北京工业大学-数学建模6-图论(组合优化)实验201311

设xij为第i（1,2,3,4）阶段生产在第j(i,2,3,4)阶段交货的交货量。则得到数学规划模型为：
s.t.
编写Lingo程序如下：
sets:
season/ 1..4/: a, b;
routes(season, season) :c,x;
endsets
[obj] min = @sum(routes: c*x);
书是我们时代的生命别林斯基书籍是巨大的力量列宁书是人类进步的阶梯高尔基书籍是人类知识的总统莎士比亚书籍是人类思想的宝库乌申斯基书籍举世之宝梭罗好的书籍是最贵重的珍宝别林斯基书是唯一不死的东西丘特书籍使人们成为宇宙的主人巴甫连柯书中横卧着整个过去的灵魂卡莱尔人的影响短暂而微弱书的影响则广泛而深远普希金人离开了书如同离开空气一样不能生活科洛廖夫书不仅是生活而且是现在过去和未来文化生活的源泉法耶夫书籍把我们引入最美好的社会使我们认识各个时代的伟大智者书籍便是这种改造灵魂的工具
8, 5, 6, 7,
12, 9, 6, 7,
15, 12, 9, 6;
enddata
只列出相关部分，分析结果见xueyunqiang-chapter6-3(1)：
从分析结果可知：
I季度生产13万盒，其中10万盒本季度使用，3万盒II季度使用；
II季度生产15万盒，其中11万盒本季度使用，4万盒III季度使用；
@sum(Flight(j): x(j,i)) = 1;
);
只列出相关的分析结果：
由分析结果可知，每名工人完成工作的最优方案为：
甲做工作D;
乙做工作C;
丙做工作B;
丁做工作A;
总费用为140元。
（2）设决策变量为xij,当第i个人做第j项工作时，决策变量xij=1,否则，决策变量为0.最优该题目的最优指派问题模型为：
);
@sum(arcs(j,i)丨i#eq#n:x(j,i))=1;
@for(arcs:@bin(x));
运行结果见xueyunqiang-chapter6-1
从运行结果xueyunqiang-chapter6-1可知最优方案为:A2→B3→C1→D2→E3→F1→G,即为（K,R,K,K,R），使用-更新-使用-使用-更新，使用2年的机器在第1决策年继续使用，第2决策年开始更新，第3决策年继续使用，第4决策年继续使用，第5决策年更新。
s.t.
编写Lingo程序如下：
sets:
season/ 1..4/: a, b ;
Routes(season, season)|&1 #le# &2 : c, x ,s ,y;
endsets
[obj] min = @sum(Routes: c * x+ s * y );
@for(season(i): [SUP]
(1)确定每名工人完成工作的最优方案；
(2)假设有另外一名工人（戊）能完成这4项工作，完成每项工作相应费用分别为60、45、30和80元。是否用这名新工人（戊）替换原来的某位工人？
（3）假设公司有了第5项工作（E）,4名工人（甲、乙、丙、丁）完成工作E的费用分别为20、10、20和80元。这项新工作E比原有的四项工作（A,B,C,D）的某一项优先么？
解：由于可以允许延期交货，故每个季度生产的除臭剂可以向任意季度供货，但是往前期供货的费用在生产成本的基础上再增加惩罚费用，调运方案如图：
设每个季度的生产量为ai,i=1,2,3,4.
订货量为bi,i=1,2,3,4.
成本为cij,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4;同期供应的成本为生产成本，后期供应的成本为生产成本+存储成本，前期供应的成本为生产成本+罚金。
要想判断是不是替换原工作人员，只许看看最优安排方案，如果最优方案含有戊，则替换原工作人员，如果最优方案没有戊，则不替换原工作人员。
编写相应的Lingo模型：
sets:
person/jia,yi,bing, ding,wu/;
work/A, B, C, D/;
assign(person,work) :c, x;
表6.4每名工人完成每项工作的费用（单位：元）
工人
工作
A
B
C
D
甲
50
50
-
20
乙
70
40
20
30
丙
90
30
50
-
丁
70
20
60
70
解：（1）
设决策变量为xij,当第i个人做第j项工作时，决策变量xij=1,否则，决策变量为0.最优该题目的最优指派问题模型为：
编写相应的Lingo模型：
sets:
Flight/1..4/;
一季度生产13万盒，其中10万盒一季度供应，3万盒二季度供应；
二季度生产15万盒，其中10万盒二季度供应，5万盒三季度供应；
三季度生产15万盒，都供应三季度；
四季度生产8万盒，都供应四季度；
二季度加班生产1万盒，供应二季度；
总费用为292万元。
4.指派问题
某公司需要把4项工作派给4名工人，每名工人完成每项工作的费用如表6.4所示，其中工人甲不能完成工作C,工人丙不能完成工作D.
