【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题及答案(1)

【典型题】高中必修二数学下期中第一次模拟试题及答案(1)
一、选择题
1．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
2．直线20x y ++=截圆2
2
2210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．－3
B ．－4
C ．－6
D ．36-
3．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是(
)
A ．30
B ．60
C ．90
D ．120
4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如
图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C 3
D ．3 5．已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = ) A ．1
B ．1-
C ．2-或1
D ．2或1
6．已知圆O ：2
2
24110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和
BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）
A ．42
B ．24
C ．21
2
D ．6
7．从点(,3)P m 向圆2
2
(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5
C 26
D ．42
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．
814
π
B ．16π
C ．9π
D ．
274
π
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）
A ．34
a
B ．33a
C ．32
a
D ．3a 3a
10．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．
的是( )
A ．MN 与1CC 垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行 D ．MN 与11A B 平行
12．已知平面αβ⊥且l α
β=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条
直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m β
D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥
二、填空题
13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________
14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.
15．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，
23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.
16．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直
角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．
17．若直线y x b =+与曲线234y x x =+-有公共点，则b 的取值范围是______． 18．正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．
19．已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.
20．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.
三、解答题
21．已知点()1,0P ，圆2
2
:6440C x y x y +-++=.
（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；
（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三
点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10
B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆
C 于P 、Q 两点. （1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程； （2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数 ①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．
23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将
ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.
（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面
ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.
（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .
（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.
25．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1
2
AB AD BC CD a ===
=，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：
（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；
（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥． 26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .
（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可. 【详解】
由题意，根据圆的方程2
2
2210x y x y a ++-+-=，即2
2
(1)(1)2x y a ++-=-，
则圆心坐标为(1,1)-，半径r =
又由圆心到直线的距离为d =
=
所以由圆的弦长公式可得4=，解得3a =-，故选A. 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果． 【详解】
如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11
,22
PQ AB MQ CD =
=. 设2AB BC CD ===，则2PM =
又11
2,222
MN BD NP AC =
=== ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为1
2
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应
a 的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，当2a 0-+=，即a 2=时，直线ax y 2a 0+-+=化为2x y 0+=， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；
当2a 0-+≠，即a 2≠时，直线ax y 2a 0+-+=化为1
22x y a a a
+=--，
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得2a
2a a
-=-，解得a 1=； 综上所述，实数a 2=或a 1=． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的截距的应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距定义，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222
128d d MO +==
，
1
2S AC BD =
⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()2
2
1216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =.
()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.
11
22
S AC BD =
⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.
故选：B . 【点睛】
本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】
设切线长为d ,则2222
(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =
，
由勾股定理()2
224R R =+-得94
R =， ∴球的表面积81
4
S π=
，故选A.
考点：球的体积和表面积
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】
如图，当P 与A 重合时，
异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：
11C PA D V -=11C AA D V -=111
3
AA D S
AB ⨯⨯=
1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=3
3
a ． 故选:B ． 【点睛】
求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝
πr 2，S 底＝πr 故选
C ． 【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与
1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.
【详解】
如图：连接1C D ，BD ，
在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．
1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；
AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；
∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】
选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；
选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.
二、填空题
13．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平
解析：①③ 【解析】 【分析】
对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】
解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确； ②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确； ③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确； ④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确． 故答案为：①③． 【点睛】
本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
14．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上
解析：
2
【解析】 【分析】
首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值. 【详解】
当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，
当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度，
∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，
点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，
∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，
连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，
∴点C 到BD 的距离的最小值CO =
.
2 【点睛】
本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.
15．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查 34
【解析】 【分析】
设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，如图所示作辅助线，设1OO h =，则
()2
22
222
1R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩
，解得答案. 【详解】
设三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，
90BAC ∠=︒，故O 在平面ABC 的投影为BC 中点1O ，D 为AC 中点，
PA PC =，故PD AC ⊥，侧面PAC ⊥底面ABC ，故PD ⊥底面ABC .
连接1O D ，作OH PD ⊥于H ，易知1OO DH 为矩形，设1OO h =，
则()2
222221R PD h OH R h CO ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩
，22PD =，12OH DO ==，1
22CO ，解得
342
R =
. 故答案为：
342
.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
16．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：
323
π
【解析】
结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，
90,22ACB AC BC ∠=︒==。

取AB 的中点O ，AC 的中点E ，连OC,OE 。

则
1
22
OA OB OC AB ===
=.
∵DA DC =, ∴DE AC ⊥.
∵平面BAC ⊥平面DAC , ∴DE ⊥平面DAC , ∴DE OE ⊥. 又11
=
2,222
DE AC OE BC ===
∴222OD OE DE =+=. ∴2OA OB OC OD ====.
∴点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，球半径为2. ∴3
432=23
3V π
π⨯=球。

答案：323
π。

点睛：
（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取AB 的中点O ，易得OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，然后利用球的体积公式进行计算即可。

