完整版人教最新人教版七年级数学下册期中试卷(含答案)

完整版人教最新人教版七年级数学下册期中试卷(含答案)
一、选择题
1．116的平方根是（） A ．-14
B ．14
C ．14±
D ．12± 2．在以下现象中，属于平移的是（ ）
①在荡秋千的小朋友的运动；②坐观光电梯上升的过程；③钟面上秒针的运动；④生产过程中传送带上的电视机的移动过程．
A ．①②
B ．②④
C ．②③
D ．③④
3．点()5,4A --在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限 4．下列命题是假命题的是（ ）
A ．三角形三个内角的和等于180︒
B ．对顶角相等
C ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．如图，直线//a b ，三角板的直角顶点在直线b 上，已知125∠=︒，则2∠等于（ ）．
A ．25°
B ．55°
C ．65°
D ．75°
6．下列叙述中，①1的立方根为±1；②4的平方根为±2；③－8立方根是－2；④
116
的算术平方根为14．正确的是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 7．如图，将一张长方形纸片折叠，若250∠=︒，则1∠的度数是（ ）
A ．80°
B ．70°
C ．60°
D ．50°
8．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……，第n 次移动到点n A ，则点2021A 的坐标是（ ）
A ．()1010,0
B ．()1010,1
C ．()1011,0
D ．()1011,1
二、填空题
9．324-＝________．
10．平面直角坐标系中，点(3,1)--关于y 轴的对称点的坐标为________．
11．如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠C=72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB=__度．
12．如图，直线AB ∥CD ，OA ⊥OB ，若∠1=140°，则∠2=_____度．
13．将一张长方形纸条折成如图的形状，已知1110∠=︒，则2∠=___________°．
14．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___
15．在平面直角坐标系中，若点()3,1P a a -+在第二象限，则a 的取值范围为_______． 16．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边
“112233445OA A A A A A A A A →→→→”的路线运动，设第n 秒运动到点n P （n 为正整
数），则点2021P 的坐标是______．
三、解答题
17．计算：
（1）3(2)1627(1)--+--⨯-
（2）223(5)3-+--
18．求下列各式中的x ：
（1）3641250x -=； （2）3(1)8x +=； （3）3(21)270x -+=．
19．如图，已知3A ∠=∠，DE BC ⊥，AB BC ⊥，求证：DE 平分CDB ∠．
证明：DE BC ⊥，AB BC ⊥ （已知）
90DEC ABC ∴∠=∠=︒（垂直的定义）
//DE AB ∴（ ）
23∴∠=∠（ ）
1∠= （两直线平行，同位角相等）
又3A ∠=∠（已知）
∴ （ ）
DE ∴平分CDB ∠（角平分线的定义）
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为
()()()2,2,3,1,0,2A B C --．点P (,)a b 是三角形ABC 的边AC 上任意一点，三角形ABC 经过平移后得到三角形A B C '''，已知点P 的对应点P '()2,3a b -+．
（1）在图中画出平移后的三角形A B C '''，并写出点,,A B C '''的坐标；
（2）求三角形ABC 的面积．
21．（阅读材料） ∵459＜＜，即25＜＜3，∴15-＜1＜2，∴5-1的整数部分为1，∴5-1的小数部分为5-2
（解决问题）
（1）填空：91的小数部分是 ；
（2）已知a 是21-4的整数部分，b 是21-4的小数部分，求代数式（﹣a ）3+（b +4）2的值．
22．（1）小丽计划在母亲节那天送份礼物妈妈，特设计一个表面积为12dm 2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是 ．
（2）为了增加小区的绿化面积，幸福公园准备修建一个面积121πm 2的草坪，草坪周围用篱笆围绕．现从对称美的角度考虑有甲，乙两种方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圆形的．如果从节省篱笆费用的角度考虑，你会选择哪种方案？请说明理由；
（3）在（2）的方案中，审批时发现修如此大的草坪，目的是亲近自然，若按上方案就没达到目的，因此建议用如图的设计方案：正方形里修三条小路，三条小路的宽度是一样，这样草坪的实际面积就减少了21πm 2，请你根据此方案求出各小路的宽度（π取整数）．
23．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线．
（1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；
（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；
（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平方根的定义（如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根）即可得．【详解】
解：因为
2
11
416⎛⎫
±=
⎪
⎝⎭
，
所以
1
16
的平方根是
1
4
±，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
2．B
【分析】
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．平移可以不是水平的．据此解答．
【详解】
解析：B
【分析】
平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．平移可以不是水平的．据此解答．
【详解】
①在荡秋千的小朋友的运动，不是平移；
②坐观光电梯上升的过程，是平移；
③钟面上秒针的运动，不是平移；
④生产过程中传送带上的电视机的移动过程．是平移；
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学
生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
3．C
【分析】
根据平面直角坐标系象限的符合特点可直接进行排除选项．
【详解】
解：在平面直角坐标系中，第一象限的符合为“+、+”，第二象限的符合为“-、+”；第三象限的符合为“-、-”，第四象限的符合为“+、-”，由此可得点()5,4A --在第三象限； 故选C ．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中象限的符合特点，熟练掌握平面直角坐标系中象限的符合特点是解题的关键．
4．D
【分析】
根据三角形内角和定理，对顶角的性质，平行线的判定和性质逐一判断即可.