3.生产计划与库存管理
（1）某公司生产一种除臭剂，它在1至4季度的生产成本、生产量及订货量表6.3所示。如果除臭剂在生产当季没有交货，保管在仓库里除臭剂每盒每季度还需1元钱的存储费用。如果某个季度的货物供应量不足，则允许延期交货，延期交货的罚金是每盒每季度3元。请公司希望制定一个成本最低（包括储存费用和罚金）的除臭剂的生产计划，问各季度应生产多少？
@for(season(i): [sup]
@sum(season(j) : x(i,j)) <= a(i));
@for(season(j):[dem]
@sum(season(i): x(i,j)) = b(j));
data:
a= 13, 15, 15, 13;
b= 10, 14, 20, 8;
c= 5, 6, 7, 8,
@sum(season(j) |i#le# j: x(i,j)) <= a(i));
@for(season(j): [DEM]
@sum(season(i) |i#le# j: x(i,j)+y(i,j)) = b(j));
@for(season(i):
@sum(season(j) |i#le# j: y(i,j)) < = 2 );
表6.2 煤矿与各城市之间的煤炭运价表（单位：万元/万吨）
甲
乙
丙
A
15
18
22
B
21
25
16
解：设cij,i=1,2,j=1,2,3分别为煤矿A,B向甲乙丙运送煤炭的运价。
xij,i=1,2,j=1,2,3分别为煤矿A,B向甲乙丙三个城市运送的煤炭量。
所要解决的问题是总运费最低，即目标函数为：
由于要求A,B煤炭全部分配出去，bj为甲乙丙城市的最低需求量：
III季度生产15万盒，全部本季度使用；
IV季度生产9万盒，其中1万盒III季度使用，8万盒本季度使用；
最终的总成本为294万元。
(2)设每个季度的生产量为ai,i=1,2,3,4.
订货量为bi,i=1,2,3,4.
成本为cij,i=1,2,3,4,j=1,2,3,4;同期供应的成本为生产成本，后期供应的成本为生产成本+存储成本，不进行前期供应。
图6.1设备更新问题网络表示图：
编写Lingo程序，用图的方法求解设备更新问题，本质上就是求解图中从
起始点到终点的最长路，因此模型的数学表达式与最短路模型的表达式基本相同，
只需将求极小值改为求极大值，其他不变。
Lingo程序为：
sets:
nodes/A2,B3,B1,C4,C2,C1,D5,D3,D2,D1,E6,E4,E3,E2,E1,F5,F4,F3,F2,F1,G/;
enddata
从xueyunqiang-chapter6-2运行结果可知，最优方案为：
A向甲运送150万吨，向乙运送250万吨，不向丙运送；
B向甲运送140万吨，向丙运送310万吨，不向乙运送；
此时的最优方案的总费用为14650万元。其中甲得到的煤为290万吨，乙得到的煤为250万吨，丙得到煤310万吨，比最低限额多40万吨。
arcs(nodes,nodes)/
A2,B3A2,B1
B3,C4B3,C1B1,C2B1,C1
C4,D5C4,D1C2,D3C2,D1C1,D2C1,D1
D5,E6D5,E1D3,E4D3,E1D2,E3D2,E1D1,E2D1,E1
E6,F1 E4,F5 E4,F1 E3,F4 E3,F1 E2,F3 E2,F1 E1,F2 E1,F1
1030506080;
enddata
n=@size(nodes);
max=@sum(arcs:c*x);
@sum(arcs(i,j)丨i#eq#1:x(i,j)=1;
@for(nodes(i))丨i#ne#1 #and#i#ne#n:
@sum(arcs(i,j):x(i,j))-@sum(arcs(j,i):x(j,i))=0
表6.3 公司的生产成本、生产量及订货量
季度
生产成本（盒/元）
订货量（万盒）
生产量（万盒）
I
5
10
13
II
5
14
15
III
6
20
15
IV

8
13
（2）如果产品不允许延期交货，则公司考虑工人加班，已知加班生产出产品的成本要比原成本高出20%，且每季度加班最多生产2万盒。问：在这种情况下，将如何安排生产，使总成本最少？
