电路学 第九章
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d 单位 : VA (伏安 ) tere S
Q
gis j eP UnR 功率三角形
5、功率表
i
*
i2
W
电压线圈
* +
d u
Z
re -
iste 直接读出有功功率
i1
R 电流线圈
功率表原理图
nReg 电 流 线 圈 中 通 电 流 i1=i ； 电 压 线 圈 串 一 大 电 阻 U R(R>>wL)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为
Un m 需要时，将相量还原为正弦量。
例：
I• S
Z2
I• 已知：I•S = 4Ð90o A , Z1 = Z 2 = - j30 W
Z1
Z3 Z
Z3 = 30W , Z = 45 W
UnRegistered 求：I•.
例: 已知:
V = 45V 求 A = ？
•
I
° °
A
••
ed 5 W
I1 I2 3W
2、有功功率—P
ò P = 1
T
pdt
= UI cosj
T0
单位：W（瓦）
tered l = cosj 功率因数
j：功率因数角
egis 纯电阻 j = 0 UnR 纯电感 j = 90°
P = UI = IR2 R
=
UR2 R
P= 0
纯电容 j = -90° P = 0
3、无功功率—Q
纯电阻 纯电感 纯电容
I&
I&C
UnReg I&L
I&R I&L
U&
相量图
二、混联
1、以并联部分电压为参考相量
d 2、根据KCL方程，用相量平移求和法则画出节点各 re 支路电流相量组成的多边形 iste 3、根据KVL方程，用相量平移求和法则画出各支路 UnReg 电压相量组成的多边形
＋ I&
U&
R1
jwL
＋
U&
－
§9.4 正弦交流电路的稳态分析
1、解析法步骤：
d ① 画相量等效电路
R , L , C ® 复阻抗，i , u
®
•
U
•
I
re k 设参考相量。 te 串联电路设串联电流；
并联g l 与电阻电路的分析方法、思路相同。
R 列相量等效电路的复数形式的代数方程。
p = ui
red = 2U cos(wt +ju )´ 2I cos(wt +ji ) iste = UI cos(ju -ji ) +UI cos(2wt +ju +ji ) eg = UI cos(j) +UI cos(2wt +ju + ji )
UnR * p>0, 电路吸收功率： p<0，电路发出功率；
is I
j = arc tg X
R
j = ju -ji
阻抗角 电压超前电流的相位角
Reg U& X
U&L +U&C =U&X
Un j
Z
j
X
U& R
R
电压三角形
阻抗三角形
（- 90º < j < 90°）
j j >0 j<0 j =0
电压超前电流，感性电路 电压滞后电流，容性电路
UnRegistered 电压、电流同相，阻性电路
is = P + jQ
eg =
Z
. I
*
I
= I2Z
UnR 单位：VA
二、功率因数提高
* 功率因数小的危害： j电源利用率低。
ed k输电线路损大。 r * 提高功率因数条件：
iste j保证负载正常工作。 g k不增加无用损耗。 UnRe * 解决办法：并联电容
分析:
I&
I&C
＋
I&1
已知U和P，原来
R1
＋
U& L
－
U& 2
I&3
I&2
R2
1 jwC
－
red U&
U& L
nRegiste I& I&3
U& R1
U I&2
U& 2
相量图
例：
IS＝0.4A
d R
r
L
C
tere 30V
50V
70V
is 60V
UnReg 求阻抗角，并判断电路性质
§9.5 正弦交流电路的功率
1、瞬时功率 (instantaneous power)
UnReg &Ii＝&I
´
Yi Yeq
Yeq
三、阻抗混联
例： 已知 Z1=10+j6.28W ， Z2=20-j31.9 W， Z3=15+j15.7 W
求 Zab。
aº Z3
bº
ed Zab
=
Z3
+
Z1Z2 Z1 + Z2
=
Z3
+Z
ister Z2
Z1
Z
=
(10 + 10 +
j6.28)(20 j6.28 + 20 -
egU&
U& C
UnRI&
U& R
U& C
相量图
二、并联
步骤：
red 1、以并联电压为参考相量 iste 2、以VCR确定各元件电压相量 eg 3、根据KCL方程，用相量平移求和法则画出各支路 UnR 电压相量组成的多边形
.
I
.
.
.
+
.
