函数综合以及等腰直角三角形的性质，正确应用等腰直角三角形的性质是解题关键． 25．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元. 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围． 【详解】（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩．故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700， （2）由题意，得 -10x+700≥240， 解得x≤46，设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），w=-10x 2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0，∴x ＜50时，w 随x 的增大而增大， ∴x=46时，w 大=-10（46-50）2+4000=3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w-150=-10x 2+1000x-21000-150=3600， -10（x-50）2=-250， x-50=±5， x 1=55，x 2=45， 如图所示，由图象得：当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 26．（1）BD ，CE 的关系是相等；（2）53417或203417；（3）1，1 【解析】分析：（1）依据△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA ，∠BAD=∠CAE ，DA=EA ，进而得到△ABD ≌△ACE ，可得出BD=CE ；（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC ，∠PCD=∠ACE ，可得△PCD ∽△ACE ，即可得到PD AE =CDCE，进而得到PD=53417；依据∠ABD=∠PBE ，∠BAD=∠BPE=90°，可得△BAD ∽△BPE ，即可得到PB BE AB BD =，进而得出PB=63434，PD=BD+PB=203417； （3）以A 为圆心，AC 长为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PD 的值最小；当CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时，PD 的值最大．在Rt △PED 中，PD=DE•sin ∠PED ，因此锐角∠PED 的大小直接决定了PD 的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD 的最小值以及最大值． 详解：（1）BD ，CE 的关系是相等．理由：∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴BA=CA ，∠BAD=∠CAE ，DA=EA ， ∴△ABD ≌△ACE ， ∴BD=CE ； 故答案为相等．（2）作出旋转后的图形，若点C 在AD 上，如图2所示：∵∠EAC=90°， ∴2234AC AE +=∵∠PDA=∠AEC ，∠PCD=∠ACE ， ∴△PCD ∽△ACE ， ∴PD CDAE CE=，∴PD=534 17；若点B在AE上，如图2所示：∵∠BAD=90°，∴Rt△ABD中，BD=2234AD AB+=，BE=AE﹣AB=2，∵∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，∴△BAD∽△BPE，∴PB BEAB BD=，即334PB=，解得PB=634 34，∴PD=BD+PB=34+63434=203417，故答案为53417或203417；（3）如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．如图3所示，分两种情况讨论：在Rt△PED中，PD=DE•sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，在Rt△ACE中，2253-，在Rt△DAE中，225552+=∵四边形ACPB是正方形，∴PC=AB=3，∴PE=3+4=1，在Rt △PDE 中，1=，即旋转过程中线段PD 的最小值为1；②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，此时，DP'=4+3=1，即旋转过程中线段PD 的最大值为1．故答案为1，1．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．27．阅读发现：90°；（1）证明见解析；（2）100°【解析】【分析】阅读发现：只要证明15DFC DCF ADE AED ∠=∠=∠=∠=o ，即可证明．拓展应用：()1欲证明ED FC =，只要证明ADE V ≌DFC △即可．()2根据DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∠=∠+∠=∠+∠+∠即可计算．【详解】解：如图①中，Q 四边形ABCD 是正方形，AD AB CD ∴==，90ADC ∠=o ，ADE QV ≌DFC △，DF CD AE AD ∴===，6090150FDC ∠=+=o o o Q ，15DFC DCF ADE AED ∴∠=∠=∠=∠=o ，601575FDE ∴∠=+=o o o ，90MFD FDM ∴∠+∠=o ，90FMD ∴∠=o ，故答案为90o()1ABE QV 为等边三角形，60EAB ∴∠=o ，EA AB =．ADF QV 为等边三角形，60FDA ∴∠=o ，AD FD =．Q 四边形ABCD 为矩形，90BAD ADC ∴∠=∠=o ，DC AB =．EA DC ∴=．150EAD EAB BAD ∠=∠+∠=o Q ，150CDF FDA ADC ∠=∠+∠=o ，EAD CDF ∴∠=∠．在EAD V 和CDF V中， AE CD EAD FDC AD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAD ∴V ≌CDF V． ED FC ∴=；()2EAD QV ≌CDF V ，20ADE DFC ∴∠=∠=o ，602020100DMC FDM DFC FDA ADE DFC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=++=o o o o ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的寻找解决问题，属于中考常考题型．。
2020年6月北京市朝阳区初三年级二模试卷初中数学
2020年6月北京市朝阳区初三年级二模试卷初中数学数学试卷2007.6考生须知1．试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔填空题、解答题〕两部分，共10页，第10页为草稿纸.2．认真填写第1页与第3页密封线内的学校、姓名和考号.卷号Ⅰ卷Ⅱ卷总分分数登分人第一卷〔共32分〕本卷须知1．考生要按规定的要求在机读答题卡上作答，题号要对应，填涂要规范.2．考试终止后，试卷和机读答题卡由监考人一并收回.一、选择题〔共8个小题，每题4分，共32分〕以下各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把〝机读答题卡〞上对应题目答案的相应字母涂黑．1．-4的绝对值是A．4 B．-4 C．±4 D．±22．某数学爱好小组的同学用几个全等的等边三角形拼出如以下图所示的四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是3．在一次迎奥运英语口语竞赛中，要从35名参加竞赛的学生中，录用前18名学生参加复赛．李迎同学明白了自己的分数后，想判定自己能否进入复赛，只需要再明白参赛的35名同学分数的A ．最高分数B ．平均数C ．众数D ．中位数 4．函数1x 3x y -+=中，自变量x 的取值范畴是 A ．x ≥-3 B ．x ≠1 C ．x>-3且x ≠1 D ．x ≥-3且x≠1 5．将方程x 2+6x-1=0配方后，所得的结果正确的选项是A ．(x+3)2=10B ．(x+3)2=9C ．(x+3)2=4D ．(x+9)2=10 6．如图，PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，假如∠APB=60°，⊙O 半径是3，那么劣弧AB 的长为A ．2πB ．πC ．2πD ．4π 7．如图，点A 的坐标为〔-1，0〕，点B 是直线y=x 上的一个动点，当线段AB 最短时，点B 的坐标是A ．〔0，0〕B ．〔21，21〕 C ．〔-22，-22〕 D ．〔-21，-21〕8．如图1，四边形ABCD 是正方形，点A 在直线MN 上，∠MAD=45°,直线MN 沿AC 方向平行移动．设移动距离为x ，直线MN 通过的阴影部分面积为y ，那么表示y 与x 之间函数关系的图象大致为第二卷〔共88分〕注意事项1．认真填写密封线内的学校、姓名和考号.2．第二卷包括4道填空题和13道解答题，共8页.答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答.3．答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁.4．考生除画图能够用铅笔外，答题必须用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔.二、填空题〔共4个小题，每题4分，共16分〕9．如图，以下水平放置的几何体中，俯视图是正方形的有__________个．10．正多边形的边长为2，中心到边的距离为3，那么那个正多边形的边数为________．11．如图，直线y=k1x与双曲线xky2=交于A、B两点，那么点B的坐标是_______.12．观看下面各等式，找出规律，写出第n个等式．21232321⨯++=+；32268232⨯++=+；4329183543⨯++=+；54212322354⨯++=+；……第n个等式为______________________________．三、解答题〔13题—22题每题5分，23题7分，24题7分，25题8分，共72 分〕13．〔本小题总分值5分〕运算：0200822)330(tan)1()31(3-︒--+-+--．解：14．〔本小题总分值5分〕化简： 21x 3x x 49x 6x 9x 22+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-．解：15．〔本小题总分值5分〕媛媛预备制作一个正方体盒子，她先画出如右图所示的图形(实线部分)，经裁剪、折叠后发觉还少一个面．请你在她所画的图形上再添加一个正方形，使新的图形通过裁剪、折叠后能够制成一个正方体盒子． (画出一个符合要求的图形即可)16．〔本小题总分值5分〕为了了解某班学生参加敬老活动的情形，对全班每一名学生参加活动的次数〔单位：次〕进行了统计，分不绘制了如下的统计表和频数分布直方图.次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数13334961请你依照统计表和频数分布直方图解答以下咨询题： 〔1〕补全统计表； 〔2〕补全频数分布直方图；〔3〕参加敬老活动的学生一共有多少名？ 解：〔3〕17．〔本小题总分值5分〕2x-y-3=0，求代数式12x 2-12xy+3y 2的值． 解：18．〔本小题总分值5分〕校园中的一棵大树PC在阳光下的影长为AC，在树的影长端点A处测得∠PAC=30°，在B点〔点B在直线AC上〕测得∠PBC=60°，假如AB=12m，求树高PC和树的影长AC．解：19．〔本小题总分值5分〕假设关于x的方程x2-x+m=0和(m+1)x2-2x-1=0都有两个不相等的实数根，求m的整数值．解：20．〔本小题总分值5分〕要制作一个如下图的帐篷，请你依照图中所给的尺寸〔单位：m〕，运算出制作一个这种帐篷所需用的布料是多少?〔接缝面积忽略不计，π取3.14，结果精确到1m2〕解：21．〔本小题总分值5分〕我市某玩具厂生产的一种玩具每个成本为24元，其销售方案有如下两种：方案一：给本厂设在蓝天商厦的销售专柜销售，每个售价为32元，但每月需上缴蓝天商厦有关费用2400元；方案二：不设销售专柜，直截了当发给本市各商厦销售，出厂价为每个28元．设该厂每月的销售量为x个．假如每月只能按一种方案销售，且每种方案都能按月销售完当月产品，那么应如何选择销售方案，可使该工厂当月所获利润最大？解：22．〔本小题总分值5分〕：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．解：23．〔本小题总分值7分〕：如图，AD是⊙O的弦，OB⊥AD于点E，交⊙O于点C，OE=1，BE=8，AE:AB=1:3．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕点F是ACD上的一点，当∠AOF=2∠B时，求AF的长．24．〔本小题总分值7分〕：如图1，Rt ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分不交AC于E,交BC于F，且DE⊥DF.〔1〕假如CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；〔2〕如图2，假如CA<CB，〔1〕中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请讲明理由．25．〔本小题总分值8分〕抛物线y=ax 2+bx 〔a ≠0〕的顶点在直线1x 21y --=上，且仅当0<x<4时，y <0．设点A 是抛物线与x 轴的一个交点，且点A 在y 轴的右侧，P 为抛物线上一动点． 〔1〕求那个抛物线的解析式；〔2〕当△POA 的面积为5时，求点P 的坐标； 〔3〕当552OPA cos =∠时，⊙M 通过点O 、A 、P ，求过点A 且与⊙M 相切的直线的解析式．。
2024年北京市中国人民大学附属中学朝阳学校中考二模数学试题(解析版)
北京市人大附中朝阳学校2024年中考数学二轮模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的倒数是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了倒数的定义，属于应知应会题型，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题关键．乘积为1的两个数互为倒数，据此即可解答．【详解】解：的倒数是，故选：B ．2. 据统计，2022年考研报名人数约有457万，创下历史新高，把457万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据科学记数法即可得到答案．【详解】解：由题意可得457万=4570000，∴4570000=故选A ．【点睛】本题考查了科学记数法的定义，解决本题的关键是清楚把一个数表示成a 与10的n 次幂相乘的形式（1≤|a |<10，a 不为分数形式，n 为整数），这种记数法叫做科学记数法．3. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“我”字一面的相对面上的字是（ ）A. 厉B. 害C. 了D. 国【答案】D【解析】13-3-1313-13-3-64.5710⨯645.710⨯74.5710⨯70.45710⨯64.5710⨯【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，有“我”字一面的相对面上的字是“国”．故选：D ．【点睛】此题考查正方体相对两个面上文字，解题关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人?若设大和尚有x 人，则列出的方程正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设大和尚有x 人，根据100个馒头正好分完列方程即可．【详解】解：设大和尚有x 人，则小和尚有(100-x )人，由题意得，故选C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．5.解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解．的31003x x +=3(100)1003x x +-=10031003x x -+=10031003x x +-=10031003x x -+=1413x x +>-1【详解】解：，解集在数轴上表示为故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关键．6. 