【详解】
解：A 、三角形三个内角的和等于180°，故此说法正确，是真命题；
B 、对顶角相等，故此说法正确，是真命题；
C 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行两条，故此说法正确，是真命题；
D 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此说法错误，是假命题.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解. 5．C
【分析】
利用平行线的性质，可证得∠2=∠3，利用已知可证得∠1+∠3=90°，求出∠3的度数，进而求出∠2的度数．
【详解】
解：如图
∵a //b
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°-90°=90°
∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°
∴∠2=65°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，灵活运用“两直线平行、同位角相等”是解答本题的关键．6．D
【分析】
分别求出每个数的立方根、平方根和算术平方根，再判断即可．
【详解】
∵1的立方根为1，∴①错误；
∵4的平方根为±2，∴②正确；
∵−8的立方根是−2，∴③正确；
∵1
16的算术平方根是
1
4
，∴④正确；
正确的是②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根和立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
7．A
【分析】
先由折叠的性质得出∠4=∠2=50°，再根据矩形对边平行可以得出答案．
【详解】
解：如图，
由折叠性质知∠4=∠2=50°，
∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3=80°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质和折叠的性质．
8．B
【分析】
根据题意可得，，，，，，，
由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，可求出点的
纵坐标，然后根据，，，，可得：，即可求解．
【详解】
解：由题意得：
，，，，
解析：B
【分析】
根据题意可得1(0,1)A ，2(1,1)A ，3(1,0)A ，4(2,0)A ，5(2,1)A ，6(3,1)A ， ， 由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，可求出点2021A 的纵坐标，然后根据4(2,0)A ，8(4,0)A ，12(6,0)A ，
，可得：2020(1010,0)A ，即可求解． 【详解】
解：由题意得：
1(0,1)A ，2(1,1)A ，3(1,0)A ，4(2,0)A ，5(2,1)A ，6(3,1)A ， ，
由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，
∵202145051÷= ，
∴点2021A 的纵坐标为1， ∵4(2,0)A ，8(4,0)A ，12(6,0)A ，
，由此得：2020(1010,0)A ， ∴2021(1010,1)A ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标规律题——坐标与旋转，解题的关键是理解题意找出规律解答问题．
二、填空题
9．6
【分析】
根据算术平方根、有理数的乘方运算即可得．
【详解】
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了算术平方根、有理数的乘方运算，熟记各运算法则是解题关键． 解析：6
【分析】
根据算术平方根、有理数的乘方运算即可得．
【详解】
32826-=
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了算术平方根、有理数的乘方运算，熟记各运算法则是解题关键．10．（3，-1）
【分析】
让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
【详解】
解：∵-3的相反数为3，
∴所求点的横坐标为3，纵坐标为-1，
故答案为（3，-1）．
【点睛】
本题考查关于y轴
解析：（3，-1）
【分析】
让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
【详解】
解：∵-3的相反数为3，
∴所求点的横坐标为3，纵坐标为-1，
故答案为（3，-1）．
【点睛】
本题考查关于y轴对称的点特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11．101
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵在△ABC中,∠A=50°,∠C=72°，
∴∠ABC=180°−50°
解析：101
【分析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】
∵在△ABC中,∠A=50°,∠C=72°，
∴∠ABC=180°−50°−72°=58°，
∵BD是△ABC的一条角平分线，
∴∠ABD=29°，
∴∠ADB=180°−50°−29°=101°.
故答案为：101.
【点睛】
此题考查三角形内角和定理，解题关键在于掌握其定理.