UR
IR IL
jw L 1 jωC
IC
-
istered I&C
jw C
nR = I& ( R + jw L + 1 ) U jw C
= I&[ R + j( X L - X C )] = I&[R + jX ] = I&Z
= I&[ R + j (w L - 1 ) ] wC
U& I&
=Z
= R+
jX
阻抗
= Z Ðj
d Z = R2 + X 2 tere Z = U
I1 cosj1 = I cosj I1 sin j1 + IC = I sin j
而：
I1
=
U
P
cosj1
而：
ed I = I1 cosj1 r cosj
iste IC = I sinj - I1 sinj1 eg IC = wCU nR C = IC
UwU
§9.7 最大功率传输
Zeq
＋
U& OC
= G -jB
nRegZ = 1 UY
§9.2 阻抗和导纳串并联
一、阻抗串联
&I Z1
＋
Z2
Zi
Zn
tered U& ＋ U& i －
－
egis Zeq＝Z1＋＋K＋Zn
UnR U& i＝U&
´
Zi Zeq
Zeq
二、阻抗并联
&I
＋
U&
－
&Ii
Y1
Y2
Yn
istered Yeq＝Y1＋Y2＋L＋Yn
－
d ZL
当ZL＝Zeq*时，获得最大功率
UnRegistere Pmax
= UOC2 4Req
def
Q = UI sinj
d 单位 : var (乏) istere j = 0 QR =UIsinj =0 eg j = 90° QL =UIsinj =U2/XL=I2XL UnR j = -90°QC =UIsinj =U2/XC=I2XC
4、视在功率—S
def
S = UI = P 2 + Q 2
j31.9) j31.9
g = 11.81Ð32.13o ´ 37.65Ð - 57.61o e 39.45Ð - 40.5o UnR = 10.89 + j2.86
\ Zab = Z 3 + Z = 15 + j15.7 + 10.89 + j2.86
= 25.89 + j18.56 = 31.9Ð35.6o W
第九章 正弦交流电路的稳态分析
d 重点： 1、阻抗、导纳 tere 2、电路的相量图 gis 3、正弦交流电路的分析 UnRe 4、正弦交流电路的功率及复功率
§9.1 阻抗和导纳
d 一、阻抗
I& R
jwL
＋
U&
＋ U& R － ＋
U&
L
－
U&＋C
1 jwC
－
re －
iste U& = U& R + U& L + U& C eg = I&R + I& ´ jw L + I& ´ 1
U&
R
jwL
d －
tere I&1 = I1 cosj1 + jI1 sinj1 is I& = I cosj + jI sinj eg I&C = jIC UnR I&1 + I&C = I&
1
的功率因数为
jwC
cosj1, 提高到
cosj，求C。
I1 cosj1 + j(I1 sin j1 + IC ) = I cosj + jI sin j
V
UnRegister j2
–j3
例:
&I －j1W
a &I2
&I1
0.5W
d U&
C
rej0.5W
iste b
UnReg 已知 Uab＝10V，I1＝10A ，求 U& &I
例:
&IS = 2.83Ð45o
50W
d ＋
re U&
50W j25W
te －
＋
U& S = 100Ð0o
－
UnRegis 求：U&
二、导纳
U& I&
=
Z
=
R+
jX
I& U&
=Y
=G-
jB
ed G电导，B电纳
UnRegister BL＝
1
wL
感纳
BC＝wC 容纳
导纳
.
I
+
.
UR
-
.
.
.
IR IL
IC
d jw L 1
istere jωC
Y
=
I• U•
=
I•R +
I• L + U•
I•C
=1+ 1 + 1
R
jwL
1 jwC
= G - j(BL - BC )
i2 » u / R 。
使用功率表应注意：
(1) 同名端：在负载u, i关联方向下，电流i从电流线圈“*” 号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P 表
ed 示负载吸收的功率。 ter (2) 量程：P的量程= U的量程´ I 的量程´cosj (表的)
UnRegis 测量时，P、U、I 均不能超量程。
§9.3 电路相量图
一、串联
步骤：
red 1、以串联电流为参考相量 iste 2、以VCR确定各元件电流相量 eg 3、根据KVL方程，用相量平移求和法则画出节点各 UnR 支路电流相量组成的多边形
I& R
jwL
＋
U&
＋ U& R － ＋
U&
L
－
U&＋C
1 jwC
－
ed －
ister U&L
U& L
例： 三表法测线圈参数。
&I
*
+
A *W
red U& V
R Z
te _
L
egis 已知f=50Hz，且测得U=50V， UnR I=1A，P=30W。
例：
&I R
L
&IC
U& UnRU& 1egRi1st&Ie2 red C U& 2
§9.6 复功率
一、 复功率
ed S~ = U• I* = UIÐ(y u -y i ) = UIÐj ter = UIcosj + jUIsinj
Q
gis j eP UnR 功率三角形
5、功率表
i
*
i2
W
电压线圈
* +
d u
Z
re -
iste 直接读出有功功率
i1
R 电流线圈
功率表原理图
nReg 电 流 线 圈 中 通 电 流 i1=i ； 电 压 线 圈 串 一 大 电 阻 U R(R>>wL)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为
Un m 需要时，将相量还原为正弦量。
例：
I• S
Z2
I• 已知：I•S = 4Ð90o A , Z1 = Z 2 = - j30 W
Z1
Z3 Z
Z3 = 30W , Z = 45 W
UnRegistered 求：I•.