经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）A. 10B. 12C. 13D. 15【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线∵抛物线经过两点∴，即，∴，∵抛物线与轴有交点，∴，即，即，即，∴，，1433x x +>-4331x x ->--4x >-23,()41,),(A b m B b c m -+-22122y x bx b c =-+-+x x AB 1c b =-x 240b ac ∆=-≥2b =1c =,A B 22122y x bx b c =-+-+1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭23,()41,),(A b m B b c m -+-23412b bc b -++-=1c b =-22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+-x 240b ac ∆=-≥()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭2440b b -+≤()220b -≤2b =1211c b =-=-=∴，∴，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．【详解】∵，∴，故选D ．【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．8. 如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．23264,418118b b c -=-=-+-=+-=()()41238412AB b c b =+---=--=x ABCDE O ,OC OD BAE COD ∠-∠=60︒54︒48︒36︒360360180,55BAE COD ︒︒∠=︒-∠=3603601803655BAE COD ︒︒∠-∠=︒--=︒ABCD 22AD AB ==60ABC ∠=︒E F BD BE DF =M N AD BC MENF MENF MENF MENF【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME ，MF ，NF ，EN ，MN ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ，OB =OD∵BE =DF∴OE =OF∵点E 、F 时BD 上的点，∴只要M ，N 过点O ，那么四边形MENF 就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；只要MN =EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是矩形，∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个矩形MENF ，故②正确；只要MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是菱形；∵点E 、F 是BD 上的动点，∴存在无数个菱形MENF ，故③正确；只要MN =EF ，MN ⊥EF ，MN 过点O ，则四边形MENF 是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 因式分解：______．【答案】【解析】2a a -=()1a a -【分析】利用提公因式法因式分解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10.有意义的条件是____________________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得，进而可求解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：依题意得：，解得：，故答案为：．11. 不等式组的解集是_________________．【答案】【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可求解．【详解】解：解①得：解②得：故该不等式组的解集为：故答案为：【点睛】本题考查求解一元一次不等式组，掌握求解一元一次不等式组一般步骤是解题的关键．注意计算的准确性．12. 已知数轴上A 、B 两个点之间的距离是，点A 所对应的实数是B 所对应的实数是的2a a -=()1a a -()1a a -21x ≥-0.5x ≥-210x +≥210x +≥21x ≥-21x ≥-()231122x x x ⎧+>-⎨-≤⎩14x >()231122x x x ⎧+>-⎨-≤⎩①②14x >21x ≥-14x >14x >______．或【解析】【分析】根据数轴上两点之间距离的等于两点对应的数字之差的绝对值，计算即可．【详解】设B 点所对应实数为b，则有∴或，或．【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．13. 如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A ，B ，C 在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为______．【解析】【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E ，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：如图，连接，过点作，垂足E ，为b +b =±b =BD 1O 2O 2tan O AC ∠2O C 2O 2O E BC ⊥2O C 2O 2O E BC ⊥设正六边形的边长为a ，则，在中，，∴，，∴，∴．．14. 如图，△ABC 的周长为16，连接△ABC 三边中点构成第一个△A 1B 1C 1，再连接△A 1B 1C 1的三边中点构成第二个△A 2B 2C 2，依此类推，则第2021个三角形的周长为___．【答案】【解析】【分析】根据三角形的中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的 一半这一规律，即可求解．【详解】解：∵A 1、B 1、C 1分别为AB 、BC 、AC 的中点，∴A 1B 1、B 1C 1、A 1C 1分别为△ABC 的中位线，∴A 1B 1=AC ，A 1C 1=BC ，B 1C 1=AB ，∴△A 1B 1C 1的周长= A 1B 1+ B 1C 1+ A 1C 1=（AC +BC +AB ）=，∴第二个三角形的周长是：，同理可得，第三个三角形是，……，112O A O B O C a ===2Rt O CE 22,3606230O C a CO E =∠=︒÷÷=︒21122EC O C a BE ===22O E C ==15222AE a a a =+=22tan O E O AC AE ∠==201712121212124122⨯42122⨯43122⨯∴第2021个三角形的周长是，故答案为：．【点睛】本题考查的是图形的变化规律，三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．15. 如图，在平行四边形中，，点，分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形．当点落在平行四边形的边上时，的长为__________．【答案】，【解析】【分析】解：由，易证四边形为平行四边形，则与互相平分，点为的中点，易证动点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆弧．分点落在边上，点落在边上，点与点重合时三种情况讨论求解即可．【详解】解：连接、、，交于点，连接，∵四边形是平行四边形，∴∵，∴四边形为平行四边形，∴与互相平分，点为的中点，42021201711222⨯=201712ABCD 6,4,60AB AD A ==∠=︒E F ,CD AB DE BF =EF CEFB EF HEFG G ABCD BG 4,DE BF DE BF =∥DEBF BD EF O BD G O OB G AB G AD G D BE DF BD BD EF O OG ABCD ,DE BF ∥DE BF =DEBF BD EF O BD由折叠可得，∴动点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆弧．①当点落在边上时，由折叠可得，，∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴．②当点落在边上时，∵为直径，∴，∴，∴．③当点与点重合时，过点作于点，∵，∴．∴，∴，即，故答案为：，．OG OB =G O OB G AB GFE BFE ∠∠=180GFE BFE ∠∠+=︒90GFE BFE ∠∠==︒DEBF DEFG 90DGF ∠=︒18090AGD DGF ∠∠=︒-=︒60A ∠=︒cos 4cos 602AG AD A =⋅∠=⨯∠︒=4BG AB AG =-=G AD BD 90BGD ∠=︒18090AGBBGD ∠∠=︒-=︒sin 6sin 60BG AB A =⋅∠=⨯∠︒=G D B BM AD ⊥M 60A ∠=︒sin 6sin 60BM AB A =⋅∠=⨯∠︒=cos 6cos 603AM AB A =⋅∠=⨯∠︒=1DG AD AM =-=BD ===BG BD ==4【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，折叠的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定及性质，折叠的性质以及解直角三角形是解题的关键．16. 如图，光源发出的一束光，遇到平面镜（轴）上的点的反射光线交轴于点，再被平面镜（轴）上的点反射得光线，则直线的解析式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，平行线的判定，过点B 作轴，过点C 作于T ，交于H ，证明得到，设，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而代入A 点坐标求出直线的解析式为；证明，则可设直线的解析式为，代入点C 坐标即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B 作轴，过点C 作于T ，交于H ，∴，由光的反射定律可知，又∵，∴，∴，设，则，()3,2A -y B BC x ()1,0C -x C CD CD 112y x =--BE y ⊥CH BE ⊥AB ()ASA HTB CTB ≌HT CT =()0B t ，()12H t -，AB y tx t =-+AB 1122y x =-+CD AB ∥CD 12y x b '=-+BE y ⊥CH BE ⊥AB 90BTH BTC ==︒∠∠HBT CBT =∠∠BT BT =()ASA HTB CTB ≌HT CT =()0B t ，()12H t -，设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为，把代入中得，，解得，∴直线的解析式为；同理可得，∵，∴，∴，∴可设直线的解析式为，把代入中得，解得，∴直线的解析式为，故答案为：．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 计算：．【答案】【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角三角函数值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，再计算即可．AB y kx b =+2k b t b t -+=⎧⎨=⎩k t b t =-⎧⎨=⎩AB y tx t =-+()3,2A -y tx t =-+32t t +=12t =AB 1122y x =-+DCH BCH ∠=∠90CBT BCT +=︒∠∠22180ABC BCD CBTBCH +=+=︒∠∠∠∠CD AB ∥CD 12y x b '=-+()1,0C -12y x b '=-+()1012b =-⨯+'-1b '=-CD 112y x =--112y x =--()1020241sin45 3.14π---+︒--+3-【详解】解：原式．【点睛】本题考查了有理数乘方，特殊角三角函数值，零次幂，负整数指数幂，二次根式的性质，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．18.先化简，再求值：÷（），其中a ＝（）﹣1﹣（﹣2）0．【答案】，原式＝4．【解析】【分析】先把分母因式分解后约分，再进行通分和同分母的减法运算得到，接着化简计算得到 ，然后化简，最后把 代入计算即可；【详解】 ，当时，原式 ．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．的113=-+-113=--++-3=-2221a a a a +-+211a a --132a a 1-()()()()212111a a a a a a a +--÷-+2a a 1-()10123a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2a =2221211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭()()()()212111a a a a a a a +--=÷--()()()()211211a a a a a a a +-=∙---()()111a a a a a +=∙-+2a a 1=-()10123312a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭＝﹣＝22421==-19. 如图，在平行四边形中，，E ，F 分别为的中点．求证：四边形是菱形．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定，根据“一组对边平等且相等的四边形是平等四边形”证明四边形是平等四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后由“一组邻边相等的平等四边形是菱形”即可证得；【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴．∵E ，F 分别为的中点，∴．∴．∴四边形是平行四边形．∵，且E 点为的中点，∴．∴四边形是菱形．20. 某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y （件）与销售价格x （元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W （元）．（1）分别求出y 与x ，W 与x 的函数解析式；（2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价；（3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？【答案】（1），（2）20元/件或30元/件ABCD AD BD ⊥AB CD ，BEDF BEDF DE BE =ABCD AD BC AB CD AB CD =∥，∥，AB CD ，1122AE BE BE DF CF CD ====，BE DF BE DF =，∥BEDF AD BD ⊥AB DE BE =BEDF 20800y x =-+22010008000W x x =-+-（3）商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数，以及一元二次方程的应用．（1）设出一次函数解析式，将分别代入解析式，求出k 、b 的值即可确定y 与x 之间的解析式；求出每件利润，乘以总数量即可得到利润的函数关系式；（2）令可得一元二次方程，求解即可；（3）将问题转化为二次函数最大值的问题解答．【小问1详解】解：由题意可设，则 解得，所以．所以，，即．【小问2详解】解：由题意可得，．解得．答：该商品的定价是20元/件或30元/件．【小问3详解】解：因为，由二次函数图象性质可知，W 有最大值．当时， （元）．答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元．21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC ，遮阳棚长为5米，与水平面的夹角为．