data:
a = 13, 15, 15, 13;
b = 10, 14, 20, 8;
c= 5, 6, 7, 8,
5, 6, 7,
6, 7,
6;
s= 6, 7, 8, 9,
6, 7, 8,
7.2, 8.2,
7.2;
enddata
只列出相关的运行结果：
从分析结果xueyunqiang-chapter6-3(2)可知，在允许加班的情况下，最优方案是：
@sum(to(j): x(i,j)) = Capacity(i));
@for(to(j):[DEM]
@sum(from(i): x(i,j)) >=Demand(j));
data:
Capacity=400,450 ;
Demand=290, 250, 270;
c = 15, 18, 22,
21, 25,16;
数学规划问题为：
按照数学规划模型，编写Lingo程序如下：
sets:
from/ A, B/: Capacity;
to /jia,yi,bing/: Demand;
routes(from, to): c, x;
endsets
[obj] min = @sum(routes: c*x);
@for(from(i):[SUP]
F5,GF4,GF3,GF2,GF1,G
/:c,x;
endsets
data:
c=17.3-20.2
15.7-30.218.4-0.2
13.8-50.217.3-20.218.4-0.2
12.2-70.215.7-30.217.3-20.218.4-0.2
-75.213.8-50.215.7-30.217.3-20.218.4-0.2
endsets
data:
c=50, 50 , 99, 20,
70, 40, 20, 30,
90, 30, 50, 99,
70, 20, 60, 70,
60, 45, 30, 80;
enddata
[OBJ] min =@sum(assign:c* x);
图论（组合优化）实验作业
一、基本实验
1.设备更新问题
某公司需要对一台已经使用了2年的机器确定今后4年（n=4）的最优更新策略。公司要求，用了6年的机器必须更新，购买一台新机器的价格是100万元，表6.1给出了该问题的数据，请给出设备的更新策略。
表6.1 每年设备运行收入、运行成本以及折旧现值（单位：万元）
使用年数
收入
运行成本
折旧现值
0
20.0
0.2
—
1
19.0
0.6
80.0
2
18.5
1.2
60.0
3
17.2
1.5
50.0
4
15.5
1.7
30.0
5
14.0
1.8
10.0
6
12.2
2.2
5.0
解：设rk,ck和sk表示某台k龄机器的年收入，运行费用和折旧现值（如图6.1），购买一台新机器的费用每年都是I，则每项决策所产生的价值是：
2.运输问题
有甲、乙和丙三个城市，每年分别需要煤炭320万吨、250万吨和350万吨，由A、B两个煤矿负责供应。已知煤矿年产量A为400万吨，B为450万吨，从两煤矿至各城市煤炭运价如表6.2所示。由于需求大于供应，经协商平衡，甲城市在必要时可少供应0-30万吨，乙城市需求量必须全部满足，丙城市需求量不少于270万吨。试求甲、乙两煤炭全部分配出去，满足上述条件又使总运费最低的调运方案。
fij，i=1,2,3,4,j=1,2,3,4为加班生产的成本；同期供应为生产成本的120%,后期供应为120%生产成本+存储成本，不进行前期供应。
设xij为第i（1,2,3,4）阶段生产在第j(>=i)阶段交货的交货量。
设yij为第i（1,2,3,4）阶段加班生产在第j(>=i)阶段交货的交货量
则得到数学规划模型为：
Assign(Flight, Flight): c, x;
endsets
data:
c =50 5099 20
70 4020 30
90 3050 99
70 2060 70;
enddata
min= @sum(Assign: c*x);
@for(Flight(i):
@sum(Flight(j): x(i,j)) = 1;