上海市上海中学2017-2018学年高二上学期期中数学试题(教师版)

上海中学高二期中试卷
一、填空题
1. 直线350x --=的倾斜角大小为___________. 【答案】
3
π 【解析】 【分析】
根据直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再由tan k α=得直线的倾斜角，得解.
【详解】由350x -=得3
y =-
，所以直线的斜率k =，设直线的倾斜角为α且0απ≤<，由tan k α=得直线的倾斜角为
3
π. 故填：
3
π. 【点睛】本题考查直线的一般式化成斜截式得直线的斜率，再得直线的倾斜角的问题，属于基础题. 2. 过点()21A -，
与()12B ，半径最小的圆的方程为___________. 【答案】22
315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【解析】 【分析】
由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0, 此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.
【详解】设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d ,
则2
2
2
2AB R d ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，由已知得
AB ==
要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，
圆的方程是2
22
31222x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22
315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 故填：22
315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题.
3. 由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a =___________.
【答案】2- 【解析】 【分析】
由已知得系数行列式,,x y D D D ，根据0D =时，0x D ≠，0y D ≠方程组无解，可得实数a 的值. 【详解】由题意得()()2222a a
D a a =
=+-，()()222422x D a a a
a
a a a a =
=+-=-+，
()()2222224212y D a a a a a a a
=
=--=+-+，
当2a =时，0x y D D D ===，方程组有无数组解． 当2a =-时，0,0,0x y D D D =≠≠，方程组无解． 故：实数2a =-时，方程组无解. 故答案为2-.
【点睛】本题考查二元一次方程无解的行列式判断方法，得出系数行列式，并且得出使0D =时，0x D ≠，
0y D ≠方程组无解的参数值是解决本题的关键，属于基础题，
4. 一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂直，则这条直线方程为___________. 【答案】2114170x y -+= 【解析】 【分析】
设出过两直线的交点的直线系方程(23)(31)0x y x y λ+-+-+=，由直线垂直的判定条件得到关于λ的方程，解之再代入即得所求的直线方程.
【详解】设过230x y +-=与310x y -+=的交点的直线方程为：(23)(31)0x y x y λ+-+-+=， 因为此直线与直线2350x y +-=垂直，所以()()132230λλ+⋅+-⋅=，解得8
3
λ=-， 所以这条直线方程
：8
(23)(31)03
x y x y +---+=，即2114170x y -+=.
故填：2114170x y -+=.
【点睛】本题考查过两直线的交点的直线系方程和两直线垂直的判定条件，属于基础题.
5. 行列式351
2
36724
---中，元素6-的代数余子式的值为____________. 【答案】29 【解析】 【分析】
由已知得元素6-是第2行第3列元素，根据行列式的元素的代数余子式的定义可求得6-的代数余子式. 【详解】由题意得元素6-的代数余子式是第2行第3列元素的代数余子式
()()23
35(1)(1)3257297
2
+-⎡⎤-=-⨯⨯--⨯-=⎣⎦-,
故填：29.
【点睛】本题考查行列式的代数余子式的概念和求值，余子式的值与元素无关，只与元素的位置有关，属于基础题.
6. 过点P(2017，2017)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_____________. 【答案】4034x y +=或y x = 【解析】 【分析】
分直线的截距不为0和为0的两种情况,分别用待定系数法设出直线方程，代入已知点，求解出待定系数的值即可得解.
【详解】若直线的截距不为0时,可设为直线方程为1x y a a
+=,把(2017,2017)P 代入,得20172017
1,a a +=解得4034a =，
所以直线方程为 4034x y +=；
若直线的截距为0,可设为y kx =,把(2017,2017)P 代入,得20172017,k =解得1k =， 所以直线方程为：y x =.
所以，所求直线方程为4034x y +=或y x =. 故填: 4034x y +=或y x =.
【点睛】本题考查了直线方程的截距式方程的求法,注意分截距为0和截距不为0的两种情况分别求解，属
于基础题.