y kx b =+()()15,500,35,1004000W =y kx b =+15500,35100,k b k b +=⎧⎨+=⎩20,800.k b =-⎧⎨=⎩20800y x =-+()()()101020800W x y x x =-=--+22010008000W x x =-+-220100080004000x x --=＋122030x x ==，200-<1000252(20)x =-=⨯-2202510002580004500W =-⨯⨯-=最大值＋AB 16︒（1）求点A 到墙面BC 的距离；（2）当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为时，量得影长CD 为米，求遮阳篷靠墙端离地高BC 的长．（结果精确到米；参考数据：，，）【答案】（1）米（2）米【解析】【分析】（1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，（2）作，依次求出，,长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解，本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：连接辅助线构造直角三角形．【小问1详解】解：过点A 作，垂足为F ，在中，（米），∴（米），∴点A 到墙面BC 的距离约为米，【小问2详解】解：过点A 作，垂足为G ，由题意得：，（米），∵（米），的45︒ 1.80.1sin160.28︒≈cos160.96︒≈tan160.29︒≈4.84.4AF BC ⊥Rt ABF AF AG CE ⊥DG AG FC Rt ABF BF AF BC ⊥Rt ABF 5AB =cos1650.96 4.8AF AB =⋅︒≈⨯=4.8AG CE ⊥AG CF = 4.8AF CG ==1.8CD =∴（米），在中，，∴（米），∴（米），在中，∴（米），∴（米），故答案为：米．22. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD ⊥AB ，垂足为C ，点E 在⊙O 上，连接OA 、DE 、BE ．（1）若∠DEB ＝30°，求∠AOD 的度数；（2）若CD ＝2，弦AB ＝8，求⊙O 的半径长．【答案】（1）60°；（2）5．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BOD 的度数，再利用垂径定理得到＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（2）设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r−2，根据垂径定理得到AC ＝BC ＝4，然后利用勾股定理得到（r−2）2＋42＝r 2，再解方程即可得出结果．【详解】解：（1）∵∠BOD ＝2∠DEB ，∠DEB ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵OD ⊥AB ，∴＝，，∴∠AOD ＝∠BOD ＝60°；（2）设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r−2，∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC＝AB ＝×8＝4，4.8 1.83DG CG CD =-=-=Rt ADG 45ADG ∠=︒3AG DG ==3CF DG ==Rt ABF sin1650.28 1.4BF AB =⋅︒≈⨯=1.43 4.4BC BF CF =+=+=4.4 AD BDAD BD1212在Rt △OAC 中，由勾股定理得：（r−2）2＋42＝r 2，解得：r ＝5，即⊙O 的半径长为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．23. 某校数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）随机调查的顾客有 人；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数 ．（2）将条形统计图补充完整．（3）若该商场有1800名顾客，请你根据抽样调查结果估计该商场有多少名顾客最喜欢“支付宝”支付．（4）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【答案】（1）200，90°；（2）见解析；（3）405；（4）．【解析】【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“现金”人数所占比例即可得；（2）根据题意将条形统计图补充完整即可；（3）用总人数乘以对应百分比可得“支付宝”的人数；（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）这次活动共调查了（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200（人），在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝90°，1350200故答案为：200，90°（2）微信的人数为200×30%＝60（人），银行卡的人数为200×15%＝30（人），补全图形如下：（3）选择“支付宝”支付的人约有1800×＝405（人）；（4）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．【点睛】本题是条形统计图与扇形统计图的综合，分别考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，简单事件的概率等知识，关键是读懂统计图，并能从统计图中获取有用的信息．24. 小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A 处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．452003913OA 1.25m 1m 2.25m（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次函数的实际应用：（1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式；（2）令，求出x 的值即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可知抛物线顶点为，可设解析式为，过点，即，解得．抛物线的解析式为：．【小问2详解】解：由（1）可知：，令，．解得或（舍去）．花坛半径至少为．25. 四边形和四边形都是正方形．（1）如图1，当点F 在上时，点E ，G 分别在上．求证：；()21 2.25y x =--+2.5m0y =()1,2.25∴()21 2.25y a x =-+()0,1.25 2.25 1.25a +=1a =-∴()21 2.25y x =--+()21 2.25y x =--+0y =()21 2.250x ∴--+=2.5x =0.5x =-∴ 2.5m ABCD BEFG BD AB BC ，CG DF =（2）如图2，将图1中的正方形绕点B 顺时针旋转（旋转角小于），连接，判断与的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当（2）中的正方形旋转到点F 落在线段上时，连接．若点F 是的中点，，求的长．【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3【解析】【分析】（1）延长交于H ，证明四边形是矩形，得出，由可得结论；（2）证明可得结论；（3）由勾股定理求出，再证明和可得结论【小问1详解】解：证明：如图1，延长交于H ．∵四边形和四边形都是正方形，∴．∴．∴四边形是矩形．∴．∴．∴．【小问2详解】BEFG 180︒DF CG ，DF CG BEFG CG DE CG 1BE =DE CG DF =EF CD CHFG FH CG =，90DHF FHC ∠=∠︒=sin FH FDH DF∠=BDF BCG ∽ 5CD BC ==BDF BCG ∽ DEF DCF ≌ EF CD ABCD BEFG 9045C FDH ∠=︒∠=︒，90HFG CGF C ∠=∠=∠=︒CHFG 90FH CG DHF FHC =∠=∠=︒，sin FH FDH DF ∠=sin45=︒=CG DF =解：．证明如下：∵四边形和四边形都是正方形，∴．∴，即．又∴．∴． ∴【小问3详解】解：如图3，连接．∵四边形是正方形，点F 是的中点，∴．∴．∵，∴．由（2）知，CG DF =ABCD BEFG 4590DBC FBG BCD BGF ∠=∠=︒∠=∠=︒，DBC FBC FBG FBC ∠-∠=∠-∠DBF CBG ∠=∠cos BC DBC BD =∠=cos BG FBG BF =∠=BC BG BD BF =BDF BCG ∽ CG BG DF BF ==BD BEFG CG 19045CF FG BG EF BE G BFG BFE =====∠=︒∠=∠=︒，，CD BC ===DBC FBG ∠=∠DBF CBG ∠=∠BC BG BD BF=∴．∴．∴，．∴．又∵，∴，∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识，正确理解正方形的性质，作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．26. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元．【答案】每套的价格是150元【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元，根据“用2400元购买的套数只比第一批少4套”建立方程求解，即可解题．【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则第二批购买的“四大名著”每套的价格为元．根据题意，得，解得．经检验，是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元．BDF BCG ∽ 90BFD G ∠=∠=︒18045DFC BFD BFG ∠=︒-∠-∠=︒45DFE BFD BFE ∠=∠-∠=︒DFC DFE ∠=∠EF CF DF DF ==，DEF DCF ≌ DE DC ==0.8x 0.8x 3600240040.8x x-=150x =150x =。
2019届北京市朝阳区中考数学二模试卷（附解析）
24．（5分）阅读下列材料： 2017年3月29日，习主席来到了北京市朝阳区将台乡参加首都义务植树活动，他指出爱绿护绿是每个公民的职责，造林绿化是 功在当代、利在千秋的事业．首都北京一直致力于创造绿色低碳的良好生态环境，着力加大城区规划建绿.2013年，城市绿化 覆盖率达到46.8%，森林覆盖率为40%，园林绿地面积67048公顷.2014年，城市绿化覆盖率比上年提高0.6个百分点，森林覆 盖率为41%.2015年，城市绿化覆盖率达到48.4%，森林覆盖率为41.6%，生态环境进一步提升，园林绿地面积达到81305公 顷.2016年，城市绿化覆盖率达到48.1%，森林覆盖率为42.3%，园林绿地面积比上年增加408公顷． 根据以上材料解答下列问题： （1）2016年首都北京园林绿地面积为公顷； （2）用统计表将2013﹣2016年首都北京城市绿化覆盖率、森林覆盖率表示出来． 25．（5分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，连接DE 并延 长，交BC 的延长线于点F ． （1）求证：△BDF 是等边三角形； （2）连接AF 、DC ，若BC=3，写出求四边形AFCD 面积的思路．
14． 【解答】解：这位同学的说法合理， 理由：由函数图象可知函数图象上升的比较陡，从而可知从2015年到2016年A市常住人口大幅增加， 故答案为：由函数图象可知函数图象上升的比较陡，从而可知从2015年到2016年A市常住人口大幅增加． 15． 【解答】解：（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab； 故答案：（x+a）（x+b）=x2+ax+bx+ab（答案不唯一）． 16．
2020届北京市朝阳区中考数学二模试卷(有解析)
2020届北京市朝阳区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列汽车标志图案中不是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.2018年4月18日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，将0.00519用科学记数法表示应为A. 5.19×10−2B. 5.19×10−3C. 519×10−5D. 519×10−63.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对面上的汉字是()A. 青B. 春C. 梦D. 想4.下列各组数中，结果相等的是()A. −22和(−2)2B. 23和32C. −33和(−3)3D. −|−3|和−(−3)5.如图所示，直线AB//CD，∠1=64°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是()A. 32°B. 30°C. 31°D. 35°=()6.已知x2−2x−1=0，那么x2+1x2A. 4B. 5C. 6D. 77.如图是某市某中学八年级(1)班学生参加音乐、美术、体育课外兴趣小组人数的部分条形统计图和扇形统计图，则下列说法错误的是()A. 八年级(1)班参加这三个课外兴趣小组的学生总人数为30人B. 在扇形统计图中，八年级(1)班参加音乐兴趣小组的学生人数所占的圆心角度数为82°C. 八年级(1)班参加音乐兴趣小组的学生人数为6人D. 若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有200人，那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有60人8.如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有()A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.在函数y=x−1中，自变量x的取值范围是______ ．2x+310.三角形形内角和为______度，三角形外角和为______度，多边形外角和为______度．11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，AB=2，若△ABC是边长为2的等边三角形，则a=______．12.小明在某月历上圈出如图所示的呈十字形的5个数，如果圈出的五个数的和为65，那么其中最大的数为______．13. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A =45°，BD 为⊙O 的直径，BD =√2，连结CD ，则CD 的长为______．14. 如图将边长为2的正方形纸片ABCD 沿EF 所在直线折叠，使得点A 恰好落到边BC 的中点G处．则折痕EF 的长等于______．15. 已知y −5与x −2成正比例，且当x =3时，y =2，则y 与x 之间的函数关系式是______．16. 东方商场把进价为200元的商品按标价的八折出售，仍可获利20%，则该商品的标价为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17. (1)计算 − +( )0； (2)(3)求式中的x 值(x −1)3=27. (4)已知：(x +5)2=16，求x ；18. 解不等式组{3(x +1)>x +5x−12≤x 3(要求：画出数轴并根据数轴写不等式的解集)19. 如图1，⊙O的直径BC的长为6，AB与⊙O相切于点B.点D是半圆上一动点．(1)当∠A+2∠C=180°时，请你判断点D是否是直线AD与⊙O的唯一交点，说明理由．(2)如图2，DE⊥AD，交BC于点E.若tan∠CAB=3，EB=2CE.求AD的长．220. 关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)请选择一个方程有根的k值，并求出方程的根．21. 阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF 即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为4，CF=6，求tan∠CBF．23. 如图，直线l1：y=x与双曲线y=k相交于点A(a,2)，将直线l1向上平移3个单位得到l2，直线l2x与双曲线相交于B、C两点(点B在第一象限)，交y轴于D点．(1)求双曲线y=k的解析式；x(2)求tan∠DOB的值．24. 