第五章 统计滤波

¾ 显然，只要求出了 h(t) 就可以得到滤波器，进而可以利
用接收到的信号 x(t) 得到波形的估计。
准则：确定 h(t) 的准则是使误差的均方代价风险最小。
如何得到 h(t) ？
z 在维纳的推导公式中采用了泛函理论中的变分法，这种 方法需要一定的数学基础。这里，利用上一章中提出的 LMS 估计的正交性，可以得到另外一种推导方法。
Ssx (ω ) = Sss (ω )
将这二关系代入式(14—50)，则最佳滤波器的传输函数还可进一步 简化为
H wf
(
jω )
=
Sss (ω ) Sss (ω ) + Snn (ω )
e− jω t0
¾ 如果 x(t) 是一个白噪声过程，则 Rxx (t) = σ x2δ (t) ，此时：
h(t)
N (t) 中只能有频率点ω0 上的信号分量通过，而在这个频率点上
的噪声分量强度为 N0dω ，又等于无穷小，所以输出信号的信噪
比等于无穷大，其误差自然最小。但显然这个“点频滤波器”是 无法实现的，一般在实际使用中都用窄带滤波器近似。
例题 在没有噪声输入的情况下，求上面例题中的最小方均误差
的最佳滤波器以估计信号 s(t + t0 ) 。
2、 状态方程：描述系统状态变量变化规律的一阶微分方程 组
x& (t) = f (x(t),e(t))
或离散形式： x(k +1) = f (x(k),e(k))
3、 输出方程：描述输出变量与状态变量关系的方程
y(t) = g(x(t),e(t)) 或离散形式： y(k) = g(x(k),e(k))
y(t)
=
⎢ ⎢
y2
(t)⎥⎥
⎢M⎥
⎢ ⎣
yL
(t
)⎥⎦
或离散：
⎡ e1(t) ⎤
e(t)
=
⎢ ⎢ ⎢
e2 (t) M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣eN (t)⎥⎦
⎡ y1(k) ⎤
y
(k
)
=
⎢ ⎢
y2
(k
)
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎣
yL
(k
)⎥⎦
⎡ e1(k) ⎤
e(k
)
=
⎢ ⎢
e2
(k
)
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎥
⎣eN (k)⎦
二、Wiener-Hopf 方程 1、连续信号下结果
根据前面一章对 LMS 估计性质的讨论，LMS 估计必须满足 正交性。在波形估计中，即：
E{ε (t)x(ς )} = 0 对于任意的 t 和ς 都成立。
E {[s(t) − h(t) * x(t)] x(ς )} = 0 对于任意的 t 和ς 都成立。
一、状态空间方程描述 1、 状态变量：描述系统内部状态的最少变量；
⎡ x1(t) ⎤
连续：
x(t
)
=
⎢ ⎢
x2
(t
)
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎥
⎣xN (t)⎦
⎡ x1(k) ⎤
离散：
x(k
)
=
⎢ ⎢
x2
(k
)
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎥
⎣xN (k)⎦
¾ 状态矢量，状态空间，相空间…… 输出变量一般是我们对系统的观测结果，所以有的 文献中也将其称为观测变量或观测矢量。
4、 线性状态方程与观测方程的一般形式
x& (t) = Ax(t) + Be(t)
y(t) = Cx(t) + De(t)
或离散形式：
x(k +1) = Ax(k) + Be(k)
y(k) = Cx(k) + De(k)
2、 缺点： ¾ 信号必须是平稳随机过程； ¾ 很多情况下，滤波器系数很难计算； ¾ 很难保证系统的因果性；
§5.3 恒增益滤波与卡尔曼滤波
¾ 卡尔曼首先将状态空间描述法引入统计处理中，提出了卡尔 曼滤波算法。它克服了维纳滤波的不足，物理上容易实现。
¾ 恒增益滤波算法是一种简单的滤波算法，它在卡尔曼滤波算 法出现之后出现，两者并没有从属关系。但是，这里为了能 够深入理解卡尔曼滤波，首先介绍这种简单的滤波方法，然 后再推广到卡尔曼滤波。
但是这个涉及到函数的条件均值运算显然不方便。
¾ 进一步限定T { } 是一个线性算子，则相应的算法就成为线性
最小均方估计算法（LMS）。这就是下面一节将要介绍的维纳 滤波。
§5.2 维纳滤波
一、维纳滤波的假设与准则