7. 4=上的点到原点的最短距离为____________.
【答案】 【解析】 【分析】
设曲线上的点(),x y 到原点的距离为d ，则d =，再由均值不等式得出d 的最小值，得解.
4=上，故,[0,16]x y ∈，
设曲线上的点(),x y 到原点的距离为d ，
则d ==≥=,当且仅当x y =时取得最小值，
即[]40,16x y =
=∈时，d =d 的最小值为.
故填：【点睛】本题考查原点到曲线上的点的最短距离和均值不等式的应用，属于基础题.
8. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点 (
,?0),?(,?0)(0)A m B m m ->，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是________．
【答案】[3?7]，
； 【解析】
由于A B 、两点在以原点为圆心，m 为半径的圆上，若圆C 上至少存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有公共点，设圆心距为d ，5d =，则22d m d -≤≤+，则3m 7≤≤，则m 的取值范围是[3,7].
9. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()60,26A B -，
，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中21αβ+=.则点C 的轨迹方程为____________.
【答案】65180x y +-= 【解析】 【分析】
设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以618
6x y y αβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，又由21αβ+=可得出
点C 的轨迹方程.
【详解】设点C 的坐标为(),x y ，由题意可得()(),62,6x y αββ=-，所以626x y αβ
β=-⎧⎨=⎩
，所以
618
6x y y αβ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
, 又21αβ+=，所以216186
x y y
⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，即65180x y +-=，
故填：65180x y +-=.
【点睛】本题考查向量的线性表示的坐标运算和求点的轨迹方程，关键在于用所求轨迹的点的坐标去表示
,αβ，由,αβ的关系可得所求点的轨迹方程，属于中档题.
10. 当实数x 、y 满足221x y +=时，232x y a x y +++--的取值大小与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[5,)+∞
【解析】 【分析】
根据实数x ,y 满足22
1x y +=,设cos ,sin x y θθ==,求出2x y +的取值范围,再讨论a 的取值范围,求出
|2||32|x y a x y +++--的值与x ,y 均无关时a 的取范围.
【详解】实数x ,y 满足22
1x y +=, 可设cos ,sin x y θθ==,
则2cos 2sin 5sin()x y θθθα+=+=+,其中12
tan α=
; 525x y ∴-≤+≤,
当5a ≥
,
|2||32|(2)(32)3x y a x y x y a x y a +++--=+++--=+,其值与x ,y 均无关;
实数a 的取范围是[5,)+∞
故填：[
5,)+∞.
【点睛】本题考查三角代换
的方法在求代数式的范围的运用，在进行三角代换后运用三角函数的恒等变换
求得最值是解决本题的关键，属于中档题. 11. 已知OA a =，OB b =，若13OC a =
，34
OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则OE =___________.(用a 、b 表示)
【答案】
12
93
a b + 【解析】 【
分析】
由,,D E A 三点共线,可得存在实数m 使得3
(1)(1)4
OE mOA m OD ma m b =+-=+-⨯,又,,B E C 三点共线,
所以存在实数n 使得()(1)13
1
OE nOB n OC nb n a =+-=+-⨯,根据向量相等的条件可求m ,n ,的值,从而可
用向量,a b 表示OE .
【详解】因为,,D E A ,三点共线,所以存在实数m 使得3
(1)(1)4
OE mOA m OD ma m b =+-=+-⨯;
又,,B E C 三点共线, 所以存在实数n 使得()(1)13
1
OE nOB n OC nb n a =+-=+-⨯,
()()113314m n m n
⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-⨯=⎪⎩
解得19m =，所以11314123999a b OE a b ⎛⎫=+-⨯= +⎪
⎝⎭， 故填：
12
93
a b +.:
【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理:若点P 在直线AB 上,O 为直线AB 外任意一点,则存在实数λ使得(1)OP OA OB λλ=+-的应用,属于基础题.