例: 已知:
V = 45V 求 A = ？
•
I
° °
A
••
ed 5 W
I1 I2 3W
2、有功功率—P
ò P = 1
T
pdt
= UI cosj
T0
单位：W（瓦）
tered l = cosj 功率因数
j：功率因数角
egis 纯电阻 j = 0 UnR 纯电感 j = 90°
P = UI = IR2 R
=
UR2 R
P= 0
纯电容 j = -90° P = 0
3、无功功率—Q
纯电阻 纯电感 纯电容
I&
I&C
UnReg I&L
I&R I&L
U&
相量图
二、混联
1、以并联部分电压为参考相量
d 2、根据KCL方程，用相量平移求和法则画出节点各 re 支路电流相量组成的多边形 iste 3、根据KVL方程，用相量平移求和法则画出各支路 UnReg 电压相量组成的多边形
＋ I&
U&
R1
jwL
＋
U&
－
§9.4 正弦交流电路的稳态分析
1、解析法步骤：
d ① 画相量等效电路
R , L , C ® 复阻抗，i , u
®
•
U
•
I
re k 设参考相量。 te 串联电路设串联电流；
并联g l 与电阻电路的分析方法、思路相同。
R 列相量等效电路的复数形式的代数方程。
p = ui
red = 2U cos(wt +ju )´ 2I cos(wt +ji ) iste = UI cos(ju -ji ) +UI cos(2wt +ju +ji ) eg = UI cos(j) +UI cos(2wt +ju + ji )
UnR * p>0, 电路吸收功率： p<0，电路发出功率；
is I
j = arc tg X
R
j = ju -ji
阻抗角 电压超前电流的相位角
Reg U& X
U&L +U&C =U&X
Un j
Z
j
X
U& R
R
电压三角形
阻抗三角形
（- 90º < j < 90°）
j j >0 j<0 j =0
电压超前电流，感性电路 电压滞后电流，容性电路
UnRegistered 电压、电流同相，阻性电路
is = P + jQ
eg =
Z
. I
*
I
= I2Z
UnR 单位：VA
二、功率因数提高
* 功率因数小的危害： j电源利用率低。
ed k输电线路损大。 r * 提高功率因数条件：
iste j保证负载正常工作。 g k不增加无用损耗。 UnRe * 解决办法：并联电容
分析:
I&
I&C
＋
I&1
已知U和P，原来
R1
＋
U& L
－
U& 2
I&3
I&2
R2
1 jwC
－
red U&
U& L
nRegiste I& I&3
U& R1
U I&2
U& 2
相量图
例：
IS＝0.4A
d R
r
L
C
tere 30V
50V
70V
is 60V
UnReg 求阻抗角，并判断电路性质
§9.5 正弦交流电路的功率
1、瞬时功率 (instantaneous power)
UnReg &Ii＝&I
´
Yi Yeq
Yeq
三、阻抗混联
例： 已知 Z1=10+j6.28W ， Z2=20-j31.9 W， Z3=15+j15.7 W
求 Zab。
aº Z3
bº
ed Zab
=
Z3
+
Z1Z2 Z1 + Z2
=
Z3
+Z
ister Z2
Z1
Z
=
(10 + 10 +
j6.28)(20 j6.28 + 20 -
egU&
U& C
UnRI&
U& R
U& C
相量图
二、并联
步骤：
red 1、以并联电压为参考相量 iste 2、以VCR确定各元件电压相量 eg 3、根据KCL方程，用相量平移求和法则画出各支路 UnR 电压相量组成的多边形
.
I
.
.
.
+
.