假设：变换T { } 是一个线性变换，则它可以表达为： sˆ(t) = T {x(t)} = h(t) * x(t)
2、 离散形式 将上面公式中的卷积积分变为卷积和，就可以得到离散形式
的 Wiener－Hopf 方程
+∞
∑ Rsx (n, k) = h(n,i)Rxx (i, k) i = −∞
∀n, k ∈ Z
¾ 在很多应用场合中，对信号的观测都是在一定的时间区 间内进行的。假设观测的时间区间为［0，N］，则相应的 公式应该简化为：
∀ 0 < (n, k) < N
¾ 假设进一步限定这个系统是一个 N 阶 FIR 滤波器，这其冲击
响应固定地有 N 个非零值，分别对应于 h(0) ， h(1) ，…，
h(N −1) 。此时根据上面的等式可以得到 N 个方程组成方程
组：
Rsx (0) = Rxx (0)h(0) + Rxx (1)H (1) + ... + Rxx (N −1)h(N −1) Rsx (1) = Rxx (1)h(0) + Rxx (0)H (1) + ... + Rxx (N − 2)h(N −1) Rsx (2) = Rxx (2)h(0) + Rxx (1)H (1) + ... + Rxx (N − 3)h(N −1)
t0 = 0 ， Hopt ( jω ) = 1 ，这相当于输入到输出的直接连通，当然
这是对 s(t) 即时值的最好估计。
2、 离散形式
+∞
∑ Rsx (n − k) = h(n − i)Rxx (i − k) i = −∞
∀ 0 < (n, k) < N
或：
+∞
∑ Rsx (n) = h(n − i)Rxx (i) i = −∞
度为：
SSS
(ω )
=
a02π 2
[δ
(ω
+ ω0 )
+
δ
(ω
− ω0 )] 。
N (t) 为白噪声，其平均值为零，功率谱密度为常数 SNN (ω ) = N0 。
随机信号 S(t) 和噪声 N (t) 间不相关。求能够得到信号 S(t) 的最
小均方误差估计的维纳滤波器的传输函数。 解：
因为信号 S (t) 和噪声 N (t) 不相关，所以维纳滤波器的传输函数
如果输入的随机过程不是一个平稳的随机过程干扰的协方差矩阵随时间变化只要能够知道其误差协方差矩阵的变化规律一样可以得到最佳的增益则这个最佳增益将能够自动根据误差变化情况自动调整
第五章 统计滤波
§5.1 概述
一、滤波、预测与平滑 这里讨论的是对信号波形进行估计的问题，或者是对函
数的估计问题。一般是用某一个时间点 t 以前测量得到的信 息，对某一时刻 t + ∆t 上面的信号值进行估计。随着估计时
为：
H opt (
jω )
=
S (ω ) S(ω) + N (ω)
e− jωt0
=
a0 2π 2
[δ
(ω
+ω0
)
+
δ
(ω
−ω0
)]
a0 2π 2
[δ
(ω
+
ω0
)
+
δ
(ω
−
ω0
)]
+
N
e− jωt0
=
⎧e− ⎨
jωt0
⎩0
当ω
=
±ω
时
0
其它
这时的滤波器仅让频率分量为ω0 的信号通过，是一个“点频滤波
器”。随机信号 S (t) 中的所有样本都可以通过这个滤波器。噪声
解: 噪声为零，故其功率谱为零，即 SNN (ω ) = 0 。由上面例题可
知此最佳滤波器的传输函数为
Hopt ( jω ) = e jωt0
此式表示，该最佳滤波器为一延时 t0 的理想延时线。若 t0 > 0 ，
这相当于一预测滤波器，它是一不能实现的负延时的延时线；若
t0 < 0 ，这相当于一平滑滤波器，它是一可实现的延时线；若
sˆ(t) = T {x(t)}
这里的T { } 表示一个函数运算（泛函算子），它完成一个对
函数的估计。这时的估计误差为：
s%(t) = s(t) − sˆ(t) = s(t) − T {x(t)}
¾ 定义均方代价风险为：
{ } C = E [s(t) − sˆ(t)]2
则最小均方误差估计为：
sˆls (t) = E {s(t) | x(t)}
例题：匀速运动目标的状态空间描述（CV 模型）。假设物体
质量为 m ，受到的外力为 e(t) 。
状态变量：
x(t)
=
⎡ x(t )⎤ ⎢⎣v(t)⎥⎦
状态方程：
x& (t)
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
{ } ∫ E
⎡⎢⎣s(t) −
+∞ −∞
h(t,τ
)
x(τ
)dτ
⎤ ⎥⎦
x(ς
)
{ } ∫ = E
⎡⎢⎣s(t)x(ς ) −
