例谈积分计算中对称性的应用开题报告

本科学生毕业论文（设计）开题报告
题目例谈积分计算中对称性的应用
姓名
学号_________________________
院系_____________________
专业_____ _______________
指导教师__________职称__ __
年月日
论文（设计）题目例谈积分计算中对称性的
应用
学科分类
（二级）
110.34
题目来源（a.教师拟题；b.学生自拟；c.教师科研课题；d.其他） a
本选题的根据：1）说明本选题的研究意义和应用价值
2）简述本选题的研究现状和自己的见解
一、本选题的研究意义和应用价值
数学分析是高等院校数学专业本科生最重要的基础课之一，而积分计算又是数学分析中的重点和难点，其重要性是不言而喻的。

对称性不仅是数学美的重要特征，运用在积分求解的方法中又是一个非常重要的方法，因而探讨对称性在积分计算中的应用就非常必要。

在某些复杂的积分计算和证明的过程中，特别是涉及二重和三重的积分计算问题用常规的方法解决十分困难，.若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求积分计算的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率，对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。

积分计算中对称性在很多学科领域内有着重要的应用，例如天文学、力学、化学、生物学、工程学等。

在现实生活中我们运用对称性可以轻松的解决一些实际问题，例如求某些面积、体积、弧长等。

在学习过程中，常常发现自己在计算积分时，把简单的问题复杂化而增加了积分计算的难度，若在积分的计算中能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性，（重复，再修改）就能简化积分计算过程，从而能节省更多的时间，也使得学习更轻松、更具科学性、有效性。

二、本选题的研究现状和自己的见解
1、研究现状
积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在《抛物线求积法》中利用穷竭法求出抛物线弓形的面积，人们没有用极限，是“有限”开工的穷竭法。

阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。

经过18、19 世纪一大批数学家的努力，特别是在法国数学家柯西首先成功地建立了极限理论之后，以极限的观点定义了微积分的基本概念，并简洁而严格地证明了微积分基本定理即牛顿―莱布尼茨公式，才给微积分建立了一个基本严格的完整体系。

积分的计算求解方法有很多种，在这里我主要讨论的是运用对称性求解积分的方法。

积分计算中对称性的应用问题可分为三类来讨论，即一重积分、二重积分和三重
积分。

对于积分计算中对称性的应用问题，研究到现在有：
㈠ 对称性在一重积分的计算中的应用 1）利用函数的奇偶性求定积分
函数)(x f 在区间[-a,a]上可积，若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-a
a
dx x f ；若)(x f 为偶函数，则⎰⎰=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(。

这种方法首先要是判断函数在区间上是否可积，再
利用函数的对称性来求积分。

它主要用于奇函数和偶函数的积分计算。

2）利用第一类曲线积分的对称性定理求积分
① 设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，根据函数),(y x f 关于x （或y ）的奇偶性求积分。

② 设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数),(y x p 在L 上连续，那么：
（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ⎰0=
（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)i
p x y dx p x y dx =⎰⎰1(i =,)2
③ 设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧的问题。

3）利用第二类曲线积分的对称性求积分
① 主要讨论投影元素的正负，考察(,)p x y dx 在对称点上的符号。

② 积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性问题。

③ 设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意
),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，讨论1L ，2L 在x 轴（y 轴）投影方向求积分的问题。

㈡ 对称性在二重积分的计算中的应用 1）利用二重积分的对称性定理求积分
① 对于函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续的问题，考虑),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数或偶函数。

② 讨论有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关
x 和y 均为偶函数的问题。

③ 对于有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续的问题，判断函数
),(y x f 的奇偶性。

2） 利用第一类曲面积分的对称性定理求积分
若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}。

考虑),,(z y x f 关于z (或x ,或y )为奇函数还是偶函数。

3） 利用第二类曲面积分的对称性定理求积分
利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号，我以曲面积分
(,,)s
f x y z ds ⎰⎰为例来讨论，当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面
积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正；当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成钝角时，面积元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为负。

在利用对称性时，我们必须考虑积分路线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号。

㈢ 对称性在三重积分的计算中的应用
利用对称性求三重积分时，要注意（1）积分区域关于坐标面的对称性，（2）被积函数在积分区域上的关于三个坐标的奇偶性。

一般地，当积分区域Ω关于xoy 平面对称，且被积函数),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则三重积分为零；若被积函数),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则三重积分为Ω在xoy 平面上的半个闭区域的三重积分的两倍。