已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部(如图1)，将半圆O绕点A顺时针旋转α度(0°≤α≤180°)(1)半圆的直径落在对角线AC上时，如图2所示，半圆与AB的交点为M，求AM的长；(2)半圆与直线CD相切时，切点为N，与线段AD的交点为P，如图3所示，求劣弧AP的长；(3)在旋转过程中，半圆弧与直线CD只有一个交点时，设此交点与点C的距离为d，直接写出d的取值范围．25. 某校七年级共有500名学生，准备调查他们对“低碳”知识的了解程度．(1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：方案一：调查七年级部分女生；方案二：调查七年级部分男生；方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生．请问其中最具有代表性的一个方案是______．(2)团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图(如图①、图②所示)，请你根据图中信息，将两个统计图补充完整．(3)在扇形统计图中，“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是______．(4)请你估计该校七年级约有多少名学生比较了解“低碳”知识？26. 如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，对角线AB所在直线的函x+4．数关系式为：y=−12(1)对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，求线段AM的长；(2)在(1)的条件下，若点P是直线AB上一个动点，当△PAM的面积与长方形AOBC的面积相等时，求点P的坐标．27. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是射线AB上的一个动点，经过B，C，E三点的⊙O交线段DB于点G，EC所在的直线交射线DB于点F．(1)求证：若CG平分∠DCE，则△DCG是等腰三角形；(2)当点E在线段AB上时①若CG=CF，求BE的长；②连接GE，OB，当GE//OB时，取四边形GEBC的一边的两个端点和射线DB上的一点P，若以这三个点为顶点的三角形是直角三角形，且P为锐角顶点，求所有满足条件的BP的值；(3)点E的运动过程中，在GC=GF时，记△CGE的面积为S1，△EBF面积为S2，请直接写出S1的值．S228. 一次函数y=kx+3交x轴于点B，y轴于点A.(如图1)(1)若k=1，求线段AB的长度；(2)如图2，点M、N是直线y=kx+3(k>0)上的两点，设点M、N的横坐标分别为a，b，且a<0，b>0，a+b≠0，过M作直线l1：y=ax和过N作直线l2：y=bx．①求ab的值；②在y轴的负半轴上是否存在一点P，使得∠MPA=∠APN，若存在求出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：A、是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，不合题意．故选：B．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析．此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：0.00519用科学记数法表示为5.19×10−3，故选B．3.答案：B解析：解：展开图中“点”与“春”是对面，“亮”与“想”是对面，“青”与“梦”是对面；故选：B．根据正方体展开z字型和L型找对面的方法即可求解；本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键．4.答案：C解析：解：A、−22=−4，(−2)2=4，故选项不符合题意；B、23=8，32=9，故选项不符合题意；C、−33=−27，(−3)3=−27，故选项符合题意；D、−|−3|=−3，−(−3)=3，故选项不符合题意；故选：C．A、根据有理数的乘方运算法则计算即可判定；B、根据幂的定义化简即可判定；C、根据幂的定义计算即可判定；D、根据绝对值的定义及相反数的定义即可判定．此题主要考查了绝对值、相反数的定义及有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则即可求解．5.答案：A解析：解：∵AB//CD，∴∠EFD=∠1=64°，∵FG平分∠EFD，∴∠DFG=12∠EFD=12×64°=32°，∵AB//CD，∴∠2=∠DFG=32°．故选：A．根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义求出∠DFG，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠DFG．本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．6.答案：C解析：解：∵当x=0时，x2−2x−1=−1≠0，∴x=0不是方程x2−2x−1=0的解，则方程两边都除以x，得：x−2−1x =0，即x−1x=2，∴(x−1x )2=4，即x2−2+1x2=4，∴x2+1x2=6，故选：C．将x=0代入方程得知方程中x≠0，据此方程两边都除以x得x−1x =2，继而知(x−1x)2=4，展开、移项即可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．7.答案：B解析：根据图表信息，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：A.参加体育的有15人，所占百分比为50%，所以总人数为30人，选项正确；B.参加音乐兴趣小组的学生人数所占的圆心角度数为360°×0.2=72°，选项错误；C.参加音乐兴趣小组的学生人数为30−15−9=6人，选项正确；D.若该校八年级参加这三个兴趣小组的学生共有200人，那么估计全年级参加美术兴趣小组的学生约有200×0.3=60人，选项正确．故选B．8.答案：B解析：解：根据图象可知，分成2段，也就是说着两段的速度不同前慢后快，所以虽然时间用了10分钟，但是所走过的路程不是一半，故③错，其他都对，故选：B．根据图象上特殊点的实际意义即可求出答案．主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.答案：x≠−32解析：解：由题意得，2x+3≠0，解得x≠−32．故答案为：x≠−32．根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10.答案：180 360 360解析：解：三角形形内角和为：180度，三角形外角和为：360度，多边形外角和为360度．故答案为：180，360，360．直接利用三角形内角和定理以及多边形外角和的性质分别分析得出答案．此题主要考查了三角形内角和定理以及多边形外角和的性质，正确掌握相关性质是解题关键．11.答案：√3解析：解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n=−ba ，mn=ca，∵AB=2=|m−n|，∴(m−n)2=4，∴m2−2mn+n2=(m+n)2−4mn=(−ba )2−4ca=4，∴b2−4ac=4a2，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴点C到AB的距离为√3，∵a>0，∴点C的纵坐标为−√3，∴4ac−b24a=−√3，∴4ac−b2=−4√3a，∴4a2=4√3a，a=√3，故答案为：√3．设点A、B的横坐标分别为m、n，利用根与系数的关系得：m+n=−ba ，mn=ca，根据AB=2=|m−n|，列式变形后得：b2−4ac=4a2，根据△ABC是边长为2的等边三角形，计算其高为√3，即二次函数顶点的纵坐标为−√3，根据公式列式为4ac−b24a=−√3，可得结论．本题主要考查二次函数与坐标轴的交点及顶点坐标，一元二次方程根与系数的关系，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．12.答案：20解析：解：设五个数中最大的数为x，则另外四个数分别为(x−14)，(x−8)，(x−7)，(x−6)，依题意，得：x−14+x−8+x−7+x−6+x=65，解得：x=20．故答案为：20．设五个数中最大的数为x，则另外四个数分别为(x−14)，(x−8)，(x−7)，(x−6)，根据五个数的和为65，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及钟面角，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．13.答案：1解析：本题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理求出∠D和∠BCD的度数，得到△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质计算即可．解：∵∠A=45°，∴∠D=∠A=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，又BD=√2，∴CD=1，故答案为1．14.答案：√5解析：解：连接AG，过点F作FH//AD，则四边形AFHD为矩形；∴FH=AD=AB；∵AG⊥EF，FH//AD，∴∠BAG+∠AFE=90°，∠AFE+∠EFH=90°，∴∠BAG=∠EFH；在△ABG与△FHE中，{∠BAG=∠EFH AB=FH∠ABG=∠EHF，∴△ABG≌△FHE(ASA)∴AG=EF．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABG=90°；由勾股定理得：AG2=22+(2÷2)2=5，∴AG=√5，∴折痕EF的长等于√5．故答案为：√5．连接AG，过点F作FH//AD，证明Rt△ABG≌Rt△FHE，根据全等三角形的性质得到EF=GA，根据勾股定理即可求出AG的长，从而求解．本题考查了全等三角形的判定及其性质、勾股定理、对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．15.答案：y=−3x+11解析：解：设y−5=k(x−2)(k≠0)，即y=kx+5−2k，将x=3、y=2代入，得：3k+5−2k=2，解得：k=−3，∴y与x之间的函数关系式是y=−3x+11．故答案为：y=−3x+11．设y−5=k(x−2)(k≠0)，即y=kx+5−2k，将x、y的值代入，求解得出k的值即可；本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据所给的条件利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．16.答案：300元解析：此题考查一元一次方程的应用，属于基础题，根据利例利润为20%得出方程是关键，难度一般．设标价为x元，则售价为80%x，根据获利20%，可得出方程，解出即可．解：设该商品的标价为x元，则售价为0.8x元，根据题意得：0.8x−200=200×20%，解得：x=300，即标价为300元．故答案为300．17.答案：解：(1)原式=|−2|−3+1=2−3+1=0；(2)原式=−4+1+2−=−1−； (3)开立方得：x −1=3;解得：x =4.(4)开平方得：x +5=±4 解得：. 解析：(1)根据实数的运算法则：先算开方与零指数幂，再算加减即可；(2)根据实数的运算法则：先算负整数指数幂、零指数幂与绝对值，再算加减即可；(3)先把方程两边同时开立方，得到一个一元一次方程，解此方程即可；(4)先把方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可．18.答案：解：{3(x +1)>x +5①x−12≤x 3② ∵解不等式①得：x >1，解不等式②得：x ≤2，在数轴上表示为：∴不等式组的解集为1<x ≤2．解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组和再数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.答案：解：(1)点D是直线AD与⊙O的唯一交点．理由如下：如图1，连接OD，∵∠DOB=2∠C，∠A+2∠C=180°，∴∠A+∠BOD=180°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠B=90°，∴∠ADO=90°，∴AD与⊙O相切，∴点D是直线AD与⊙O的唯一交点；(2)如图2，连接AE、BD、DC，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠B=90°，∵tan∠CAB=32，BC=6，∴AB=4，∵EB=2CE，∴BE=4，CE=2，∴AE=4√2，∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∵∠ADE=90°，∴∠ABD=∠CDE，∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DCE+∠DBC=90°，∴∠ABD=∠DCE，∴△DCE∽△DAB，∴DEAD =CEAB=24=12，∴AD=2DE，在RT△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴(4√2)2=(2DE)2+DE2，∴DE=45√10，∴AD=2DE=85√10．解析：(1)连接OD，证明AD与⊙O相切，即可得出结论；(2)连接AE、BD、DC，根据题意求得BE=4，CE=2，AE=4√2，根据圆周角定理求得∠BDC=90°，进而求得∠ABD=∠CDE，然后证得△DCE∽△DAB，得出DEAD =CEAB=24=12，得出AD=2DE，然后根据勾股定理即可求得．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，(2)证得三角形相似是解题的关键．20.答案：解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴(−3)2−4k>0，即−4k>−9，解得k<94；(2)当k=0时，原方程为x2−3x=0，解得：x1=0，x2=3．解析：(1)因为方程有两个不相等的实数根，△>0，由此可求k的取值范围；(2)在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．21.答案：解：(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．(3)此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：L1=2Sa +2a,L2=2Sb+2b,L3=2Sc+2c，∴L1−L2=(2Sa +2a)−(2Sb+2b)=−2Sab(a−b)+2(a−b)=2(a−b)·ab−Sab，而ab>S，a>b，∴L1−L2>0，即L1>L2，同理可得，L2>L3，∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．解析：本题考查的是新定义的问题，理解题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．(1)类似“友好矩形”的定义，即可写出“友好平行四边形”的定义：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；(2)根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从而画出矩形．根据每个矩形和直角三角形的面积的关系，比较两个矩形的面积大小；(3)分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c.根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．22.答案：(1)证明：连接AE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB =AC ，∴2∠1=∠CAB ．∵∠BAC =2∠CBF ，∴∠1=∠CBF∴∠CBF +∠2=90°即∠ABF =90°∵AB 是⊙O 的直径，∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：过C 作CH ⊥BF 于H ，∵AB =AC ，⊙O 的直径为4，∴AC =4，∵CF =6，∠ABF =90°，∴BF =√AF 2−AB 2=√102−42=2√21，∵∠CHF =∠ABF ，∠F =∠F ，∴△CHF∽△ABF ，∴CH AB =CF AF ， ∴CH 4=64+6， ∴CH =125，∴HF =√CF 2−CH 2=√62−(125)2=6√215， ∴BH =BF −HF =2√21−6√215=4√215， ∴tan∠CBF =CH BH =1254√215=√217． 