河南省林州市第一中学2017-2018学年高二10月月考数学

2016级高二火箭班10月调研考试
数学（文）试题
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．“1
2
m =
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 2. 曲线y ＝
x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x －1
B ． y ＝2x ＋1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2
3. 双曲线22
1412
x y -=的焦点到渐近线的距离为( )
A ．
B ．2
C ．1 4.抛物线22y x =的准线方程为( )
A ．12x =-
B ．12x =
C ．18y =
D ．1
8
y =-
5．已知ABC ∆的周长是8，且()()0,1C 0,1、-B ，则顶点A 的轨迹方程是( )
A. ()318922±≠=+x y x B . ()01892
2≠=+x y x
C. ()013422≠=+y y x
D. ()014
32
2≠=+y y x 6. 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12
，右焦点F (c ，0)，方程ax 2
＋bx －c ＝0的两个根分
别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( )
A.圆x 2
＋y 2
＝2上 B.圆x 2
＋y 2
＝2内 C.圆x 2
＋y 2
＝2外 D.以上三种情况都有可能 7. 设定点1(0,2)F ，2(0,2)F -，动点P 满足条件124
(0)PF PF a a a
+=+>，则点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
8. 已知点(8,8)P 在抛物线2:2C y px =（0p >）上，直线l 与抛物线C 相切于点P ，则直线l 的斜率为( )
A ．
3
4
B ．
4
3
C ．
2
1
D ．
4
5 9．过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )
A.3 2
B.2 2
C. 2
D.32
2
10. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF = ( )
A ．1
B ．
4
3
C ．
5
3
D ．2 11. 过双曲线15
32
2=-y x 的左焦点F 引圆322=+y x 的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -=( )
A. 3
B. 5
C. 35-
D.35+
12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右
顶点. P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.1
3
B.12
C.23
D.34 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13. 已知()f x 在R 上可导，且000
(3)()lim 62x f x x f x x
∆→-∆-=∆，则'
0()f x 的值为___________。

14. 设曲线y ＝x
n ＋1
(n ∈N *
)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，若a n ＝lg x n ，则
a 1＋a 2＋…＋a 99＝________.
15. 抛物线y 2
＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________. 16. 已知方程x 24－t ＋y 2
t －1
＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：
①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜5
2
；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞
4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）
设f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程.
18.（本小题满分12分）
已知，
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）若是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A (0，b )，原点O 到直线FA 的距离为
2
2b .
(1)求椭圆C 的离心率e ；
(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x 2
＋y 2
＝4上，求椭圆C 的方程及点
P 的坐标.
20．（本小题满分12分）
设双曲线C ：x 2a
－y 2
＝1（a >0）与直线l ：x ＋y ＝1相交于两点A 、B ．
（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
（2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →
，求a 的值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1（a >b >0）的离心率为63，且经过点（32，1
2
）．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P （0，2）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆1E ：22
216
x y a +
=的焦点1F 、2F 在x 轴上，且椭圆1E 经过(,2)(0)
P m m ->，过点P 的直线l 与1E 交于点Q ，与抛物线2E ：24y x =交于
A 、
B 两点，当直线l 过2F 时1PFQ ∆的周长为
（Ⅰ）求m 的值和1E 的方程；
（Ⅱ）以线段AB 为直径的圆是否经过2E 上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．
2016级高二火箭班10月调研考试
数学（文）答案
一．选择题
1.A
2.B
3.A
4.D
5.A
6.B
7.D
8.C
9.D 10.B 11.C 12.A
6.解析： 由题意e ＝c a ＝12，x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝
a 2－c 2a 2
＋1＝2－c 2a 2＝74
<2，∴点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2
＝2内. 9.解析： 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3， ∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y 2
＝4x 得y 2
＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2,22)，
∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1).
联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧
y ＝22x －，
y 2
＝4x ，
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝12，
y ＝－2
或⎩⎨
⎧
x ＝2，
y ＝2 2.
由图知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32
2.