12．50
【分析】
先根据垂直的定义得出∠O=90°，再由三角形外角的性质得出∠3=∠1﹣
∠O=50°，然后根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵OA⊥OB，
∴∠O=90°，
∵∠1=∠3+∠O=1
解析：50
【分析】
先根据垂直的定义得出∠O=90°，再由三角形外角的性质得出∠3=∠1﹣∠O=50°，然后根据平行线的性质可求∠2．
【详解】
∵OA⊥OB，
∴∠O=90°，
∵∠1=∠3+∠O=140°，
∴∠3=∠1﹣∠O=140°﹣90°=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°，
故答案为：50．
【点睛】
此题主要考查三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握，即可解题.
13．55
【分析】
依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．
【详解】
解：如图所示，∵ABCD，
∴∠1＝∠BAD＝110°，
由折叠可得，∠2＝∠BAD＝×110°＝55°，
故答案为：
解析：55
【分析】
依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠2的度数．【详解】
解：如图所示，∵AB//CD，
∴∠1＝∠BAD＝110°，
由折叠可得，∠2＝1
2∠BAD＝1
2
×110°＝55°，
故答案为：55°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
14．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：
1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：3
-
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
∵1994493
÷=……，即12363
∴33
故答案为3
-
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
15．-1＜a＜3
【分析】
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：∵点P （a-3，a+1）在第二象限，
∴，
解不等式①得，a ＜3，
解不等式②得，a ＞
解析：-1＜a ＜3
【分析】
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：∵点P （a-3，a+1）在第二象限，
∴3010a a -⎧⎨+⎩＜①＞②
， 解不等式①得，a ＜3，
解不等式②得，a ＞-1，
∴-1＜a ＜3．
故答案为：-1＜a ＜3．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
16．【分析】
通过观察可得，An 每6个点的纵坐标规律：，0，，0，-，0，点An 的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n ，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1
解析：2021,2⎛ ⎝⎭
【分析】
通过观察可得，A n 每600，0，点A n 的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n ，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445OA A A A A A A A A →→→→…”的路线运动，1秒钟走一段，P 运动每6
秒循环一次，点P 运动n 秒的横坐标规律： 12，1，32
，2，52，3，…，2n ，点P 的纵坐标
00，0，0，…，确定P 2021循环余下的点即可．
解：∵图中是边长为1个单位长度的等边三角形， ∴113,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
A 2（1，0）
333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
A 4（2，0）
553,22A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
A 6（3，0）
773,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
…
∴A n 中每6303030， 点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边
“112233445OA A A A A A A A A →→→→…”的路线运动，1秒钟走一段， P 运动每6秒循环一次
点P 3030，30，…， 点P 的横坐标规律： 12，1，
32，2，52，3，…，2n ， ∵2021＝336×6+5，
∴点P 2021的纵坐标为3， ∴点P 2021的横坐标为20212
， ∴点P 2021的坐标202132⎛ ⎝⎭
，， 故答案为：202132⎛ ⎝⎭
，．
本题考查点的规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，确定点的坐标规律是解题的关键．
三、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据算术平方根，立方根的求法结合实数混合运算法则计算即可；
（2）先根据绝对值的意义化简绝对值，然后根据算术平方根的求法以及实数混合运算法则计算即可．
【详解】
解：
解析：（1）3；（2）5
【分析】
（1）根据算术平方根，立方根的求法结合实数混合运算法则计算即可；
（2）先根据绝对值的意义化简绝对值，然后根据算术平方根的求法以及实数混合运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝24(3)(1)+--⨯-＝633-=；
（2
55
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，算术平方根以及立方根的求法，绝对值等知识点，题目比较基础，熟练掌握基础知识点是关键．
18．（1）；（2）1；（3）-1．
【分析】
（1）根据立方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】
解：（1），
∴ ，
∴，
∴；
（2
解析：（1）54
；（2）1；（3）-1． 【分析】
（1）根据立方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可；
（3）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】
解：（1）3641250x -=，
∴ ()3
34=5x ， ∴4=5x ， ∴5=4
x ； （2）3(1)8x +=
∴33(1)2x +=
∴12x +=
∴1x =；
（3）3(21)270x -+=，
∴()3
3(21)3x -=-， ∴213x -=-，
∴1x =-．
【点睛】
本题考查了利用立方根的含义解方程，熟知立方根的定义是解决问题的关键． 19．见解析
【分析】