12. 已知正三角形的三个顶点()()(0020,13A B C ，
，，，，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向
射到BC 近上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P .若1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ
的取值范围为____________.
【答案】2⎛ ⎝
【解析】 【分析】
设1BP x =，则求
得x =，再根据反射的条件：入射角等于反射角可得：
12102,3
CPP BPP π
θ∠=∠=
-2123,CP P AP P θ∠=∠=在12CPP ∆和32AP P ∆中运用正弦定理表示3AP ，由302,AP <≤可求得tan θ的取值范围.
【详解】根据题意做出示意如下图所示：
设1
BP x =
，则2tan 12x
x x θ=⇒=-，根据反射的条件：入射角等于反射角可以得：121021232,,3
CPP BPP CP P AP P π
θθ∠=∠=-∠=∠=
在12
CPP ∆中由正弦定理得222sin 23(2),2sin sin sin 3CP x CP x πθπθ
θθ⎛⎫- ⎪
-⎝⎭=⇒=⋅-⎛⎫- ⎪
⎝⎭
而sin 2sin 3θπθ==
⎛⎫- ⎪⎝⎭，
所以2tan CP θ=
，所以222tan tan 2AP CP θθ
--== 在32AP P ∆中由正弦定理得3223sin 22sin sin sin 33AP AP AP AP θ
ππθθθ⋅=⇒=
⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以
3
22tan AP θ
=
322tan 02,2,0AP θ<≤≤
<
解得tan θ∈⎝，
故填：
3,232⎛⎤
⎥ ⎝⎦
【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由
302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题.
二、选择题
13. 已知向量(1,2)a =，(2,3)b x =-，若a ∥b ，则x =（ ） A. 3 B.
3
4
C. 3-
D. 34
-
【答案】D 【解析】
因为a ∥b ,所以3221(3),4
x x ⨯=⨯-∴=-
. 14. 若不等式组20
{22020
x y x y x y m +-≤+-≥-+≥,表示的平面区域为三角形，且其面积等于4
3
，则m 的值为（ ）
A. -3
B. 1
C.
43
D. 3
【答案】B 【解析】 如图，
，
由于不等式组20
{22020
x y x y x y m +-≤+-≥-+≥,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于4
3
，
再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC
x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形， 易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422
(
,)33
m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=
+⋅+-+⋅=4
3
， 化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B. 考点：线性规划与三角形的面积.
15. 动点P 满足1
(1)(1)(12)3
OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A. 内心 B. 垂心
C. 重心
D. 外心
【答案】C 【解析】 【分析】
取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233
OP OD OC λλ
-+=
+，根据2(1)12133
λλ
-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC 重心. 【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示： 由图可知2OA OB OD +=，
故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=
-+-++=+⎣⎦， 因为
2(1)12133
λλ
-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上， 所以点P 一定会过ABC 的重心。

故选：C.
【点睛】本题主要考查向量的线性运算及其应用，关键在于利用向量的加法法则将已知条件化简成三个共起点的向量的关系，利用三点共线的判定条件判断三点共线，属于中档题.
16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a 、b ，1a b ==，0a b ⋅=，点Q 满足()
2OQ a b =+，曲线{}
cos sin ,02C P OP a b θθθπ==+≤＜，区域{}
0,P r QP R r R Ω=≤≤＜＜，若C Ω为两端分
离的曲线，则（ ）
A. 13r R ＜＜＜
B. 13r R ≤＜＜
C. 13r R ≤＜＜
D. 1r R ＜＜3＜
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知设(1,0)a =，(0,1)b
=，则(2,2)Q ，所以cos sin (cos ,sin )OP a b θθθθ=+=，由此得P 点
轨迹为一个以O 为圆心，1为半径的单位圆，从而得211r >-=，21r R <<+，得解. 【详解】设(1,0)a =，
(0,1)
b =，则
2()(2,2)
OQ b α=+=，所以
(2,2)
Q ；
cos sin (cos ,sin )OP a b θθθθ=+=，所以，P 点轨迹为一个以O 为圆心，1为半径的单位圆，
又{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<所表示的区域为：以Q 点为圆心，内径为r ,外径为R 的圆环，且C Ω
为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交.又因为||2OQ =，所以
||1||1,OQ r R OQ -<<<+所以13r R <<<。

故选：A.
