(教师用书)高中数学 1.2 第1课时 距离与高度问题课件 新人教B版必修5
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α 为坡角
坡 比
坡面的垂直高度 与水平宽度之比
h 坡比：i＝ l
仰 角
在同一铅垂平面 内，视线在水平 线上方时与水平 线的夹角 在同一铅垂平面 内，视线在水平 线下方时与水平 线的夹角
俯 角
ห้องสมุดไป่ตู้
求两点间可视但不可到达的距离问题
如图 1－2－1，在河岸边有一点 A，河对岸有一 点 B，要测量 A，B 两点的距离，先在岸边取基线 AC，测得 AC＝120 m，∠BAC＝45° ，∠BCA＝75° ，求 A ，B 两点间的 距离．
如图 1－2－2，为了开凿隧道，要测量隧道上 D，E 间的 距离，为此在山的一侧选取适当点 C，测得 CA＝400 m，CB ＝600 m，∠ACB＝60° ，又测得 A，B 两点到隧道口的距离 AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B 在一条直线上)，计算隧 道 DE 的长．(精确到 1 m)
1.2
应用举例
第 1 课时 距离和高度问题
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 有关测量距离、高度的实际问题； (2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法； (3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解 决数学问题的能力．
2．过程与方法 (1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程，体会数学建 模思想； (2)能够从数学角度去思考问题，体验解决问题方法策略 的多样性； (3)体验合作学习的过程，能在小组合作探究中清楚地表 述自己的观点，善于倾听和评估不同意见．
(3)合作探究学习策略：建立小组讨论、交流、合作机制， 创设民主合作、宽松活泼的课堂气氛，使学生人人积极参与， 个个体验到成功的喜悦，维持学生主动学习的动机；(4)探究 引导策略：通过教师的适时点拨、启发，突破小组合作探究 的难点，使每一个学生都有所得，把课堂变成学生再发现、 再创造的阵地．
●教学流程
3．情感、态度与价值观 (1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用，增强对数 学学习的兴趣； (2)在探究合作过程中，增加探究意识与合作意识，增强 与人交流的意识； (3)通过课外实习活动，体会数学的应用价值．
●重点难点 重点：1.实际问题向数学问题的转化； 2．解斜三角形的方法． 难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.
求不可到达两点之间的距离问题
在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形 3a 势，在两个相距为 2 的军事基地 C 和 D 测得蓝方两支精锐 部队分别在 A 处和 B 处，且∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠ DCA＝60° ，∠ACB＝45° ，如图 1－2－3 所示，求蓝方这两支 精锐部队的距离．
可选择的教学策略：(1)自主学习策略：借助预习提纲引 导学生自主学习，分析教材中的例题蕴含的解题方略，从而 带着问题进入课堂，提升思维的深度和广度；(2)情景创设策 略：设计与生活实际紧密联系的问题情境，让教学活动在不 断提出问题、不断解决问题之中展开，最大限度地激发学生 的学习欲望和学习热情，提高学习效果；
1． 本类题目实际上就是已知三角形的两个角和一边解三 角形问题，只要用正弦定理就可解决，解题时一定要学会将 实际问题进行转化．
2．如图所示，设 A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点， 要测量 A，B 两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线 AC(尽量长)，且使 AB，AC 不共线； (2)测量 AC，∠BAC，∠BCA； (3)用正弦定理解△ABC，得 ACsin C ACsin C AB＝ ＝ . sin B sin180° －A－C
图 1－2－2
【解】 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BCcos ∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60° ＝280 000. ∴AB＝200 7(m)． ∴DE＝AB－AD－BE＝200 7－120≈409(m)． ∴隧道 DE 的长约为 409 m.
∵∠ ADC ＝∠ ADB ＋∠ CDB ＝
又∵∠ACD＝60° ，∴∠DAC＝60° ， 3 ∴AD＝CD＝AC＝ 2 a. 在△BCD 中，∠DBC＝180° －30° －105° ＝45° . DB CD ∵ ＝ ， sin∠BCD sin∠DBC 6＋ 2 sin∠BCD 3＋ 3 3 4 ∴DB＝CD· ＝ 2 a· ＝ 4 a. sin∠DBC 2 2
●教学建议 本节课重点是创设问题情境，通过对不可到达的两点的 距离、不可到达底部的塔高的测量方法的探究，运用正余弦 定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运 用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、 分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数 学”，提高应用数学的意识．教学中教师应着重从引导学生 探索解三角形的条件，根据题意建立数学模型，画出示意图， 化实际问题为数学问题并最终得到实际问题的解．
演示结束
1.能将实际问题转化为解三角形 问题．(难点) 课标 2．能够用正、余弦定理等知识 解读 和方法求解与距离和高度有关的 实际应用问题．(重点)
实际测量中的有关名词、术语
名称 基线 铅垂 平面 定义 图示
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
图 1－2－1
【思路探究】
(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？
(2)能用正弦定理求出 AB 的长度吗？
【自主解答】 在△ABC 中，AC＝120，∠A＝45° ，∠C ＝75° ， 则∠B＝180° －(∠A＋∠C)＝60° ， sin C 120sin 75° 由正弦定理，得 AB ＝ AC ＝ ＝ 20(3 2 ＋ sin 60° sin B 6)． 即 A，B 两点间的距离为 20(3 2＋ 6)m.
图 1－2－3
【思路探究】
本题的未知量可以看成测量两点不可到
达的距离的量，因此可以解三次三角形．法一：分别由解△ ADC 和△BDC 得 AD 和 BD，再解△ABD 得 AB； 也可采用法 二：分别由解△ADC 和△BDC 得 AC 和 BC，再解△ABC 得 AB.
