高中数学第三章三角恒等变换综合测试卷A卷新人教A版必修4

第三章 三角恒等变换
（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数sin 23cos 2y x x =-的图象的一条对称轴方程为（ ） A ． π
12
x =
B ． π12x =-
C ． π6x =
D ． π6
x =- 【答案】B
2. 若0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且2
3
cos cos 2tan 210
πααα⎛⎫++==
⎪⎝⎭，则（ ） A.
1
2
B.
13
C.
14 D.
15
【答案】B 【解析】10
3)22
cos(cos
2
=++απα，23
cos 2sin cos 10
ααα-=
22
12tan 3
3tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+
所以()1
tan ,tan 73
αα==-舍
3. θ为锐角，2sin 410πθ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则1tan tan θθ+
=（ ） A ．
2512 B ．724 C ．247 D ．12
25
【答案】A
【解析】因为θ为锐角，且2sin()410θπ
-=
，所以(0,)42
θππ
-∈，所以72cos()410θπ-=，所以
1tan()47θπ-=，即
tan tan
1471tan tan 4
θθπ
-=π+，解得
3tan 4θ=，所以13425tan tan 4312θθ+=+=，故选A ． 4．若sin cos 1
sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）
A.34-
B.3
4
C.43-
D.43
【答案】B 【解析】由
sin cos 1sin cos 2αααα+=-可得3tan -=α,则43
9162tan =--=α,故应选B.
5．若tan =34α⎛⎫+- ⎪⎝
⎭
π，则2
cos 2sin 2αα+=（ ） A.
9
5 B.1 C.35- D.75
-
【答案】A
【解析】3tan 1tan 1)4tan(-=-+=+α
απ
α，解得2tan =α，22
22cos 4sin cos cos 2sin 2sin cos ααααααα++=
+ 2
14tan 9
tan 15
αα+=
=+.故选A. 6. 【2018届天津市静海县第一中学、杨村一中、宝坻一中等六校高三上学期期中】若点()cos ,sin P αα 在直线2y x =-上，则2
sin cos 22παα⎛
⎫
++= ⎪⎝
⎭
（ ） A. 0 B. 25 C. 65 D. 85
【答案】D
7. 【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考】若4
cos 5
α=-
, α是第三象限的角,则
1tan 21tan
2
αα
+=-（ ）
A. 12-
B. 1
2
C. 2
D. -2 【答案】A
【解析】试题分析：∵4cos 5α=-
， α为第三象限，∴3
sin 5
α=-, ∵2
sin
2
1cos sin 1tan cos cos sin 2222221tan sin cos sin cos sin cos sin 222222221cos
2
αααα
α
α
α
ααααααααα+
⎛
⎫+++ ⎪
⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪
⎝
⎭⎝⎭-
22311sin 1sin 154cos 2cos sin 225
ααααα⎛⎫+- ⎪
++⎝⎭====---．
8.【2018届四川省成都市双流中学高三11月月考】若，则
的值为( )
A.
B. C.
D.
【答案】C 【解析】由
，则
，可得
，则
，故选C.
9.【2018届湖北省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上学期期中】下列各式3
） A. 0
sin15cos15 B. 2
2
cos sin 1212π
π
- C. 00
1tan151tan15+-0
1cos302
+【答案】B
【解析】A. 00011
sin15cos15sin3024
=
=
B ． 2
2
3cos
sin cos
.12
12
6
π
π
π
-==
C ． 00
1tan151tan15
+- 0
tan752 3.==+ D ． 001cos306-2cos15=
24
+= 故答案为B.
10．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin(2)2
π
θ+
=（ ）
A ．7210-
B ．7210
C ．210-
D ．210
【答案】D
11.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3
π
个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ) A ． ()⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 【答案】A
【解析】化简函数)6
2sin(2)26sin(22sin 32cos 2sin 3sin 21)(2π
π
--=-=-=--=x x x x x x x f 的图象向左平移
3π
个单位得函数()x g 的图象，则)2
2sin(2)]22(sin[2)22sin(2]6)3(2sin[2)3()(π
ππππππ-=++-=+-=-+-=+=x x x x x f x g ，
故选A ． 12.已知02
π
α<<
，02π
β-
<<，3cos()5αβ-=-，4
tan 3
α=，则sin β=（ ）
A
．
7
25
B．
7
25
-
C.
24
25
D．
24
25
-
【答案】B
【解析】根据α和β的范围得出β
α-的范围，然后由)
cos(β
α-和α
tan的值，利用同角三角函数间的
基本关系，即可求出)
sin(β
α-，α
sin及α
cos的值，然后由)
(β
α
α
β-
-
=，利用两角差的正弦函数公
式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求出值．因为
2
π
α<
<，0
2
<
<
-β
π
，得到π
β
α<
-
<
0，
由
5
3
)
cos(=
-β
α，得到
5
4
)
5
3
(
1
)
sin(2=
-
=
-β
α，由
4
3
tan=
α，得到
5
4
tan
1
1
cos
2
=
+
=
α
α，则5
3
sin=
α，则)
sin(
cos
)
cos(
sin
)]
(
sin[
sinβ
α
α
β
α
α
β
α
α
β-
-
-
=
-
-
=
25
7
5
4
5
4
5
3
5
3
-
=
⨯
-
⨯
=，故答案为：
25
7
-.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.求值__ __．
【答案】
【解析】
由题意可得，由诱导公式得
14.若
1
tan
4
α=，则tan()
4
π
α
-= .
【答案】
3
5
【解析】由题
tan tan1tan3
4
tan()
41tan5
1tan tan
4
π
α
πα
α
πα
α
--
-===
+
+
.故本题答案应填
3
5
.
15. 【2018届山东省潍坊市高三上学期期中】已知，，则__________．【答案】