【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件利用向量的几何特征建立适当的坐标系,分析出点P 的轨迹及Ω表示的区域是解决本题的关键，属于中档题.
三、解答题
17. 若a 与b 的夹角为120°的两个单位向量. (1)若2a b -与a kb +垂直，求k ； (2)求2a b +与a b -的夹角. 【答案】(1)54；(2) 3
π
【解析】 【分析】
（1）根据向量垂直的条件得(2)()0a b a kb -⋅+=，再由已知求出a b ⋅的值，代入可求得k 的值.
（2）先由已知条件求出()()2a b a b +⋅-、
()22a b +和()2
a b -，再运用向量的夹角公式可求得2a b +与a b -的夹角. 【详解】（1）因为2a b -与a kb +垂直，所以(2)()0a b a kb -⋅+=，
所以()222210a k a b kb +-⋅-=，而111cos1202
a b ⋅=⨯⨯=-， 所以()12121102k k ⎛⎫⨯+-⨯--⨯= ⎪⎝⎭
，解得54k =； （2）设2a b +与a b -的夹角为θ，则()()2cos 2a b a b a b a b
θ+⋅-=+⨯-， 而()()2213222122a b a b a a b b ⎛⎫+⋅-=-⋅-=---= ⎪⎝⎭
， (
)222124444132a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=+⨯-+= ⎪⎝⎭，所以23a b +=， ()2
221212132a b a a b b ⎛⎫-=-⋅+=-⨯-+= ⎪⎝⎭，所以3a b -=， 所以()()
3212cos 232a b a b a b a b θ+⋅-===⨯+⨯-，
又因为0θπ≤≤，所以3πθ=
.
故得解. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算中的向量的垂直关系的判定和求向量的夹角的运算，运用相应的公式是解决本题的关键，属于基础题.
18. 运用行列式讨论关于x 、y 的方程组22(1)(1)1(1)(1)2
a x a y a x a y ⎧---=⎨-+-=⎩解得个数，并解出此方程组.
【答案】当1a =，无解；当1a ≠，有一组解，223(1)(22)a x a a a +=
-++，2122
y a a -=++ 【解析】
【分析】
由二元一次方程组得到行列式，求出系数行列式D 、x D 和y D ，根据0D ≠，方程组有一组解，此时的解为x D x D =和y D y D
=；0x y D D D ===时，方程组有无数组解，可得解. 【详解】由已知得行列式221(112)11x a y a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎝-⎭
⎭-， 所以()()()22222221(1)1(1)12211
a a a a a a a a D a ----+-=-=+=+--， ()()21(1)12321x a a a a D ---=-=+，()221112
1y a a a D ----==， 当1a =时，0x y D D D ===，方程组有无数组解．
当1a ≠时，0D ≠，方程组有一组解，此时的解为
()()()()22223(1)123122(22)
x a a a a a D a x D a a a -+-++==-+++= ， ()()()2
2221112222
y
a a a a D y D a a ---+-=++==+， 故得解.
【点睛】本题考查用二阶行列式解二元一次方程组，根据方程组构成行列式，再求出系数行列式进行相应的条件的限制是求解此类问题的关键，属于基础题.
19. 设集合1(,)22A x y y x ⎧⎫=≥
-⎨⎬⎩⎭，{}(,)B x y y x b =≤-+，A B ⋂≠∅. (1)求b 的取值范围；
(2)若(,)x y A B ∈⋂，且x y +的最大值为9，求b 的值；
(3)当12b ≤＜时，若(,)x y A B ∈⋂，求kx y +的最大值.
