最新初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点总复习有答案(3)

最新初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点总复习有答案(3)
一、选择题
1．设x 1，x 2是方程220160x x --=的两实数根，则31220172016x x +-的值是（ ） A ．2015
B ．2016
C ．2017
D ．2018 【答案】C
【解析】
【分析】
采用“降次”思想，将3
1x 转化为120172016+x ，再利用根与系数的关系可得答案．
【详解】
∵x 1，x 2是方程220160x x --=的两实数根
∴x 1+x 2=1，21120160--=x x
∴211=2016+x x 32111111=2016=20162016=20172016++++x x x x x x
∴31220172016x x +-
=122017201620172016++-x x
=()122017+x x
=2017
故选C ．
【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式12=b x x a
+-
，以及采用降次思想进行转化是解题的关键．
2．国庆期间电影《我和我的祖国》第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x ，则方程可以列为（ ） A ．3(1)10x +=
B ．23(1)10x +=
C ．233(1)10x ++=
D ．233(1)3(1)10x x ++++=
【答案】D
【解析】
【分析】
用含x 的代数式表示出第二天和第三天的票房收入，三天的票房收入再相加即得答案.
【详解】
解：设平均每天票房收入的增长率记作x ，则233(1)3(1)10x x ++++=. 故选：D.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用之增长降低率问题，一般的，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为：()2
1a x b ±=.
3．将方程()22230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ）
A ．1和3
B ．-1和3
C ．1和4
D ．-1和4 【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】
移项得x 2-2x=3，
配方得x 2-2x+1=4，
即（x-1）2=4，
∴m=1，n=4．
故选C ．
【点睛】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x 2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax 2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px+q=0，然后配方．
4．用配方法解一元二次方程
时，原方程可变形为（ ） A ．2(2)1x +=
B ．2(2)7x +=
C ．2(2)13+=x
D ．2(2)19+=x 【答案】B
【解析】
试题分析：243x x +=，24434x x ++=+，2(2)7x +=．故选B ．
考点：解一元二次方程-配方法．
5．八年级()1班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片36张，则同去春游的人数是（ ）
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】A
【解析】
【分析】
设同去春游的人数是x 人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设同去春游的人数是x 人， 依题意，得：1(1)362
x x -=， 解得：19x =，28x =-（舍去）．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A ．21130x x +-=
B ．ax 2+bx +c ＝0
C ．x 2+5x ＝x 2﹣3
D ．x 2﹣3x +2＝0 【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，可得答案．
【详解】
解：A 、是分式方程，故A 错误；
B 、a ＝0时是一元一次方程，故B 错误；
C 、是一元一次方程，故C 错误；
D 、是一元二次方程，故D 正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
7．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．100（1+x ）2=282
B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282
C ．100（1+2x ）＝282
D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282
【答案】B
【解析】
【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么可以用x 分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002(1)x +，
根据题意可得：
100+100（1+x ）+1002(1)x +=282.
故选：B ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为2
(1)a x b +=，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量．
8．在解方程（x+2）（x ﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x ﹣2=5，得方程的根x 1=﹣1，x 2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x ﹣3）=0，得方程的根x 1=﹣3，x 2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）
A ．甲错误，乙正确
B ．甲正确，乙错误
C ．甲、乙都正确
D ．甲、乙都错误
【答案】A
【解析】（x+2）（x ﹣2）=5，
x 2-4=5，
x 2-9=0，
（x+3）（x-3）=0，
x+3=0或x-3=0，
x 1=-3，x 2=3，
所以甲错误，乙正确，
故选A.
9．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A ．2810x x --=配方变为2(4)1x -=
B ．21()1x x x x
÷+=+ C ．221090x x ++=配方变为2(25)16x += D ．22()()x y x y x y ---+=-
【答案】D
【解析】
【分析】
A 、C 选项，利用配方法的步骤进行计算即可，
B 、D 选项为根据整式的除法和乘法即可判断.