应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵DE ⊥BC ，AB ⊥BC （已知），
∴∠DEC=∠ABC=90°（垂直的定义）．
∴DE ∥AB （同位角相等，两直线
解析：见解析
【分析】
应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵DE ⊥BC ，AB ⊥BC （已知），
∴∠DEC =∠ABC =90°（垂直的定义）．
∴DE ∥AB （同位角相等，两直线平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∠1=∠A （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A =∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换）．
∴DE 平分∠CDB （角平分线的定义）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
20．（1）作图见解析，；（2）7
【分析】
（1）直接利用P 点平移变化规律得出A′、B′、C′的坐标；直接利用得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出
解析：（1）作图见解析，()()()4,1,1,4,2,5A B C '--；（2）7
【分析】
（1）直接利用P 点平移变化规律得出A ′、B ′、C ′的坐标；直接利用得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）∵P (,)a b 到点P 的对应点P '()2,3a b -+，横坐标向左平移了两个单位，纵坐标向上平移了3个单位．
∵()()()2,2,3,1,0,2A B C --，
∴()()()4,1,1,4,2,5A B C '--，
如图所示，三角形A ′B ′C ′即为所求，
（2）三角形ABC 的面积为：4×5−12×1×3−12×2×4−12×3×5＝7．
【点睛】
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 21．（1）；（2）21．
【分析】
（1）由于81＜91＜100，可求的整数部分，进一步得出的小数部分； （2）先求出4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
（1）∵81＜91＜1
解析：（19；（2）21．
【分析】
（1）由于81＜91＜100
（24的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
（1）∵81＜91＜100，
∴910，
∴9，
∴9；
（2）∵16＜21＜25，
∴45，
∵a
4的整数部分，b4的小数部分，
∴a=4﹣4=0，b
=4，
∴（﹣a）3+（b+4）2=0+21=21．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法和无理数整数部分和小数部分的表示方法是解题关键．
22．（1）dm；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据此方案求出小路的宽度为
【分析】
（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；（2）根据正方形的周
解析：（1；（2）从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；（3）根据
【分析】
（1）先求得正方体的一个面的面积，然后依据算术平方根的定义求解即可；
（2）根据正方形的周长公式以及圆形的周长公式即可求出答案；
（3）根据图形的平移求解．
【详解】
解：（1）∵正方体有6个面且每个面都相等，
∴正方体的一个面的面积=2 dm2．
∴正方形的棱长
dm；
dm；
（2）甲方案：设正方形的边长为xm，则x2 =121π
∴x
∴正方形的周长为：4x
乙方案: 设圆的半径rm 为，则πr 2==121π
∴r =11
∴圆的周长为：2 r π= 22πm
∴ 44π-22π=22π(2-)π
∵ 4＞π
∴ 2π＞
∴ 20π-＞
∴正方形的周长比圆的周长大
故从节省篱笆费用的角度考虑，选择乙方案建成圆形；
（3）依题意可进行如图所示的平移，设小路的宽度为ym ,则
（π–y ）2=121π-21π
∴π–y π∴ y π∵ π取整数
∴ y 33m ；
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握正方形的性质以及平移的性质是解题的关键；
23．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°
【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3），过，分别作，，根据
解析：（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°
【分析】
（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；
（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；
（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．
【详解】
解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠， 12BCN BCE ∴=∠，12
BCM BCD ∠=∠， 180BCE BCD ∠+∠=︒，
111()90222
MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）CM CN ⊥，
90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，
22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，
CN 是BCE ∠的平分线，
2BCE BCN ∴∠=∠，
2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，
又180BCE BCD ∠+∠=︒，
2BCD BCM ∴∠=∠，
又CM 在BCD ∠的内部，
CM ∴平分BCD ∠；
（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，
则有//////QG AB PH CD ，
BQG ABQ ∴∠=∠，CQG ECQ ∠=∠，BPH FBP ∠=∠，CPH DCP ∠=∠， ⊥BP BQ ，CP CQ ⊥，
90PBQ PCQ ∴∠=∠=︒，
180ABQ PBQ FBP ∠+∠+=︒，180ECQ PCQ DCP ∠+∠+∠=︒， 180ABQ FBP ECQ DCP ∴∠+∠+∠+∠=︒，
BPC BQC BPH CPH BQG CQG ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠
180ABQ FBP ECQ DCP =∠+∠+∠+∠=︒，
180BPC BQC ∴∠+∠=︒不变．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键．。