解析：(1)连接AE ，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF =90°，于是得到结论；(2)过C 作CH ⊥BF 于H ，根据勾股定理得到BF =√AF 2−AB 2=√102−42=2√21，根据相似三角形的性质得到CH =125，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点、正确的作出辅助线是解题的关键．23.答案：解：(1)∵A(a,2)是y =x 与y =kx 的交点，∴A(2,2)，把A(2,2)代入y =kx ，得k =4， ∴双曲线的解析式为y =4x ；(2)∵将l 1向上平移了3个单位得到l 2， ∴l 2的解析式为y =x +3， ∴解方程组{y =4x y =x +3，得{x 1=−4y 1=−1，{x 2=1y 2=4， ∴B (1,4)， ∴tan∠DOB =14．解析：(1)由点A(a,2)在直线y =x 上可知a =2，再代入y =kx 中求k 的值即可；(2)将l 1向上平移了3个单位得到l 2的解析式为y =x +3，联立l 2与双曲线解析式求交点B 坐标，根据B 点坐标，利用锐角三角函数定义求解．本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换，锐角三角函数定义．关键是根据y =x 求点的坐标，根据点的坐标及平移规律，求函数解析式，再根据函数解析式求交点坐标．24.答案：解：(1)在图2中，连接B′M ，则∠B′MA =90°．在Rt △ABC 中，AB =4，BC =3， ∴AC =5．∵∠B =∠B′MA =90°，∠BCA =∠MAB′， ∴△ABC∽△AMB′， ∴AM AB=AB′AC，即AM 4=45，∴AM =165．(2)在图3中，连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G．∵半圆与直线CD相切，∴ON⊥DN，∴四边形DGON为矩形，∴DG=ON=2，∴AG=AD−DG=1．在Rt△AGO中，∠AGO=90°，AO=2，AG=1，∴∠AOG=30°，∠OAG=60°．又∵OA=OP，∴△AOP为等边三角形，∴AP⏜=60×π×4360=23π.(3)由(2)可知：△AOP为等边三角形，∴DN=GO=√32OA=√3，∴CN=CD+DN=4+√3．当点B′在直线CD上时，如图4所示．在Rt△AB′D中(点B′在点D左边)，AB′=4，AD=3，∴B′D=√AB′2−AD2=√7，∴CB′=4−√7．∵AB′为直径，∴∠ADB′=90°，∴当点B′在点D右边时，半圆交直线CD于点D、B′．∴当半圆弧与直线CD只有一个交点时，4−√7≤d<4或d=4+√3．解析：(1)连接B′M，则∠B′MA=90°，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长度，由∠B=∠B′MA=90°、∠BCA=∠MAB′可得出△ABC∽△AMB′，根据相似三角形的性质可求出AM的长度；(2)连接OP、ON，过点O作OG⊥AD于点G，则四边形DGON为矩形，进而可得出DG、AG的长度，在Rt△AGO中，由AO=2、AG=1可得出∠OAG=60°，进而可得出△AOP为等边三角形，再利用弧长公式即可求出劣弧AP的长；(3)由(2)可知：△AOP为等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OG、DN的长度，进而可得出CN的长度，画出点B′在直线CD上的图形，在Rt△AB′D中(点B′在点D左边)，利用勾股定理可求出B′D的长度进而可得出CB′的长度，再结合图形即可得出：半圆弧与直线CD只有一个交点时d的取值范围．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及切线的性质，解题的关键是：(1)利用相似三角形的性质求出AM的长度；(2)通过解直角三角形找出∠OAG=60°；(3)依照题意画出图形，利用数形结合求出d的取值范围．25.答案：方案三108°解析：解：(1)根据抽样调查的意义和方法，可得方案三具有代表性，故答案为：方案三；(2)5÷10%=50人，50−5−15=30人，30÷50=60%，15÷50=30%，补全两个统计图如图所示：(3)360°×30%=108°；故答案为：108°；(4)根据题意得：500×30%=150(名)答：该校七年级约有150名学生比较了解“低碳”知识．(1)根据抽样调查的意义和取样要求进行选择，(2)计算出“比较了解”“了解一点”的人数和百分比，即可补全两个统计图；(3)“比较了解”占30%，因此圆心角占360°的30%，可求出度数；(4)样本估计总体，样本中，“比较了解”的占30%，估计总体500人中有30%的对低碳知识“比较了解”．考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．26.答案：解：(1)对于y=−12x+4，当y=0时，x=8，当x=0时，y=4，∴点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(8,0)，即OA=4，OB=8，∵MN是AB的垂直平分线，∴MA=MB，在Rt△AOM中，OA2+OM2=AM2，即42+(8−AM)2=AM2，解得，AM=5；(2)长方形AOBC的面积=4×8=32，设点P的纵坐标为y，当点P在第二象限时，12×5×|y|−12×5×4=32，解得，y=845，当y=845时，845=−12x+4解得，x=−1285，当点P在第四象限时，−12×5×y+12×5×4=32，解得，y=−445，当y=−445时，−445=−12x+4解得，x=1285，则点P的坐标为(1285,−445)或(−1285,845).解析：(1)求出直线与坐标轴的交点，得到OA、OB的长，根据线段垂直平分线的性质得到MA=MB，根据勾股定理计算即可；(2)求出长方形AOBC的面积，设点P的纵坐标为y，根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，掌握直线与坐标轴的交点的求法、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD//AB，∴∠CDG=∠EBG，∵∠EBG=∠FCG，∴∠CDG=∠FCG，∵CG平分∠DCE，∴∠DCG=∠FCG，∴∠CDG=∠DCG，∴DG=CG，∴△DCG是等腰三角形；(2)①∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∴CD=AB=8，BD=√AB2+AD2=10，∵CG=CF，∴∠CGF=∠CFG，∵∠CGF=∠BEF，∠CFG=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵CD//AB，∴∠DCF=∠BEF，∴∠DCF=∠CFD，∴DF=DC=8，∴BF=BD−DF=10−8=2，∴BE=2；②∵GE//OB，∴∠EGB=∠OBG，当点P与点D重合时，如图1，△PCB是直角三角形，BP=BD=10；当PE⊥BE时，△PEB是直角三角形，如图2，∵∠GCE=∠DBA∴tan∠GCE=tan∠DBA=GEGC=DAAB=68∴设GE=6x，GC=8x，∴CE=√GC2+GE2=10x，∴OB=OE=OC=5x∵GE//OB∴OBGE =OFFE=56，且OE=5x，∴OF=2511x，EF=30x11∴CF=8011x∵PE⊥BE，BC⊥AB∴PE//BC∴BC=CF即6PE =83∴PE=94∵∠DBA=∠PBE，∠PEB=∠DAB=90°∴△DAB∽△PEB∴BPBD=PEDA∴BP10=946∴BP=15 4③当△CGP是直角三角形，∠GCP=90°时，如图3，∵∠EGB=∠OBG，∠GBC=∠GEC∴∠EOB=∠GBC∵CO=BO∴∠OCB=∠OBC∵∠EOB=∠OBC+∠OCB=2∠OBC=2∠OCB，∴∠GBC=2∠OBC=2∠OCB，∵∠CEB+∠OCB=90°，∠CGP+∠CPG=90°，且∠CGB=∠CEB ∴∠OCB=∠CPG，∵∠GBC=∠BCP+∠CPG=2∠OBC=2∠OCB，∴∠BCP=∠OBC=∠OCB=∠BPC∴CB=BP=6④△GEP是直角三角形，∠GEP=90°时，如图4∵∠GCE=∠DBA∴tan∠GCE=tan∠DBA=GEGC=DAAB=68∴设GE=6x，GC=8x，∴CE=√GC2+GE2=10x，∴OB=OE=OC=5x∵GE//OB∴OBGE =OFFE=56，且OE=5x，∴OF=2511x，EF=30x11∴CF=8011x∵∠CGE+∠GEP=90°+90°=180°∴GC//EP∴GCEP=CFEF=83∴EP=3x∵∠EGB=∠ECB，∠CBE=∠GEP=90°∴△GEP∽△CBE∴∠GPE=∠CEB，PEGE =BEBC即3x6x =BE6∴BE=3∵∠CBE=∠GEP=90°，且∠GEC=∠GBC∴∠PEF=∠PBE∵OE=OB∴∠OEB=∠OBE，∴∠OBF=∠PEB=∠BCE=∠EGB ∵∠PEB=∠EGB，∠EBP=∠EBG∴△EPB∽△BEG∴BEBG=BPBE=PEGE=3x6x ∴3BG=BP3=12∴BP=32(3)如图5，过点G作GM⊥CF，过点F作FN⊥BE，∵∠GCE =∠GBE =∠ABD ， ∴tan∠ABD =tan∠GCE =GE CG=ADAB =68∴设GE =6x ，GC =8x ， ∴CE =√GC 2+GE 2=10x ，∵S △CGE =12×CG ×GE =12×CE ×GM =24x 2，∴GM =245x ∴CM =√BC 2−GM 2=325x ，ME =√GE 2−GM 2=185x ，∵GC =GF ，GM ⊥CF ∴CM =MF =325x ，∠GCF =∠GFC∴EF =MF −ME =145x ，∠GCF =∠GFC =∠EBF∴BE =FE =145x ，∵CE 2=BE 2+BC 2，∴100x 2=19625x 2+36 ∴x =58∴CE =254，EF =74 ∵CB//FN ∴BC NF =CE EF =25474=257∴NF =4225∵S1=24×(58)2=758S2=12×74×4225=147100∴S1S2=62598解析：(1)由角平分线性质和圆周角定理可得∠CDG=∠DCG，可得DG=CG；(2)①由等腰三角形的性质和圆周角定理可得∠CGF=∠CFG=∠BFE=∠BEF=∠DCF，可得DC= DF=8，BE=BF，即可求BE的长；②分四种情况讨论，由勾股定理和相似三角形的性质可求BP的值；(3)设GE=6x，GC=8x，通过勾股定理和等腰三角形的性质求出x的值，分别求出S1，S2的值，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．28.答案：解：(1)当k=1时，直线AB的解析式为y=x+3，令x=0，则y=3，∴A(0,3)，令y=0，则x+3=0，∴x=−3，∴B(−3,0)，∴AB=3√2；(2)①∵直线y=ax过点M，∴M(a,a2)，∵直线y=bx过点N，∴N(b,b2)，∵点M、N是直线y=kx+3(k>0)上的两点，∴a2=ak+3①，b2=bk+3②，①−②得，(a−b)k=(a+b)(a−b)，∵a<0，b>0，a+b≠0，∴k=a+b，∴直线AB的解析式为y=(a+b)x+3，∵M(a,a2)在直线AB上，∴a2=a(a+b)+3，∴ab=−3；②如图2，作点M(a,a2)关于y轴的对称点M′，∴M′(−a,a2)，∵∠APM=∠APN，∴点P，M′，N在同一条直线上，∵M′(−a,a2)，N(b,b2)，∴直线M′N的解析式为y=(b−a)x+ab，由①知，ab=−3，∴直线M′N的解析式为y=(b−a)x−3，令x=0，∴y=−3，∴P(0,−3)．解析：(1)先求出点A，B坐标，即可求出AB的长；(2)①先将点M，N的横坐标分别代入直线l1，l2中，确定出点M，N的坐标，再代入直线MN的解析式中，求出k，最后将点M的坐标代入直线MN的解析式中，即可得出结论；②先找出点M关于y轴的对称点M′的坐标，结合点N的坐标求出M′N的解析式，即可求出点P的坐标．此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标轴上点的特点，解方程组的方法，求出ab是解本题的关键，根据直线M′N的解析式求出点P的坐标是解本题的难点．。
朝阳中考二模数学试题及答案解析(1)
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朝阳中考二模数学试题及答案解析（1）
总结：话题作文与学期梳理
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2023北京朝阳区初三二模数学试题及参考答案
2023北京朝阳初三二模数学2023.5考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A.圆柱B.圆锥C.棱柱D.长方体2.《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》指出，2022年我国全年新能源汽车产量为7003000辆，比上年增长90.5%．将7003000用科学记数法表示应为（）A.67.00310⨯ B.77.00310⨯ C.60.700310⨯ D.70.700310⨯3.如图，AB CD ∥，BC EF ∥．若155∠=︒，则2∠的度数为（）A.45︒B.55︒C.125︒D.145︒4.下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）A. B. C. D.5.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A.0a b +>B.0ab > C.a b = D.a b->6.方程1225x x=-+的解是（）A.=1x - B.5x = C.7x = D.9x =7.某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下：射箭次数n 102050100200350500射中靶心的次数m7174492178315455射中靶心的频率m n0.700.850.880.920.890.900.91下列说法正确的是（）A.该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90B.该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90C.该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次D.该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次8.已知点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数()0k y k x=<的图象上，123x x x <<，有下面三个结论：①若120x x <，则23y y >；②若230x x <，则130y y <；③若130x x >，则23y y <．所有正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③二、填空题（共16分，每题2分）9.若分式3x x-的值为零，则x 的值为______．10.分解因式：229ax ay -=____________．11.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是_____．12.某班级准备定做一批底色相同的T 恤衫，征求了全班40名同学的意向，每个人都选择了一种底色，得到如下数据：底色灰色黑色白色紫色红色粉色频数3618472为了满足大多数人的需求，此次定做的T 恤衫的底色为______．13.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点．则DEO 与DCB △的面积的比等于___________．14.如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，连接AC ，AD.若40BAC ∠= 则D ∠=________°．15.如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧交于点P ；③作射线AP 交BC 于点D ．若:2:3AB AC =，ABD △的面积为2，则ACD 的面积为______．16.甲、乙两个商家销售某款电子产品，原价都是100元/件．甲商家的促销方式为：购买件数（单位：件）1～56～1011～1516～2020以上每件价格（单位：元）9590858075乙商家的促销方式为：购买件数（单位：件）1～89～1617～2420以上每件价格（单位：元）90858075若A 公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为______元；若B 公司分三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件，则购买的总费用最少为______元．