【详解】
A 选项，x 2-8x-1=0利用配方法得，x 2-8x+16-16=1整理得（x-4）2=17，选项错误
B 选项，整式的除法，()221(1)1
x x x x x x x x x x ÷+===+++，选项错误
C 选项，2x 2+10x+9=0 将x 2系数化为1得，29502x x ++
=，利用配方法得2252595442x x ++-=-，整理得，2
5724x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，故该选项错误； D 选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x ，y 与-y 互为相反数，即有（-x-y ）（-x+y ）=x 2-y 2，正确
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．
10．已知关于X 的方程x 2 +bx+a=0有一个根是-a （a ≠0），则a-b 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．-1
D ．0 【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系x 1•x 2=
c a
、以及已知条件求出方程的另一根是-1，然后将-1代入原方程，求a-b 的值即可．
【详解】
∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），
∴x 1•（-a ）=a ，即x 1=-1，
把x 1=-1代入原方程，得：
1-b+a=0，
∴a-b=-1．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解．解题关键是根据一元二次方程的根与系数的关系确定方程的一个根．
11．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（ ）
A ．9
B ．3
C ．0
D ．﹣3
【答案】D
【解析】
分析：根据关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，可以求得2a b -的值，从而可以求得636a b -+的值．
详解：∵关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为x =−2，
∴()()2
2260a b ，
⨯-+⨯-+= 化简，得
2a −b +3=0，
∴2a −b =−3，
∴6a −3b =−9，
∴6a −3b +6=−9+6=−3，
故选D.
点睛：考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，建立所求式子与已知方程之间的关系.
12．若关于x 的方程2230x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．98
m ≤
B ．98m <
C ．98m >
D ．98m = 【答案】B
【解析】
【分析】 若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m
的取值范围．
【详解】 ∵方程有两个不相等的实数根，a=2，b=-3，c=m ，
∴△=b 2-4ac=（-3）2-4×2×m ＞0， 解得98
m <
． 故选：B ．
【点睛】 此题考查根的判别式，解题关键在于掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
13．如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两个根分别是13x =，24x =，那么p ，q 的值分别是（ ）
A ．3，4
B ．-7，12
C ．7，12
D ．7，-12
【答案】B
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为13x =，24x =，
∴3+4=-p ，3×4=q ，
∴p=-7，q=12，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
14．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A ．211x x +=
B ．10xy +=
C ．(x ＋1)(x －2)＝0
D ．()()2112x x x x -+=+ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】
A 、是分式方程，故此选项错误；
B 、是二元二次方程，故此选项错误；
C 、是一元二次方程，故此选项正确；
D 、整理后是一元一次方程，故此选项错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
15．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程为（ ）
A ．()2100181x +=
B ．()2811100x +=
C ．()2811100x -=
D ．()2
100181x -=
【答案】D
【解析】
【分析】
此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】
由题意可列方程是：()2100181x -=.
故选：D.
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程
16．若关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k <-
B ．1k >-
C ．1k <
D ．1k >
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式进而得出k 的取值范围．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根，
∴24441()b ac k -=-⨯⨯- 4 4 0k =+>，
∴1k >-．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
17．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为 35 米，与墙平行的边留有 1 米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为 160 平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ）
A ．7.5 米
B ．8米
C ．10米
D ．10米或8米
【答案】C
【解析】
【分析】 设长为x ，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（x−1）米，与2倍的宽长的总和为篱笆的长35米，长×宽＝面积160平方米，根据这两个式子可解出长和宽的值．
【详解】
解：设鸡场的长为x ，因为篱笆总长为35米，由图可知宽为：35(1)2
x --米， 则根据题意列方程为：35(1)1602
x x --=g
， 解得：x 1＝16，x 2＝20（大于墙长，舍去），
宽为：35(161)
2
--
=10（米），
所以鸡场的长为16米，宽为10米，
即鸡场与墙垂直的边长为10米．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积=长×宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．
18．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（）
A．1+2或1﹣2B．1或﹣1 C．1﹣2或1 D．1+2或﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x≥﹣x，即x≥0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，
∴x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝1+2（1﹣2<0，不符合舍去）；
②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），
即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为1+2或﹣1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．
19．若关于x的一元二次方程2210
x x kb
-++=有两个不相等的实数根，则一次函数
y kx b
=+的图象可能是:
A．B．C．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,
可得()4410kb =-+V
＞， 解得0kb ＜，即k b 、异号，
当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，
当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B.
20．以3和4为根的一元二次方程是（ ）
A ．27120x x -+=
B ．27120x x ++=
C ．27120x x +-=
D ．27120x x --=
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可．
【详解】
A 、在x 2﹣7x+12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=12，此选项正确；
B 、在x 2+7x+12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=12，此选项不正确；
C 、在x 2+7x ﹣12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；
D 、在x 2﹣7x ﹣12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a ，x 1•x 2=c a ．。