【答案】(1)[1,)b ∈+∞；
(2)9b =；
(3)当(),1k ∈-∞-，最大值
2223
k kb b -++； 当[]1,1k ∈-，最大值b ；
当()1,k ∈+∞，最大值222kb k b -+-.
【解析】
【分析】
（1）分别做出集合A ，B 表示的可行域，由图示得出b 的范围;
（2）令m x y =+，则m 表示一簇斜率为1-的直线的纵截距，此时可由图示得解；
（3）令t kx y =+，则t 表示一簇斜率为k -的直线的纵截距，分[1,1]k ∈-，(1,)k ∈+∞，(,1)k ∈-∞-三种情况分别做出示意图，得出所取得最值时直线所过的点，再联立直线的方程构成方程组，求解方程组得交点的坐标，代入得最值．
【详解】（1）做出示意图如下图1，由A B ⋂≠∅，则[1,)b ∈+∞，
（2）令m x y =+，即y x m =-+，则m 表示一簇斜率为1-的直线的纵截距，由已知得9m ≤且(,)x y A B ∈⋂ ，
当0x >时，||y x b x b =-+=-+，所以要使9m ≤且(,)x y A B ∈⋂ ，则需9b =；
（3）12b <≤时，令t kx y =+，即y kx t =-+，则t 表示一簇斜率为k -的直线的纵截距，则
当1k -≤或1k -≥-时，即[1,1]k ∈-时，直线y kx t =-+过点C 时，其纵截距最大，此时kx y +取得最大值b ,如下图2所示，
所以，[1,1]k ∈-时，kx y +取得最大值b ；
当1k -<-时，即(1,)k ∈+∞，直线y kx t =-+过B 点时，其纵截距最大，此时kx y +取得最大值，如下图3所示，
当2x <时，()112222
y x x =-=-，当0x >时，||y x b x b =-+=-+， 由()122y x b y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩
得()22,2B b b --， 所以()222222b t kx y k bk k b b -+-==+=⨯-+-，
所以(1,)k ∈+∞时，kx y +的最大值是222kb k b -+-；
当1k ->时，即(,1)k ∈-∞-，直线y kx t =-+过A 点时，其纵截距最大，此时kx y +取得最大值，如下图4所示，
当2x <时，()112222
y
x x
=
-=-，当0x <时，||y x b x b =-+=+， 由()122y x b y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
得222,33b b A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22232223
3b b k kh b t kx y k -++==-=⨯
+++， 所以(,1)k ∈-∞-时，kx y +的最大值是2223k kh b -++. 综上可得：
当(),1k ∈-∞-，最大值2223
k kb b -++； 当[]1,1k ∈-，最大值b ；
当()1,k ∈+∞，最大值222kb k b -+-.
故得解.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合找到取得最值时直线所满足的相应条件是解决本题的关键，在利用不等式组表示的平面区域求参数的范围及求二元一次代数式的最值时，对目标函数赋予其相应的几何意义，直观可见地得出所取最值的位置是常用的方法，属于中档题．
20. 过点()21P -，
的直线l 分别交1(0)2y x x =≥与2(0)y x x =-≥于,A B 两点. (1)设AOB 的面积为245
，求直线l 的方程； (2)当PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.
【答案】(1)11122
y x =-； (2)370x y --=.
【解析】
【分析】
(1)设所求直线l 的方程,分别与直线12
y x =与2y x =-联立，得出交点A 、B 的纵坐标，根据三角形的面积公式得出方程，求解可得所求直线的方程；
(2)设直线l 的参数式方程，分别代入直线12
y x =与2y x =-中，得出||PA 、||PB ，从而得出||||PA PB ⋅，运用三角函数的恒等变形得出其最小值，由（1）得出交点的纵坐标可求解出满足题意的值，得出直线的方程.