三、解答题（共68分，第17−20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23−24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27−28题，每题7分）17.计算：()1014cos30π12-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭．18.解不等式()4156x x -≥-，并写出所有正整数解．19.已知2230a b +-=，求代数式()()2222a b b a b a +--+的值．20.如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 边上，且BD CE =．求证：BAD CAE ∠=∠．21.如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，12AB BC AE AD ===．（1）求证：四边形ABCE 为菱形；（2）若3tan 4ACB ∠=，8AC =，求CD 的长．22.在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图像经过点()1,1-，()2,0，与y 轴交于点A ．（1）求该函数的表达式及点A 的坐标；（2）当0x >时，对于x 的每一个值，函数()20y mx m =-≠的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．23.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AE CE ⊥，直线CE 与直线AB 相交于点H ，AC 平分EAH ∠．（1）求证：EH 是O 的切线；（2）AE 与O 的交点为F ，连接FO 并延长与O 相交于点D ，连接CD ．若F 为 AC 中点，求证：D H ∠=∠．24.某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：min ），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下：a ．每天在校体育锻炼时间分布情况：每天在校体育锻炼时间x （min ）频数（人）百分比6070x ≤<1414%7080x ≤<40m8090x ≤<3535%90x ≥n11%b ．每天在校体育锻炼时间在8090x ≤<这一组的是：8081818182828383848484848485858585858585858687878787878888888989898989根据以上信息，回答下列问题：（1）表中m =______，n =______；（2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；（3）该校准备确定一个时间标准p （单位：min ），对每天在校体育锻炼时间不低于p 的学生进行表扬．若要使25%的学生得到表扬，则p 的值可以是______．25.图1是一块铁皮材料的示意图，线段AB 长为4dm ，曲线是抛物线的一部分，顶点C 在AB 的垂直平分线上，且到AB 的距离为4dm ．以AB 中点O 为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在AB 上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．26.在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y -在抛物线2y x ax =-上．（1）求1y 的值（用含a 的式子表示）；（2）若1a <-，试说明：10y <；（3）点()21,y ，()32,a y -在该抛物线上，若1y ，2y ，3y 中只有一个为负数，求α的取值范围．27.在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到线段AE ，连接DE ．（1）根据题意补全图形，并证明：EAC ADC ∠=∠；（2）过点C 作AB 的平行线，交DE 于点F ，用等式表示线段EF 与DF 之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy 中，对于图形M 给出如下定义；将M 上的一点(),a b 变换为点(),a b a b -+，M 上所有的点按上述变换后得到的点组成的图形记为N ，称N 为M 的变换图形．（1）①点()3,0的变换点的坐标为______；②直线1y x =+的变换图形上任意一点的横坐标为______；（2）求直线21y x =+的变换图形与y 轴公共点的坐标；（3）已知⊙O 的半径为1，若O 的变换图形与直线()20y kx k k =+≠有公共点，直接写出k 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1−8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．题号12345678答案BACDADAB二、填空题（共16分，每题2分）题号910111213141516答案3(3)(3)a x y x y +-k ＜﹣1白色1：4503900;2775三、解答题（共68分，第17−20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23−24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27−28题，每题7分）17.解：()1014cos30π12-⎛⎫-︒+++ ⎪⎝⎭32412=-⨯++21=-3=．18.解：()4156x x -≥-去括号得：4456x x -≥-，移项可得：4546x x -≥-合并同类项：2x ≤，∴它的所有正整数解为：1，2．19.解：()()2222a b b a b a +--+22222222a ab b ab b a =++-++2233a b =+2230a b +-=223a b +=9=．20.证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE △中,,,AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD ACE △≌△，∴BAD CAE ∠=∠．21.（1）证明：∵AE BC =，AD BC ∥，∴四边形ABCE 为平行四边形，∵AB BC =，∴平行四边形ABCE 为菱形；（2）解：如图，连接BE 交AC 于点F.∴1, 4.2BE AC AF AC ⊥==∵3tan tan ,4EAF ACB ∠=∠=在Rt EAF ∆中，tan 3EF AF EAF =∠= ∵E ，F 分别是AD ，AC 的中点∴26CD EF ==22.（1）函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(1,1),(2,0)-∴120k b k b +=-⎧⎨+=⎩，∴12k b =⎧⎨=-⎩，∴该函数解析式为2y x =-，令0x =，得=2y -，∴()02A -，；（2）解：22mx x ->-，∴()10m x ->，当10m -=时，00>不成立，不符合题意；当10m ->，即1m >时，则0x >；当10m -<，即1m <时，则0x <；∵当0x >时，对于x 的每一个值，函数()20y mx m =-≠的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，∴0x >是不等式22mx x ->-的一个解集，∴1m >．23.（1）证明：连接OC ，∵AE CE ⊥，∴90E ∠=∵AC 平分EAH ∠，∴EAC HAC ∠=∠，∵OA OC =，∴HAC OCA ∠=∠，∴EAC OCA ∠=∠，∴AE OC ∥，∴90HCO E ∠=∠= ，∴OC EH ⊥，∴EH 是O 的切线；（2）∵,,D FAC FAC HAC ∠=∠∠=∠，∴D HAC ∠=∠，∵F 为 AC 中点，∴ CBCF AF ==，30,60.D COH ∠=∠= ∵90OCH ∠=︒∴30H ∠=︒∴D H∠=∠24.（1）解：由题意得，114%35%11%40%m =---=，1414%100÷=人，∴这次参与调查的学生人数为100人，∴10011%11n =⨯=，故答案为：40%，11；（2）抽取的学生中，每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生由46人估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数为461000460100⨯=解：()100011%35%460⨯+=人，∴估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数为460人；（3）解：把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，处在第75名和第76名的锻炼时间分别为85min 86min 、，∵要使25%的学生得到表扬，∴8586p <≤，∴p 的值可以为86，故答案为：86（答案不唯一）．25.（1）解：根据题意，可知抛物线的顶点为C ()04，，设抛物线解析式为24y ax =+，∵抛物线经过点()20B ，∴440a +=，解得1a =-，∴抛物线解析式为24y x =-+；（2）如图所示，四边形EFGH 是矩形，设点()0E t ，∴点2(,4)F t t -+，点()0H t -，，点2(,4)G t t --+∴矩形EFGH 的周长为22(42)t t -++2248t t =-++22(1)10t =--+∴满足条件的矩形周长的最大值为10dm26.（1）∵点()11,y -在抛物线2y x ax =-上∴11y a =+（2）∵1a <-，∴10a +<∴10y <；（3）根据题意，可知231,24y a y a =-+=-+，当1a <-时1230,0,0y y y <>>，符合题意当11a -≤≤时，123000y y y ≥≥>，，不符合题意当12a <≤时，123000y y y ><≥，，符合题意当2a >时，123000y y y ><<，，，不符合题意；综上所述，1a <-或12a <≤．27.（1）补全的图形如图所示：证明：∵90ACB ∠=︒，∴90CAD ADC ∠+∠=︒，由旋转的性质可知90EAD ∠=︒，即90CAD EAC ∠+∠=︒，∴EAC ADC ∠=∠；（2）EF DF =；证明：如图，作EM AC ⊥于点M ，与直线CF 交于点N ，∴ 90EMA ACB ∠=∠=︒，由旋转的性质可知AE AD =，由（1）可知EAM ADC ∠=∠，∴EAM ≅ ()AAS ADC △，∴AM CD =，EM AC =，∵AC BC =，∴45CAB ∠=︒，∵CN AB ∥，∴45NCM CAB ∠=∠=︒，∴MN MC =，∴EN AM =，∴EN CD =，∵ EMC ACB∠=∠∴EN CD ∥，∴ ENF DCF ∠=∠， NEF CDF ∠=∠，∴()ASA ENF DCF ≅ ，∴EF DF =．28.（1）解：①按定义操作：303-=，303+=，∴点()3,0的变换点的坐标为()3,3，故答案为：()3,3；②设直线1y x =+的图像上任意一点坐标为(),1x x +，按定义操作：()11x x -+=-，∴直线1y x =+的变换图形上任意一点的横坐标为1-，故答案为：1-；（2）直线21y x =+上任意一点的坐标可以表示为(),21t t +，则该点的变换点坐标为()1,31t t --+，∵点()1,31t t --+在y 轴上，∴10t --=∴1t =-∴312t +=-∴直线21y x =+的变换图形与y 轴公共点的坐标为()0,2-；（3）解：设⊙O 上点的坐标为(),x y ，∵⊙O 的半径为1，∴点(),x y 到原点的距离为1，∴221x y +=，∵⊙O 上的点(),x y 的变换点坐标为(),x y x y -+，∴其变换点到原点的距离为：=，∴O 的圆，又∵直线()22y kx k k x =+=+，∴直线2y kx k =+恒过点()2,0-，如图，点()2,0A -，直线2y kx k =+与y 轴交于点C ，当直线2y kx k =+与O 的变换图形相切于点B 时，可得90∠=︒ABO ，∴AB ===∴AB OB =，∴ABO 是等腰直角三角形，∴45BAO ∠=︒，∴AOC 是等腰直角三角形，∴2OA OC ==，∴此时直线2y kx k =+过点()0,2，∴22k =，解得：1k =，同理，当直线2y kx k =+与O 的变换图形相切于x 轴的下方时，可得1k =-，∴若O 的变换图形与直线()20y kx k k =+≠有公共点，k 的取值范围为11k -≤≤且0k ≠．。
2021年北京市朝阳区中考数学二模试卷
2021年北京市朝阳区中考数学二模试卷一．选择题有意义，那么实数x的取值范围是（）1.（单选题，2分）如果代数式2x−5A.x=5B.x≠5C.x＜5D.x＞52.（单选题，2分）目前世界上已知最小的动物病毒的最大颗粒的直径约有0.000000023米．将0.000000023用科学记数法表示应为（）A.2.3×10-8B.2.3×10-9C.0.23×10-8D.23×10-93.（单选题，2分）如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（）A.72°B.65°C.50°D.43°4.（单选题，2分）下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B.C.D.5.（单选题，2分）下列抽样调查最合理的是（）A.了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查B.了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查C.了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查D.了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取30天进行调查6.（单选题，2分）一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（）A.30°B.45°C.60°D.72°7.（单选题，2分）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（）A.πB.3C.2D.18.（单选题，2分）为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：每周课外阅读时间x（小时）0≤x＜2 2≤x＜4 4≤x＜6 6≤x＜8 x≥8合计频数8 17 b 15 a频率0.08 0.17 c 0.15 1① 表中a的值为100；② 表中c的值可以为0.31；③ 这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④ 这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6．所有合理推断的序号是（）A. ① ②B. ③ ④C. ① ② ③D. ② ③ ④9.（填空题，2分）3的相反数为___ ．10.（填空题，2分）分解因式：3m2+6m+3=___ ．11.（填空题，2分）在一个不透明的袋子里有1个黄球，2个白球，3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球是白球的概率是___ ．12.（填空题，2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=50°，则∠ABO=___ °．13.（填空题，2分）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离AD=100m，则这栋建筑物的高度BC约为___ m（√2≈1.4，√3≈1.7，结果保留整数）．14.（填空题，2分）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由y=2x的图象平移得到，且经过点（0，1），则这个一次函数的表达式为___ ．15.（填空题，2分）用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是假命题，这组值可以是a=___ ，b=___ ．16.（填空题，2分）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判4局，乙、丙分别打了9局、14局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共打了___ 局比赛，其中第7局比赛的裁判是___ ．