UR
IR IL
jw L 1 jωC
IC
-
istered I&C
jw C
nR = I& ( R + jw L + 1 ) U jw C
= I&[ R + j( X L - X C )] = I&[R + jX ] = I&Z
= I&[ R + j (w L - 1 ) ] wC
U& I&
=Z
= R+
jX
阻抗
= Z Ðj
d Z = R2 + X 2 tere Z = U
I1 cosj1 = I cosj I1 sin j1 + IC = I sin j
而：
I1
=
U
P
cosj1
而：
ed I = I1 cosj1 r cosj
iste IC = I sinj - I1 sinj1 eg IC = wCU nR C = IC
UwU
§9.7 最大功率传输
Zeq
＋
U& OC
= G -jB
nRegZ = 1 UY
§9.2 阻抗和导纳串并联
一、阻抗串联
&I Z1
＋
Z2
Zi
Zn
tered U& ＋ U& i －
－
egis Zeq＝Z1＋＋K＋Zn
UnR U& i＝U&
´
Zi Zeq
Zeq
二、阻抗并联
&I
＋
U&
－
&Ii
Y1
Y2
Yn
istered Yeq＝Y1＋Y2＋L＋Yn
－
d ZL
当ZL＝Zeq*时，获得最大功率
UnRegistere Pmax
= UOC2 4Req
def
Q = UI sinj
d 单位 : var (乏) istere j = 0 QR =UIsinj =0 eg j = 90° QL =UIsinj =U2/XL=I2XL UnR j = -90°QC =UIsinj =U2/XC=I2XC
4、视在功率—S
def
S = UI = P 2 + Q 2
j31.9) j31.9
g = 11.81Ð32.13o ´ 37.65Ð - 57.61o e 39.45Ð - 40.5o UnR = 10.89 + j2.86
\ Zab = Z 3 + Z = 15 + j15.7 + 10.89 + j2.86
= 25.89 + j18.56 = 31.9Ð35.6o W
第九章 正弦交流电路的稳态分析
d 重点： 1、阻抗、导纳 tere 2、电路的相量图 gis 3、正弦交流电路的分析 UnRe 4、正弦交流电路的功率及复功率
§9.1 阻抗和导纳
d 一、阻抗
I& R
jwL
＋
U&
＋ U& R － ＋
U&
L
－
U&＋C
1 jwC
－
re －
iste U& = U& R + U& L + U& C eg = I&R + I& ´ jw L + I& ´ 1
U&
R
jwL
d －
tere I&1 = I1 cosj1 + jI1 sinj1 is I& = I cosj + jI sinj eg I&C = jIC UnR I&1 + I&C = I&
1
的功率因数为
jwC
cosj1, 提高到
cosj，求C。
I1 cosj1 + j(I1 sin j1 + IC ) = I cosj + jI sin j
V
UnRegister j2
–j3
例:
&I －j1W
a &I2
&I1
0.5W
d U&
C
rej0.5W
iste b
UnReg 已知 Uab＝10V，I1＝10A ，求 U& &I
例:
&IS = 2.83Ð45o
50W
d ＋
re U&
50W j25W
te －
＋
U& S = 100Ð0o
－
UnRegis 求：U&
二、导纳
U& I&
=
Z
=
R+
jX
I& U&
=Y
=G-
jB
ed G电导，B电纳
UnRegister BL＝
1
wL
感纳
BC＝wC 容纳
导纳
.
I
+
.
UR
-
.
.
.
IR IL
IC
d jw L 1
istere jωC
Y
=
I• U•
=
I•R +
I• L + U•
I•C
=1+ 1 + 1
R
jwL
1 jwC
= G - j(BL - BC )
i2 » u / R 。
使用功率表应注意：
(1) 同名端：在负载u, i关联方向下，电流i从电流线圈“*” 号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P 表
ed 示负载吸收的功率。 ter (2) 量程：P的量程= U的量程´ I 的量程´cosj (表的)
UnRegis 测量时，P、U、I 均不能超量程。
§9.3 电路相量图
一、串联
步骤：
red 1、以串联电流为参考相量 iste 2、以VCR确定各元件电流相量 eg 3、根据KVL方程，用相量平移求和法则画出节点各 UnR 支路电流相量组成的多边形
I& R
jwL
＋
U&
＋ U& R － ＋
U&
L
－
U&＋C
1 jwC
－
ed －
ister U&L
U& L
例： 三表法测线圈参数。
&I
*
+
A *W
red U& V
R Z
te _
L
egis 已知f=50Hz，且测得U=50V， UnR I=1A，P=30W。
例：
&I R
L
&IC
U& UnRU& 1egRi1st&Ie2 red C U& 2
§9.6 复功率
一、 复功率
ed S~ = U• I* = UIÐ(y u -y i ) = UIÐj ter = UIcosj + jUIsinj