12. 解析： 如图所示，设OE 的中点为N ，在△AOE 中， ∵MF ∥OE ， ∴
|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a
. ①
在△MFB 中，∵ON ∥MF ， ∴|ON ||MF |＝|BO ||BF |＝a
a ＋c ＝1
2|OE ||MF |， ∴
2a a ＋c ＝|OE ||MF |，即|MF ||OE |＝a ＋c 2a
. ②
由①②可得
a －c a ＝a ＋c
2a
，解得a ＝3c ，
从而得
e ＝c a ＝1
3
.
二．填空题
13. 4- 14. －2 15. 32
2 16. ②③④
14.解析： ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝x
n ＋1
在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，令
y ＝0，得x n ＝n
n ＋1
，∴a n ＝lg n －lg (n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2.
16.解析： ①错误，当t ＝5
2时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)
＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜5
2
；
④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨
⎪
⎧
4－t ＜0t －1＞0
，∴t ＞4.
三．解答题
17. 解： 因为f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .
令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ， 所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.
令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－3
2.
所以f (x )＝x 3
－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52
.
又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1， f (1))处的切线方程为：y －⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. 18.解：
（1）、
是
的必要不充分条件
是的充分不必要条件
（2）、
是
的充分不必要条件
是
的充分不必要条件
19.解 ：(1)由点F (－ae,0)，点A (0，b )，及b ＝1－e 2
a ，得直线FA 的方程为x －ae ＋y
1－e 2
a ＝1，即1－e 2
x －ey ＋ae 1－e 2
＝0. 因为原点O 到直线FA 的距离为 2
2
b ＝ae 1－e 2，
所以
22
1－e 2·a ＝ae 1－e 2
， 解得e ＝
22
. (2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P (x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪
⎧
y 0
x 0＋22
a
＝12，2·x 0
－2
2a
2＋y 0
2＝0，
解得x 0＝3210a ，y 0＝22
5
a .
因为P 在圆x 2＋y 2
＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫225a 2
＝4.
所以a 2
＝8，b 2
＝(1－e 2
)a 2
＝4.
故椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4＝1，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，85.
20.解：（1）联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－a 2y 2
－a 2
＝0，
x ＋y ＝1，消y 得x 2－a 2（1－x ）2－a 2
＝0，
即（1－a 2
）x 2
＋2a 2
x －2a 2
＝0，得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝－2a 2
1－a
2，
x 1x 2
＝－2a
21－a 2.
因为与双曲线交于两点A 、B ，所以所以⎩
⎪⎨⎪⎧
1－a 2
≠0，
4a 4＋8a 21－a 2
>0
，可得0<a 2<2且a 2
≠1，
所以e 的取值范围为（
6
2
，2）∪（2，＋∞）； （2）由（1）得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 1＋x 2＝－2a 2
1－a
2，
x 1x 2
＝－2a
21－a 2
.
因为PA →＝512PB →，所以x 1＝512x 2，则1712x 2＝－2a 2
1－a
2，①
512x 22＝－2a
2
1－a
2，②
由①2
②得，a 2
＝289169， 结合a >0，则a ＝1713
．
21. 解：（1）由e 2
＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝23，得b a ＝1
3
，①
由椭圆C 经过点（32，12），得94a 2＋1
4b 2＝1，②
联立①②，解得b ＝1，a ＝3， 所以椭圆C 的方程是x 2
3
＋y 2
＝1； （2）易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，[来源:ZXXK]
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得（1＋3k 2
）x 2
＋12kx ＋9＝0， 令Δ＝144k 2
－36（1＋3k 2
）>0，得k 2
>1，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝9
1＋3k 2，
所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝1
2
×2×|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|，
因为（x 1－x 2）2
＝（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝（－12k 1＋3k 2）2
－361＋3k 2＝222
31136）
（）（k k +-， 设k 2
－1＝t （t >0）， 则（x 1－x 2）2
＝
2﹢4336）（t t ＝36
9t ＋16t
＋24
≤362
9t ×16
t
＋24
＝34
， 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43时等号成立，此时k 2
＝73，△AOB 面积取得最大值32
．
22. （过程略）（1） 16
75;52
2=+=y x m （2） ()2,1。