1、
2、自己的见解
积分计算中对称性的应用问题给我们的学习和计算积分带来很大的方便。

在学习中从大一开始就接触数学分析，接触积分的计算，它是学习的重点，考试中占有很大的比重，也是贯穿于整个大学的数学学习中。

运用对称性求积分是简便计算的一种常用方法，在做积分的计算习题时，用常规的方法解决十分困难，.若能注意并充分利用积分区域的对称性、被积函数的奇偶性以及积分变量的轮换对称性探求积分计算的简化途径，利用其结果计算，可以简化计算过程，提高解题效率，对于有些原本并不具有对称性的问题，我们要善于根据问题的特点构造对称性，从而达到简化问题的目的。

研究的主要内容：
研究的内容主要为：对称性在积分计算的应用中的一些定
理和对称性在积分计算的应用中的一些例题。

一、对称性在一重积分的计算中的定理及应用
1、函数的奇偶性求定积分
2、第一类曲线积分的对称性定理求积分
（一）函数的奇偶性求定积分
1、函数的奇偶性求定积分的相关定理
2、举例应用
（二）第一类曲线积分的对称性求积分
1、第一类曲线积分的对称性求积分的相关定理
2、举例应用
（三）第二类曲线积分的对称性求积分
1、第二类曲线积分的对称性求积分的相关定理
2、举例应用
二、对称性在二重积分的计算中的定理及应用
（一）二重积分的对称性定理求积分
1、二重积分的对称性求积分的相关定理
2、举例应用
（二）第一类曲面积分的对称性定理求积分
1、第一类曲面积分的对称性定理
2、举例应用
（三）第二类曲面积分的对称性定理求积分
1、第二类曲面积分的对称性定理
2、举例应用
三、对称性在三重积分的计算中的定理及应用
1、对称性在三重积分的计算中的相关定理
2、举例应用
参考文献：
[1] 殷锡鸣等.高等数学（下）[M]. 上海：华东理工大学出版社.2005.304-331.
[2] 吉米多维奇.数学分析习题集题解（六）[M].济南：山东科学技术出版社.2002.105-144.
[3] 同济大学应用数学系.（下）[M].上海：同济大学出版社.2003.306-321.
[4] 刘玉链，付沛东.数学分析讲义（下）[M].北京：高等数学教育出版社，1996.
[5] 林源渠.高等数学复习指导语与典型例题题分析[M].机械工业出版社，2002.
[6] 伍胜健.数学分析（第一册）[M].北京：北京大学出版社.2009.8.
[7] 伍胜健.数学分析（第二册）[M].北京：北京大学出版社.2010.2.
[8] 伍胜健.数学分析（第三册）[M].北京：北京大学出版社.2010.8.
主要研究方法：
1.调查法：通过图书馆和互联网查找论文信息。

2.文献研究法：通过查阅文献和书籍，认真研读论文设计中将会用到的理论和方法，了解本选题的发展趋势，了解积分计算中对称性的应用问题的方法。

3.描述性研究法：将已有的解法、理论通过自己的理解和验证，叙述并解释出来。

4.思维方法：对积分计算中对称性的应用问题的求解方法进行归纳演绎、类比推理、抽象概括、思辩想象、分析各种解法及举例说明。

研究进度计划：
2013年5月28日-2013年6月24日确定毕业论文题目
2013年6月25日-2013年7月5日在教师的指导下完成开题报告
2013年8月21日-2013年8月25日将毕业论文开题报告终稿交指导老师审核
2013年9月2日-2013年9月3日论文开题报告答辩
2013年9月4日-2013年10月9日论文初稿的撰写和修改
2013年11月7日-2013年11月11日论文终稿审核
2013年11月12号-2013年12月2日论文答辩准备
2013年12月3日-2013年12月4日论文答辩
指导教师意见（含选题的科学性、可行性、应用价值、结合本专业知识的情况以及具体指导意见等）：
指导教师签名：
年月日
开题会议纪要
时
地点
间
开
姓名职称姓名职称姓名职称题
小
组
成
员
开题小组意见（含开题基本情况及结论）：
组长签名：
年月日院、系意见：
分管领导签名：
年月日。