【详解】（1）设()()1122,,A x y B x y ，直线:2l x my m =++， 由212x my m y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩
化简得A 点的纵坐标()12002m y x m +=>>-， 由22x my m y x
=++⎧⎨=-⎩，化简得B 点的纵坐标224012m y m +=-<+()0x >， 所以，AOB 122424(2)22125
m m S m m m ∆++⎛⎫=++= ⎪-+⎝⎭，化简得22(112)0,11m m -==， 故直线l 的方程为：11122
y x =-； （2）设直线l 的倾斜角为θ,所以直线l 的参数方程为:2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）， 将直线l 的参数方程分别代入 12
y x =与2y x =-得： 1243|||||,||||||,2sin cos sin 2cos PA t PB t θθθθ
-====-+4312||||||2sin cos sin 2cos 3sin cos 2cos 2PA PB θθθθθθθ
-⋅=⨯=-+-， 所以2424||||||5sin(2)5PA PB θϕ⋅=≥+，
由（1）得()(
)2
222
11141||22111m PA my m y m y +=++-++=++=，2
2
231||11|12|m PB m y m +=++=+， 当()
2212124||||5
232m PA PB m m +⋅==-++时，化简得()230m +=或()2310m -=，解得13m =或3m =-. 因为点A 在第一象限，所以1202m y m
+=
>-，所以22m -<<，所以13m =， 所以直线:370l x y --=.
故得解.
【点睛】本题考查直线与直线相交的综合问题，相关的面积和最值问题都关键在于理解所求问题与交点的关系，可通过三角函数的恒等变换求得最值，属于中档题.
21. 已知圆O:222x y r +=(O 为原点)，与x 轴不重合的动直线l 过定点D (m ，0)(m >r >0).且与圆O 交于P 、Q 两点(允许P 、Q 重合)，点S 为点P 关于x 轴的对称点.
(1)若m =2，r =1，P 、Q 重合，求直线SQ 与x 轴的交点坐标；
(2)求△OSQ 面积的最大值.
【答案】(1)1
,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2)当2r m r ≤＜，2max 2
r S =； 当2m r ＞，322max
r m r S -=【解析】
【分析】 （1）设直线:(2)l y k x =-，根据直线与圆相切的条件建立方程求得k ，得出直线的方程，再联立直线l 与
圆的方程得出切点横坐标，从而得出直线SQ 与x 轴的交点坐标；
（2）设直线:l x ty m =+，联立直线与圆的方程消y 得()2222120t y tmy m r +++-=，由根的判别式得
出||t ≥，设()()()112211,,,,,P x y Q x y S x y -，得出直线SQ 的方程，从而得出直线SQ 过定点2,0r m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再表示出△OSQ 的面积，讨论t 与1的大小关系可得出每一种情况的最大值.
【详解】（1）设直线:(2)l y k x =-
，则1d k ===
:2)l y x =-，
联立221(2)3x y y x ⎧+=⎪⎨=±-⎪⎩，解得：12x =，即直线SQ 与x 轴的交点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）设直线:l x ty m =+，联立222x ty m x y r
=+⎧⎨+=⎩得()2222120t y tmy m r +++-=， 设()()()112211,,,,,P x y Q x y S x y -，则22
121222
2,11tm m r y y y y t t --+==++， 直线()211121:SQ y y l y y x x x x ++=--，令0y =得()21212122112122ty y m y y y x y x r x y y y y m
+++===++， 即直线SQ 过定点2,0r m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以
2212112||||OSQ r r S y y m t t ∆=⋅⋅+=+
，由0,||t ∆≥≥ (1) 1>
，即m >
时，当||t =
max 2r S m =； （2）01<
≤
，即r m <≤时，当1t =时，2max 2r S =. 故得解.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中相关的直线过定点和面积的最值的问题，关键在于合理地设出直线方程，再与圆的方程联立求解，得出关于交点坐标的韦达定理，将目标条件表示成交点的韦达定理中两根之和和两根之积的形式，属于难度题.。