17.（问答题，5分）计算：√12 +（√5 -2）0-（1）-1+tan60°．318.（问答题，5分）解不等式2-3x≥2（x-4），并把它的解集在数轴上表示出来．19.（问答题，5分）先化简再求值：（ 1x+1 + 1x 2−1 ）• x−1x ，其中x= √2 -1．20.（问答题，5分）已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＞AC ． 求作：BC 边上的高AD ．作法： ① 以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 的延长线于 点E ；② 分别以点B ，E 为圆心，以AB 长为半径画弧，两弧相交 于点F （不与点A 重合）； ③ 连接AF 交BC 于点D ． 线段AD 就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AE ，EF ，BF ． ∵AB=AE=EF=BF ，∴四边形ABFE 是___ （___ ）（填推理依据）． ∴AF⊥BE ．即AD 是△ABC 中BC 边上的高．21.（问答题，5分）关于x 的一元二次方程x 2-（m+1）x+m=0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围．22.（问答题，5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E．（1）求证：四边形BOCE是矩形；（2）连接EO交BC于点F，连接AF，若∠ABC=60°，AB=2，求AF的长．23.（问答题，6分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（2，2）作x轴，y轴的垂线，与反（k＜4）的图象分别交于点B，C，直线AB与x轴相交于点D．比例函数y= kx（1）当k=-4时，求线段AC，BD的长；（2）当AC＜2BD时，直接写出k的取值范围．24.（问答题，6分）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，PA=PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）AD为⊙O的直径，AD=2，PO与⊙O相交于点C，若C为PO的中点，求PD的长．25.（问答题，6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：b．下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数10 10 10平均分82 87 95第二次竞赛人数 2 12 16平均分84 87 93c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.5 88第二次竞赛90 n 91（1）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“〇”圈出代表小松同学的点；（2）直接写出m，n的值；（3）可以推断出第 ___ 次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是 ___ ．26.（问答题，6分）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF；（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．27.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，点P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线y=ax2-2ahx+ah2+1（a＜0）上的两点．（1）当h=1时，求抛物线的对称轴；（2）若对于0≤x1≤2，4-h≤x2≤5-h，都有y1≥y2，求h的取值范围．28.（问答题，7分）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q 上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．√3），M2（1，√3），M3（2，3）中，对线段（1）已知点N（2，0），在点M1（0，23ON的可视度为60°的点是___ ．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．① 直接写出点E对四边形ABCD的可视度为___ °；② 已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．。
2024年北京市朝阳区中考二模数学试题
2024年北京市朝阳区中考二模数学试题一、单选题1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．正方体 2．北京大力推动光通信技术发展应用，打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈，其中光传导工具是光纤，一种多模光纤芯的直径是0.0000625米，将0.0000625用科学记数法表示为（ ）A ．76.2510-⨯B ．662.510-⨯C ．56.2510-⨯D ．40.62510-⨯ 3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．0a b <<B ．a b =C ．0ab >D ．0a b -> 4．如图，AB CD P ，BC EF ∥，ED 平分AEF ∠，若50C ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．55︒D ．65︒5．一组数据的方差为21s ，将这组数据中的每一个数都减去(0)m m >，得到一组新数据，其方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系是（ ）A ．2212s s >B ．2212s s =C ．2212s s <D ．无法确定6．已知2220x x +-=，则代数式22(1)(1)(1)2x x x x +++-+的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．07．不透明的袋子中有红，黄，绿三个小球，这三个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）A ．19B ．13C ．12 D ．238．如图1，在菱形ABCD 中，=60B ∠︒，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段PA 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA y MC=，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是（ ）A ．B ．4C ．D ．2二、填空题9．若代数式34x -有意义，则实数x 的取值范围是． 10．分解因式：224ma mb -=．11．方程组2321x y x y +=-⎧⎨-=⎩的解为． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数(0)k y k x=≠的图象位于第二、四象限，且点1(,)A m y ，2(,)(0)B m y m ->都在该图象上，则1y 2y ．（填“<”，“>”或“=”）13．4月15日是全民国家安全教育日，某校组织全体学生参加相关内容的知识问答，从中随机抽取了100名学生的成绩x （百分制），根据数据（成绩）绘制了如图所示的统计图．若该校有1000名学生，估计成绩不低于90分的人数为名．14．如图，在ABCD Y 中，E 是AD 上一点，32AE ED =，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点F ，若6AB =，则CF 的长为．15．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒．①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别与AC ，AB 相交于点1M ，2M ；分别以1M ，2M 为圆心，大于1212M M 的长为半径画弧，两弧相交于点M ；作射线AM ． ②以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC ，AB 相交于点1N ，2N ；分别以1N ，2N 为圆心，大于1212N N 的长为半径画弧，两弧相交于点N ；作射线BN ，与射线AM 相交于点P ．③连接CP ．根据以上作图，若点P 到直线AB 的距离为1，则线段CP 的长为．16．甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数a b c ，，（0a b c <<<）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了(2)n n ≥次游戏后，甲共获得25颗糖果，乙共获得15颗糖果，丙共获得11颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数c 的卡片，那么n 的值为；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是．（填“a ”，“b ”或“c ”）三、解答题17．计算：113tan303-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭ 18．解不等式345(2)x x +<+，并写出它的所有负整数解．19．关于x 的一元二次方程2310x x m ++-=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)给出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．20．如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE CF =，DB 平分EDF ∠．(1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若8AB =，4BC =，3CF =，求证：ABCD Y 是矩形．21．无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y ax b a =+≠的图象经过点(1,4)-，与函数2y x =的图象交于点(1,)m ．(1)求m 的值和函数(0)y ax b a =+≠的解析式；(2)当1x >时，对于x 的每一个值，函数2(0)y kx k k =-+≠的值大于函数y ax b =+的值，且小于函数2y x =的值，直接写出k 的取值范围．23．某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）：b ．七年级学生的成绩在8090x ≤<这一组的是：80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89c ．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m ，n 的值；(2)估计七、八两个年级成绩在90100x ≤≤的人数一共为______；(3)把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为1p ，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为2p ，比较1p ，2p 的大小，并说明理由．24．如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，BAC ∠的平分线交O e 于点D ，过点D 的直线EF BC ∥，分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ．(1)求证：直线EF 是O e 的切线；(2)若3sin 5ABC ∠=，2BE =，求BC 的长． 25．如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，6cm BC =，点P 是BC 边上一动点，连接AP ，过点P 作AP 的垂线与AC ，CD 分别相交于点E ，F ．小明根据学习函数的经验对线段BP ，CE ，CF 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)对于点P 在BC 边上的不同位置，画图、测量，得到了线段BP ，CE ，CF 的长度的几组值，如下表：在BP ，CE ，CF 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)①确定表格中m 的值约为____________（结果精确到0.1）；②在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当点P 与点B ，C 不重合，且CE CF =时，BP =_____cm （结果精确到0.1）．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)1(0)y ax a x a =+--≠的对称轴为直线x t =．(1)①t =____________（用含a 的式子表示）；②当1t =时，求该抛物线与x 轴的公共点的坐标；(2)已知点1(3,)y ，21(,)2y ，33(2,)2y a--在该抛物线上，若0a >，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27．在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，将线段AB 绕点A 逆时针旋转9(0)0αα︒<<︒，得到线段AD ，连接DB ，DC ．(1)依据题意，补全图形；(2)求CDB ∠的度数；(3)作BE CD ⊥于点E ，连接AE ，用等式表示线段AE ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，O e 的半径为1，对于O e 的弦AB 和点C ，给出如下定义：若ABC V 是直角三角形，称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，已知点(1,0)A -，(0,1)B -，在点(0,0)O ，1(1,1)C ，2(1,2)C 中，是弦AB 的“关联点”的是____________；(2)已知O e 的直径11A B 的“关联点”C 在y 轴上，11A B C V 有一边与O e 相切，设点111(,)A x y ，当11122x -≤≤时，直接写出点C 的纵坐标c y 的取值范围； (3)点E F ，在O e 上，EF y ⊥轴，EF t =，已知点(1,0)M ，(0,2)N ，若线段MN 上存在一点P 是O e 的弦EF 的“关联点”，且90EPF ∠=︒，直接写出t 的取值范围．。