【解析】，
又，，∴，
∴
故答案为：. 16．已知
22sin 3α=
，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2
π
αβ∈，则sin()αβ-的值等于__________. 【答案】
10227
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）求值：．
2【解析】
sin10cos 40sin 5013cos 40sin 5013cos10sin 701cos 40sin 701cos 40
⎛+ +⎝⎭=++o o
o
o o o
o o o
o o
cos103sin10cos 40sin 50sin 701cos 40++⎝⎭+o o o
o
o o
2sin 40cos 40sin 50cos10sin 701cos 40
++o
o
o
o
o o
2sin 40cos 40cos 40cos10sin 701cos 40sin 701cos 40
+=++o o
o
o o o o o o
22
==
o o
.
18．（本小题12分）【2018届河南省南阳一中高三上学期第三次考试】已知tan2
α=.
（1）求tan
4
π
α⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
的值；
（2）求
2
sin2
sin sin cos cos21
α
αααα
+--
的值.
【答案】（1）-3（2）1
【解析】试题分析：（1）利用两角和的正切函数化简求解即可．
（2）利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．
试题解析：
（1）
tan tan
4
tan
41tan tan
4
π
α
π
α
π
α
+
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭-
tan121
3
1tan12
α
α
++
===-
--
（2）原式
()
22
22
22
2sin cos
sin sin cos2cos11
2sin cos
sin sin cos2cos
2tan22
1
tan tan2222
αα
αααα
αα
αααα
α
αα
=
+---
=
+-
⨯
===
+-+-
19．（本小题12分）已知向量()()
1,3,cos,sin
OA OB a a
=-=-
u u u r u u u r
，且
2
AOB
p
?．（1）求
()2
sin2cos
sin2cos21
p a a
a a
-+
++
；
（2）若α是钝角，a b
-是锐角，且()3
sin
5
a b
-=，求sinβ的值．
【答案】（1）
1
4
；（2
）
50
【解析】
（1）0
2
AOB OA OB
π
∠=∴⋅=
u u u r u u u r
Q,
1
cos3sin0tan
3
ααα
∴--=⇒=-，
()222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 11
sin 2cos 212sin cos 2cos 2tan 24
παααααααααααα-+++===++++
（2）∵α是钝角，1
tan 3
α=-
， cos αα∴==， ∵αβ-为锐角，()3sin 5αβ-=
， ()4
cos 5
αβ∴-=．
()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ∴=--=---=
⎡⎤⎣⎦ 20．（本小题12分）【2018届全国18名校大联考高三第二次联考】已知向量()2,sin m α=v ， ()cos ,1n α=-v
，其中0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且m n ⊥v v
.
（1）求sin2α和cos2α的值；
（2）若()sin 10αβ-=，且0,2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，求角β. 【答案】（1）4sin25α=
， 3cos25α=-；（2）4
πβ=. 【解析】试题分析：（1）由已知得2cos sin 0αα-=，从而由22cos sin 1αα+=即可得cos α和sin α，由二倍角公式即可得解；
（2）由()sin sin βααβ⎡⎤=--⎣⎦利用两角差的正弦展开即可得解. 试题解析：
（1）∵m n ⊥v v
，∴2cos sin 0αα-=， 即sin 2cos αα=.
代入22cos sin 1αα+=，得25cos 1α=，且0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
则cos 5α=
， sin 5
α=.
则sin22sin cos ααα== 4
2555
⨯
⨯=. 2cos22cos 1αα=-= 13
2155
⨯-=-.
21.（本小题12分）已知函数()23sin22cos f x x x =-． （1）求π6f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的单调递增区间．
【答案】（1）0；（2）()f x 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈.
【解析】试题分析：（1）由三角函数二倍角公式和化一公式化简原式子，代入要求的函数值即可；（2）根据三角函数的单调性求得单调区间即可. （1）函数()23sin22cos f x x x =-，
∴2
2πππ333sin 22cos 32666f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0=；
（2）()2
1cos2π3sin22cos 3sin223sin2cos212sin 2126x f x x x x x x x +⎛
⎫=-=-⋅
=--=-- ⎪⎝
⎭ 令πππ
2π22π262k x k -
+≤-≤+， k Z ∈， 解得ππ
ππ63
k x k -+≤≤+， k Z ∈；
所以函数()f x 的单调递增区间是πππ,π63k k ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈．
22．（本小题12分）设向量()4cos ,sin a αα=r ，()sin ,4cos b ββ=r ，()cos ,4sin c ββ=-r。

（1）若与c b 2-垂直，求()tan αβ+的值；
（2）若⎥⎦⎤
⎝
⎛-∈ππβ125,12，求b c +r r 的取值范围。

【答案】（1）2；（2）⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡2272，
. 【解析】
（1）)sin 8cos 4,cos 2(sin 2ββββ+-=-c b
β
αβαβαβαsin sin 8cos sin 4cos cos 8sin cos 4)2(++-=-•c b a 0)cos(8)sin(4=+-+=βαβα2)tan(=+∴βα
（2）由)sin 4cos 4,cos (sin ββββ-+=+
βββββ2sin 1517)sin 4cos 4()cos (sin 22-=-++=
12sin 216526125,12≤<-∴≤<-∴⎥⎦
⎤
⎝⎛-∈βπβπππβΘ
⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+227,
2.。