高中数学苏教版高一必修1第二课时函数的最值作业

[学业水平训练]
一、填空题
1.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋a ＋1在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，则f (x )的最小值为________．
解析：由题意，－a ＝2，即a ＝－2，f (x )＝x 2－4x －1＝(x －2)2－5，故f (x )最小值为－5. 答案：－5
2.函数f (x )＝x ＋x －1的最小值为________．
解析：f (x )定义域为[1，＋∞]，x ＝1时f (1)＝1，x >1时f (x )>x > 1，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增，
∴f (x )min ＝f (1)＝1.
答案：1
3.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， 0≤x ≤12， 1<x <2，3， x ≥2
的最大值是________．
解析：0≤x ≤1时，f (x )＝2x 2≤2；1<x <2时，f (x )＝2；
x ≥2时，f (x )＝3.因此f (x )的最大值是3.
答案：3
4.函数f (x )＝2x x ＋1
(x ∈[0，2])的最大值为________． 解析：∵f (x )＝2（x ＋1）－2x ＋1＝2－2x ＋1
， ∴f (x )＝2x x ＋1
在x ∈[0，2]上单调递增， 所以当x ＝2时，f (x )max ＝43
. 答案：43
5.函数f (x )＝11－x （1－x ）
的最大值是________． 解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34
. 因此，有0＜11－x （1－x ）≤43
.所以f (x )的最大值为43. 答案：43
6.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．
解析：法一：f (x )＝⎩
⎨⎧2－x x <12x ＋1 x ≥12
，f (x )在(－∞，12)和[12，＋∞)上分别为减函数和增函数． ∴[f (x )]min ＝f (12)＝32.
法二：作函数f (x )的图象如图，由图知当x ＝12时，[f (x )]min ＝f (12)＝32
. 答案：32
二、解答题
7.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，且f (－1)＝－3.求函数f (x )在区间[2，3]上的最值． 解：∵f (－1)＝－3，得1－m －1＝－3，∴m ＝3，
则f (x )＝x 2＋3x －1＝(x ＋32)2－134
. ∴f (x )在区间(－32
，＋∞)上是增函数， 又∵[2，3]⊆(－32
，＋∞)， 故在区间[2，3]上，
当x ＝2时，f (x )min ＝9；
当x ＝3时，f (x )max ＝17.
8.已知函数y ＝－x 2＋4x －2.
(1)若x ∈[0，5]，求函数的单调区间；
(2)若x ∈[0，3]，求函数的最大值、最小值；
(3)若x ∈[3，5]，求函数的最大值、最小值．
解：
作出函数y ＝－x 2＋4x －2
的图象，由图象可知：
(1)当x ∈[0，5]时，函数y ＝－x 2＋4x －2的单调递增区间是[0，2]，单调递减区间是[2，5]．
(2)∵0≤x ≤3，f (x )＝－x 2＋4x －2，其对称轴为x ＝2，∴函数最大值为f (2)＝2. 又f (0)<f (3)，∴x ＝0时，函数有最小值－2.
(3)∵区间[3，5]在对称轴x ＝2的右侧，即当x ∈[3，5]时，函数单调递减，∴当x ＝3时，函数有最大值1，当x ＝5时，函数有最小值－7.
[高考水平训练]
一、填空题
1.函数f (x )＝|x －1|＋|2－x |的最小值为________．
解析：法一：
f (x )＝|x －1|＋|2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3， x >2，1， 1≤x ≤2，3－2x ， x <1，
作出函数图象(如图)易得f (x )最小值为1.
法二：在数轴上，设实数1，2，x 分别对应点A ，B ，P ，则|x －1|＋|2－x |＝A P ＋B P ，结合图象易得A P ＋B P ≥AB ＝1，当P 在A ，B 之间时取等号．
答案：1
2.定义域为R 的函数y ＝f (x )的最大值为M ，最小值为N ，则函数y ＝f (2x )＋3的最大值为________，最小值为________．
解析：y ＝f (2x )的最大值为M ，最小值为N ，故y ＝f (2x )＋3的最大值为M ＋3，最小值为N ＋3.
答案：M ＋3 N ＋3
二、解答题
3.求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[－1，1]上的最小值．
解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：
当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上单调递减，
故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；
当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1，1]上先减后增，
故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；
当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上单调递增，
故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a .
综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a （a ＞1）2－a 2 （－1≤a ≤1）.3＋2a （a ＜－1）
4.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．
某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费．且有如下三条规定： ①若每月用水量不超过最低限量，即m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；
②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．
(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系；
(2)
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过了最低限量，并求m ，n ，a 的值．
解：(1)依题意，得
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧9＋a ， 0<x ≤m ①9＋n （x －m ）＋a ，x >m ② 其中0<a ≤5.
(2)∵0<a ≤5，∴9<9＋a ≤14.
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．
将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝23分别代入②， 得⎩
⎪⎨⎪⎧17＝9＋n （4－m ）＋a ，23＝9＋n （5－m ）＋a .两式相减，得n ＝6，把n ＝6代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.
又三月份用水量为2.5立方米，水费为11元<14元．
∴将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2.5y ＝11代入①，得11＝9＋a ， 解得a ＝2，将a ＝2代入a ＝6m －16，得m ＝3.
∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最低限量，三月份的用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.。