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F ECBA北京市朝阳区2014年中考数学二模试题一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．2014北京车展约850 000的客流量再度刷新历史纪录，将850 000用科学记数法表示应为A ．85×106B ．8.5×106C ．85×104D ．8.5×1052．23-的倒数是（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．233．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A ．6B ．7C ．8D ．9 4．数据1，3，3，1，7，3 的平均数和方差分别为 A ．2和4B ．2和16C ．3和4D ．3和245．若关于x 的一元二次方程mx 2+3x +m 2-2m =0有一个根为0，则m 的值等于 A ．1 B ．2 C ．0或2 D ．0 6．如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外取一点C ，连结AC 、BC ，在AC 上取点E ，使AE =3EC ，作EF ∥AB 交BC 于点F ，量得EF =6 m ，则AB 的长为A ．30 mB ．24mC ．18mD ．12m7．在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1,2,3，从中随机摸出一个球，若摸出的球上的数字为2的概率记为P 1，摸出的球上的数字小于4的概率记为P 2；摸出的球上的数字为5的概率记为P 3．则P 1、P 2、P 3的大小关系是A ．P 1＜P 2＜P 3B ．P 3＜P 2＜P 1C ．P 2＜P 1 ＜P 3D ．P 3＜P 1＜P 2 8．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ABC =90°，AB =5，BC =13，过点A 作直线l ∥BC ，折叠三角形纸片ABC ，使点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随着移动，并限定M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，若设AP 的长为x ，MN 的长为y ，则下列选项，能表示y 与x 之间的函数关系的大致图象是N M B二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式41-+x x 值为0，则x 的值为________． 10．请写出一个多边形，使它满足“绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形与原来的图形重合”这一条件，这个多边形可以是 ．11．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠C =120°，E 、F 分别为AB 、AD 的中点．则EF 的长为 ．12．把长与宽之比为2的矩形纸片称为标准纸．如果将一张标准纸ABCD进行如下操作：即将纸片对折并沿折痕剪开，则每一次所得到的两个矩形纸片都是标准纸（每一次的折痕如下图中的虚线所示）．若宽AB =1，则第2次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第3次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________；第30次操作后所得到的其中一个矩形纸片的周长是_________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．已知：如图，点E 、F 在AC 上，且AE =CF ，AD ∥BC ，AD =CB ．求证： DF =BE ．14．计算：︒+-+--30tan 220145310．15．解分式方程：xx x -=+--23123 ．第一次第二次第三次…16．已知50x y -=，求222232x y x yx xy y x y-+⋅-++的值．17．列方程或方程组解应用题：母亲节来临之际，小红去花店为自己的母亲选购鲜花，在花店中同一种鲜花每支的价格相同．小红如果选择由三支康乃馨和两支百合组成的一束花，则需要花34元；如果选择由两支康乃馨和三支百合组成的一束花，则需要花36元．一支康乃馨和一支百合花的价格分别是多少？18．已知关于x 的一元二次方程3x 2-6x +1-k =0 有实数根，k 为负整数． （1）求k 的值；（2）若此方程有两个整数根，求此方程的根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在四边形ABCD 中，AB =34，∠DAB =90°，∠B =60°，AC ⊥BC ．（1）求AC 的长．（2）若AD=2，求CD 的长．20．某校对部分初三学生的体育训练成绩进行了随机抽测，并绘制了如下的统计图：女生篮球障碍运球成绩折线统计图 男生引体向上成绩条形统计图根据以上统计图解答下列问题：（1）所抽测的女生篮球障碍运球成绩的众数是多少？极差是多少？（2）该校所在城市规定“初中毕业升学体育现场考试”中，男生做引体向上满13次，可以获得满分10分；满12次，可以获9.5分；满11次，可以获得9分；满10次，可以获得8.5分；满9次，可以获得8分． ①所抽测的男生引体向上得分．．的平均数是多少？ ②如果该校今年有120名男生在初中毕业升学体育现场考试中报名做引体向上，请你根据本次抽测的数据估计在报名的这些学生中得分不少于9分的学生有多少人？21．如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E 是»BD的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若2cos 3C，AC =6，求BF 的长．22．类似于平面直角坐标系，如图1，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若P 是斜坐标系xOy 中的任意一点，过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴交于点M 、N ，如果M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应的实数是a 、b ，这时点P 的坐标为（a ，b ）．（1）如图2，在斜坐标系xOy 中，画出点A (-2，3)；（2）如图3，在斜坐标系xOy 中，已知点B （5，0）、C （0，4），且P （x ，y ）是线段CB 上的任意一点，则y 与 x 之间的等量关系式为 ；（3）若（2）中的点P 在线段CB 的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，点P (m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ，N ．(图1)xPy NOM(图2)x-1y1O 1(图3)P （x ，y ）CB OxyF OADBC（1）当21=m 时， _____MN PM =；（2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．24. 已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的点，AD =BC ．（1）如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明； （2）如图2，E 是直线BC 上的一点，直线AE 、CD 相交于点P ，25．如图，在平面直角坐标系中xOy ，二次函数y =ax 2-2ax +3的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，AB =4，动点P 从B 点出发，沿x 轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线BC ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（t ＞0），△BPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ． （1）求这个二次函数的关系式； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）将△BPQ 绕点P 逆时针旋转90°，当旋转后的△BPQ 与二次函数的图象有公共点时，求t 的取值范围（直接写出结果）．P EC 图2 C B 图1 yxN MOPy x A C B O数学试卷参考答案及评分标准 2014.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．－1 10．答案不唯一，如平行四边形 11．2312．1+2，222+，14122+ （第1、2每个空各1分，第3个空2分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 证明：∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ．即 AF =CE ．…………………… 1分 ∵ AD ∥BC ，∴ ∠A =∠C ．…………………… 2分 又∵AD =BC ，…………………… 3分 ∴ △ADF ≌△CBE ．…………… 4分 ∴ DF =BE ．……………………… 5分14. 解：原式13531323=-+-+? ………………………………………… 4分 =112. …………………………………………………………………… 5分 15. 解：将方程整理，得331022x x x -++=--． 去分母，得 x －3+3+x －2 = 0． ……………………………………………2分解得 x = 1． (3)分经检验 x = 1是原分式方程的解． ………………………………………………4 分∴原分式方程的解为x = 1． …………………………………………………………5 分16. 解：原式=2()()3()x y x y x yx y x y+-+⋅-+ ……………………………………………2 分 =3x yx y+-． …………………………………………………………3 分 ∵ x －5y =0，∴ x =5y ． …………………………………………………………………4分 ∴ 原式=5325y yy y+=-．…………………………………………………………5分17. 解：设一支康乃馨的价格是x 元，一支百合的价格是y 元． …………………1分根据题意，得 3234,2336.x y x y ì+=ïí+=ïî ……………………………………………3分解得 6,8.x y ì=ïí=ïî ……………………………………………………4分答：一支康乃馨的价格是6元，一支百合的价格是8元．………… …………5分18. 解：（1）根据题意，得Δ≥0．………………………………………………………………………1分即26-）（－4×3（1－k ）≥0．解得 k ≥－2 ．………………………………………………………………2分 ∵k 为负整数，∴k =－1，－2．………………………………………………………………3分 （2）当k =－1时，不符合题意，舍去；…………………………………………4分当k =－2时，符合题意，此时方程的根为x 1=x 2=1．……………………5分四、解答题（本题共20分，题每小题5分） 19．解：（1）在Rt△ABC 中，∵AB =34，∠B =60°，∴AC =AB ·sin60°=6． …………………………2分（2）作DE ⊥AC 于点E ，∵∠DAB =90°，∠BAC =30°， ∴∠DAE =60°， ∵AD =2，∴DE =3．…………………………3分 AE=1． ∵AC =6，∴CE =5. ……………………………4分 ∴在Rt△DEC 中，22CE DE CD +=．∴72=CD ．………………………5分20.解：（1）14.5， 3.4；………………………………………………………………2分 （2）①818.52949.5610712467⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++++=9.4（分）；………………………4分② 120×46710220++=（人） …………….…………………………………5分估计在报名的学生中有102人得分不少于9分．21. （1）证明:如图①，连接AD ．A∵ E是»BD的中点，∴»»DE BE=．∴ ∠DAE=∠EAB．∵ ∠C=2∠EAB，∴∠C=∠BAD．∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ADB=∠ADC=90°．∴ ∠C+∠CAD=90°．∴ ∠BAD+∠CAD=90°．即BA⊥AC．∴ AC是⊙O的切线．………………………2分（2）解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．∵ AD⊥BD，∠DAE=∠EAB，∴ FH=FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵2cos3C=，AC=6，∴ CD=4．…………………………………………………3分同理，在Rt△BAC中，可求得BC=9．∴ BD=5．设DF=x，则FH=x，BF=5－x．∵ FH∥AC，∴ ∠BFH=∠C．∴2 cos3FHBFHBF∠==．即253xx=-．………………………………………………4分解得x=2．∴ BF=3．…………………………………………………5分22. 解：（1）如图H FOAD B图②……………………………………………………1分（2）445y x =-+；……………………………………………………………………………………………………3分（3）当点P 在线段CB 的延长线上时，（2）中结论仍然成立.理由如下：过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ， 则四边形ONPM 为平行四边形,且PN=x ，PM=－y ．∴ OM =x ，BM =5－x ．∵PM ∥OC ，∴ △PMB ∽△COB ．…………4分∴PM BMOC OB =， 即545y x --=. ∴445y x =-+.……………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）1；………………………………………………………………………………1分 （2）∵ OP =m ，MN =(－m 2+3m )－(－m 2+2m ) =m ，∴ OP =MN ．…………………………………………………………………………2分 ①当0＜m ＜2时，∵PM =－m 2+2m , PN =－m 2+3m ．∴若PM= OP=MN ，有－m 2+2m =m ，解得m =0，m =1（舍）． ……………3分 若PN= OP=MN ，有－m 2+3m =m ，解得m =0（舍），m =2（舍）． ……………4分 ②当2＜m ＜3时，不存在符合条件的m 值． ……………………………………5分 ③当m ＞3时，∵PM =m 2－2m , PN =m 2－3m ．∴若PM= OP=MN ，有m 2－2m =m ，解得m =0（舍），m =3（舍）． ……………6分 若PN= OP=MN ，有m 2－3m =m ，解得m =0（舍），m =4． …………………7分 综上，当 m =1或m =4，这四条线段中恰有三条线段相等．24. 解：（1）△CDF 是等腰直角三角形 ．………………1分 证明：∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ．∴FD =DC ．…………………………………………2分 ∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°．即∠CDF =90°． ……………………………………3分 ∴△CDF 是等腰直角三角形．（2）过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF =BD ，连接DF 、CF ．…………………………4分 ∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴∠FAD =∠DBC ． ∵AD =BC ，AF =BD ，∴△FAD ≌△DBC ． ∴FD =DC ，∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°， ∴∠2+∠3=90°． 即∠CDF =90°．∴△CDF 是等腰直角三角形．………………………………………………………5分 ∴∠FCD =∠APD =45°． ∴FC ∥AE ．∵∠ABC =90°，AF ⊥AB ， ∴AF ∥CE ．∴四边形AFCE 是平行四边形． …………………………………………………6分 ∴AF =CE ．312CB 132FPECB∴BD =CE ．……………………………………………………………………………7分25. 解：（1）由y =ax 2－2ax +3可得抛物线的对称轴为x =1．…………………1分∵AB =4，∴A （－1，0），B （3，0）．∴a =－1．∴y =－x 2+2x +3． ………………………………………………………2分（2）由题意可知，BP =t ，∵B （3，0），C （0，3），∴OB =OC ．∴∠PBQ =45°．∵PQ ⊥BC ， ∴PQ =QB=22t ． ① 当0＜t ≤4时，S =PBQ S ∆=14t 2 ．……………………………………………3分 ② 当4＜t ＜6时，设PQ 与AC 交于点D ，作DE ⊥AB 于点E ，则DE =PE ．∵tan∠DAE =DE OC AE OA==3． ∴DE =PE =3AE =32PA ． ∵PA =t －4，∴DE =34)2t -(． ∴23612.4PAD S t t =-+△ ………………4分 ∵PBQ PAD S S S =-△△， ∴216122S t t =-+-． …………………………………………………5分 ③ 当t ≥6时，S =ABC S ∆=6 ． ……………………………………………6分 综上所述， 2? 2? 1(0441612(4626(6t t S t t t t ⎧⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪≥⎪⎩＜≤）＜＜） ） （3）229≤t ≤4．…………………………………………………………………8分y x E D Q P A C B O说明：各解答题其它正确解法请参照给分．。