+∞ −∞
h(t
,τ
)
x(τ
)
x(ς
)dτ
⎤ ⎥⎦
=
E {s(t ) x(ς
)}
−
+∞
∫−∞
h(t,τ
)E
{x(τ
) x(ς
)}
dτ
+∞
∫ = Rsx (t,ς ) − −∞ h(t,τ )Rxx (τ ,ς )dτ = 0
上的信号值进行估计，是一种预测。 在实际应用中，滤波应用得比较多。 二、滤波的准则 在滤波或波形估计中，常用均方误差标准。 ¾ 假设待处理的信号是附加有噪声的信号：
x(t) = s(t) + n(t)
这里的信号 s(t) 和噪声 n(t) 都是随机信号。现在要对信号
s(t) 作出估计，设估计出的结果是
∫ Rsx (t − ς ) =
+∞ −∞
hwf
(t
−τ
)Rxx (τ
−ς
)dτ
或：
∀t,ς ∈ R
∫ Rsx (t) =
+∞
h −∞ wf
(t
−τ )Rxx (τ )dτ
=
hwf
(t) * Rxx (t)
对于等式两边同时求傅里叶变换，可以得到：
∀t ∈ R
Ssx (ω ) = Hwf (ω )Sxx (ω )
N
∑ Rsx (n, k) = h(n,i)Rxx (i, k) i=0
∀ 0 < (n, k) < N
三、平稳随机过程的维纳滤波
1、 连续形式 在信号连续时，Wiener－Hopf 方程为：
∫ Rsx (t − ς ) =
+∞ −∞
h(t,τ
)Rxx (τ
−ς
)dτ
∀t,ς ∈ R
而：
Rsx (t − ς ) = Rsx (t + ∆,ς + ∆)
……
Rsx (N −1) = Rxx (N −1)h(0) + Rxx (N − 2)H (1) + ... + Rxx (0)h(N −1) 根据这个方程组就可以解出 h(n) ，从而求出维纳滤波器。
四、维纳滤波器的优缺点 1、 优点：
¾ 给出了完整的系统冲激响应或系统传输函数的表达式； ¾ 可以同时用于计算系统其它参数
+∞
∫= −∞ h(t + ∆,τ )Rxx (τ − ς − ∆)dτ
（1）
∫ λ=τ −∆
=
+∞ −∞
h(t
+
∆,
λ
+
∆)
Rxx
(λ
−
ς
)d
λ
比较（1）（2），可以得到：
∀t,ς ∈ R
（2）
h(t + ∆,τ + ∆) = h(t,τ )
这证明此时的系统是一个时不变系统。所以此时的 Wiener－ Hopf 方程为：
不变的。所以其冲激响应表示为： h(t,τ ) 。
¾ 这里的信号也未必是平稳的，所以相关函数也表示为
Rsx (t,ς ) 和 Rxx (τ ,ς ) 。
¾ 这种情况下的结论具有很强的一般性。
¾ 显然，如果能够求解这个方程，得到 h(t) ，LMS 估计的任务
就完成了。但是这并不是一个容易办到的事情。
或者：
∫ Rsx (t,ς ) =
+∞ −∞
h(t,τ
)
Rxx
(τ
,
ς
)dτ
∀t,ς ∈ R
这就是连续形式的 Wiener－Hopf 方程。这里， Rsx (t,ς ) 和
Rxx (τ ,ς ) 分别是 s(t) 与 x(t) 的互相关函数和 x(t) 的自相关函数，
都是事先知道的统计特性。
¾ 在这里，只要求系统或者变换是一个线性的，并不要求是时
=
1 σ x2
Rsx (t)
或
H wf
(
jω )
=
1
σ
2 x
Ssx (ω )
∀t ∈ R
例题 假设某系统的输入信号为：
X (t) = S(t) + N (t)
其中 S (t) 是一个具有随机初相位的余弦函数随机过程，即：
S(t) = a0 cos(ω0t + Θ)
这里 Θ 为在区间[0，2π]内作均匀分布的随机变量，其功率谱密
间的不断推移，就可以得到全部信号。
¾ 如果时间差 ∆t < 0 ，这时的估计工作称为平滑或内插。
其作用是一致已经得到观测点上的信号值，是对过去 观测值的处理。
¾ 如果时间差 ∆t = 0 ，这时的估计工作称为滤波。它是
对目前时间点上的信号值进行估计，一般用于抑制当 前时间点上的观测噪声。
¾ 如果时间差 ∆t > 0 ，这时的估计工作是对将来时间点
或者：
H wf
(
jω )
=
Ssx (ω ) Sxx (ω )
¾ 对于滤波而言，其结果也可以延迟 t0 时刻出现，此时的传递
函数为：
H wf
(
jω )
=
Ssx (ω ) Sxx (ω )
e− jωt0
¾ 推演此式时，并未以输入信号 S (t) 和噪声 N (t) 不相关为条
件。但如果两者不相关，则
Sxx (ω ) = Sss (ω ) + Snn (ω )