（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生了变化、哪些没发生变化。

17．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b 与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b 的取值范围【详
解析：122,3⎡⎤-⎣⎦
【解析】 【分析】
由曲线y=3+24x x -，得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线
y=3+24x x -有公共点，圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围． 【详解】
由曲线y=3+24x x -，
得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，
∵直线y=x+b 与曲线y=3+24x x -有公共点，
∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2， 即23212b 1+222
b
d -+=
≤⇒-≤≤
∵0≤x≤4，
∴x=4代入曲线y=3+24x x -，得y=3， 把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，② 联立①②，得-1b 122≤≤+． ∴实数b 的取值范围是[﹣1，1+22]．
故答案为1,122⎡⎤-+⎣⎦.
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．
18．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt△SO1C 中∵SC＝∴∴O1S＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合
解析：4
3
π
【解析】
如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知111
2
O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =
-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过
S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1， ∴ 球的体积为
34433
r π=π.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
19．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【
解析：3π. 【解析】
【分析】
当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值． 【详解】
解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =
当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=， 故答案为：3π． 【点睛】
本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．
20．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面 解析：
23
【解析】 【分析】
作出直线BE 和平面11ABB A 所成的角，解直角三角形求得线面角的正弦值. 【详解】
设F 为1AA 的中点，连接,,EF EB BF ，根据正方体的性质可知EF ⊥平面11ABB A ，所以EBF ∠是直线BE 和平面11ABB A 所成的角.设正方体的边长为2，在Rt EBF ∆中
2EF =，3BE ==，所以2
sin 3
EF EBF BE ∠=
=. 故答案为：
23
【点睛】
本小题主要考查线面角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.
三、解答题
21．（1）1x =或0y =；（2）()()2
2
134x y -++=. 【解析】 【分析】
（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；
（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】
（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()2
2
329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径
3r =，
①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l 的距离为2
3221
k k d k +-=
=+，0k ∴=.
∴直线l 的方程为0y =；
②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；
（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<， 则圆心()3,2C -到直线m
的距离d =
==
22320k k ∴+-=，解得1
2
k =
或2k =-， 又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，
设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22
210
329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩
， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=， 则线段AB 的中点的横坐标为
12
12
x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：
1
22
AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()2
2
134x y -++=.
【点睛】
本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）4340x y --=；（2）①4
，②2
. 【解析】 【分析】
（1）求出圆的标准方程，设直线2l 的方程(1)y k x =-，利用6PQ =，结合圆心到直线的
1=，解可得k 的值，验证直线与y 轴有无交点，即可得答
案；
（2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，得220x ty t +-=，由2AM BM ≤，得224220()()339x y -++，结合题意，线段AD 与圆224220()()339
x y
-++=至多有一个公共
88||
25t -，分析可得t 的值， ②由①的结论，分直线的斜率存在与不存在2种情况讨论，用k 表示三角形EPQ 的面积，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】
解：（1）由题意可知，圆C 的直径为AD ，
所以圆C 方程为：()()2
2
3110x y -+-=，设2l 方程为：()1y k x =-，则
()2
22
213101k k -+=+， 解得10k =，24
3
k =，当0k =时，直线1l 与y 轴无交点，不合题意，舍去. 所以，4
3
k =
时直线2l 的方程为4340x y --=. （2）①设(,)M x y ，由点M 在线段AD 上，则有12
x y
t +=，即220x ty t +-=． 由2AM BM ，则有224220
()()339
x y -++
依题意知，线段AD 与圆224220
()()339
x y -
++=至多有一个公共点，
88
||25t -，解可得1610t -或1610t +，
因为t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数，所以4t =； ②由①的结论，圆C 的方程为2
2
(2)(1)5x y -+-=． 分2种情况讨论：
a 当直线2:1l x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQ
S
=；
b 当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为(1)y k x =-，0k ≠，
则1l 的方程为1
(1)y x k
=--，
点1(0,)E k ，所以BE
=
又圆心到2l
，
所以PQ =
故1115
22EPQ
S BE PQ
==⨯=， 2<， 故求三角形EPQ ． 【点睛】
本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及三角形面积的最小值的求法，（2）的关键是确定三角形面积的表达式，属于中档题．
23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明
//OM DC .
再证明//OM 平面PCD . 【详解】
（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =， 所以6CO =，3AO =.
即3PO =，又因为PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. 又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD . 又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BO
DO
=， 又因为
2BM CM =，因此BO BM
DO CM
=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以//OM 平面PCD . 【点睛】
本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
24．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足
2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】
（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥ 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ，
所以BA ⊥平面PAD .
因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥， 又因为PA PD ⊥，PA
AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，
所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD .
（2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AE EP =，证明如下： 因为2AE EP =，2AO OD =，所以D
AE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .
因为//BC AD ，13
OD AD BC =
=，故//,OD BC OD BC =， 所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，
因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD . 因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=，
故面//BOE 面PCD .
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题.
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG ，先证明四边形ABCE 为平行四边形，再通过证明//OG DC ，即可得到//DC 平面GBE ；
（2）通过证明AC ⊥平面DFH ，即可得到DF AC ⊥.
【详解】
（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG .
因为//AB CD ，12
AB AD BC CD a ===
=， E 为CD 中点 所以AB CE =，即四边形ABCE 为平行四边形
所以O 为AC 的中点
因为G 分别为AD 的中点，
所以//OG DC ， 又因为OG ⊂平面GBE ，DC ⊄平面GBE ，
所以//DC 平面GBE ；
（2）取AE 中点H ，连接,DH FH .
因为,F H 分别为,AB AE 中点，所以//FH BE ，
易知，四边形ABCE 为菱形，所以AC BE ⊥，
所以AC FH ⊥，
又因为DA DE =，H 为AE 中点，
所以DH AE ⊥，
又平面DAE ⊥平面ABCE ，
所以DH ⊥平面ABCE ，
所以DH AC ⊥，
又因为DH FH H ⋂=， 所以AC ⊥平面DFH ，则DF AC ⊥.
【点睛】
本题主要考查线面平行和线线垂直的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.
26．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，作出示意图即可；
（2）根据题意，作出示意图即可.
【详解】
（1）l α⊂；m α⊄；m A α=；A l ∉；示意图如下：
（2）如图，直线IL即为所求.
【点睛】
本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.。