【自主解答】 60° ，
法一
坡 比
坡面的垂直高度 与水平宽度之比
h 坡比：i＝ l
仰 角
在同一铅垂平面 内，视线在水平 线上方时与水平 线的夹角 在同一铅垂平面 内，视线在水平 线下方时与水平 线的夹角
俯 角
ห้องสมุดไป่ตู้
求两点间可视但不可到达的距离问题
如图 1－2－1，在河岸边有一点 A，河对岸有一 点 B，要测量 A，B 两点的距离，先在岸边取基线 AC，测得 AC＝120 m，∠BAC＝45° ，∠BCA＝75° ，求 A ，B 两点间的 距离．
如图 1－2－2，为了开凿隧道，要测量隧道上 D，E 间的 距离，为此在山的一侧选取适当点 C，测得 CA＝400 m，CB ＝600 m，∠ACB＝60° ，又测得 A，B 两点到隧道口的距离 AD＝80 m，BE＝40 m(A，D，E，B 在一条直线上)，计算隧 道 DE 的长．(精确到 1 m)
1.2
应用举例
第 1 课时 距离和高度问题
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 有关测量距离、高度的实际问题； (2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法； (3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解 决数学问题的能力．
2．过程与方法 (1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程，体会数学建 模思想； (2)能够从数学角度去思考问题，体验解决问题方法策略 的多样性； (3)体验合作学习的过程，能在小组合作探究中清楚地表 述自己的观点，善于倾听和评估不同意见．
(3)合作探究学习策略：建立小组讨论、交流、合作机制， 创设民主合作、宽松活泼的课堂气氛，使学生人人积极参与， 个个体验到成功的喜悦，维持学生主动学习的动机；(4)探究 引导策略：通过教师的适时点拨、启发，突破小组合作探究 的难点，使每一个学生都有所得，把课堂变成学生再发现、 再创造的阵地．
●教学流程
3．情感、态度与价值观 (1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用，增强对数 学学习的兴趣； (2)在探究合作过程中，增加探究意识与合作意识，增强 与人交流的意识； (3)通过课外实习活动，体会数学的应用价值．
●重点难点 重点：1.实际问题向数学问题的转化； 2．解斜三角形的方法． 难点：实际问题向数学问题转化思路的确定.
求不可到达两点之间的距离问题
在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形 3a 势，在两个相距为 2 的军事基地 C 和 D 测得蓝方两支精锐 部队分别在 A 处和 B 处，且∠ADB＝30° ，∠BDC＝30° ，∠ DCA＝60° ，∠ACB＝45° ，如图 1－2－3 所示，求蓝方这两支 精锐部队的距离．
可选择的教学策略：(1)自主学习策略：借助预习提纲引 导学生自主学习，分析教材中的例题蕴含的解题方略，从而 带着问题进入课堂，提升思维的深度和广度；(2)情景创设策 略：设计与生活实际紧密联系的问题情境，让教学活动在不 断提出问题、不断解决问题之中展开，最大限度地激发学生 的学习欲望和学习热情，提高学习效果；
1． 本类题目实际上就是已知三角形的两个角和一边解三 角形问题，只要用正弦定理就可解决，解题时一定要学会将 实际问题进行转化．
2．如图所示，设 A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点， 要测量 A，B 两点之间的距离，步骤是：
(1)取基线 AC(尽量长)，且使 AB，AC 不共线； (2)测量 AC，∠BAC，∠BCA； (3)用正弦定理解△ABC，得 ACsin C ACsin C AB＝ ＝ . sin B sin180° －A－C
图 1－2－2
【解】 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BCcos ∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60° ＝280 000. ∴AB＝200 7(m)． ∴DE＝AB－AD－BE＝200 7－120≈409(m)． ∴隧道 DE 的长约为 409 m.
∵∠ ADC ＝∠ ADB ＋∠ CDB ＝
又∵∠ACD＝60° ，∴∠DAC＝60° ， 3 ∴AD＝CD＝AC＝ 2 a. 在△BCD 中，∠DBC＝180° －30° －105° ＝45° . DB CD ∵ ＝ ， sin∠BCD sin∠DBC 6＋ 2 sin∠BCD 3＋ 3 3 4 ∴DB＝CD· ＝ 2 a· ＝ 4 a. sin∠DBC 2 2
●教学建议 本节课重点是创设问题情境，通过对不可到达的两点的 距离、不可到达底部的塔高的测量方法的探究，运用正余弦 定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运 用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、 分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数 学”，提高应用数学的意识．教学中教师应着重从引导学生 探索解三角形的条件，根据题意建立数学模型，画出示意图， 化实际问题为数学问题并最终得到实际问题的解．
演示结束
1.能将实际问题转化为解三角形 问题．(难点) 课标 2．能够用正、余弦定理等知识 解读 和方法求解与距离和高度有关的 实际应用问题．(重点)
实际测量中的有关名词、术语
名称 基线 铅垂 平面 定义 图示
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
图 1－2－1
【思路探究】
(1)AC 的对角∠ABC 是多少度？
(2)能用正弦定理求出 AB 的长度吗？
【自主解答】 在△ABC 中，AC＝120，∠A＝45° ，∠C ＝75° ， 则∠B＝180° －(∠A＋∠C)＝60° ， sin C 120sin 75° 由正弦定理，得 AB ＝ AC ＝ ＝ 20(3 2 ＋ sin 60° sin B 6)． 即 A，B 两点间的距离为 20(3 2＋ 6)m.
图 1－2－3
【思路探究】
本题的未知量可以看成测量两点不可到
达的距离的量，因此可以解三次三角形．法一：分别由解△ ADC 和△BDC 得 AD 和 BD，再解△ABD 得 AB； 也可采用法 二：分别由解△ADC 和△BDC 得 AC 和 BC，再解△ABC 得 AB.
【自主解答】 60° ，
法一